ОрцТригонометрийн функцийг хурц өнцөг болгон багасгах. Бууруулах томъёо
Тодорхойлолт. Бууруулах томьёо нь хэлбэрийн тригонометрийн функцээс аргументийн функц рүү шилжих боломжийг олгодог томъёо юм. Тэдгээрийн тусламжтайгаар дурын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг 0-ээс 90 градусын (0-ээс радиан хүртэл) өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс болгон бууруулж болно. Тиймээс багасгах томъёо нь 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь эргэлзээгүй маш тохиромжтой юм.
Бууруулах томъёо:
Бууруулах томъёог ашиглах хоёр дүрэм байдаг.
1. Хэрэв өнцгийг (π/2 ±a) эсвэл (3*π/2 ±a) хэлбэрээр илэрхийлж болох юм бол функцийн нэр өөрчлөгдөнө sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Хэрэв өнцгийг (π ±a) эсвэл (2*π ±a) хэлбэрээр дүрсэлж чадвал Функцийн нэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Доорх зургийг хараарай, энэ нь тэмдгийг хэзээ өөрчлөх, хэзээ өөрчлөхгүй байхыг схемээр харуулав
2. Буурсан функцийн тэмдэг хэвээрээ байна. Хэрэв анхны функц нь нэмэх тэмдэгтэй байсан бол багасгасан функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна. Хэрэв анхны функц нь хасах тэмдэгтэй байсан бол багасгасан функц нь мөн хасах тэмдэгтэй байна.
Доорх зураг нь улирлаас хамааран үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тэмдгүүдийг харуулж байна.
Жишээ:
Тооцоол
Бууруулах томъёог ашиглая:
Нүгэл(150˚) хоёрдугаар улиралд байна; зургаас харахад энэ хэсгийн нүгэл тэмдэг нь “+”-тэй тэнцүү байна. Энэ нь өгөгдсөн функц мөн "+" тэмдэгтэй байна гэсэн үг юм. Бид хоёр дахь дүрмийг ашигласан.
Одоо 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ нь π/2. Өөрөөр хэлбэл, бид π/2+60 тохиолдлыг авч үзэж байгаа тул эхний дүрмийн дагуу функцийг sin-аас cos болгон өөрчилдөг. Үүний үр дүнд бид Sin(150˚) = cos(60˚) = ½-ийг авна.
Үүнтэй ижил сэдвээр өөр нэг асуудал В11 - математикийн жинхэнэ улсын нэгдсэн шалгалтаас.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Энэхүү богино хэмжээний видео заавар дээр бид хэрхэн өргөдөл гаргах талаар сурах болно бууруулах томъёоматематикийн улсын нэгдсэн шалгалтаас B11 бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Таны харж байгаагаар бид хоёр тригонометрийн илэрхийлэлтэй бөгөөд тус бүр нь синус ба косинусыг агуулсан, мөн нэлээд харгис тоон аргументуудтай.
Эдгээр асуудлыг шийдэхийн өмнө багасгах томъёо гэж юу болохыг санацгаая. Тиймээс, хэрэв бидэнд дараах илэрхийллүүд байвал:
Дараа нь бид тусгай дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоноос (k · π/2 хэлбэрийн) салж болно. Тригонометрийн тойрог зурж, түүн дээрх гол цэгүүдийг тэмдэглэе: 0, π/2; π; 3π/2 ба 2π. Дараа нь бид тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор эхний гишүүнийг харна. Бидэнд байгаа:
- Хэрэв бидний сонирхож буй нэр томъёо нь тригонометрийн тойргийн босоо тэнхлэгт оршдог бол (жишээлбэл: 3π/2; π/2 гэх мэт) анхны функц нь косинусаар солигдоно: синусыг косинус, ба косинус, эсрэгээр, синусаар.
- Хэрэв бидний нэр томъёо хэвтээ тэнхлэгт байрладаг бол анхны функц өөрчлөгдөхгүй. Бид зүгээр л илэрхийлэл дэх эхний нэр томьёог хасдаг, тэгээд л болоо.
