гэр / Шилэн бүрхүүл/ Define Set функц нь багцыг харуулдаг. Дэлгэцүүд

Define Set функц нь олонлогийг харуулдаг. Дэлгэцүүд

Одоо олонлог хоорондын харилцаатай холбоотой зарим асуудлыг судалцгаая.

Багцуудын хооронд өгөгдсөн гэж бид хэлэх болно хандлага(харилцаа байгаа) -ийн зарим (магадгүй бүх) элементүүд нь -ийн зарим элементүүдтэй тохирч байвал. Хэрэв олонлог нь олонлогтой холбоотой байвал бид бичнэ:

Хэрэв нэгэн зэрэг элемент нь элементтэй холбоотой байвал бид үүнийг тэмдэглэнэ

Тодорхойлолт 1.1.2.Олонлогуудын хоорондын хамаарлыг гэнэ харуулах, хэрэв тэдгээр нь тус бүр нь нэг бөгөөд зөвхөн нэг элементийг хуваарилсан бол (Зураг 1.1.2. ба 1.1.3-ыг үз). Багцын шинж чанарыг мэргэшүүлэхийн хэрээр "функц" гэсэн тусгай нэртэй зураглалын тусгай төрлүүд гарч ирдэг. " вектор функц", "оператор", "хэмжих", "функциональ" гэх мэт Бид дараа нь тэдэнтэй тулгарах болно.

V-ээс функцийг (зураглал) тэмдэглэхийн тулд бид тэмдэглэгээг ашиглана

Зураг 1.1.2. Дэлгэц 1.1.3-р хамааралгүй

харуулах

Тодорхойлолт 1.1.3. Хэрэв элемент бол түүнд тохирох элементийг түүний дүрс гэж нэрлэдэг (харагдах үед), тэдгээрийн бүх багцыг прототип гэж нэрлэж, зааж өгдөг (1.1.4-р зургийг үз).

Зураг 1.1.4. Прототипб

Тодорхойлолт 1.1.4.Зураглал гэж нэрлэдэг ганцаарчилсан зураглал, хэрэв -ийн элемент бүр зураглалын доор өвөрмөц дүрстэй бөгөөд элемент бүр энэ зураглалын доор өвөрмөц урвуу дүрстэй байвал.

Зураг 1.1.5. Ганцаарчилсан зураглал

Дараах зүйлд бид зөвхөн зураглалыг авч үзэх болно, учир нь бид зүгээр л зураглал гэж нэрлэдэг олон утгатай зураглалыг нэг утгатай болгон багасгадаг техникүүд байдаг.

Газрын зургийн үзэл баримтлал нь математикийн шинжлэх ухаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг, ялангуяа математикийн шинжилгээнд уг ойлголт гол байр суурийг эзэлдэг. функцууд, энэ нь нэг тоон олонлогийг нөгөөтэй нь дүрслэх явдал юм.

1.7. Багцын хүч

Олонлогуудын хоорондын харилцааг судлахдаа олонлогийн "эзэлхүүн", тэдгээрийн доторх элементийн тоо ихээхэн сонирхол татдаг. Гэхдээ энэ тоо хязгаарлагдмал байвал элементийн тооны талаар ярих нь ойлгомжтой бөгөөд үндэслэлтэй юм. Хязгаарлагдмал тооны элементүүдээс бүрдэх олонлогуудыг дуудах болно эцсийн . Гэсэн хэдий ч математикт авч үзсэн олонлогуудын ихэнх нь хязгаарлагдмал биш, жишээлбэл, бодит тоонуудын багц, хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлог, тодорхой сегмент дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функцуудын олонлог гэх мэт. Хязгааргүй (мөн бүр төгсгөлтэй) олонлогуудыг тоон байдлаар тодорхойлохын тулд олонлогын онол нь уг ойлголтыг ашигладаг. багцын хүч .

Бид багцууд байгаа гэж хэлэх болно ижил хүч , хэрэв олонлогоос олонлогт нэгийг харьцах зураглал байгаа бол (энэ тохиолдолд В олонлогоос А олонлог хүртэлх нэгийг харьцах зураглал бас байгааг анхаарна уу).

Хэрэв иж бүрдэл нь ижил үндсэн шинж чанартай бол бид тэдгээрийг гэж хэлэх болно тэнцүү , энэ нь: .

Тэгвэл дурын олонлог байцгаая

тэдгээр. аливаа багц нь өөртэй нь тэнцүү байна; хэрэв олонлог нь олонлогтой тэнцүү бол тэнцүү; хэрэв эцэст нь олонлог нь олонлогтой тэнцэх олонлогтой тэнцүү бол энэ нь тэнцүү байна.

Өөрийн гэсэн зарим зохих дэд олонлогтой тэнцэх олонлогийг нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй .

Хязгаарлагдмал олонлогууд өөр өөр тооны элементтэй бол тэдгээрийн аль нэг нь нөгөөгөөсөө цөөн элементтэй байх нь ойлгомжтой. Энэ утгаараа бид хязгааргүй олонлогийг хэрхэн харьцуулах вэ? Хэрэв олонлогтой тэнцэх дэд олонлог байгаа бол олонлогийн кардинал чанар нь олонлогийн кардинал чанараас бага гэж хэлэх болно, гэхдээ олонлогууд нь өөрөө тэнцүү биш юм.

Хязгаарлагдмал олонлогийн кардинал байдал түүний элементүүдийн тоотой тэнцүү байна. Хязгааргүй олонлогийн хувьд "кардинал" гэсэн ойлголт нь "элементийн тоо" гэсэн ойлголтын ерөнхий ойлголт юм.

