Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг хөрвүүлэх. Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын системийг хувиргах

Сэдэв 5. Шугаман хувиргалт.

Координатын системнь тоонуудын тусламжтайгаар зарим геометрийн дүрстэй харьцуулахад цэгийн байрлалыг хоёрдмол утгагүй тогтоох боломжийг олгодог арга юм. Жишээлбэл, шулуун шугам дээрх координатын систем - хавтгай ба орон зай дахь координатын тэнхлэг ба тэгш өнцөгт декартын координатын системүүд.

Хавтгай дээрх нэг xy координатын системээс нөгөө систем рүү шилжье, өөрөөр хэлбэл. Энэ хоёр системийн нэг цэгийн декарт координатууд хоорондоо хэрхэн хамааралтай болохыг олж мэдье.

Эхлээд авч үзье зэрэгцээ шилжүүлэгтэгш өнцөгт декартын координатын систем xy, өөрөөр хэлбэл шинэ системийн тэнхлэгүүд нь хуучин системийн харгалзах x ба у тэнхлэгүүдтэй параллель байх ба тэдгээртэй ижил чиглэлтэй байх тохиолдол.

Хэрвээ xy системийн M (x; y) ба (a; b) цэгүүдийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол (Зураг 15) системийн М цэг нь координаттай байна: .

ρ урттай OM хэрчмийг ба тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэнэ. Дараа нь (Зураг 16) OM сегмент нь x тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэх ба xy системийн М цэгийн координатууд тэнцүү байна. , .

Систем дэх M цэгийн координатууд нь ба -тай тэнцүү байдгийг харгалзан бид олж авна

"Цагийн зүүний дагуу" өнцгөөр эргэх үед бид дараахь зүйлийг авна.

Асуудал 0.54. 0 / нь (3; -4) цэг дээр байрлах, тэнхлэгүүд нь хуучин тэнхлэгүүдтэй параллель байх шинэ координатын x / y / системийн M(-3; 7) цэгийн координатыг тодорхойл. координатын систем ба тэдгээртэй ижил чиглэлтэй байна.

Шийдэл. М ба О / цэгүүдийн мэдэгдэж буй координатуудыг томъёонд орлъё: x / = x-a, y / = y-b.
Бид авна: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Хариулах: М / (-6; 11).

§2. Шугаман хувиргалтын тухай ойлголт, түүний матриц.

Хэрэв зарим f дүрмийн дагуу X олонлогийн х элемент бүр нь Y олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг у элементтэй тохирч байвал бид өгөгдсөн гэж хэлнэ. харуулах X олонлогийн f-ийг Y олонлогт оруулах ба X олонлогийг дуудна тодорхойлолтын домэйнхаруулах f . Ялангуяа x 0 Î X элемент нь y 0 Î Y элементтэй тохирч байвал y 0 = f (x 0) гэж бичнэ. Энэ тохиолдолд y 0 элементийг дуудна аргаэлемент x 0, элемент x 0 - прототип 0 дахь элемент. Бүх зургаас бүрдэх Y олонлогийн Y 0 дэд олонлогийг нэрлэнэ утгын багцхаруулах f.

Хэрэв f зураглалд X олонлогийн өөр өөр элементүүд нь Y олонлогийн өөр өөр элементүүдтэй тохирч байвал f зураглалыг гэнэ. буцаах боломжтой.

Хэрэв Y 0 = Y бол f-ийн зураглалыг X олонлогийн зураглал гэнэ дээр setY.

Х олонлогийг Y олонлогт урвуу буулгах зураглалыг гэнэ Нэгийг харьцах нэгийн.

Олонлогийг олонлогт буулгах тухай ойлголтын онцгой тохиолдлууд нь үзэл баримтлал юм тоон функцба үзэл баримтлал геометрийн зураглал.

Хэрэв X олонлогийн элемент бүрт f-ийн зураглал нь ижил X олонлогийн нэг элементийг холбодог бол ийм зураглалыг гэнэ. хувиргалт X багц.

L n шугаман огторгуйн n хэмжээст векторуудын багцыг өгье.

L n хэмжээст шугаман орон зайн f хувиргалтыг гэнэ шугаманхувиргах бол

L n-ийн дурын векторууд болон α ба β бодит тоонуудын хувьд. Өөрөөр хэлбэл, векторуудын шугаман хослол нь тэдгээрийн зургийн шугаман хослол болж хувирвал хувиргалтыг шугаман гэж нэрлэдэг. ижилхэнкоэффициентүүд.

Хэрэв вектор нь тодорхой суурьт өгөгдсөн ба хувиргалт f нь шугаман бол тодорхойлолтоор , суурь векторуудын зургууд хаана байна.

Тиймээс шугаман хувиргалт бүрэн байна тодорхойлсон, хэрэв авч үзэж буй шугаман орон зайн суурь векторуудын зургийг өгвөл:

(12)

Матриц k-р багана нь векторын координатын багана юм үндсэн дээр гэж нэрлэдэг матрицшугаман хувиргалт f энэ үндэслэлээр.

Тодорхойлогч det L-ийг f хувиргалтын тодорхойлогч, Rg L-ийг f шугаман хувирлын зэрэглэл гэнэ.