Тиймээс бид k · π/2 хэлбэрийн гишүүнчлэлийг агуулаагүй тригонометрийн функцийг олж авна. Гэсэн хэдий ч багасгах томъёоны ажил үүгээр дуусахгүй. Баримт нь эхний нэр томъёог "хаясны" дараа олж авсан бидний шинэ функц нь урд нь нэмэх эсвэл хасах тэмдэгтэй байж болно. Энэ тэмдгийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Одоо бид олж мэдэх болно.
Өөрчлөлтийн дараа тригонометрийн функц дотор үлдсэн α өнцөг нь маш бага хэмжигдэхүүнтэй байна гэж төсөөлье. Гэхдээ "жижиг хэмжүүр" гэж юу гэсэн үг вэ? α ∈ (0; 30°) гэж үзье - энэ нь хангалттай юм. Функцийн жишээг авч үзье:
Дараа нь α ∈ (0; 30°) гэсэн таамаглалынхаа дагуу бид 3π/2 − α өнцөг нь координатын 3-р хэсэгт оршдог гэж дүгнэж байна, өөрөөр хэлбэл. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Анхны функцийн тэмдгийг санацгаая, өөрөөр хэлбэл. Энэ интервал дээр y = sin x. Тодорхойлолтоор бол синус нь хөдөлж буй радиусын төгсгөлийн ординат (товчхондоо синус нь у координат) учраас координатын гуравдугаар улирлын синус нь сөрөг байна. За, доод хагас хавтгай дахь у координат нь үргэлж сөрөг утгыг авдаг. Энэ нь гуравдугаар улиралд y мөн сөрөг байна гэсэн үг.
Эдгээр эргэцүүлэл дээр үндэслэн бид эцсийн илэрхийлэлийг бичиж болно:
Асуудал B11 - Сонголт 1
Эдгээр ижил аргууд нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В11 асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Ганц ялгаа нь бодит B11-ийн олон асуудалд радиан хэмжүүрийн оронд (жишээ нь: π, π/2, 2π гэх мэт) градусын хэмжигдэхүүнийг (жишээ нь 90°, 180°, 270° гэх мэт) ашигладаг. Эхний даалгаврыг авч үзье:
Эхлээд тоологчийг харцгаая. cos 41° нь хүснэгтийн бус утга учир бид үүнтэй юу ч хийж чадахгүй. Одоохондоо ингээд орхиё.
Одоо хуваагчийг харцгаая:
нүгэл 131° = нүгэл (90° + 41°) = cos 41°
Мэдээжийн хэрэг, энэ нь багасгах томъёо тул синусыг косинусаар сольсон. Үүнээс гадна 41 ° өнцөг нь сегмент дээр байрладаг (0 °; 90 °), өөрөөр хэлбэл. эхний координатын квадратад - багасгах томъёог хэрэглэхэд яг шаардлагатай. Харин дараа нь 90° + 41° нь хоёр дахь координатын дөрөвний нэг юм. Анхны функц y = sin x нь эерэг байдаг тул бид сүүлчийн алхам дээр косинусын өмнө нэмэх тэмдэг тавьдаг (өөрөөр хэлбэл бид юу ч тавиагүй).
Сүүлийн элементийг шийдвэрлэхэд л үлддэг:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0.5
Энд бид 180 ° нь хэвтээ тэнхлэг гэдгийг харж байна. Тиймээс функц нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй: косинус байсан - мөн косинус хэвээр байх болно. Гэхдээ дахин асуулт гарч ирнэ: cos 60° гэсэн илэрхийллийн өмнө нэмэх эсвэл хасах нь гарч ирэх үү? 180° нь координатын гурав дахь улирал гэдгийг анхаарна уу. Тэнд байгаа косинус нь сөрөг тул эцэст нь косинус урд нь хасах тэмдэгтэй болно. Нийтдээ бид −cos 60° = −0.5 бүтээцийг олж авдаг - энэ нь хүснэгтийн утга учир бүх зүйлийг тооцоолоход хялбар байдаг.