Дараах зүйлд хэрэг болох багцын зарим ангиллыг зааж өгье.

Олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг , хэрэв энэ нь олонлогийн зарим дэд олонлогтой (натурал тоонуудын багц) ижил үндсэн шинж чанартай бол. Тоолж болох олонлог нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно.

Хязгааргүй олонлог нь натурал тооны олонлогтой тэнцүү байх тохиолдолд л тоолж болно.

Хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас бага аливаа олонлог нь төгсгөлтэй гэдгийг анхаарна уу.

Тэгээс нэг хүртэлх интервал дээрх бодит тоонуудын багц байна эрчим хүчний тасралтгүй байдал , мөн өөрийгөө ихэвчлэн нэрлэдэг тасралтгүй . Энэ олонлогийн үндсэн чанар нь хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас их байна. Асуулт гарч ирнэ: үндсэн чанар нь хязгааргүй тоолж болох олонлогийн үндсэн чанараас их, харин үргэлжлэлээс бага олонлог байдаг уу? Энэ асуудлыг 1900 онд дэлхийн хамгийн агуу математикчдын нэг Дэвид Хилберт томъёолжээ. Энэ асуудал нь зарим талаараа гэнэтийн хариулттай болох нь тогтоогдсон: бид ийм багц байдаг гэж таамаглаж болно, эсвэл байхгүй гэж таамаглаж болно. Үүний үр дүнд бий болсон математикийн онолууд нь нийцтэй байх болно. Энэ баримтыг нотлох баримтыг Америкийн эрдэмтэн Коэн 1965 онд Москвад болсон Дэлхийн математикчдийн конгресс дээр мэдээлжээ. Энэ асуудлын нөхцөл байдал нь Евклидийн тав дахь постулатын нөхцөл байдлыг санагдуулж байгааг анхаарна уу: өгөгдсөн шугамын гадна байрлах цэгээр дамжуулан зөвхөн өгөгдсөн шугамтай параллель нэг шулуун зурж болно. Лобачевскийн хэлснээр энэ постулатыг үгүйсгэх нь зөрчилдөөнд хүргэдэггүй. Бид энэ постулатыг баримтлах геометрийг, мөн энэ нь үнэн биш геометрийг барьж болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид олонлогийн эквивалентийг батлах аргачлалыг харуулсан хэд хэдэн жишээг өгсөн.

Жишээ 1.11.Бүхэл тоонуудын багцыг тоолох боломжтой.

Тухайн олонлог хязгааргүй байх нь тодорхой байна (натурал тооны олонлог нь түүний дэд олонлог юм).

Бүхэл тооны олонлогийг тоолж болохыг батлахын тулд натурал тооны олонлог болон тухайн олонлогийн хооронд нэг нэгээр нь зураглал хийх шаардлагатай. Шаардлагатай зураглалыг дүрмээр өгсөн болно: бүхэл тоог дараах байдлаар байрлуул.

мөн тэдгээрийг натурал тоогоор дахин дугаарлаж, тэдэнд тоо онооно (тэдгээрийг бүхэл тоонуудын хажууд зааж өгсөн болно). Мэдээжийн хэрэг, бүхэл тоо бүр өөр өөр тоо хүлээн авах бөгөөд өөр өөр тоонууд өөр өөр тоо хүлээн авах болно. Үүний эсрэгээр нь бас үнэн: натурал тоо бүрийн хувьд (тоо бүрийн хувьд) энэ тооны доор нэг бүхэл тоо байдаг. Тиймээс шаардлагатай нэг нэгээр нь зураглалыг бүтээдэг.

Жишээ 1.12. Рационал тооны багцыг тоолох боломжтой.

Аливаа рационал тоог p/q бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ дүрслэлийг ашиглан бид оновчтой тоонуудыг схемийн дагуу байрлуулна.

. . . . . .

Эдгээр тоонуудыг өмнөх жишээний адил ойролцоогоор дахин дугаарлацгаая (тоонуудыг дээд талд, тоонуудын хажууд хаалтанд тэмдэглэсэн). Рационал тоонуудын дугаарлах томъёолсон дүрэм нь натурал тоонуудын багцаас рационал тоонуудын багц хүртэлх шаардлагатай нэгийг харьцах зураглалыг өгч байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Жишээ 1.13. Тоолж болох олонлогийн нэгдэл нь тоолж болох олонлог юм.

Энэ баримтын нотолгоо нь өмнөх жишээн дэх мэдэгдлийн нотолгоотой төстэй юм.

Төгсгөлд нь бид цаашид хэлэлцэх чухал мэдэгдлийг танилцуулж байна. Гэхдээ үүний тулд бидэнд багц дээр дахин нэг үйлдэл хэрэгтэй.

Багцын шууд бүтээгдэхүүн Тэгээд( Декарт бүтээгдэхүүн ) нь бүх эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц бөгөөд хаана ба. Энэ багцыг зориулав. Тиймээс:

Хүчин зүйлийн үржвэрийг тэмдэглэе.

Теорем 1.1. ямар ч хязгааргүй олонлогийн хувьд.

Ялангуяа, i.e. шулуун шугамын цэгүүдийн олонлог нь хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлогтой ижил үндсэн шинж чанартай байдаг. Түүгээр ч зогсохгүй сансар огторгуйд шулуун дээр байгаа олон цэгүүд байдаг.