Хэрэв шугаман хувиргалтын матриц нь ганц биш бол хувиргалт нь өөрөө ганц биш байна. Энэ нь L n орон зайг нэгээс нэгээр нь өөрчилдөг, өөрөөр хэлбэл. L n-ээс вектор бүр нь түүний өвөрмөц векторын дүрс юм.

Хэрэв шугаман хувиргалтын матриц нь дан байвал хувиргалт нь өөрөө ганц байна. Энэ нь L n шугаман орон зайг зарим хэсэг болгон хувиргадаг.

Теорем.L матрицтай f шугаман хувиргалтыг векторт хэрэглэсний үр дүнд Энэ нь вектор болж хувирав ийм .

Хаалтанд бичсэн тоонууд нь векторын координатуудын үндсэн дагуу байна.

(13)

Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн тодорхойлолтоор системийг (13) матрицаар сольж болно.

тэгш байдал , энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Жишээшугаман хувиргалт.

1. x тэнхлэгийн дагуу k 1 удаа, y тэнхлэгийн дагуу k 2 удаа xy хавтгайд сунах нь матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд координатын хувиргах томъёонууд нь дараах хэлбэртэй байна: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. xy хавтгай дээрх у тэнхлэгтэй харьцуулахад толины тусгал нь матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд координатын хувиргах томъёо нь: x / = -x, y / = y хэлбэртэй байна.

Бүлэг I. Хавтгай ба огторгуй дахь векторууд

§ 13. Тэгш өнцөгт декартын координатын нэг системээс нөгөөд шилжих

Бид танд энэ сэдвийг хоёр хувилбараар авч үзэхийг санал болгож байна.

1) И.И.Приваловын "Аналитик геометр" сурах бичигт үндэслэсэн (Дээд техникийн боловсролын байгууллагуудын сурах бичиг, 1966).

И.И.Привалов "Аналитик геометр"

§ 1. Координатыг хувиргах асуудал.

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг зарим координатын системтэй харьцуулахад хоёр координатаар тодорхойлно. Хэрэв бид өөр координатын системийг сонговол цэгийн координат өөрчлөгдөнө.

Координатыг хувиргах даалгавар бол Ингэснээр нэг координатын систем дэх цэгийн координатыг мэдэж, өөр систем дэх координатыг нь олно.

Хэрэв бид хоёр системийн дурын цэгийн координатыг холбосон томьёог тогтоовол энэ асуудал шийдэгдэх бөгөөд эдгээр томъёоны коэффициентууд нь системийн харьцангуй байрлалыг тодорхойлдог тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийг багтаана.

Хоёр декартын координатын системийг өгье xOyТэгээд XO 1 Y(Зураг 68).

Шинэ системийн байр суурь XO 1 Yхуучин системтэй харьцуулахад xOyкоординат нь мэдэгдэж байгаа бол тодорхойлогдоно А Тэгээд б шинэ эхлэл О 1хуучин систем болон өнцгийн дагуу α тэнхлэгүүдийн хооронд ӨөТэгээд O 1 X. -ээр тэмдэглэе XТэгээд цагтхуучин системтэй харьцуулсан дурын M цэгийн координатыг шинэ системтэй ижил цэгийн X ба Y координатуудаар дамжуулан. Бидний даалгавар бол хуучин координатыг баталгаажуулах явдал юм XТэгээд цагтшинэ X ба Y-ээр илэрхийлэгдэнэ. Үр дүнд нь хувиргах томьёо нь тогтмолуудыг агуулсан байх ёстой а, б Тэгээд α .

Бид хоёр онцгой тохиолдлыг авч үзэх замаар энэхүү ерөнхий асуудлын шийдлийг олж авах болно.

1. Координатын гарал үүсэл өөрчлөгдөх боловч тэнхлэгүүдийн чиглэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна ( α = 0).

2. Тэнхлэгүүдийн чиглэл өөрчлөгдөх боловч координатын гарал үүсэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна ( a = b = 0).

§ 2. Координатын гарал үүслийг шилжүүлэх.

Өөр өөр гарал үүсэлтэй декартын координатын хоёр системийг өгье ОТэгээд О 1ба тэнхлэгүүдийн ижил чиглэлүүд (Зураг 69).

-ээр тэмдэглэе А Тэгээд б шинэ эхлэлийн координатууд О 1хуучин систем болон дамжуулан x, yТэгээд X, Ю-хуучин болон шинэ системд дурын M цэгийн координатууд. М цэгийг тэнхлэг дээр гаргах O 1 XТэгээд Өө, түүнчлэн цэг О 1тэнхлэг бүрт Өө, бид тэнхлэгт хүрнэ Өөгурван цэг Өө, АаТэгээд Р. Сегментийн хэмжээ ОА, ARТэгээд ЭСВЭЛдараах хамаарлаар холбогдоно.

| О.А| + | AR | = | ЭСВЭЛ |. (1)

Үүнийг анзаарч | О.А| = А , | ЭСВЭЛ | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, бид тэгш байдлыг (1) дараах хэлбэрээр бичнэ.

А + X = x эсвэл x = X + А . (2)

Үүнтэй адилаар дизайн хийх нь M ба О 1ординатын тэнхлэг дээр бид дараахь зүйлийг авна.

y = Ю + б (3)

Тэгэхээр, хуучин координат нь хуучин системийн дагуу шинэ гарал үүслийн координатыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

Томъёо (2) ба (3)-аас шинэ координатуудыг хуучин координатуудаар илэрхийлж болно.

