ОрцДавхар тэгш бус байдлыг модультай хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Модультай тэгш бус байдал
Модуль агуулсан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг. Тэдний заримыг нь харцгаая.
1) Модулийн геометрийн шинж чанарыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Модулийн геометрийн шинж чанар гэж юу байдгийг сануулъя: х тооны модуль нь эхээс координат х-тэй цэг хүртэлх зай юм.
Энэ аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хоёр тохиолдол гарч болно.
1. |x| ≤ b, 
Мөн модультай тэгш бус байдал нь хоёр тэгш бус байдлын систем болж буурах нь ойлгомжтой. Энд тэмдэг нь хатуу байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд зурган дээрх цэгүүд "цоорсон" болно.
2. |x| ≥ b,Дараа нь шийдлийн зураг дараах байдалтай байна.
Мөн модультай тэгш бус байдал нь хоёр тэгш бус байдлын хослол болж буурах нь ойлгомжтой. Энд тэмдэг нь хатуу байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд зурган дээрх цэгүүд "цоорсон" болно.
Жишээ 1.
|4 – |x|| тэгш бус байдлыг шийд ≥ 3.
Шийдэл.
Энэ тэгш бус байдал нь дараах олонлогтой тэнцүү байна.
U [-1;1] У
Жишээ 2.
||x+2| тэгш бус байдлыг шийд – 3| ≤ 2.
Шийдэл.
Энэ тэгш бус байдал нь дараах системтэй тэнцүү байна.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Системийн эхний тэгш бус байдлыг тусад нь шийдье. Энэ нь дараах багцтай тэнцүү байна.
U[-1; 3].
2) Модулийн тодорхойлолтыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Эхлээд сануулъя модулийн тодорхойлолт.
|а| = a хэрэв a ≥ 0 ба |a| = -a хэрэв a< 0.
Жишээлбэл, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Жишээ 1.
3|x – 1| тэгш бус байдлыг шийд ≤ x+3.
Шийдэл.
Модулийн тодорхойлолтыг ашиглан бид хоёр системийг олж авна.
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Эхний болон хоёр дахь системийг тусад нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(х< 1
(x ≥ 0.
Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь эхний системийн бүх шийдлүүд ба хоёр дахь системийн бүх шийдлүүд байх болно.
Хариулт: x € .
3) Тэгш бус байдлыг квадратаар шийдэх.
Жишээ 1.
|x 2 – 1| тэгш бус байдлыг шийд< | x 2 – x + 1|.
Шийдэл.
Тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгоё. Тэгш бус байдлын хоёр талыг хоёулаа эерэг байвал л квадрат болгож чадна гэдгийг тэмдэглэе. Энэ тохиолдолд бид баруун болон зүүн талд модулиудтай тул үүнийг хийж чадна.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Одоо модулийн дараах шинж чанарыг ашиглая: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2х 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг.
Хариулт: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Хувьсагчдыг өөрчлөх замаар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Жишээ.
(2x + 3) 2 – |2x + 3| тэгш бус байдлыг шийд ≤ 30.
Шийдэл.
(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь бид тэгш бус байдлыг олж авна
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
y = |2x + 3| өөрчлөлтийг хийцгээе.
Орлуулахыг харгалзан тэгш бус байдлыг дахин бичье.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Зүүн талд байгаа квадрат гурвалжийг үржвэр болгоё.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Интервалын аргыг ашиглан шийдэж, дараахь зүйлийг олж авцгаая.
Орлуулах зүйл рүү буцъя:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Энэхүү давхар тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдье.
Эхнийх нь системтэй тэнцүү юм
(2х + 3 ≤ 6
(2х + 3 ≥ -6.
Үүнийг шийдье.
(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.
Хоёрдахь тэгш бус байдал нь бүх x-д хамаарах нь ойлгомжтой, учир нь модуль нь тодорхойлолтоор эерэг тоо юм. Системийн шийдэл нь системийн эхний болон хоёр дахь тэгш бус байдлыг нэгэн зэрэг хангадаг бүх x тул анхны системийн шийдэл нь түүний эхний давхар тэгш бус байдлын шийдэл байх болно (эцсийн эцэст хоёр дахь нь бүх x-ийн хувьд үнэн юм) .
Хариулт: x € [-4.5; 1.5].
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
Найзууд аа, өнөөдөр ямар ч хонхорхой, сэтгэлийн хөдлөл байхгүй болно. Харин би чамайг ямар ч асуултгүйгээр 8-9-р ангийн алгебрийн хичээлийн хамгийн хүчтэй өрсөлдөгчдийн нэгтэй тулалдаанд илгээх болно.