Үүгээр бидний математик логик, олонлогын онолын үндсэн ойлголтууд болох орчин үеийн математикийн үндэс суурьтай танилцсан үе өндөрлөж байна. Эдгээр онолын олон тал нь харамсалтай нь энэ бүлгийн хамрах хүрээнээс гадуур үлдсэн гэдгийг анхаарна уу, жишээлбэл, та тэдэнтэй танилцаж болно;

Тарилга, тарилга, бижектор

f: X (эсвэл функц /) зураглалыг тодорхойлох дүрмийг сумаар дүрсэлж болно (Зураг 2.1). Хэрэв Y багцад сумны аль нь ч заагаагүй ядаж нэг элемент байвал f функцийн утгын муж нь Y багцыг бүхэлд нь дүүргэхгүй байгааг илтгэнэ. f(X) C Y.

Хэрэв утгын хүрээ / нь Y-тэй давхцаж байвал, өөрөөр хэлбэл. f(X) = Y, тэгвэл ийм функцийг surjective) буюу товчхондоо surjection гэж нэрлэдэг бөгөөд / функцийг X олонлогийг Y олонлогт буулгах (Х олонлогийг дүрслэх ерөнхий тохиолдлоос ялгаатай нь) гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт 2.1-ийн дагуу Y багц). Тэгэхээр Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y бол / : X нь surjection юм. Энэ тохиолдолд зураг дээр дор хаяж нэг сум нь Y багцын элемент тус бүрд хүргэдэг (Зураг 2.2). Энэ тохиолдолд хэд хэдэн сум нь Y-ээс зарим элемент рүү хөтөлж болно. Хэрэв нэгээс илүүгүй сум нь ямар нэгэн y € Y элемент рүү хөтөлдөг бол / injective function буюу тарилга гэж нэрлэдэг. Энэ функц нь заавал surjective байх албагүй, i.e. сумнууд нь Y багцын бүх элементүүдэд хүргэдэггүй (Зураг 2.3).

Иймд /: X -Y Y функц нь зураглал хийх үед X-ийн хоёр өөр элемент өөрийн зурагтай байвал тарилга болно / Y-ээс хоёр өөр элемент эсвэл Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Тарилга, тарилга, бижектор. Урвуу зураглал. Зураглалын найрлага нь олонлогуудын бүтээгдэхүүн юм. Хуваарийг харуулах. Зураглалыг /: X->Y-г bijective буюу bi-jection гэж нэрлэдэг, хэрэв y 6 Y-ийн элемент бүр нь X-ийн зарим ба цорын ганц элементийн дүрс юм, i.e. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Үнэн хэрэгтээ / функц нь энэ тохиолдолд X ба Y олонлогуудын хооронд нэгийг харьцах харьцааг тогтоодог тул үүнийг ихэвчлэн нэгээс нэг функц гэж нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, функц / нь тарилга ба дагалдах шинж чанартай байвал хоёрдмол утгатай болно. Энэ тохиолдолд сумнууд (Зураг 2.4) X-ийн элемент бүрийг Y-ийн элемент бүртэй хосоор нь холбодог. Түүнээс гадна X-ийн хоёр элементийг Y-ийн ижил элементтэй сумаар холбож болохгүй, учир нь / нь тарилга бөгөөд ба Зураглалын 2.1-д заасан зургийн өвөрмөц байдлын шаардлагаас шалтгаалан Y-ийн хоёр элементийг X-ийн ижил элементтэй сумаар холбох боломжгүй. X нь функцийн домэйн учраас X-ийн элемент бүр хос холболтод оролцдог. Эцэст нь, Y-ийн элемент бүр хосуудын аль нэгэнд оролцдог, учир нь / нь далд шинж чанартай байдаг. Энэ тохиолдолд X ба Y-ийн үүрэг нь бүрэн адилхан мэт санагдаж байгаа бөгөөд хэрэв бид бүх сумыг буцааж эргүүлбэл (Зураг 2.5) бид өөр зураглал эсвэл өөр функцийг авах болно d ), энэ нь мөн injective болон surjective юм. Ийм урвуу оруулах боломжийг олгодог зураглал (функц) нь дараагийн зүйлд чухал үүрэг гүйцэтгэнэ.

Тодорхой тохиолдолд X ба Y олонлогууд давхцаж болно (X = Y). Дараа нь биектив функц нь X олонлогийг өөр дээрээ буулгана. Олонлогийг өөр дээрээ хуваахыг мөн хувиргалт гэж нэрлэдэг. 2.3. Урвуу зураглал Let /: X -? Y нь тодорхой хоёр талбар бөгөөд y € Y гэж үзье. /(r) = y байх цорын ганц х € X элементийг /_1(y) гэж тэмдэглэе. Тиймээс бид 9-ийн зарим зураглалыг тодорхойлдог: Y Xу нь дахин хоёр талт юм. Үүнийг урвуу зураглал буюу урвуу бижектор гэж нэрлэдэг. Ихэнхдээ үүнийг урвуу функц гэж нэрлэдэг бөгөөд /"* гэж тэмдэглэдэг. 2.5-р зурагт d функц нь яг /, өөрөөр хэлбэл d = f"1-ийн урвуу утгатай байна.