Одоо бид үүссэн тоонуудыг анхны томъёонд орлуулж, дараахь зүйлийг авна.
Таны харж байгаагаар бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь cos 41° тоо амархан буурч, ердийн илэрхийлэл хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь -10-тай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хасахыг гаргаж аваад бутархай тэмдгийн өмнө байрлуулж эсвэл тооцооллын хамгийн сүүлийн алхам хүртэл хоёр дахь хүчин зүйлийн хажууд "хадгалж" болно. Ямар ч тохиолдолд хариулт нь -10 байх болно. Ингээд л В11 асуудал шийдэгдлээ!
Асуудал B14 - сонголт 2
Хоёр дахь даалгавар руугаа явцгаая. Бидний өмнө дахин нэг хэсэг байна:
За, 27° нь координатын эхний хэсэгт оршдог тул бид энд юу ч өөрчлөхгүй. Гэхдээ нүгэл 117° гэж бичих шаардлагатай (одоогоор ямар ч квадратгүйгээр):
нүгэл 117° = нүгэл (90° + 27°) = cos 27°
Мэдээжийн хэрэг, дахин бидний өмнө бууруулах томъёо: 90° нь босоо тэнхлэг тул синус косинус болж өөрчлөгдөнө. Үүнээс гадна α = 117 ° = 90 ° + 27 ° өнцөг нь координатын хоёр дахь квадратад байрладаг. Анхны функц y = sin x тэнд эерэг байдаг тул бүх хувиргалтуудын дараа косинусын өмнө нэмэх тэмдэг хэвээр байна. Өөрөөр хэлбэл, тэнд юу ч нэмээгүй - бид үүнийг ингэж үлдээдэг: cos 27 °.
Бид тооцоолох шаардлагатай анхны илэрхийлэл рүү буцна:
Бидний харж байгаагаар хувиргалтын дараа хуваарьт үндсэн тригонометрийн ижилсэл үүссэн: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Нийт −4: 1 = −4 - тэгэхээр бид B11 хоёр дахь бодлогын хариултыг олсон.
Таны харж байгаагаар бууруулах томъёоны тусламжтайгаар математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын ийм асуудлыг хэд хэдэн мөрөнд шууд утгаараа шийддэг. Нийлбэрийн синус байхгүй, зөрүүгийн косинус. Бидний санаж байх ёстой зүйл бол зөвхөн тригонометрийн тойрог юм.
Энэ нийтлэл нь тригонометрийн бууралтын томъёоны нарийвчилсан судалгаанд зориулагдсан болно. Бууруулах томъёоны бүрэн жагсаалтыг өгч, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг үзүүлж, томъёоны зөвийг нотлох баримтыг өгсөн болно. Уг нийтлэлд мөн томьёо бүрийг цээжлэхгүйгээр багасгах томьёог гаргаж авах боломжийг олгодог мнемоник дүрмийг өгдөг.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Бууруулах томъёо. Жагсаалт
Бууруулах томъёо нь дурын хэмжигдэхүүнтэй өнцгийн үндсэн тригонометрийн функцийг 0-ээс 90 градусын (0-ээс π 2 радиан) хооронд байрлах өнцгийн функцүүдэд бууруулах боломжийг олгодог. 0-ээс 90 градусын өнцгөөр ажиллах нь дур зоргоороо том утгатай ажиллахаас хамаагүй илүү тохиромжтой байдаг тул тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд багасгах томъёог өргөн ашигладаг.
Томьёог өөрсдөө бичихээсээ өмнө ойлгоход хэд хэдэн чухал зүйлийг тодруулцгаая.