Тийм ээ, та бүх зүйлийг зөв ойлгосон: бид модультай тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Ийм асуудлын 90 орчим хувийг шийдэж сурах дөрвөн үндсэн аргыг бид авч үзэх болно. Үлдсэн 10% нь яах вэ? За, бид тэдний талаар тусдаа хичээл дээр ярих болно. :)
Гэсэн хэдий ч, аль нэг арга техникийг шинжлэхээсээ өмнө аль хэдийн мэдэх шаардлагатай хоёр баримтыг танд сануулмаар байна. Үгүй бол та өнөөдрийн хичээлийн материалыг огт ойлгохгүй байх эрсдэлтэй.
Та аль хэдийн мэдэх ёстой зүйл
Ахмад Обвиуснесс тэгш бус байдлыг модулийн тусламжтайгаар шийдэхийн тулд хоёр зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй гэж сануулж байна.
- Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх;
- Модуль гэж юу вэ?
Хоёр дахь цэгээс эхэлье.
Модулийн тодорхойлолт
Энд бүх зүйл энгийн. Алгебрийн болон график гэсэн хоёр тодорхойлолт байдаг. Эхлэхийн тулд - алгебр:
Тодорхойлолт. $x$ тооны модуль нь сөрөг биш бол тухайн тоо, эсвэл анхны $x$ сөрөг хэвээр байвал түүний эсрэг тоо юм.
Үүнийг ингэж бичсэн байна.
\[\зүүн| x \right|=\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Энгийнээр хэлбэл, модуль нь "хасах тэмдэггүй тоо" юм. Чухам энэ хоёрдмол байдалд (зарим газарт та анхны дугаараар юу ч хийх шаардлагагүй, харин зарим газарт та ямар нэгэн хасах зүйлийг арилгах хэрэгтэй) анхлан суралцаж буй оюутнуудад бүх бэрхшээл тулгардаг.
Мөн геометрийн тодорхойлолт байдаг. Үүнийг мэдэх нь бас ашигтай, гэхдээ бид геометрийн арга нь алгебрийн аргаас илүү тохиромжтой байдаг нарийн төвөгтэй, онцгой тохиолдлуудад л хандах болно (спойлер: өнөөдөр биш).
Тодорхойлолт. Тооны мөрөнд $a$ цэгийг тэмдэглэе. Дараа нь модуль $\left| x-a \right|$ нь энэ шулуун дээрх $x$ цэгээс $a$ цэг хүртэлх зай юм.
Хэрэв та зураг зурвал дараах зүйлийг авах болно.
График модулийн тодорхойлолт Ямар нэг байдлаар модулийн тодорхойлолтоос түүний гол шинж чанар нь шууд дараах байдалтай байна. тооны модуль нь үргэлж сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм. Энэ баримт нь өнөөдрийн бидний түүхийг бүхэлд нь хамарсан улаан утас байх болно.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Интервалын арга
Одоо тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэдгээрийн олон нь байдаг, гэхдээ бидний одоо хийх даалгавар бол ядаж хамгийн энгийнийг нь шийдэх явдал юм. Шугаман тэгш бус байдал, түүнчлэн интервалын арга руу буурдаг хүмүүс.
Надад энэ сэдвээр хоёр том хичээл байна (дашрамд хэлэхэд, маш их хэрэгтэй - би тэдгээрийг судлахыг зөвлөж байна):
- Тэгш бус байдлын интервалын арга (ялангуяа видеог үзэх);
- Бутархай оновчтой тэгш бус байдал бол маш өргөн хүрээтэй хичээл боловч үүний дараа танд асуулт огт гарахгүй.
Хэрэв та энэ бүгдийг мэдэж байгаа бол "тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье" гэсэн хэллэг нь таныг хана мөргөх гэсэн тодорхойгүй хүсэл төрүүлэхгүй бол та бэлэн байна: хичээлийн гол сэдэвт тавтай морил. :)
1. “Модуль нь функцээс бага” хэлбэрийн тэгш бус байдал
Энэ бол модулиудтай холбоотой хамгийн нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг юм. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай:
\[\зүүн| f\right| \ltg\]
$f$ ба $g$ функцууд нь юу ч байж болох ч ихэвчлэн олон гишүүнт байдаг. Ийм тэгш бус байдлын жишээ:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\зүүн| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]
Эдгээрийг бүгдийг нь дараах схемийн дагуу нэг мөрөнд шууд утгаараа шийдэж болно.
\[\зүүн| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g\quad \зүүн(\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(эгцлэх) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\баруун)\]
Бид модулиас салж байгааг харахад хялбар боловч хариуд нь давхар тэгш бус байдал (эсвэл энэ нь ижил зүйл юм, хоёр тэгш бус байдлын систем) авдаг. Гэхдээ энэ шилжилт нь бүх боломжит асуудлуудыг харгалзан үздэг: хэрэв модулийн доорх тоо эерэг байвал арга нь ажилладаг; сөрөг байвал энэ нь ажилласаар байна; $f$ эсвэл $g$-ийн оронд хамгийн хангалтгүй функцтэй байсан ч энэ арга ажиллах болно.
Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: илүү хялбар байж болохгүй гэж үү? Харамсалтай нь энэ боломжгүй. Энэ бол модулийн бүх санаа юм.
Гэсэн хэдий ч философи хийхэд хангалттай. Хэд хэдэн асуудлыг шийдье:
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| 2x+3 \баруун| \lt x+7\]
Шийдэл. Тиймээс, бидний өмнө "модуль нь бага" хэлбэрийн сонгодог тэгш бус байдал байна - өөрчлөх зүйл ч байхгүй. Бид алгоритмын дагуу ажилладаг:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7\Баруун сум -\зүүн(x+7 \баруун) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]
"Хасах" тэмдэгтэй хашилтыг нээх гэж яарах хэрэггүй: та яарсны улмаас доромжилсон алдаа гаргах магадлалтай.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Асуудлыг хоёр энгийн тэгш бус байдал болгон бууруулсан. Зэрэгцээ тоон шулуун дээрх шийдлүүдийг тэмдэглэе.
Олон хүний уулзвар
Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь хариулт болно.
Хариулт: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0\]
Шийдэл. Энэ даалгавар нь арай илүү төвөгтэй юм. Нэгдүгээрт, хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж модулийг тусгаарлацгаая.
\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \lt -3\зүүн(x+1 \баруун)\]
Мэдээжийн хэрэг, бид "модуль нь жижиг" хэлбэрийн тэгш бус байдал үүссэн тул бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан алгоритмыг ашиглан модулийг устгадаг.
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \баруун)\]
Одоо анхаарлаа хандуулаарай: энэ бүх хаалтанд хэн нэгэн намайг жаахан гажуудсан гэж хэлэх болно. Гэхдээ бидний гол зорилго гэдгийг дахин сануулъя тэгш бус байдлыг зөв шийдэж хариултыг авна. Дараа нь та энэ хичээлд дурдсан бүх зүйлийг төгс эзэмшсэн бол та үүнийг хүссэнээрээ гажуудуулж болно: хаалт нээх, хасах гэх мэт.
Эхлэхийн тулд бид зүүн талд байгаа давхар хасахаас салах болно.
\[-\left(-3\left(x+1 \баруун) \баруун)=\left(-1 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(x+1 \баруун) =3\зүүн(x+1 \баруун)\]
Одоо давхар тэгш бус байдлын бүх хаалтыг нээцгээе.
Давхар тэгш бус байдал руу шилжье. Энэ удаад тооцоо илүү ноцтой байх болно:
\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]
\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \төгсгөл( тэгшлэх)\баруун.\]
Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа квадрат бөгөөд интервалын аргыг ашиглан шийдэж болно (тийм учраас би хэлж байна: хэрэв та энэ юу болохыг мэдэхгүй бол модуль авахгүй байх нь дээр). Эхний тэгш бус байдлын тэгшитгэл рүү шилжье:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Таны харж байгаагаар гаралт нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл бөгөөд үүнийг энгийн аргаар шийдэж болно. Одоо системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэнд та Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй болно.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \баруун)\left(x+2 \баруун)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид үүссэн тоонуудыг хоёр зэрэгцээ шугам дээр тэмдэглэв (эхний тэгш бус байдлын хувьд тусад нь, хоёр дахь нь тусдаа):
Дахин хэлэхэд, бид тэгш бус байдлын системийг шийдэж байгаа тул бид сүүдэрлэсэн олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байна: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Энэ бол хариулт юм.
Хариулт: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Эдгээр жишээнүүдийн дараа шийдлийн схем маш тодорхой байна гэж би бодож байна.
- Бусад бүх нэр томъёог тэгш бус байдлын эсрэг тал руу шилжүүлэх замаар модулийг тусгаарла. Ингээд $\left| хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авна f\right| \ltg$.
- Дээр дурдсан схемийн дагуу модулийг арилгах замаар энэ тэгш бус байдлыг шийднэ үү. Хэзээ нэгэн цагт давхар тэгш бус байдлаас хоёр бие даасан илэрхийллийн систем рүү шилжих шаардлагатай бөгөөд тус бүрийг тусад нь шийдэж болно.
- Эцэст нь, эдгээр хоёр бие даасан илэрхийллийн шийдлүүдийг огтолцох л үлдлээ - тэгээд л бид эцсийн хариултыг авах болно.