Асуудлын шийдлүүдийн жишээ

Зураглал (функц) / ба харилцан урвуу байна. Хэрэв функц нь хоёр талт биш бол түүний урвуу функц байхгүй болох нь тодорхой байна. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв / нь тарилга биш бол зарим y € Y элемент нь X олонлогийн хэд хэдэн х элементтэй тохирч болох бөгөөд энэ нь функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөг. Хэрэв / нь surjective биш бол Y-д X-д урьдчилсан дүрс байхгүй элементүүд байдаг, өөрөөр хэлбэл. Эдгээр элементүүдийн хувьд урвуу функц тодорхойлогдоогүй байна. Жишээ 2.1. А. X = Y = R - бодит тооны олонлог байг. y = For - 2, i,y € R томъёогоор тодорхойлогддог / функц нь хоёр талт байна. Урвуу функц нь x = (y + 2)/3 байна. б. Y = R-ийн сөрөг тоо нь /: Γ -> Y хэлбэрээр X = K-ийн элементүүдийн дүрс биш тул бодит x бодит хувьсагчийн f(x) = x2 бодит функц нь surjective биш юм. Жишээ 2.2. A" = R, ба Y = R+ эерэг бодит тоонуудын олонлог байг. f(x) = ax, a > 0, af 1 функц нь хоёр талт байна. Урвуу функц нь Z"1 (Y) = болно. 1°8a Y

Тарилга, тарилга, бижектор. Урвуу зураглал. Зураглалын найрлага нь олонлогуудын бүтээгдэхүүн юм. Хуваарийг харуулах. 2.4. Зураглалын бүрдэл Хэрэв f:X-*Y ба g:Y-*Zy бол зураглалыг (p:X -+Z, a: 6 A" тус бүрээр = томьёогоор тодорхойлно. (функц) / ба d> эсвэл нийлмэл функц бөгөөд rho/ гэж томилогдсон (Зураг 2.6).
Тиймээс f-ийн өмнөх цогц функц нь дүрмийг хэрэгжүүлдэг: i Apply / эхлээд, дараа нь di, i.e. үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүнд “өмнө / та үйл ажиллагаанаас эхлэх ёстой / баруун талд байрлах. Найрлагад анхаарлаа хандуулаарай Зураг. 2.6 зураглал нь ассоциатив, өөрөөр хэлбэл /: X -+Y, d: Y Z ба h: Z-*H> дараа нь (hog)of = = ho(gof)i байвал ho to / хэлбэрээр бичихэд хялбар байдаг. Үүнийг дараах байдлаар шалгая: Ямар ч wK "oaicecmee X" дээр ижил төстэй гэж нэрлэгддэг 1x -X X зураглал байдаг бөгөөд үүнийг ихэвчлэн idx-ээр тэмдэглэж, Ix(x) = x Vx € A томъёогоор өгөгдсөн байдаг бүх зүйлийг байранд нь үлдээдэг.

Иймд, хэрэв бижектор нь /: X - + Y хоёрын эсрэг урвуу байвал /"1o/ = /x, ба /o/-1 = /y, энд ба /y нь X ба Y олонлогуудын ижил зураг юм, Үүний эсрэгээр, хэрэв f: X ->Y ба p: Y A" зураглал нь gof = Ix ба fog = /y байвал / функц нь хоёр талт, y нь түүний урвуу талбар юм. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв / нь A"-ийн Y дээр хоёр хуваагдсан, $ нь Y-ийн Z дээр хоёр хуваагдсан бол gof нь X-ийн Z дээр хоёр талт хуваагдал бөгөөд үүнтэй холбоотой урвуу бижектор байх болно. 2.5. Олонлогуудын үржвэр. Зураглалын график Хоёр тэнхлэгт ижил масштабтай харилцан перпендикуляр координатын тэнхлэгүүд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын системийг тодорхойлдог гэдгийг санаарай (Зураг 2.7) Координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцлын О цэгийг эх* гэж нэрлэдэг координатууд.

М цэг бүрийг хос (i, y) бодит тоонуудтай холбож болно, энд x нь координатын Ox тэнхлэг дээрх Mx цэгийн координат, у нь Oy координатын тэнхлэг дээрх Му цэгийн координат юм. Mx ба Mu цэгүүд нь M цэгээс Ox болон Oy тэнхлэгт тус тус унасан перпендикуляруудын суурь юм. x ба y тоонуудыг М цэгийн координат (сонгосон координатын системд), х-г М цэгийн абсцисса, y нь энэ цэгийн ординат гэнэ. a, 6 6R бодит тоонуудын хос (a, b) бүр нь эдгээр тоонуудыг координат болгон авсан хавтгай дээрх М цэгтэй тохирч байгаа нь ойлгомжтой. Мөн эсрэгээр, хавтгайн М цэг бүр нь хос (a, 6) бодит тоонуудтай нийцдэг a ба 6. Ерөнхий тохиолдолд (a, b) ба (6, a) хосууд өөр өөр цэгүүдийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. Хосыг тодорхойлохдоо a ба b хоёр тооны аль нь хамгийн түрүүнд орох нь чухал юм. Тиймээс бид захиалгат хосын тухай ярьж байна. Үүнтэй холбогдуулан (a, 6) ба (6, a) хосуудыг бие биетэйгээ тэнцүү гэж үздэг бөгөөд тэдгээр нь зөвхөн a = 6. Surjection, injection and bijection бол хавтгай дээрх ижил цэгийг тодорхойлно. Урвуу зураглал.