X = х - а , (2")

Ю = у - б . (3")

§ 3. Координатын тэнхлэгүүдийн эргэлт.

Ижил гарал үүсэлтэй хоёр декартын координатын системийг өгье ТУХАЙба тэнхлэгүүдийн өөр өөр чиглэл (Зураг 70).

Болъё α тэнхлэгүүдийн хооронд өнцөг байна ӨөТэгээд Өө. -ээр тэмдэглэе x, y Тэгээд X, YХуучин болон шинэ системд дурын M цэгийн координатууд:

X = | ЭСВЭЛ | , цагт = | PM | ,

X= | ЭСВЭЛ 1 |, Ю= | P 1 M |.

Эвдэрсэн шугамыг авч үзье ЭСВЭЛ 1 МПба түүний проекцийг тэнхлэг рүү ав Өө. Эвдэрсэн шугамын проекц нь хаалтын сегментийн проекцтой тэнцүү гэдгийг тэмдэглээд (Бүлэг I, § 8) бид:

ЭСВЭЛ 1 МП = | ЭСВЭЛ |. (4)

Нөгөө талаас, тасархай шугамын төсөөлөл нь түүний холбоосуудын төсөөллийн нийлбэртэй тэнцүү байна (I бүлэг, § 8); Тиймээс тэгш байдал (4) дараах байдлаар бичигдэнэ.

гэх мэт ЭСВЭЛ 1+ pr P 1 M+ pr УИХ-ын гишүүн= | ЭСВЭЛ | (4")

Чигүүлсэн сегментийн проекц нь түүний хэмжээсийг проекцын тэнхлэг ба сегментийн байрлах тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байх тул (Бүлэг I, § 8)

гэх мэт ЭСВЭЛ 1 = X cos α

гэх мэт P 1 M = Ю cos (90° + α ) = - Юнүгэл α ,

pr УИХ-ын гишүүн= 0.

Тиймээс тэгш байдал (4") бидэнд дараахь зүйлийг өгдөг.

x = X cos α - Юнүгэл α . (5)

Үүний нэгэн адил тэнхлэгт ижил полилинийг проекц хийнэ OU, бид илэрхийллийг олж авдаг цагт. Үнэндээ бидэнд байна:

гэх мэт ЭСВЭЛ 1+ pr P 1 M+ pr УИХ-ын гишүүн= х ЭСВЭЛ = 0.

Үүнийг анзаарч байна

гэх мэт ЭСВЭЛ 1 = Xучир нь( α - 90°) = Xнүгэл α ,

гэх мэт P 1 M = Ю cos α ,

pr УИХ-ын гишүүн = - y ,

байх болно:

Xнүгэл α + Ю cos α - y = 0,

y = Xнүгэл α + Ю cos α . (6)

(5) ба (6) томъёоноос бид шинэ координатуудыг олж авдаг XТэгээд Юхуучинаар дамжуулан илэрхийлсэн X Тэгээд цагт , хэрэв бид (5) ба (6) тэгшитгэлийг харгалзан үзвэл XТэгээд Ю.

Сэтгэгдэл.Томъёо (5) ба (6) өөр өөр хэлбэрээр авч болно.

Зураг дээрээс. 71 бидэнд байна:

X = OR = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - Өө нүгэл α нүгэл φ ,

цагт = RM = OM нүгэл ( α + φ ) = Өө нүгэл α cos φ + OM cos α нүгэл φ .

(I бүлэг, § 11) оноос хойш OM cos φ = X, Өө нүгэл φ =Ю, Тэр

x = X cos α - Юнүгэл α , (5)

y = Xнүгэл α + Ю cos α . (6)

§ 4. Ерөнхий тохиолдол.

Өөр өөр гарал үүсэлтэй, тэнхлэгүүдийн өөр өөр чиглэлтэй хоёр декартын координатын системийг өгье (Зураг 72).

-ээр тэмдэглэе А Тэгээд б шинэ эхлэлийн координатууд ТУХАЙ, хуучин тогтолцооны дагуу дамжуулан α - координатын тэнхлэгүүдийн эргэлтийн өнцөг ба эцэст нь дамжуулан x, y Тэгээд X, Y- хуучин болон шинэ системийн дагуу дурын M цэгийн координатууд.

Илэрхийлэх X Тэгээд цагт дамжуулан XТэгээд Ю, туслах координатын системийг танилцуулъя x 1 О 1 y 1, эхлэл нь шинэ эхлэл дээр тавигдах болно ТУХАЙ 1, хуучин тэнхлэгүүдийн чиглэлтэй давхцахын тулд тэнхлэгүүдийн чиглэлийг авна. Болъё x 1 ба y 1 нь энэ туслах системтэй харьцуулахад М цэгийн координатыг заана. Хуучин координатын системээс туслах систем рүү шилжихэд бид (§ 2):

X = X 1 + a , y = y 1 + б .

X 1 = X cos α - Юнүгэл α , y 1 = Xнүгэл α + Ю cos α .