Модуль нь функцээс их байх үед дараах төрлийн тэгш бус байдлын хувьд ижил төстэй алгоритм байдаг. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн ноцтой "гэхдээ" байдаг. Бид одоо эдгээр "гэхдээ" талаар ярих болно.
2. “Модуль нь функцээс их” хэлбэрийн тэгш бус байдал
Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.
\[\зүүн| f\right| \gtg\]
Өмнөхтэй төстэй юу? бололтой. Гэсэн хэдий ч ийм асуудлыг огт өөр аргаар шийддэг. Албан ёсоор схем нь дараах байдалтай байна.
\[\зүүн| f\right| \gt g\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\төгсгөл(зөв) \баруун.\]
Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр тохиолдлыг авч үздэг.
- Нэгдүгээрт, бид зүгээр л модулийг үл тоомсорлож, ердийн тэгш бус байдлыг шийддэг;
- Дараа нь үндсэндээ бид хасах тэмдгээр модулийг өргөтгөж, дараа нь тэгш бус байдлын хоёр талыг −1-ээр үржүүлж, би тэмдэгтэй байна.
Энэ тохиолдолд сонголтуудыг дөрвөлжин хаалтаар хослуулсан, i.e. Бидний өмнө хоёр шаардлагыг хослуулсан.
Дахин анхаарна уу: энэ бол систем биш, харин бүхэлдээ Хариултанд олонлогууд огтлолцохоос илүү нийлдэг. Энэ бол өмнөх цэгээс үндсэн ялгаа юм!
Ерөнхийдөө олон оюутнууд холбоо, уулзвартай андуурч байгаа тул энэ асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн цэгцэлье.
- "∪" нь эвлэлийн тэмдэг юм. Үнэн хэрэгтээ энэ бол англи хэлнээс бидэнд ирсэн загварчлагдсан "U" үсэг бөгөөд "Union" гэсэн үгийн товчлол юм. "Холбоонууд".
- "∩" нь уулзварын тэмдэг юм. Энэ новш хаанаас ч гараагүй, зүгээр л "∪"-ийн эсрэг заалт мэт харагдсан.
Үүнийг санахад илүү хялбар болгохын тулд нүдний шил хийхдээ эдгээр тэмдгүүдэд хөлөө зурж өгөөрэй (зүгээр л намайг хар тамхи, архидалтыг сурталчилсан гэж битгий буруутгаарай: хэрэв та энэ хичээлийг нухацтай судалж байгаа бол та аль хэдийн хар тамхичин болсон гэсэн үг юм):
Олонлогуудын уулзвар ба нэгдлийн хоорондох ялгаа Орос хэл рүү орчуулбал энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: нэгдэл (нийтлэл) нь хоёр багцын элементүүдийг агуулдаг тул тэдгээр нь тус бүрээс багагүй байх болно; Харин огтлолцол (систем) нь зөвхөн эхний болон хоёр дахь багцад нэгэн зэрэг байгаа элементүүдийг агуулдаг. Тиймээс олонлогуудын огтлолцол нь эх олонлогоос хэзээ ч их байдаггүй.
Тэгэхээр илүү тодорхой болсон уу? Гайхалтай. Дасгал руугаа явцгаая.
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\]
Шийдэл. Бид схемийн дагуу ажиллаж байна:
\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \баруун) \\\төгсгөх(эгцлэх) \ зөв.\]
Бид хүн амын тэгш бус байдал бүрийг шийддэг:
\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \төгсгөл (зөвшүүлэх) \баруун.\]
Бид үүссэн багц бүрийг тоон мөрөнд тэмдэглээд дараа нь нэгтгэнэ.
Багцуудын нэгдэл
Хариулт нь $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ байх нь ойлгомжтой.
Хариулт: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\]
Шийдэл. За? Юу ч биш - бүх зүйл адилхан. Бид модультай тэгш бус байдлаас хоёр тэгш бус байдлын багц руу шилждэг.
\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Бид тэгш бус байдал бүрийг шийддэг. Харамсалтай нь тэнд үндэс нь тийм ч сайн биш байх болно:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Хоёр дахь тэгш бус байдал нь бас жаахан зэрлэг юм:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Одоо та эдгээр тоог хоёр тэнхлэг дээр тэмдэглэх хэрэгтэй - тэгш бус байдал бүрт нэг тэнхлэг. Гэсэн хэдий ч та цэгүүдийг зөв дарааллаар тэмдэглэх хэрэгтэй: тоо том байх тусам цэг баруун тийшээ шилжинэ.