Зураглалын найрлага нь олонлогуудын бүтээгдэхүүн юм. Хуваарийг харуулах. Бүх хос бодит тоонуудын багц, түүнчлэн хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг R2 гэж тэмдэглэнэ. Энэхүү тэмдэглэгээ нь багцын шууд (эсвэл дек-артов) бүтээгдэхүүний олонлогийн онолын чухал ойлголттой холбоотой байдаг (ихэвчлэн тэд багцын бүтээгдэхүүний тухай ярьдаг). Тодорхойлолт 2.2. A ба B олонлогуудын үржвэр нь боломжит эрэмблэгдсэн хосуудын (x, y) Ax B олонлог бөгөөд эхний элементийг А-аас, хоёр дахь элементийг В-ээс авсан бөгөөд ингэснээр хоёр хос (x, y) ба тэнцүү байх болно. (&", y") нь x = x" ба y = y7 нөхцлөөр тодорхойлогддог. Хэрвээ xy бол (i, y) ба (y, x) хосуудыг өөр гэж үзнэ. А ба олонлогууд үүнийг санах нь ялангуяа чухал юм. B нь давхцдаг тул ерөнхий тохиолдолд A x B f In x A, өөрөөр хэлбэл дурын олонлогуудын үржвэр нь солигддоггүй, харин олонлогуудын нэгдэл, огтлолцол, ялгавартай холбоотой тархалттай байдаг: энд нэрлэсэн гурвын аль нэгийг илэрхийлнэ. олонлогийн үржвэр нь хоёр олонлогт заасан үйлдлүүдээс эрс ялгаатай бөгөөд олонлогийн үржвэрийн элементүүд нь шинэ олонлогт хамаарах элементүүд (хоосон биш бол) юм. багц ба анхны олонлогийн элементүүдтэй харьцуулахад өөр төрлийн объектууд юм.

Бид хоёроос дээш багц бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг танилцуулж болно. (A x B) x C ба A*x (B x C) олонлогууд нь тодорхойлогддог бөгөөд үүнийг энгийнээр A x B x C гэж тэмдэглэдэг. Ажил Ah Au Ah Ah Ah Ah гэх мэт. Дүрмээр бол A2, A3 гэх мэтээр тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг, R2 онгоцыг бодит тооны олонлогийн хоёр хуулбарын R x R үржвэр гэж үзэж болно (тиймээс онгоцны цэгүүдийн багцыг тоон шулуун дээрх хоёр багц цэгийн үржвэр гэж тодорхойлсон). Геометрийн (гурван хэмжээст) орон зайн цэгүүдийн багц нь R3 гэж тэмдэглэсэн тооны шулуун дээрх цэгүүдийн багцын гурван хуулбарын R x R x R үржвэртэй тохирч байна.

Бодит тооны n олонлогийн үржвэрийг Rn гэж тэмдэглэнэ. Энэ олонлог нь n бодит тооны X2) xn £ R-ийн бүх боломжит цуглуулгуудыг (xj, X2, xn) төлөөлдөг ба Rn-ийн дурын x* цэг нь xn £ K* бодит тооны цуглуулга (xj, x, x*) юм.
Дурын n олонлогийн үржвэр нь n (ерөнхийдөө гетероген) элементийн дараалсан цуглуулгуудын багц юм. Ийм олонлогуудын хувьд tuple эсвэл n-ka гэсэн нэрсийг ашиглана (Жишээ 2.3) A = (1, 2) ба B = (1, 2) гэж бичнэ R2 хавтгайн дөрвөн цэг, тэдгээрийн координатууд нь энэ олонлогийн элементүүдийг жагсаахад C = (1,2) ба D = (3,4) бол жишээ 2.4. Олонлогуудын геометрийн тайлбар x F ба F x E-г 2.8-р зурагт үзүүлэв # Зураглалын хувьд бид X x Y-ийн дэд олонлог болох эрэмбэлэгдсэн хосуудын (z, y) багцыг үүсгэж болно.
Ийм олонлогийг f зураглалын график (эсвэл i*" функцын график гэж нэрлэдэг - Жишээ 2.5. XCR ба Y = K тохиолдолд эрэмбэлэгдсэн хос бүр R2 хавтгай дээрх цэгийн координатыг зааж өгдөг. Хэрэв X нь R тоон шугамын интервал юм, тэгвэл функцийн график нь зарим нэг шугамыг илэрхийлж болно (Зураг 2.6). тодорхой гадаргууг төлөөлж болох R3-д (Зураг 2.10).

Хэрэв X C R, Y = R2 бол функцийн график нь R3 дахь цэгүүдийн олонлог бөгөөд энэ нь x = const хавтгайгаар огтлолцсон тодорхой шулууныг зөвхөн гурван координаттай M цэгт x) yi, y2 ( Зураг 2.11). # Функцийн графикийн тухай дурдсан бүх жишээнүүд нь математик шинжилгээний хамгийн чухал объектууд бөгөөд ирээдүйд тэдгээрийг нарийвчлан авч үзэх болно.

%%f%% дэлгэцийг дуудна тарилга,

хэрэв %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%% элементийн хувьд %%f(x_1) \neq f(x_2)%% гэсэн үг. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Өөрөөр хэлбэл, %%F%% зураглал нь %%X%%-ийн өөр өөр элементийн зураг мөн өөр өөр байвал инъекктив болно.

Жишээ

%%\mathbb(R)%% олонлог дээр тодорхойлсон %%f(x) = x^2%% функц нь инъекктив биш, учир нь %%x_1 = -1, x_2 = 1%% -ийг олж авна. ижил зүйлийн функцийн утга %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сурьектив зураглал

%%f%% дэлгэцийг дуудна сурьектив, хэрэв %%y \in Y%% элемент бүрт %%f(x) = y%% байх нөхцөлтэй %%x \in X%% элемент байгаа бол. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Өөрөөр хэлбэл %%f%% зураглал нь %%y \in Y%% элемент бүр дор хаяж нэг элементийн %%x \in X%%-ийн дүрс байвал зураглал болно.

