Олон гишүүнт хүчин зүйлс. Алгебрийн тэгшитгэлийг хэрхэн хүчин зүйл болгох вэ

Алгебр дахь "олон гишүүнт" ба "олон гишүүнийг үржүүлэх" гэсэн ойлголтууд маш олон удаа тааралддаг, учир нь та том олон оронтой тоонуудын тооцоолол хийхэд хялбар байхын тулд тэдгээрийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ нийтлэлд задралын хэд хэдэн аргыг тайлбарлах болно. Тэдгээрийг ашиглахад маш хялбар тул та тодорхой тохиолдол бүрт тохирохыг нь сонгох хэрэгтэй.

Олон гишүүнтийн тухай ойлголт

Олон гишүүнт гэдэг нь мономиалуудын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг агуулсан илэрхийлэл юм.

Жишээ нь: 2 * x * y нь мономиал боловч 2 * x * y + 25 нь 2 мономиалаас бүрдэх олон гишүүнт юм: 2 * x * y ба 25. Ийм олон гишүүнтийг хоёр гишүүн гэж нэрлэдэг.

Заримдаа олон утга бүхий жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар байхын тулд илэрхийлэлийг жишээлбэл, тодорхой тооны хүчин зүйл, өөрөөр хэлбэл үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэдэг тоо эсвэл илэрхийлэл болгон задлах шаардлагатай болдог. Олон гишүүнт хүчин зүйл хийх хэд хэдэн арга байдаг. Бага сургуульд хэрэглэдэг хамгийн анхдагчаас эхлээд тэдгээрийг авч үзэх нь зүйтэй.

Бүлэглэх (ерөнхий хэлбэрээр бичлэг хийх)

Бүлэглэх аргыг ашиглан олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох томъёо нь ерөнхийд нь дараах байдалтай байна.

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Бүлэг бүр нийтлэг хүчин зүйлтэй байхын тулд мономиалуудыг бүлэглэх шаардлагатай. Эхний хаалтанд энэ нь c хүчин зүйл, хоёр дахь нь - d. Үүнийг хаалтнаас гаргаж, тооцооллыг хялбаршуулахын тулд үүнийг хийх ёстой.

Тодорхой жишээ ашиглан задлах алгоритм

Бүлэглэх аргыг ашиглан олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах хамгийн энгийн жишээг доор үзүүлэв.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Эхний хаалтанд та нийтлэг байх хүчин зүйл болох a, хоёрдугаарт - b хүчин зүйлтэй нөхцлүүдийг авах хэрэгтэй. Дууссан илэрхийлэл дэх + ба - тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулаарай. Бид мономиалын өмнө анхны илэрхийлэлд байсан тэмдгийг тавьдаг. Өөрөөр хэлбэл, та 25a илэрхийлэлтэй биш, харин -25 илэрхийлэлтэй ажиллах хэрэгтэй. Хасах тэмдэг нь түүний ард байгаа илэрхийлэлд "наасан" бөгөөд тооцоолохдоо үргэлж харгалзан үздэг.

Дараагийн алхамд та нийтлэг байдаг үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргах хэрэгтэй. Бүлэглэл яг ийм зорилготой. Хаалтны гадуур тавих гэдэг нь хаалтанд байгаа бүх нэр томъёонд яг давтагдсан бүх хүчин зүйлийг хаалтны өмнө (үржүүлэх тэмдгийг орхигдуулан) бичихийг хэлнэ. Хэрэв хаалтанд 2 биш, 3 ба түүнээс дээш нэр томъёо байгаа бол нийтлэг хүчин зүйл тус бүрд байх ёстой, эс тэгвээс үүнийг хаалтнаас гаргаж болохгүй.