- Бууруулах томьёо дахь тригонометрийн функцүүдийн аргументууд нь ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z хэлбэрийн өнцөг юм. Энд z нь дурын бүхэл тоо, α нь дурын эргэлтийн өнцөг юм.
- Бүх бууруулах томъёог сурах шаардлагагүй бөгөөд тэдгээрийн тоо нь нэлээд гайхалтай юм. Хүссэн томъёог гаргахад хялбар болгодог мнемоник дүрэм байдаг. Мнемоник дүрмийн талаар бид дараа нь ярих болно.
Одоо шууд бууруулах томъёо руу шилжье.
Бууруулах томьёо нь дурын болон дур зоргоороо том өнцгөөр ажиллахаас 0-ээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Бүх томъёог хүснэгт хэлбэрээр бичье.
Бууруулах томъёо
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 πz = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
IN энэ тохиолдолдТомьёог радианаар бичдэг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг зэрэг ашиглан бичиж болно. Радианыг градус болгон хөрвүүлэхэд л хангалттай бөгөөд π-ийг 180 градусаар солино.
Бууруулах томъёог ашиглах жишээ
Бид багасгах томъёог хэрхэн ашиглах, эдгээр томъёог практик жишээг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.
Тригонометрийн функцийн тэмдгийн доорх өнцгийг нэг биш, харин олон янзаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл, тригонометрийн функцийн аргументыг ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үүнийг харуулъя.
α = 16 π 3 өнцгийг авъя. Энэ өнцгийг дараах байдлаар бичиж болно.
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Өнцгийн дүрслэлээс хамааран зохих бууруулах томъёог ашиглана.
Ижил өнцгийг α = 16 π 3 авч, шүргэгчийг тооцоолъё
Жишээ 1: Бууруулах томъёог ашиглах
α = 16 π 3 , t g α = ?
α = 16 π 3 өнцгийг α = π + π 3 + 2 π 2 гэж илэрхийлье.
Энэ өнцгийн дүрслэл нь багасгах томъёотой тохирно
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Хүснэгтийг ашиглан шүргэгчийн утгыг зааж өгнө
Одоо бид α = 16 π 3 өнцгийн өөр дүрслэлийг ашиглаж байна.
Жишээ 2: Бууруулах томъёог ашиглах
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Эцэст нь бид өнцгийн гурав дахь дүрслэлийг бичнэ
Жишээ 3. Бууруулах томьёог ашиглах
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6
Одоо илүү төвөгтэй бууруулах томъёог ашиглах жишээг өгье
Жишээ 4: Бууруулах томьёог ашиглах
Цочмог өнцгийн синус ба косинусаар 197° нүглийг төсөөлье.
Бууруулах томъёог ашиглахын тулд та аль нэг хэлбэрээр α = 197 ° өнцгийг илэрхийлэх хэрэгтэй.
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Асуудлын нөхцлийн дагуу өнцөг нь хурц байх ёстой. Үүний дагуу бидэнд үүнийг төлөөлөх хоёр арга бий:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Бид авдаг
нүгэл 197° = нүгэл (180° + 17°) нүгэл 197° = нүгэл (270° - 73°)
Одоо синусыг багасгах томъёог авч үзээд тохирохыг нь сонгоцгооё
нүгэл (π + α + 2 πz) = - sinα нүгэл (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα син 197 ° = нүгэл (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - нүгэл 17 ° нүгэл 197 ° = нүгэл (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Мнемоник дүрэм
Багасгах олон томьёо байдаг бөгөөд аз болоход тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй. Янз бүрийн өнцөг болон тригонометрийн функцүүдэд зориулж багасгах томъёог гаргаж болох зүй тогтол байдаг. Эдгээр хэв маягийг мнемоник дүрэм гэж нэрлэдэг. Мнемоник бол цээжлэх урлаг юм. Мнемоник дүрэм нь гурван хэсгээс бүрдэх буюу гурван үе шатыг агуулдаг.
Мнемоник дүрэм
1. Анхны функцийн аргументыг дараах хэлбэрүүдийн аль нэгээр илэрхийлнэ.