Жишээ

%%\mathbb R%% олонлог дээр тодорхойлогдсон %%f(x) = \sin(x)%% зураглал нь %%Y = [-2,2]%% олонлогтой, учир нь сурьектив биш юм. %%y = 2 \in Y%% элементийн хувьд %%x \in X%%-ийн урвуу дүрс олдохгүй байна.

Биектив зураглал

%%f%% дэлгэцийг дуудна хоёрдмол утгатай, хэрэв энэ нь тарилга ба surjective бол. Биектив зураглал гэж бас нэрлэдэг Нэгийг харьцах нэгийнэсвэл хувиргалт.

Ихэвчлэн "тарилгын зураглал", "сурьектив зураглал" болон "биектив зураглал" гэсэн хэллэгийг "тарилга", "сурьекци" ба "биектив" гэж тус тус сольдог.

Урвуу зураглал

%%f: X \to Y%% зарим гэж үзье хоёрдмол санаамөн %%y \in Y%% гэж үзье. %%f^(-1)(y)%% гэж %%f(x) = y%% байх цорын ганц %%x \X%% элементийг тэмдэглэе. Тиймээс бид шинэ зүйлийг тодорхойлох болно харуулах%%g: Y \to X%%, энэ нь дахин хоёр хэллэг юм. Тэд түүнийг дууддаг урвуу зураглал.

Жишээ

%%X, Y = \mathbb R%% нь бодит тооны олонлог байг. %%f%% функцийг %%y = 3x + 3%% томъёогоор тодорхойлно. Энэ функц урвуу функцтэй юу? Хэрэв тийм бол аль нь вэ?

Өгөгдсөн функц урвуутай эсэхийг мэдэхийн тулд энэ нь байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй хоёрдмол санаа. Үүнийг хийхийн тулд энэ зураглал байгаа эсэхийг шалгацгаая тарилгаТэгээд сурьектив.

Тарилгыг шалгаж үзье. %%x_1 \neq x_2%% байг. %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, өөрөөр хэлбэл %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%% гэдгийг шалгая. Үүний эсрэгээр, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%% гэж үзье. Тэгвэл %%x_1 = x_2%% болох нь харагдаж байна. Бид зөрчилдсөн, учир нь %%x_1 \neq x_2%%. Тиймээс %%f%% нь тарилга юм.
Шалгацгаая эргэлзээ. %%y \in Y = \mathbb(R)%% байг. %%f(x) = y%%, өөрөөр хэлбэл %%3x + 3 = y%% байх нөхцөлтэйгээр %%x \in X = \mathbb(R)%% элементийг олъё. Энэ тэгшитгэлд %%y \in \mathbb(R)%% элементийг зааж өгсөн бөгөөд бид %%x%% элементийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Тиймээс %%f%% зураглал нь сурьектив шинж чанартай байдаг.

%%f%% нь тарилга ба шахалт учраас %%f%% нь хоёр талт юм. Үүний дагуу урвуу зураглал нь %%x = \frac(y-3)(3)%% байна.

ЗУРАГЛАХ БАГЦ §1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Тодорхойлолт. А ба В хоёр олонлог байг. Хэрэв А-аас ямар ч a элемент В олонлогийн нэг b элементтэй холбогдох хууль тогтоогдвол А-аас В олонлогийн f зураглалыг өгнө гэж тэд хэлж байна.

Зураглалыг мөн функц гэж нэрлэдэг.

Бид дараах тэмдэглэгээг ашиглана.

ƒ : A→ B. f зураглал нь A олонлогийг B хүртэл авна;

A f B. f-ийн зураглал хийх үед А олонлогийг B руу буулгана.

Хэрэв a элементийг f-г буулгах үед b элемент рүү орох бол f(a)=b (зүүн талын оруулга) эсвэл af=b (баруун оруулга) гэж бичнэ. b элементийг f зураглалын доорх a элементийн дүрс гэж нэрлэдэг; a элемент нь b-ийн урвуу дүрс юм

энэ дэлгэц. Олонлог ( f (a ) | a A ) = f (A ) нь f зураглалын доорх А олонлогийн дүрс юм. Тэрийг тэмдэглэ

f(A)B.

А Б

f f(A)

А - домэйнзураглал f; IN - хүрээ f-ийн зураглал (заримдаа - жишээлбэл, сургуулийн математикийн хувьд - утгын хүрээг f (A) гэж үздэг боловч бид үүнийг B гэж үзэх болно).

Бид зөвхөн нэг утгатай зураглалыг авч үздэг гэдгийг анхаарна уу.

Бүх дэлгэцүүдээс дараахь төрлүүд онцгой ялгагдана.

1. Суллах ("асаалттай" зураглал) f (A ) = B байх f : A → B зураглал юм. Бүлэгт B-ийн элемент бүр дор хаяж нэг урвуу дүрстэй байна.

2. Тарилга - өөр өөр элементүүдийг өөр өөр болгон хувиргах зураглал, i.e. хэрэв a, a 1 A ба a ≠ a 1 бол f (a) ≠ f (a 1) болно.





				f(a1)

3. Bijection, эсвэл ганцаарчилсан зураглалнь тарилга, шахах аль аль нь болох зураглал юм.

Дэлгэцийн жишээ:.

1. А нь дурын олонлог, В нь нэг элементээс бүрдсэн олонлог байг, өөрөөр хэлбэл. B=(b).