Солих X 1 ба y Өмнөх томьёоны 1-ийг сүүлчийн томъёонуудын илэрхийлэлтэй хамт бид эцэст нь оллоо:

x = X cos α - Юнүгэл α + а

y = Xнүгэл α + Ю cos α + б (би)

Томъёо (I) нь онцгой тохиолдолд §§ 2 ба 3-ын томьёог агуулна. Тиймээс хэзээ α = 0 томъёо (I) болж хувирна

x = X + А , y = Ю + б ,

Тэгээд хэзээ a = b = 0 бидэнд байна:

x = X cos α - Юнүгэл α , y = Xнүгэл α + Ю cos α .

(I) томъёоноос бид шинэ координатуудыг олж авдаг XТэгээд Юхуучинаар дамжуулан илэрхийлсэн X Тэгээд цагт , хэрэв тэгшитгэлүүд (I) -ын хувьд шийдвэрлэх боломжтой бол XТэгээд Ю.

Томъёоны (I) маш чухал шинж чанарыг тэмдэглэе: тэдгээр нь шугаман шинж чанартай байдаг XТэгээд Ю, өөрөөр хэлбэл хэлбэр:

x = AX + BY + C, y = А 1 X+B 1 Y+C 1 .

Шинэ координат байгаа эсэхийг шалгахад амархан XТэгээд Юхуучинаар дамжуулан илэрхийлэгдэх болно X Тэгээд цагт мөн талаар эхний зэргийн томъёогоор X Тэгээд у.

Г.Н.Яковлев "Геометр"

§ 13. Тэгш өнцөгт декартын координатын нэг системээс нөгөөд шилжих

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийг сонгосноор хавтгай дээрх цэгүүд болон эрэмбэлэгдсэн хос бодит тоонуудын хооронд нэг нэгээр нь харилцаж байна. Энэ нь хавтгайн цэг бүр нэг хос тоотой, эрэмбэлэгдсэн хос бодит тоо бүр нэг цэгтэй тохирч байна гэсэн үг.

Нэг буюу өөр координатын системийг сонгох нь ямар ч байдлаар хязгаарлагдахгүй бөгөөд тодорхой тохиолдол бүрт зөвхөн тав тухтай байдлын үүднээс тодорхойлогддог. Ихэнхдээ ижил олонлогийг өөр өөр координатын системд авч үзэх шаардлагатай болдог. Өөр өөр систем дэх ижил цэг нь өөр өөр координаттай байх нь ойлгомжтой. Өөр өөр координатын систем дэх цэгүүдийн багцыг (ялангуяа тойрог, парабол, шулуун шугам) өөр өөр тэгшитгэлээр өгдөг.

Нэг координатын системээс нөгөөд шилжихэд хавтгай дээрх цэгүүдийн координат хэрхэн хувирдагийг олж мэдье.

Хавтгай дээр хоёр тэгш өнцөгт координатын системийг өгье: O, би, ж болон тухай", i", j" (Зураг 41).

О цэгээс эхлэлтэй, суурь векторуудтай эхний систем би Тэгээд j Үүнийг хуучин, хоёр дахь нь - эхлэл нь O" цэгээс ба суурь векторууд гэж нэрлэе би" Тэгээд j" -шинэ.

Хуучин системтэй харьцуулахад шинэ системийн байрлалыг мэдэгдэж байгаа гэж үзнэ: хуучин систем дэх O цэгийг координаттай болго ( a;b ), вектор би" вектор бүхий хэлбэрүүд би булан α . Булан α Бид цагийн зүүний дагуу хөдөлгөөний эсрэг чиглэлд тоолно.

Дурын M цэгийг авч үзье.Түүний координатыг хуучин системээр (-ээр тэмдэглэе. x;y ), шинэ нь - дамжуулан ( x";y" ). Бидний даалгавар бол М цэгийн хуучин болон шинэ координатуудын хоорондын хамаарлыг тогтоох явдал юм.

O ба O", O" болон M, O, M цэгүүдийг хосоор нь холбоно. Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан бид олж авсан.

ОМ > = ОО" > + О "М > . (1)

Векторуудыг өргөжүүлье ОМ> ба ОО"> суурь вектороор би Тэгээд j , ба вектор О "М> суурь вектороор би" Тэгээд j" :

ОМ > = x би+ y j , ОО" > = а би+ б j , О "М > = x" би"+y" j "

Одоо тэгш байдлыг (1) дараах байдлаар бичиж болно.

x би+ y j = (а би+ б j ) + (x" би"+y" j "). (2)

Шинэ суурь векторууд би" Тэгээд j" хуучин суурь векторуудын дагуу өргөтгөсөн би Тэгээд j дараах байдлаар:

би" = cos α би + нүгэл α j ,

j" =cos( π / 2 + α ) би +нүгэл( π / 2 + α ) j = - нүгэл α би +cos α j .

Олдсон илэрхийллийг орлуулах би" Тэгээд j" (2) томъёонд бид векторын тэгш байдлыг олж авна

x би+ y j = а би+ б j + X"(cos α би + нүгэл α j ) + у"(-нүгэл α би +cos α j )

хоёр тооны тэгшитгэлтэй тэнцэх:

x = a + X" cos α - у"нүгэл α , цагт = б+ X"нүгэл α + у" cos α

Томъёо (3) нь хуучин координатуудад шаардлагатай илэрхийллийг өгдөг XТэгээд цагтшинэ координатаараа дамжуулан зааж өгдөг X"Тэгээд у". Хуучин координатын хувьд шинэ координатын илэрхийллийг олохын тулд үл мэдэгдэх (3) тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хангалттай. X"Тэгээд у".