Мөн энд тохиргоо биднийг хүлээж байна. Хэрэв бүх зүйл тодорхой байвал $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (эхний тоологч дахь нөхцөлүүд) бутархай нь секундын тоологчийн гишүүнээс бага тул нийлбэр нь мөн бага) $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ бас ямар ч бэрхшээл гарахгүй (эерэг тоо нь мэдээж илүү сөрөг), дараа нь сүүлийн хосын хувьд бүх зүйл тийм ч тодорхой биш байна. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ эсвэл $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ аль нь илүү вэ? Тоон шугам дээрх цэгүүдийг байрлуулах, үнэн хэрэгтээ хариулт нь энэ асуултын хариултаас хамаарна.
Тиймээс харьцуулж үзье:
\[\begin(матриц) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\төгсгөл(матриц)\]
Бид үндсийг тусгаарлаж, тэгш бус байдлын хоёр талд сөрөг бус тоонуудыг авсан тул бид хоёр талыг квадрат болгох эрхтэй.
\[\begin(матриц) ((\left(2+\sqrt(13) \баруун))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \баруун))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\төгсгөл(матриц)\]
Миний бодлоор $4\sqrt(13) \gt 3$, тиймээс $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, тэнхлэг дээрх эцсийн цэгүүдийг дараах байдлаар байрлуулна.
Муухай үндэстэй тохиолдол
Бид олонлогийг шийдэж байгаа тул хариулт нь сүүдэртэй олонлогуудын огтлолцол биш нэгдэл байх болно гэдгийг сануулъя.
Хариулт: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$
Таны харж байгаагаар манай схем энгийн бөгөөд маш хэцүү асуудлуудын аль алинд нь маш сайн ажилладаг. Энэ аргын цорын ганц "сул тал" бол та иррационал тоог зөв харьцуулах хэрэгтэй (мөн надад итгээрэй: эдгээр нь зөвхөн үндэс биш юм). Гэхдээ тусдаа (мөн маш ноцтой) хичээлийг харьцуулах асуудалд зориулах болно. Тэгээд бид цаашаа явна.
3. Сөрөг бус “сүүлтэй” тэгш бус байдал
Одоо бид хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орлоо. Эдгээр нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм:
\[\зүүн| f\right| \gt\left| g\right|\]
Ерөнхийдөө бидний одоо ярих алгоритм нь зөвхөн модулийн хувьд зөв юм. Энэ нь баруун ба зүүн талд сөрөг бус илэрхийлэл байгаа бүх тэгш бус байдалд ажилладаг.
Эдгээр даалгавруудыг юу хийх вэ? Зүгээр л сана:
Сөрөг бус "сүүл" -тэй тэгш бус байдлын хувьд хоёр талыг аль аль нь байгалийн хүчинд өсгөж болно. Нэмэлт хязгаарлалт байхгүй болно.
Юуны өмнө бид квадрат болгох сонирхолтой байх болно - энэ нь модулиуд болон үндсийг шатаадаг:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \баруун))^(2))=f. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Үүнийг квадратын үндсийг авах гэж бүү андуураарай:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Оюутан модуль суулгахаа мартсан үед тоо томшгүй олон алдаа гарсан! Гэхдээ энэ бол огт өөр түүх (эдгээр нь үндэслэлгүй тэгшитгэлүүд юм) тул бид одоо энэ талаар ярихгүй. Хэд хэдэн асуудлыг илүү сайн шийдье:
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \баруун|\]
Шийдэл. Хоёр зүйлийг нэн даруй анзааръя:
- Энэ бол хатуу тэгш бус байдал биш юм. Тооны шугам дээрх цэгүүдийг цоолно.
- Тэгш бус байдлын хоёр тал нь мэдээж сөрөг биш (энэ нь модулийн шинж чанар юм: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Тиймээс бид модулийг арилгахын тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож, ердийн интервалын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно.
\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| x+2 \right| \баруун))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \баруун| \баруун)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \баруун))^(2))\ge ((\left(2x-1 \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Сүүлийн алхамд би бага зэрэг хуурсан: модулийн тэгш байдлыг ашиглан нэр томъёоны дарааллыг өөрчилсөн (үнэндээ би $1-2x$ илэрхийллийг −1-ээр үржүүлсэн).
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(2х-1 \баруун))^(2))-((\зүүн(x+2 \баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ баруун)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(зохицуулах)\]
Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x-3 \баруун)\left(3x+1 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид олсон үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Дахин нэг удаа: анхны тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас бүх цэгүүд сүүдэртэй байна!
Модулийн тэмдгээс ангижрах
Ялангуяа зөрүүд хүмүүст сануулъя: бид тэгшитгэл рүү шилжихээс өмнө бичигдсэн сүүлчийн тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг авдаг. Мөн бид ижил тэгш бус байдалд шаардлагатай газруудыг будна. Манай тохиолдолд $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ байна.
За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдсэн.