А . б

Зураглал f (a) = b, a A surjection, учир нь f(A)=B.

2. А олонлогийг хавтгай дээрх хэсэг, В олонлогийг шулуун гэж үзье. А сегментийн цэг бүрээс бид В шулуун шугамын перпендикулярыг буулгаж, эдгээр перпендикуляруудын суурийг А сегментийн цэгүүдтэй нийцүүлэн байрлуулна.

А а

φ(a) V

Энэ зураглалыг φ гэж тэмдэглэе. Мэдээжийн хэрэг,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Тиймээс φ зураглал нь тарилга юм (гэхдээ сорилт биш).

3. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг А олонлог, хөлийг В гэж үзье. Гипотенузын дурын цэгийг хөл дээрх проекцтой нь холбож үзье. Бид А-аас Б хүртэлх нэг нэгээр нь зураглал авдаг.

тэдгээр. f нь хоёр үг юм.

Гипотенуз ба хөл дээрх цэгүүдийн "тоо" ижил гэдгийг математик ингэж нотолж байгааг анхаарна уу (илүү нарийвчлалтай, эдгээр олонлогууд ижил үндсэн шинж чанартай байдаг).

Сэтгэгдэл. Сүрьек ч биш, тарилга ч биш, бижекс ч биш зураглал гаргах нь тийм ч хэцүү биш юм.

4. Хэрэв f нь бодит хувьсагчийн дурын функц бол f нь R-ээс R хүртэлх зураглал юм.

§2. Газрын зургийн үржүүлэх

A, B, C гурван багц байх ба f : A → B ба ϕ : B → C гэсэн хоёр газрын зургийг өгье.

Тодорхойлолт 1. Эдгээр зураглалын үр дүн нь тэдгээрийг дараалан гүйцэтгэсний үр дүнд олж авсан зураглал юм.

ϕf

Бичлэг хийх хоёр сонголт байна.

1. Зүүн талын оруулга.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		ϕ f гэж тэмдэглэнэ:
Дараа нь f ба φ-ийн үржвэр болно	a-г c руу орчуулбал, байх ёстой	ϕ f гэж тэмдэглэнэ:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (дээрх зургийг үз).
Тодорхойлолтоор (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) ,	тэдгээр. зураглалын бүтээгдэхүүн -	энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм
А гэж тохируулсан.

2. Зөв оруулга.

aƒ =b, bϕ =c. Дараа нь a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

Бид зүүн тэмдэглэгээг ашиглах болно (ном нь баруун тэмдэглэгээг ашигладаг болохыг анхаарна уу). Доор бид зураглалын үржвэрийг f ϕ гэж тэмдэглэнэ.

Тайлбар 1. Дүрслэлийн үржүүлгийн тодорхойлолтоос харахад ямар ч зураглалыг үржүүлэх боломжгүй, зөвхөн "дундаж" олонлогууд нь ижил байдаг. Жишээлбэл, хэрэв f : A → B ,ϕ : D → C бол B=D хувьд f ба φ дүрслэлийг үржүүлж болох боловч B≠D хувьд энэ нь боломжгүй юм.

Газрын зургийн үржүүлгийн шинж чанарууд

Тодорхойлолт 2. Хэрэв f ба g газрын зураг нь тэдгээрийн тодорхойлолт, утгын муж нь давхцаж байвал тэнцүү гэж хэлнэ. f : A → B , g : A → B ба нөхцөл хангагдсан: a A үнэн

тэгш байдал f (a) = g (a).

1. Газрын зургийг үржүүлэх нь солигддоггүй. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв fφ ба φf байгаа бол тэдгээр нь тэнцүү байх албагүй.

Жишээлбэл, A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) олонлогуудыг бүтээгдэхүүнүүдийг авч үзье.

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Тиймээс fφ ба φf функцууд өөр байна.

2. Зураглалыг үржүүлэх нь ассоциатив юм.

f: A → B, ϕ: B → C, ψ: C → D гэж үзье. (ψϕ ) f гэдгийг баталцгаая

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

ба ψ (ϕ f ) байгаа ба тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

(ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D байх нь ойлгомжтой.

Тэгш байдлыг (1) нотлохын тулд зураглалын тэгш байдлын тодорхойлолтын дагуу a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2) эсэхийг шалгах шаардлагатай. Газрын зургийн үржүүлгийн тодорхойлолтыг ашиглах (зүүн оруулгад)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Учир нь тэгш байдлын хувьд (3) ба (4) хэрэв баруун тал нь тэнцүү бол зүүн тал нь мөн тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал (2) нь үнэн, дараа нь (1) нь бас үнэн.

Тайлбар 2. Үржүүлэхийн ассоциатив байдал нь гурав, дараа нь дурын хязгаарлагдмал тооны хүчин зүйлийн үржвэрийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.

А-д хэд хэдэн урьдчилсан зураг, эсвэл огт байхгүй. Гэсэн хэдий ч хоёрдмол утгатай газрын зургийн хувьд эсрэгээр нь тодорхойлж болно.

f : A → B нь хоёр талт, f (a) = b, a A, b B байг. Дараа нь, аль ч b B элементийн хувьд, бижийн тодорхойлолтоор, f зураглалын дор өвөрмөц урвуу дүрс байдаг - энэ бол a элемент юм. Одоо f − 1 (b ) = a (b B ) гэж тохируулснаар f − 1 : B → A-г тодорхойлж болно. f − 1 нь хоёр утгатай болохыг харахад хялбар байдаг.