Тиймээс координатын эхийг цэг рүү шилжүүлэх үед цэгүүдийн координатууд ( A; б ) ба тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлнэ α (3) томъёоны дагуу хувиргана.

Хэрэв зөвхөн координатын гарал үүсэл өөрчлөгдөж, тэнхлэгүүдийн чиглэл нь ижил хэвээр байвал (3) томъёонд тооцвол. α = 0, бид олж авна

Томъёо (5) гэж нэрлэдэг эргэлтийн томъёо.

Даалгавар 1.Хуучин системийн шинэ эхлэлийн координатыг (2; 3), хуучин системийн А цэгийн координатыг (4; -1) болго. Хэрэв тэнхлэгүүдийн чиглэл ижил хэвээр байвал шинэ системийн А цэгийн координатыг ол.

(4) томъёоны дагуу бид байна

Хариулах. A(2;-4)

Даалгавар 2.Хуучин системийн P цэгийн координатыг (-2; 1), шинэ системд тэнхлэгүүдийн чиглэл нь ижил, энэ цэгийн координат (5; 3) байна. Хуучин системийн шинэ эхлэлийн координатыг ол.

A (4) томъёоноос бид олж авна

- 2= a + 5 1 = б + 3

хаана А = - 7, б = - 2.

Хариулах. (-7; -2).

Даалгавар 3.Шинэ систем дэх А цэгийн координатууд (4; 2). Хэрэв эх нь хэвээр, хуучин системийн координатын тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлсэн бол хуучин системийн энэ цэгийн координатыг ол. α = 45°.

Томъёо (5) ашиглан бид олдог

Даалгавар 4.Хуучин систем дэх А цэгийн координатууд (2 √3 ; - √3 ). Хуучин системийн эхийг (-1;-2) цэг рүү шилжүүлж, тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлсэн бол шинэ системийн энэ цэгийн координатыг ол. α = 30°.

(3) томъёоны дагуу бидэнд байна

Энэ тэгшитгэлийн системийг шийдсэний дараа X"Тэгээд у", бид олдог: X" = 4, у" = -2.

Хариулах. A (4; -2).

Даалгавар 5.Шугамын тэгшитгэлийг өгөв цагт = 2X - 6. Тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлэх замаар хуучин системээс гаргаж авсан шинэ координатын систем дэх ижил шулууны тэгшитгэлийг ол. α = 45°.

Энэ тохиолдолд эргэлтийн томъёонууд нь хэлбэртэй байна

Тэгшитгэл дэх шулуун шугамыг орлуулах цагт = 2X - 6 хуучин хувьсагч X Тэгээд цагт шинэ, бид тэгшитгэлийг олж авна

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

хялбаршуулсаны дараа хэлбэрийг авдаг у" = x" / 3 - 2√2

Хавтгай дээр дурын хоёр декарт тэгш өнцөгт координатын системийг өгье. Эхнийх нь O-ийн эхлэл ба суурь векторуудаар тодорхойлогддог би j , хоёр дахь нь - төв ТУХАЙ'ба суурь векторууд би ’ j ’ .

Зарим М цэгийн х y координатыг эхний координатын системтэй харьцуулан илэрхийлэх зорилгыг дэвшүүлье. x’ Тэгээд y’ – хоёр дахь системтэй харьцуулахад ижил цэгийн координатууд.

анзаараарай, тэр

Эхний системтэй харьцуулахад О’ цэгийн координатыг a ба b гэж тэмдэглэе.

Векторуудыг өргөжүүлье би ’ Тэгээд j ’ үндсэн дээр би j :

(*)

Үүнээс гадна бидэнд:
. Энд суурьтай холбоотой векторуудын өргөтгөлийг танилцуулъя би ’ j ’ :

эндээс

Бид дүгнэж болно: Хавтгай дээрх дурын хоёр декартын системээс үл хамааран эхний системтэй харьцуулахад хавтгай дээрх дурын цэгийн координатууд нь хоёр дахь системтэй харьцуулахад ижил цэгийн координатын шугаман функцууд юм.

Эхлээд (*) тэгшитгэлийг скаляраар үржүүлье би , дараа нь асаана уу j :

Векторуудын хоорондох өнцгийг  гэж тэмдэглэе би Тэгээд би ’ . Координатын систем би j системтэй хослуулж болно би ’ j ’ зэрэгцээ хөрвүүлэлт ба дараагийн өнцгөөр эргүүлэх замаар . Гэхдээ энд нумын сонголт бас боломжтой: суурь векторуудын хоорондох өнцөг би би ’ мөн , суурь векторуудын хоорондох өнцөг j ’ j ’  - -тай тэнцүү. Эдгээр системийг зэрэгцээ орчуулга, эргэлттэй хослуулах боломжгүй. Мөн тэнхлэгийн чиглэлийг өөрчлөх шаардлагатай цагтэсрэгээр.

(**) томъёоноос бид эхний тохиолдолд олж авна:

Хоёр дахь тохиолдолд

Хөрвүүлэх томъёонууд нь:

Бид хоёр дахь хэргийг авч үзэхгүй. Хоёр системийг хоёуланг нь зөв гэж үзэхийг зөвшөөрье.