Хариулт: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \баруун|\]
Шийдэл. Бид бүгдийг адилхан хийдэг. Би тайлбар өгөхгүй - зүгээр л үйлдлүүдийн дарааллыг хараарай.
дөрвөлжин:
\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \баруун| \баруун))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \баруун| \баруун))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \баруун)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \баруун)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)\le 0. \\\төгсгөл(эгц)\]
Интервалын арга:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(-2x-3 \баруун)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)=0 \\ & -2x-3=0\ Баруун сум x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Баруун сум D=16-40 \lt 0\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тооны мөрөнд зөвхөн нэг үндэс байна:
Хариулт нь бүхэл бүтэн интервал юм
Хариулт: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Сүүлийн даалгаврын тухай жижиг тэмдэглэл. Миний оюутнуудын нэг нь үнэн зөв тэмдэглэснээр энэ тэгш бус байдлын дэд модуль илэрхийлэл хоёулаа эерэг байдаг тул эрүүл мэндэд хор хөнөөл учруулахгүйгээр модулийн тэмдгийг орхиж болно.
Гэхдээ энэ бол огт өөр сэтгэлгээний түвшин, өөр хандлага юм - үүнийг үр дагаврын арга гэж нэрлэж болно. Энэ тухай - тусдаа хичээл дээр. Одоо өнөөдрийн хичээлийн эцсийн хэсэг рүү шилжиж, үргэлж ажилладаг бүх нийтийн алгоритмыг харцгаая. Өмнөх бүх аргууд хүчгүй байсан ч гэсэн. :)
4. Сонголтуудыг тоолох арга
Хэрэв эдгээр бүх аргууд тус болохгүй бол яах вэ? Хэрэв тэгш бус байдлыг сөрөг бус сүүл болгон бууруулж чадахгүй бол модулийг тусгаарлах боломжгүй бол ерөнхийдөө өвдөлт, уйтгар гуниг, гунигтай байдаг уу?
Дараа нь бүх математикийн "хүнд их буу" гарч ирдэг - харгис хүчний арга. Модультай тэгш бус байдлын хувьд дараах байдалтай байна.
- Бүх дэд модуль илэрхийллийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлэх;
- Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, нэг тооны шулуун дээр олдсон үндсийг тэмдэглэ;
- Шулуун шугамыг хэд хэдэн хэсэгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр нь тогтмол тэмдэгтэй тул өвөрмөц байдлаар илэрдэг;
- Ийм хэсэг бүр дээрх тэгш бус байдлыг шийд (найдвартай байдлын үүднээс 2-р алхамд олж авсан үндэс-хязгаарыг тусад нь авч үзэх боломжтой). Үр дүнг нэгтгэх - энэ нь хариулт байх болно. :)
Тэгэхээр яаж? Сул уу? Амархан! Зөвхөн удаан хугацаанд. Практик дээр харцгаая:
Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:
\[\зүүн| x+2 \баруун| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Шийдэл. Энэ новш нь $\left| шиг тэгш бус байдал руу буцдаггүй f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ эсвэл $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, тиймээс бид урагшлах болно.
Бид дэд модуль илэрхийлэлүүдийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг нь олдог.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2=0\Баруун сум x=-2; \\ & x-1=0\Баруун сум x=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Нийтдээ бид тооны шугамыг гурван хэсэгт хуваадаг хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр өвөрмөц байдлаар илэрдэг.
Тооны шугамыг дэд модуль функцүүдийн тэгээр хуваах
Хэсэг бүрийг тусад нь авч үзье.
1. $x \lt -2$ гэж үзье. Дараа нь дэд модуль илэрхийлэл хоёулаа сөрөг байх ба анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -\зүүн(x+2 \баруун) \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид маш энгийн хязгаарлалттай болсон. Үүнийг $x \lt -2$ гэсэн анхны таамаглалаар огтолцгооё.
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]
Мэдээжийн хэрэг, $x$ хувьсагч нь нэгэн зэрэг -2-оос бага, 1.5-аас их байж болохгүй. Энэ чиглэлээр ямар ч шийдэл байхгүй.
1.1. Хилийн тохиолдлыг тусад нь авч үзье: $x=-2$. Энэ тоог анхны тэгш бус байдалд орлуулаад шалгая: энэ үнэн үү?
\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \лт 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тооцооллын гинжин хэлхээ биднийг буруу тэгш бус байдалд хүргэсэн нь ойлгомжтой. Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь мөн худал бөгөөд $x=-2$ хариултанд ороогүй болно.
2. Одоо $-2 \lt x \lt 1$ байя. Зүүн модуль нь "нэмэх" тэмдэгтэй нээгдэх боловч баруун тал нь "хасах" тэмдэгтэй нээгдэх болно. Бидэнд байгаа:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Дахин бид анхны шаардлагатай огтлолцож байна:
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]
Дахин хэлэхэд −2.5-аас бага ба −2-оос их тоо байхгүй тул шийдлийн багц хоосон байна.