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
α өнцөг нь 0-ээс 90 градусын хооронд байх ёстой.
2. Анхны тригонометрийн функцийн тэмдгийг тодорхойлно. Томъёоны баруун талд бичигдсэн функц ижил тэмдэгтэй байна.
3. ± α + 2 πz ба π ± α + 2 πz өнцгүүдийн хувьд анхны функцын нэр өөрчлөгдөхгүй, π 2 ± α + 2 πz ба 3 π 2 ± α + 2 πz өнцгүүдийн хувьд тус тус өөрчлөгдөнө. "хамтын үйл ажиллагаа". Синус - косинус. Тангенс - котангенс.
Багасгах томьёогоор мнемоник гарын авлагыг ашиглахын тулд та нэгж тойргийн дөрөвний нэгд тулгуурлан тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгийг тодорхойлох чадвартай байх хэрэгтэй. Мнемоник дүрмийг ашиглах жишээг авч үзье.
Жишээ 1: Мнемоник дүрмийг ашиглах
cos π 2 - α + 2 πz ба t g π - α + 2 πz-ийн бууралтын томьёог бичье. α нь эхний улирлын бүртгэл юм.
1. Нөхцөлөөр α нь эхний улирлын бүртгэл учраас бид дүрмийн эхний цэгийг алгасаж байна.
2. cos π 2 - α + 2 πz ба t g π - α + 2 πz функцүүдийн тэмдгүүдийг тодорхойл. π 2 - α + 2 πz өнцөг нь мөн эхний улирлын өнцөг бөгөөд π - α + 2 πz өнцөг нь хоёрдугаар улиралд байна. Эхний улиралд косинусын функц эерэг, хоёрдугаар улиралд шүргэгч нь хасах тэмдэгтэй байна. Энэ үе шатанд шаардлагатай томъёонууд ямар харагдахыг бичье.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Гурав дахь цэгийн дагуу π 2 - α + 2 π өнцгийн хувьд функцын нэр Күнз болж өөрчлөгдөх ба π - α + 2 πz өнцгийн хувьд хэвээр байна. Ингээд бичье:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Одоо дээр өгөгдсөн томьёотой танилцаж, мнемоник дүрэм ажиллаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.
Тодорхой өнцөг α = 777 ° байх жишээг авч үзье. Альфа синусыг хурц өнцгийн тригонометрийн функц болгон бууруулъя.
Жишээ 2: Мнемоник дүрмийг ашиглах
1. α = 777 ° өнцгийг шаардлагатай хэлбэрээр төсөөлөөд үз дээ
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Анхны өнцөг нь эхний улирлын өнцөг юм. Энэ нь өнцгийн синус эерэг тэмдэгтэй байна гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид:
3. нүгэл 777° = нүгэл (57° + 360° 2) = нүгэл 57° нүгэл 777° = нүгэл (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Одоо мнемоник дүрмийг ашиглахдаа тригонометрийн функцийн тэмдгийг зөв тодорхойлж, өнцгийг зөв илэрхийлэх нь ямар чухал болохыг харуулсан жишээг харцгаая. Үүнийг дахин давтъя.
Чухал!
α өнцөг хурц байх ёстой!
5 π 3 өнцгийн тангенсыг тооцоолъё. Тригонометрийн үндсэн функцүүдийн утгын хүснэгтээс та t g 5 π 3 = - 3 утгыг шууд авч болно, гэхдээ бид мнемоник дүрмийг хэрэглэнэ.
Жишээ 3: Мнемоник дүрмийг ашиглах
α = 5 π 3 өнцгийг шаардлагатай хэлбэрээр төсөөлж, дүрмийг ашиглая
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Хэрэв бид альфа өнцгийг 5 π 3 = π + 2 π 3 хэлбэрээр илэрхийлбэл мнемоник дүрмийг хэрэглэсний үр дүн буруу байх болно.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Буруу үр дүн нь 2 π 3 өнцөг нь хурц биш байгаатай холбоотой юм.