Тэдгээр. Дүгнэлт: хоёр зөв координатын системээс үл хамааран тэдгээрийн эхнийх нь зэрэгцээ орчуулга, дараа нь эхийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх замаар хоёрдугаарт нэгтгэж болно .

Зэрэгцээ дамжуулах томъёо:

Тэнхлэгийг эргүүлэх томъёо:

Урвуу хөрвүүлэлт:

Орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах.

Сансар огторгуйд үүнтэй төстэй байдлаар бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

(***)

Мөн координатын хувьд:

(****)

Тэгэхээр огторгуйд дурын хоёр координатын систем байхаас үл хамааран эхний системтэй харьцуулахад зарим цэгийн x y z координатууд нь координатын шугаман функцууд болно. x’ y’ z’ хоёр дахь координатын системтэй харьцуулахад ижил цэг.

Тэнцүү (***) бүрийг скаляраар үржүүлнэ би ’ j ’ к ’ бид авах:

IN Хувиргах томъёоны геометрийн утгыг тодруулцгаая (****). Үүнийг хийхийн тулд хоёр систем нь нийтлэг эхлэлтэй гэж үзье. а = б = в = 0 .

Эхнийхтэй харьцуулахад хоёр дахь системийн тэнхлэгүүдийн байршлыг бүрэн тодорхойлдог гурван өнцгийг авч үзье.

Эхний өнцөг нь x тэнхлэг ба u тэнхлэгээр үүсгэгддэг бөгөөд энэ нь xOy ба x'Oy' хавтгайн огтлолцол юм. Өнцгийн чиглэл нь x-ээс y тэнхлэг хүртэлх хамгийн богино эргэлт юм. Өнцгийг  гэж тэмдэглэе. Хоёрдахь өнцөг  нь Oz болон Oz’ тэнхлэгүүдийн хоорондох -аас ихгүй өнцөг юм. Эцэст нь, гурав дахь өнцөг  нь U тэнхлэг ба Ox' хоорондох өнцөг бөгөөд U тэнхлэгээс Ox'-ээс Oy' хүртэлх хамгийн богино эргэлтийн чиглэлд хэмжигддэг. Эдгээр өнцгийг Эйлерийн өнцөг гэж нэрлэдэг.

Эхний системийг хоёр дахь систем болгон хувиргах нь гурван эргэлтийн дараалсан хэрэгжилтээр илэрхийлэгдэж болно: Oz тэнхлэгтэй харьцуулахад  өнцгөөр; Ox’ тэнхлэгтэй харьцуулахад  өнцгөөр; ба Озын тэнхлэгтэй харьцуулахад  өнцгөөр.

 ij тоонуудыг Эйлерийн өнцгөөр илэрхийлж болно. Эдгээр томьёо нь төвөгтэй тул бид бичихгүй.

Энэхүү хувиргалт нь параллель орчуулгын суперпозиция ба Эйлер өнцгөөр гурван дараалсан эргэлт юм.

Эдгээр бүх аргументуудыг хоёр систем нь зүүний чиглэлтэй эсвэл өөр өөр чиглэлтэй тохиолдолд хийж болно.

Хэрэв бид дурын хоёр системтэй бол ерөнхийдөө тэдгээрийг зэрэгцээ орчуулга, тодорхой тэнхлэгийн эргэн тойронд орон зайд нэг эргүүлэх замаар нэгтгэж болно. Бид түүнийг хайхгүй.

1) Хавтгай дээрх нэг декартын тэгш өнцөгт координатын системээс ижил чиглэлтэй, ижил гарал үүсэлтэй өөр декартын тэгш өнцөгт системд шилжих.

Хавтгай дээр хоёр декартын тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлсэн гэж үзье xOyмөн нийтлэг гарал үүсэлтэй ТУХАЙ, ижил чиг баримжаатай (Зураг 145). Тэнхлэгүүдийн нэгж векторуудыг тэмдэглэе ӨөТэгээд OUдамжуулан ба , мөн тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд болон дамжин ба . Төгсгөлд нь тэнхлэгээс өнцгөөр нь өгье Өөтэнхлэг рүү. Болъё XТэгээд цагт- дурын цэгийн координатууд Мсистемд xOy, ба нь ижил цэгийн координатууд юм Мсистемд.

тэнхлэгээс өнцөгөөс хойш Өөвектор нь тэнцүү бол векторын координат

Тэнхлэгээс өнцөг Өөвектор нь тэнцүү байна; тиймээс векторын координатууд тэнцүү байна.

Томъёо (3) § 97 хэлбэрийг авна

Нэг декартаас шилжилтийн матриц xOyтэгш өнцөгт координатын системийг өөр тэгш өнцөгт систем рүү ижил чиг баримжаатай хэлбэртэй байна

Хэрэв багана тус бүрт байрлах элементүүдийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, өөр баганын харгалзах элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү бол матрицыг ортогональ гэж нэрлэдэг. Хэрэв

Тиймээс нэг тэгш өнцөгт координатын системээс нөгөө тэгш өнцөгт системд шилжих шилжилтийн матриц (2) нь ижил чиглэлтэй байна. Энэ матрицын тодорхойлогч нь +1 гэдгийг анхаарна уу:

Эсрэгээр, тодорхойлогч нь +1-тэй тэнцүү ортогональ матриц (3) өгөгдөж, хавтгайд декартын тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлсэн бол xOy, дараа нь (4) харилцааны ачаар векторууд нь хоёулаа нэгж ба харилцан перпендикуляр байдаг тул систем дэх векторын координатууд xOyба -тай тэнцүү байна, вектороос вектор хүртэлх өнцөг хаана байна, вектор нь нэгж тул вектороос , дараа нь , эсвэл -ээр эргүүлэх замаар олж авна.