2.1. Мөн дахин онцгой тохиолдол: $x=1$. Бид анхны тэгш бус байдлыг орлуулна:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=1)) \\ & \left| 3\баруун| \lt \left| 0\right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Өмнөх "онцгой тохиолдол"-той адил $x=1$ тоог хариултанд оруулаагүй нь тодорхой.
3. Мөрийн сүүлчийн хэсэг: $x \gt 1$. Энд бүх модулиуд нэмэх тэмдгээр нээгдэнэ:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \төгсгөл(зохицуулах)\ ]
Мөн бид дахин олсон олонлогийг анхны хязгаарлалттай огтолж байна:
\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\зүүн(4.5;+\infty \баруун)\ ]
Эцэст нь! Бид хариулт болох интервалыг олсон.
Хариулт: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Эцэст нь хэлэхэд, бодит асуудлыг шийдэхдээ таныг тэнэг алдаанаас аварч болох нэг тэмдэглэл:
Модуль бүхий тэгш бус байдлын шийдлүүд нь ихэвчлэн тооны шугам дээрх тасралтгүй олонлогуудыг илэрхийлдэг - интервал ба сегмент. Тусгаарлагдсан цэгүүд хамаагүй бага түгээмэл байдаг. Түүнээс гадна шийдлийн хил (сегментийн төгсгөл) нь авч үзэж буй хүрээний хилтэй давхцах тохиолдол цөөнгүй тохиолддог.
Тиймээс, хэрэв хариултанд хил хязгаарыг (ижил "онцгой тохиолдлууд") оруулаагүй бол эдгээр хилийн зүүн ба баруун талд байгаа хэсгүүд бараг л хариултанд орохгүй. Мөн эсрэгээр: хил нь хариултанд орсон бөгөөд энэ нь түүний эргэн тойронд байгаа зарим хэсэг нь бас хариулт байх болно гэсэн үг юм.
Шийдлүүдээ хянахдаа үүнийг санаарай.
Энэхүү онлайн математикийн тооцоолуур танд туслах болно модуль бүхий тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. зориулсан програм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэхасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг харуулна.
Энэхүү програм нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болно. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.
Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.
|x| эсвэл abs(x) - модуль xМодультай тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг оруулна уу
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...
Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.
Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:
Бага зэрэг онол.
Модультай тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Сургуулийн анхан шатны алгебрийн хичээл дээр та модулиудтай хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг олж авч болно. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд та \(|x-a| \) нь х ба а цэгүүдийн хоорондох тооны шулуун дээрх зайд үндэслэсэн геометрийн аргыг ашиглаж болно: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Жишээлбэл, \(|x-3|=2\) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тоон шулуун дээрх 3-р цэгээс 2-ын зайд байгаа цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Ийм хоёр цэг байдаг: \(x_1=1) \) ба \(x_2=5\) .
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх \(|2x+7| 
Гэхдээ модулиар тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга нь "модулийг тодорхойлолтоор илчлэх" гэж нэрлэгддэг зүйлтэй холбоотой юм.
хэрэв \(a \geq 0 \), тэгвэл \(|a|=a \);
хэрэв \(a Дүрмээр бол модультай тэгшитгэл (тэгш бус байдал) нь модулийн тэмдэг агуулаагүй тэгшитгэлийн багц (тэгш бус байдал) болж буурдаг.
Дээрх тодорхойлолтоос гадна дараахь мэдэгдлүүдийг ашигладаг.
1) Хэрэв \(c > 0\) бол \(|f(x)|=c \) тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \төгсгөл(массив)\баруун. \)
2) Хэрэв \(c > 0 \) бол тэгш бус байдал нь \(|f(x)| 3) Хэрэв \(c \geq 0 \) бол \(|f(x)| > c \) тэгш бус байдал байна. тэгш бус байдлын багцтай тэнцэх : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(массив)\баруун. \)
4) Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал нь \(f(x) ЖИШЭЭ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) тэгшитгэлийг шийд.
Хэрэв \(x-1 \geq 0\) бол \(|x-1| = x-1\) ба өгөгдсөн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 +2x -8 = 0 \).
Хэрэв \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 -2x -4 = 0 \).
Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийг заасан хоёр тохиолдол бүрт тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.
1) \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) тэгшитгэлээс бид \(x_1=2, \; x_2=-4\)-ийг олно. \(x \geq 1 \) нөхцөл нь зөвхөн \(x_1=2\) утгаар хангагдана.
2) \(x-1 Хариулт: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
ЖИШЭЭ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) тэгшитгэлийг шийд.