Бууруулах томъёоны нотолгоо нь тригонометрийн функцүүдийн үе үе ба тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн π 2 ба 3 π 2 өнцгөөр шилжих шинж чанар дээр суурилдаг. Бүх бууралтын томъёоны хүчинтэй байдлын нотолгоог 2 πz нэр томъёог харгалзахгүйгээр хийж болно, учир нь энэ нь өнцгийн өөрчлөлтийг бүхэл бүтэн эргэлтийн тоогоор илэрхийлж, үечилсэн шинж чанарыг нарийн тусгасан байдаг.
Эхний 16 томъёо нь синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудаас шууд гардаг.
Синус ба косинусыг багасгах томъёоны нотолгоо энд байна
sin π 2 + α = cos α ба cos π 2 + α = - sin α
α өнцгөөр эргүүлсний дараа A 1 x, y цэг рүү, π 2 + α өнцгөөр эргүүлсний дараа А 2 цэг рүү шилжих нэгж тойргийг харцгаая. Хоёр цэгээс бид абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр зурдаг.
Хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин O A 1 H 1 ба O A 2 H 2 нь гипотенуз болон зэргэлдээ өнцгүүдэд тэнцүү байна. Тойрог дээрх цэгүүдийн байрлал ба гурвалжны тэгш байдлаас харахад А 2 цэг нь A 2 - y, x координаттай гэж дүгнэж болно. Синус ба косинусын тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд болон саяхан батлагдсан зүйлийг харгалзан бид бичиж болно
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
π 2 - α аргумент бүхий бууралтын томъёог батлахын тулд үүнийг π 2 + (- α) хэлбэрээр харуулах ёстой. Жишээлбэл:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - нүгэл (- α) = нүгэл α
Баталгаажуулалт нь эсрэг тэмдэгтүүдийн аргумент бүхий тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашигладаг.
Бусад бүх бууралтын томъёог дээр бичсэн зүйл дээр үндэслэн баталж болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Тэд математикийн тригонометрийн хэсэгт багтдаг. Тэдний мөн чанар нь өнцгийн тригонометрийн функцийг "энгийн" хэлбэрт оруулах явдал юм. Тэднийг мэдэхийн ач холбогдлын талаар маш их зүйлийг бичиж болно. Эдгээр томъёоны аль хэдийн 32 байна!
Санаа зоволтгүй, математикийн хичээлийн бусад олон томъёоны нэгэн адил та тэдгээрийг сурах шаардлагагүй. Шаардлагагүй мэдээллээр толгойгоо дүүргэх шаардлагагүй, та "түлхүүрүүд" эсвэл хуулиудыг санаж байх хэрэгтэй бөгөөд шаардлагатай томъёог санах эсвэл гаргах нь асуудал үүсгэхгүй. Дашрамд хэлэхэд, би нийтлэлдээ "... чи сурах хэрэгтэй!!!" - Энэ нь үнэхээр сурах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Хэрэв та багасгах томъёог сайн мэдэхгүй бол тэдгээрийн гарал үүслийн энгийн байдал нь таныг гайхшруулах болно - үүнийг хялбархан хийж болох "хууль" байдаг. Мөн та 32 томъёоны аль нэгийг нь 5 секундэд бичиж болно.
Би математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гарах зарим асуудлыг л жагсаах болно, учир нь эдгээр томъёог мэдэхгүй бол тэдгээрийг шийдвэрлэхэд бүтэлгүйтэх магадлал өндөр байдаг. Жишээлбэл:
– Гадаад өнцгийн тухай ярьж байгаа тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдвэрлэх бодлого, дотоод өнцгийн бодлогод эдгээр томъёоны зарим нь зайлшгүй шаардлагатай.
- тригонометрийн илэрхийллийн утгыг тооцоолох даалгавар; тоон тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх; шууд утгаараа тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх.