Хоёрдахь боломжийг хассан, учир нь хэрэв бидэнд байсан бол энэ нь бидэнд өгөгдсөн.

Энэ нь матриц гэсэн үг юм Ашиг харагдаж байна

тэдгээр. нь нэг тэгш өнцөгт координатын системээс шилжилтийн матриц юм xOyижил чиглэлтэй, өнцөгтэй өөр тэгш өнцөгт системд .

2. Хавтгай дээрх нэг декарт тэгш өнцөгт координатын системээс эсрэг чиглэлтэй, ижил гарал үүсэлтэй декартын тэгш өнцөгт систем рүү шилжих.

Хавтгай дээр хоёр декартын тэгш өнцөгт координатын системийг оруулъя xOyмөн нийтлэг гарал үүсэлтэй ТУХАЙ, гэхдээ эсрэг чиглэлтэй бол тэнхлэгээс өнцгийг тэмдэглэе Өөтэнхлэг рүү (бид онгоцны чиглэлийг системээр тохируулна xOy).

тэнхлэгээс өнцөгөөс хойш Өөвектор нь тэнцүү бол векторын координатууд тэнцүү байна:

Одоо вектороос вектор хүртэлх өнцөг тэнцүү байна (Зураг 146), тиймээс тэнхлэгээс өнцөг Өөвектор нь тэнцүү (өнцгийн хувьд Часлес теоремоор) тул векторын координатууд тэнцүү байна:

Мөн томъёо (3) § 97 хэлбэрийг авна

Шилжилтийн матриц

ортогональ боловч тодорхойлогч нь -1. (7)

Эсрэгээр, тодорхойлогч нь –1-тэй тэнцэх аливаа ортогональ матриц нь хавтгай дээрх нэг тэгш өнцөгт координатын системийг ижил гарал үүсэлтэй боловч эсрэг чиглэлтэй өөр тэгш өнцөгт систем болгон хувиргахыг заадаг. Тэгэхээр, хэрэв хоёр декарт тэгш өнцөгт координатын систем бол xOyтэгээд нийтлэг эхлэлтэй

Хаана X, цагт- системийн аль ч цэгийн координатууд xOy; ба системийн ижил цэгийн координатууд ба

ортогональ матриц.

Буцах бол

дурын ортогональ матриц, дараа нь харилцаа

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг декартын тэгш өнцөгт болгон хувиргахыг илэрхийлдэг. систем ижил гарал үүсэлтэй; - систем дэх координатууд xOyтэнхлэгийн эерэг чиглэлийг өгөх нэгж вектор; - систем дэх координатууд xOyтэнхлэгийн эерэг чиглэлийг өгөх нэгж вектор.

координатын системүүд xOyмөн ижил чиг баримжаатай байх ба энэ тохиолдолд эсрэгээр.

3. Хавтгай дээрх нэг декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өөр тэгш өнцөгт систем болгон ерөнхий хувиргах.

Энэ хэсгийн 1) ба 2) цэгүүд, түүнчлэн § 96-д үндэслэн бид хавтгайд тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлсэн гэж дүгнэж байна. xOy, дараа нь координатууд XТэгээд цагтдурын цэг Мсистем дэх онгоцууд xOyижил цэгийн координатуудтай Мсистем дэх харилцан хамаарлаар холбогддог - систем дэх координатын системийн гарал үүслийн координатууд xOy.

Хуучин болон шинэ координатуудыг анхаарна уу X, цагтба , Декартын тэгш өнцөгт координатын системийн ерөнхий хувиргалт дахь векторууд нь харилцаа холбоогоор холбогдоно.

системүүдийн хувьд xOyмөн ижил чиг баримжаа, харилцаатай байх

тохиолдолд эдгээр системүүд эсрэг чиглэлтэй, эсвэл хэлбэрээр

ортогональ матриц. (10) ба (11) хувиргалтыг ортогональ гэж нэрлэдэг.

Бүлэг 1. Нэмэлт. Хавтгай ба орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах. Хавтгай болон орон зай дахь тусгай координатын системүүд.

Хавтгай болон орон зайд координатын системийг байгуулах дүрмийг 1-р бүлгийн үндсэн хэсэгт авч үзсэн болно. Тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглахад тохиромжтой байдлыг тэмдэглэв. Аналитик геометрийн хэрэгслийг практикт ашиглахдаа батлагдсан координатын системийг өөрчлөх шаардлагатай байдаг. Энэ нь ихэвчлэн тав тухтай байдлын үүднээс тодорхойлогддог: геометрийн дүрсийг хялбаршуулж, тооцоололд ашигласан аналитик загвар, алгебрийн илэрхийлэл илүү тодорхой болно.