Эхний арга(тодорхойлолтын дагуу модулийг өргөтгөх).
1-р жишээн дээр үндэслэн бид \(x^2-6x+7 \geq 0 \) эсвэл \(x^2-6x+7) гэсэн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ.
1) Хэрэв \(x^2-6x+7 \geq 0 \) байвал \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) байх ба өгөгдсөн тэгшитгэл нь \(x) хэлбэртэй байна. ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Баруун сум 3х^2-23х+30=0 \). Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахийг олж авна: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0\) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд заасан утгыг квадрат тэгш бус байдалд орлуулна. Бид дараахийг авна: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) нь жинхэнэ тэгш бус байдал юм. Энэ нь \(x_1=6\) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.
\(x_2=\frac(5)(3)\) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0\) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд заасан утгыг квадрат тэгш бус байдалд орлуулна. Бид дараахыг авна: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) нь буруу тэгш бус байдал юм. Энэ нь \(x_2=\frac(5)(3)\) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.
2) Хэрэв \(x^2-6x+7 Утга \(x_3=3\) нөхцөлийг хангаж байвал \(x^2-6x+7 Утга \(x_4=\frac(4)(3) \) хангагдахгүй нөхцөл \ (x^2-6x+7 Тэгэхээр өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: \(x=6, \; x=3 \).
Хоёр дахь арга зам.Хэрэв \(|f(x)| = h(x) \) тэгшитгэл өгөгдсөн бол \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \төгсгөл(массив)\баруун. \)
Эдгээр тэгшитгэлийг хоёуланг нь дээр шийдсэн (өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдэх эхний аргыг ашиглан), тэдгээрийн үндэс нь дараах байдалтай байна: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Эдгээр дөрвөн утгын \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) нөхцөл нь зөвхөн хоёр нь хангагдана: 6 ба 3. Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм: \(x=6) , \; x=3 \ ).
Гурав дахь зам(график).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулъя. Эхлээд параболыг \(y = x^2-6x+7\) байгуулъя. Бидэнд \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2\) функцийн графикийг \(y = x^2\) функцийн графикаас баруун тийш 3 масштабын нэгж (хуваарийн дагуу) шилжүүлснээр олж авч болно. x тэнхлэг) болон 2 нэгжийн хуваарийн дагуу (y тэнхлэгийн дагуу). x=3 шулуун шугам нь бидний сонирхож буй параболын тэнхлэг юм. Илүү нарийвчлалтай зурах хяналтын цэгийн хувьд параболын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй (3; -2) цэг, параболын орой (0; 7) ба (6; 7) цэгийг авах нь тохиромжтой. .
Одоо \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулахын тулд та бүтээсэн параболын х тэнхлэгээс доош ороогүй хэсгүүдийг хэвээр үлдээж, тухайн хэсгийг толин тусгал болгох хэрэгтэй. х тэнхлэгтэй харьцуулахад х тэнхлэгийн доор байрлах парабол.
2) Шугаман функцийн графикийг \(y = \frac(5x-9)(3)\) байгуулъя. (0; –3) ба (3; 2) цэгүүдийг хяналтын цэг болгон авах нь тохиромжтой.
Шулуун шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох х = 1.8 цэг нь параболын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох зүүн цэгийн баруун талд байрлах нь чухал - энэ нь \(x=3-\ цэг юм. sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) Зургаас харахад графикууд нь A(3; 2) ба B(6; 7) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцож байгаа тул эдгээрийн абсциссуудыг орлуулах өгөгдсөн тэгшитгэлд x = 3 ба x = 6 цэгүүдийг оруулбал бид хоёулаа өөр утгад зөв тоон тэгшитгэл олсон гэдэгт итгэлтэй байна. Энэ нь бидний таамаглал батлагдсан гэсэн үг юм - тэгшитгэл нь x = 3 ба x = 6 гэсэн хоёр үндэстэй. Хариулт: 3; 6.
Сэтгэгдэл. График арга нь бүх дэгжин байдлын хувьд тийм ч найдвартай биш юм. Үзсэн жишээн дээр тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо учраас л ажилласан.
ЖИШЭЭ 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) тэгшитгэлийг шийд.
Эхний арга
2x–4 илэрхийлэл x = 2 цэг дээр 0 болж, x + 3 илэрхийлэл x = –3 цэг дээр 0 болно. Эдгээр хоёр цэг нь тооны шулууныг гурван интервалд хуваадаг: \(x
Эхний интервалыг авч үзье: \((-\infty; \; -3) \).
Хэрэв x бол хоёр дахь интервалыг авч үзье: \([-3; \; 2) \).
Хэрэв \(-3 \leq x Гурав дахь интервалыг авч үзье: \()