Тэгэхээр биектив зураглал бүр урвуу талтай.

§3. Өөрчлөлтүүдийг тохируулах

Аливаа зураглалыг f : A → A гэж нэрлэдэг багцын хувиргалт A. Ялангуяа аливаа

бодит хувьсагчийн функц нь R олонлогийн хувирал юм.

Хавтгай дээрх олон цэгийг хувиргах жишээ нь хавтгайн эргэлт, тэнхлэгийн тэгш хэм гэх мэт.

Өөрчлөлт нь зураглалын онцгой тохиолдол байдаг тул зураглалын талаар дээр дурдсан бүх зүйл тэдний хувьд үнэн юм. Гэхдээ А олонлогийн хувиргалтыг үржүүлэх нь тодорхой шинж чанартай байдаг.

1. А олонлогийн ямар ч f ба φ хувиргалтын хувьд fφ ба φf бүтээгдэхүүнүүд байгаа;

2. А олонлогийн адилтгал хувиргалт байнаε: ε (a) = a, a A.

Жишээ нь (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) тул энэ олонлогийн ямар ч хувиргалт f нь f ε = ε f = f болохыг харахад хялбар байдаг. Энэ нь хувиргалтыг үржүүлэхэд ε хувиргалт нь нэгж элементийн үүргийг гүйцэтгэдэг гэсэн үг юм.

тэгш байдлыг шалгахад хялбар байдаг. Тиймээс урвуу хувиргалт нь хувиргалтыг үржүүлэхэд урвуу элементийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Дэлгэц (функц)

Функцууд нь математикт гол үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд тэдгээр нь нэг олонлогийн элементүүд ямар нэгэн байдлаар нөгөө олонлогийн элемент болж хувирдаг аливаа үйл явцыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Элементүүдийн ийм хувиргалт нь бүх тооцооллын процесст нэн чухал ач холбогдолтой үндсэн санаа юм.

Тодорхойлолт. AB дээрх f харьцааг нэрлэнэ харуулах (функц)Хэрэв xA тус бүрд нэг yB байвал А-аас В хүртэл. хоёртын харилцааны эквивалентыг тогтоох

f: AB эсвэл y=f(x)

А олонлогийг нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйн. B багц - утгын хүрээ.

Хэрэв y=f(x) бол x-г дуудна маргаан, мөн у - функцийн утга.

Дараа нь f: AB гэж үзье

тодорхойлолтын багцОнцлогууд:

олон утгатайОнцлогууд:

Функцийн тодорхойлолтын багц нь тодорхойлолтын домэйны дэд олонлог юм, i.e. Dom f A ба функцийн утгуудын багц нь функцийн хүрээний дэд олонлог юм, өөрөөр хэлбэл. Im f B. Хэрэв, хэрэв функцийг нийт функц гэж нэрлэдэг ба хэрэв энэ нь хэсэгчилсэн функц гэж нэрлэгддэг. Тиймээс Венн диаграм нь В багц дахь утгууд бүхий А олонлог дээр тодорхойлсон функцийн тохиромжтой дүрслэл болдог.

Функцийг тодорхойлох аргууд:

1) аман.
2) Аналитик.
3) График эсвэл зураг ашиглах.
4) Хүснэгт ашиглах.

Тодорхойлолт.Хэрэв MA бол М-ийн зарим х-ийн f(M)=y f(x)=y олонлогийг нэрлэнэ аргабагц М.

Хэрэв KB бол f -1 (K)=x f(x)K олонлогийг дуудна прототипбагц К.

ТодорхойлолтУг функцийг n-аргумент функц эсвэл n-ary функц гэж нэрлэдэг. Энэ функц нь tuple-ийг bB, .

Зураглалын шинж чанар (функц).

1) f: AB зураглалыг дуудна тарилга, хэрэв энэ нь А-аас өөр өөр элементүүдийг B-ээс өөр элемент рүү буулгавал: .

Энэ шинж чанарыг Венн диаграм ашиглан харуулж болно.

2) f: AB зураглалыг дуудна сурьективэсвэл Б олонлогийн элемент бүрт А-аас ядаж нэг элементийг буулгасан бол В багцыг бүхэлд нь дүрслэх: .

Мөн энэ шинж чанарыг Венн диаграм ашиглан харуулж болно.

3) Тарилгын болон дагалдах шинж чанартай f: AB зураглалыг нэрлэнэ хоёрдмол утгатайэсвэл А олонлогоос В олонлог хүртэлх нэгийг харьцах зураглал.

Жишээ.Ийм байдлаар тодорхойлогдсон f: RR зураглалыг бидэнд өгье. Энэ зураглал ямар шинж чанартай болохыг олж мэдээрэй.

Шийдэл. f функц нь тарилга биш, учир нь f (2)=f (2), гэхдээ 2 2.

f (x) = 1 гэсэн бодит х тоо байхгүй тул f функц нь бас сурьектив биш юм.

Тодорхойлолт. f нь А олонлогийг В олонлогт хоёр талт зураглал гэж үзье. Хэрэв бид В-ийн элемент бүрийг А-ийн холбогдох элементтэй холбовол ийм харгалзах байдал нь В-г А-д буулгасан зураглал болно. Энэ зураглалыг тэмдэглээд гэж нэрлэдэг. f-ийн урвуу зураглал.

Урвуу зураглал нь зарим шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг дараагийн теоремоор томъёолох болно.

Теорем 3.Хэрэв f: AB нь хоёр утгатай бол