Тусгай координатын системийг барих, ашиглах нь: туйл, цилиндр, бөмбөрцөг хэлбэртэй байх нь шийдэгдэж буй асуудлын геометрийн утгаар тодорхойлогддог. Тусгай координатын системийг ашиглан загварчлах нь ихэвчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд аналитик загварыг боловсруулах, ашиглахад тусалдаг.

1-р бүлгийн хавсралтаас олж авсан үр дүнг шугаман алгебр, тэдгээрийн ихэнх нь тооцоолол, физикт ашиглах болно.

Хавтгай ба орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах.

Хавтгай болон орон зайд координатын системийг байгуулах асуудлыг авч үзэхдээ координатын систем нь нэг цэгт огтлолцох тоон тэнхлэгүүдээс бүрддэг болохыг тэмдэглэв: хавтгайд хоёр тэнхлэг, орон зайд гурван тэнхлэг шаардлагатай. Векторуудын аналитик загварыг бий болгох, векторуудын үйл ажиллагааны скаляр үржвэрийг нэвтрүүлэх, геометрийн агуулгын асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбогдуулан тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглах нь илүү тохиромжтой болохыг харуулсан.

Хэрэв бид тодорхой координатын системийг хийсвэрээр хувиргах асуудлыг авч үзвэл ерөнхий тохиолдолд тэнхлэгүүдийн нэрийг дур мэдэн өөрчлөх эрхээр тухайн орон зайд координатын тэнхлэгүүдийг дур зоргоороо хөдөлгөх боломжтой болно.

Бид үндсэн ойлголтоос эхэлнэ лавлагааны системүүд , физикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Биеийн хөдөлгөөнийг ажигласнаар тусгаарлагдсан биеийн хөдөлгөөнийг өөрөө тодорхойлох боломжгүй болохыг олж мэдсэн. Хөдөлгөөн ажиглагдаж байгаа, өөрөөр хэлбэл өөрчлөлттэй харьцуулахад дор хаяж нэг биетэй байх шаардлагатай хамаатан садан заалтууд. Аналитик загвар, хууль, хөдөлгөөнийг олж авахын тулд координатын системийг энэ хоёр дахь биетэй жишиг систем болгон холбосон бөгөөд координатын системийг ийм байдлаар холбосон. хатуу !

Хатуу биеийн орон зайн нэг цэгээс нөгөө цэг рүү дур зоргоороо шилжих хөдөлгөөнийг хөрвүүлэх болон эргэлтийн гэсэн хоёр бие даасан хөдөлгөөнөөр илэрхийлж болох тул координатын системийг өөрчлөх сонголтууд нь хоёр хөдөлгөөнөөр хязгаарлагддаг.

1). Зэрэгцээ дамжуулалт: бид зөвхөн нэг цэгийг дагаж мөрддөг - цэг.

2). Координатын системийн тэнхлэгүүдийг цэгтэй харьцуулахад эргүүлэх: хатуу биет байдлаар.

Хавтгай дээрх декарт тэгш өнцөгт координатыг хөрвүүлэх.

Хавтгай дээрх координатын системтэй болцгооё: , ба . Координатын системийг системийн параллель орчуулгаар олж авна. Системийг өнцгөөр эргүүлснээр координатын системийг олж авдаг бөгөөд эргэлтийн эерэг чиглэлийг тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх гэж авна.

Батлагдсан координатын системийн суурь векторуудыг тодорхойлъё. Системийг зэрэгцээ шилжүүлэх замаар системийг олж авсан тул эдгээр хоёр системийн хувьд бид үндсэн векторуудыг хүлээн авна: , ба нэгж нэг ба координатын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байгаа , , тус тус. Системийн хувьд суурь вектор болгон тэнхлэгүүдтэй давхцаж буй нэгж векторуудыг авна.

Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Вектороор тодорхойлогдсон координатын системд параллель орчуулга хийцгээе. Энэ нь цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Вектор тэгшитгэлийг ашиглая: = + , эсвэл:

Зэрэгцээ орчуулгын хувиргалтыг анхан шатны алгебрт сайн мэддэг жишээн дээр үзүүлье.

Жишээ D–1 : Параболын тэгшитгэл өгөгдсөн: = = . Энэ параболын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.

Шийдэл:

1). Техникийг ашиглацгаая бүтэн квадратыг онцлон тэмдэглэв : =, үүнийг хялбархан илэрхийлж болно: –3 = .

2). Координатын хувиргалтыг хэрэгжүүлье - зэрэгцээ шилжүүлэг := . Үүний дараа параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Алгебр дахь энэхүү хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно: парабол = хамгийн энгийн параболыг баруун тийш 2, дээш 3 нэгжээр шилжүүлснээр гарна.

Хариулт: Параболын хамгийн энгийн хэлбэр нь: .

Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Координатын системд эргэлтийн хувиргалт хийцгээе, ингэснээр түүний анхны байрлалтай харьцуулахад, өөрөөр хэлбэл системтэй харьцуулахад өнцгөөр эргэлддэг. = цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Векторыг координатын системд бичээд : = гэж үзье. (2) =1. Хоёрдахь эрэмбийн шугамын онолоос харахад эллипсийн хамгийн энгийн (каноник!) тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: Өгөгдсөн шугамын хамгийн энгийн хэлбэр: =1 нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.