- шүргэгч ба шүргэгчийн геометрийн утгын талаархи бодлогууд; тангенсийн бууралтын томъёо, түүнчлэн бусад асуудлууд шаардлагатай.
Стереометрийн асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн 90-180 градусын хооронд байрлах өнцгийн синус эсвэл косинусыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг.
Эдгээр нь зөвхөн Улсын нэгдсэн шалгалттай холбоотой цэгүүд юм. Мөн алгебрийн хичээлд өөрөө бууруулах томьёоны мэдлэггүйгээр шийдвэрлэх боломжгүй олон асуудал байдаг.
Тэгэхээр энэ нь юунд хүргэдэг вэ, заасан томъёолол нь асуудлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрхэн хялбар болгодог вэ?
Жишээлбэл, та 0-ээс 450 градусын аль ч өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох хэрэгтэй.
альфа өнцөг нь 0-ээс 90 градусын хооронд хэлбэлздэг
* * *
Тиймээс энд ажилладаг "хууль"-ыг ойлгох шаардлагатай:
1. Харгалзах квадрат дахь функцийн тэмдгийг тодорхойл.
Би танд сануулъя:
2. Дараах зүйлсийг санаарай.
функц кофункц болж өөрчлөгдөнө
функц нь кофункц болж өөрчлөгддөггүй
Үзэл баримтлал нь юу гэсэн үг вэ - функц нь кофункц болж хувирдаг уу?
Хариулт: синус нь косинус руу эсвэл эсрэгээр, тангенс нь котангенс эсвэл эсрэгээр өөрчлөгддөг.
Тэгээд л болоо!
Одоо танилцуулсан хуулийн дагуу бид хэд хэдэн бууруулах томъёог өөрсдөө бичих болно.
Энэ өнцөг нь 3-р улиралд, косинус нь 3-р улиралд сөрөг байна. Бид функцийг кофункц болгон өөрчлөхгүй, учир нь бидэнд 180 градус байгаа бөгөөд энэ нь:
Өнцөг нь эхний улиралд, синус нь эхний улиралд эерэг байна. Бид функцийг кофункц болгон өөрчлөхгүй, учир нь бидэнд 360 градус байдаг бөгөөд энэ нь:
Зэргэлдээх өнцгүүдийн синусууд тэнцүү байх өөр нэг нэмэлт баталгаа энд байна.
Өнцөг нь хоёрдугаар улиралд, синус нь хоёрдугаар улиралд эерэг байна. Бид функцийг кофункц болгон өөрчлөхгүй, учир нь бид 180 градустай бөгөөд энэ нь:
Томъёо бүрийг оюун ухаанаараа эсвэл бичгээр боловсруулснаар та ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй гэдэгт итгэлтэй байх болно.
***
Уусмалын тухай өгүүлэлд дараахь баримтыг тэмдэглэв - тэгш өнцөгт гурвалжин дахь нэг хурц өнцгийн синус нь өөр нэг хурц өнцгийн косинустай тэнцүү байна.
Тригонометр.Багасгах томьёо.
Бууруулах томъёог заалгах шаардлагагүй, харин тэдгээрийг ойлгох хэрэгтэй. Тэдний гарал үүслийн алгоритмыг ойлгох. Энэ нь маш амархан!
Нэгж тойрог аваад түүн дээр бүх хэмжүүрүүдийг (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) байрлуулъя.
Улирал бүрийн sin(a) ба cos(a) функцуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.
Бид sin(a) функцийг Y тэнхлэгийн дагуу, cos(a) функцийг X тэнхлэгийн дагуу хардаг гэдгийг санаарай.
Эхний улиралд чиг үүрэг нь тодорхой байна sin(a)>0
Мөн функц cos(a)>0
Эхний улирлыг (90-α) эсвэл (360+α) зэрэг градусаар тодорхойлж болно.
Хоёрдугаар улиралд функц нь тодорхой байна sin(a)>0, учир нь энэ улиралд Y тэнхлэг эерэг байна.
Функц cos(a) учир нь энэ квадратад X тэнхлэг сөрөг байна.
Хоёрдугаар улирлыг (90+α) эсвэл (180-α) зэрэг градусаар тодорхойлж болно.
Гуравдугаар улиралд чиг үүрэг нь тодорхой байна нүгэл(а) Гурав дахь улирлыг (180+α) эсвэл (270-α) зэрэг градусаар тодорхойлж болно.
Дөрөвдүгээр улиралд функц нь тодорхой байна sin(a) учир нь Y тэнхлэг энэ улиралд сөрөг байна.
Функц cos(a)>0, учир нь энэ улиралд X тэнхлэг эерэг байна.
Дөрөвдүгээр улирлыг (270+α) эсвэл (360-α) зэрэг градусаар тодорхойлж болно.
Одоо багасгах томъёог өөрсдөө авч үзье.
Энгийнийг санацгаая алгоритм:
1. улирал.(Та аль улиралд байгаагаа үргэлж хараарай).
2. Гарын үсэг зурах.(Улиралын хувьд эерэг эсвэл сөрөг косинус эсвэл синусын функцуудыг үзнэ үү).
3. Хэрэв хаалтанд (90° эсвэл π/2) ба (270° эсвэл 3π/2) байвал функц өөрчлөгддөг.
Тиймээс бид энэ алгоритмыг улирал болгон шинжилж эхэлнэ.
cos(90-α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олоорой
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Нэгдүгээр улирал.
Вилл cos(90-α) = нүгэл(α)
sin(90-α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олж мэд
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Нэгдүгээр улирал.
Вилл sin(90-α) = cos(α)
cos(360+α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олоорой
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Нэгдүгээр улирал.
2. Эхний улиралд косинусын функцийн тэмдэг эерэг байна.
Вилл cos(360+α) = cos(α)
sin(360+α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олж мэд
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Нэгдүгээр улирал.
2. Эхний улиралд синусын функцийн тэмдэг эерэг байна.
3. Хаалтанд (90° эсвэл π/2) ба (270° эсвэл 3π/2) байхгүй бол функц өөрчлөгдөхгүй.
Вилл нүгэл(360+α) = нүгэл(α)
cos(90+α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг ол
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Хоёрдугаар улирал.
3. Хаалтанд (90° буюу π/2) байвал функц нь косинусаас синус руу өөрчлөгдөнө.
Вилл cos(90+α) = -sin(α)
sin(90+α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олж мэд
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Хоёрдугаар улирал.
3. Хаалтанд (90° буюу π/2) байвал функц нь синусаас косинус руу өөрчлөгдөнө.
Вилл sin(90+α) = cos(α)
cos(180-α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олоорой
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Хоёрдугаар улирал.
2. Хоёрдугаар улиралд косинусын функцийн тэмдэг сөрөг байна.
3. Хаалтанд (90° эсвэл π/2) ба (270° эсвэл 3π/2) байхгүй бол функц өөрчлөгдөхгүй.
Вилл cos(180-α) = cos(α)
sin(180-α) илэрхийлэл ямар тэнцүү болохыг олж мэд
Бид алгоритмын дагуу тайлбарлаж байна:
1. Хоёрдугаар улирал.
2. Хоёрдугаар улиралд синусын функцийн тэмдэг эерэг байна.
3. Хаалтанд (90° эсвэл π/2) ба (270° эсвэл 3π/2) байхгүй бол функц өөрчлөгдөхгүй.
Вилл нүгэл(180-α) = нүгэл(α)
Би гурав, дөрөвдүгээр улирлын тухай ярьж байна, ижил төстэй байдлаар хүснэгт үүсгэцгээе.
Бүртгүүлэх YOUTUBE дээрх суваг рууМөн видеог үзэж, математик, геометрийн шалгалтанд бидэнтэй хамт бэлдээрэй.