Манай тохиолдолд хаалтанд ердөө 2 нэр томъёо байдаг. Нийт үржүүлэгч нь шууд харагдана. Эхний хаалтанд энэ нь a, хоёр дахь нь b байна. Энд та дижитал коэффициентүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Эхний хаалтанд коэффициент (10 ба 25) хоёулаа 5-ын үржвэр юм. Энэ нь зөвхөн a төдийгүй 5а-г хаалтнаас гаргаж болно гэсэн үг юм. Хаалтны өмнө 5а гэж бичээд дараа нь хаалтанд байгаа нэр томьёог тус бүрийг авсан нийтлэг хүчин зүйлээр нь хувааж, + ба - тэмдгийг марталгүй хаалтанд хуваана. Хоёрдахь хаалтанд мөн адил хийнэ. 7b, түүнчлэн 14 ба 35-ыг 7-ын үржвэрийг гарга.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Бид 5a(2c - 5) ба 7b(2c - 5) гэсэн 2 нэр томъёо авсан. Тэд тус бүр нь нийтлэг хүчин зүйлийг агуулдаг (хаалтанд байгаа бүхэл бүтэн илэрхийлэл энд ижил байна, энэ нь нийтлэг хүчин зүйл гэсэн үг юм): 2c - 5. Үүнийг мөн хаалтнаас гаргах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл 5a ба 7b нөхцөлүүд хэвээр үлдэнэ. хоёр дахь хаалтанд:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Тиймээс бүрэн илэрхийлэл нь:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Тиймээс 10ac + 14bc - 25a - 35b олон гишүүнт (2c - 5) ба (5a + 7b) гэсэн 2 хүчин зүйлд задардаг. Бичих үед тэдгээрийн хоорондох үржүүлэх тэмдгийг орхигдуулж болно

Заримдаа ийм төрлийн илэрхийлэл байдаг: 5a 2 + 50a 3, энд та зөвхөн a эсвэл 5a төдийгүй 5a 2-ыг хаалтанд хийж болно. Та хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахыг үргэлж хичээх хэрэгтэй. Манай тохиолдолд, хэрэв бид нэр томъёо бүрийг нийтлэг хүчин зүйлээр хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(тэнцүү суурьтай хэд хэдэн зэрэглэлийн коэффициентийг тооцоолохдоо суурь нь хадгалагдаж, илтгэгчийг хасна). Тиймээс нэгж нь хаалтанд үлдэнэ (хэрэв та аль нэг нэр томьёог хаалтнаас гаргавал нэгийг бичихээ мартдаггүй) ба хуваах коэффициент: 10a. Энэ нь:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Квадрат томьёо

Тооцооллыг хөнгөвчлөхийн тулд хэд хэдэн томъёог гаргаж авсан. Эдгээрийг товчилсон үржүүлэх томъёо гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн ашиглагддаг. Эдгээр томьёо нь хүчин чадал агуулсан олон гишүүнтүүдийг хүчинжүүлэхэд тусалдаг. Энэ нь хүчин зүйл ангилах өөр нэг үр дүнтэй арга юм. Тиймээс тэд энд байна:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -"нийлбэрийн квадрат" гэж нэрлэгддэг томьёог квадрат болгон задлахын үр дүнд хаалтанд орсон тоонуудын нийлбэрийг авдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нийлбэрийн утгыг өөрөө 2 дахин үржүүлдэг тул үржүүлэгч.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - зөрүүгийн квадратын томъёо нь өмнөхтэй төстэй. Үр дүн нь дөрвөлжин хүчин чадалд агуулагдах хаалтанд орсон ялгаа юм.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- энэ нь квадратуудын зөрүүний томъёо юм, учир нь олон гишүүнт нь 2 квадрат тоо эсвэл илэрхийллээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн хооронд хасах үйлдэл хийгддэг. Магадгүй, дурдсан гурваас энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг.

Квадрат томьёо ашиглан тооцоо хийх жишээ

Тэдний тооцоолол нь маш энгийн. Жишээлбэл:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "нийлбэрийн квадрат" томъёог ашиглана.
2. 25x2 нь 5x-ийн квадрат юм. 20xy нь 2*(5x*2y)-ийн давхар үржвэр, 4y 2 нь 2y-ийн квадрат юм.
3. Тиймээс 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y) болно.Энэ олон гишүүнт 2 хүчин зүйлд задардаг (хүчин зүйл нь ижил тул квадрат хүчин чадалтай илэрхийлэл хэлбэрээр бичигдсэн).

Квадрат зөрүүний томъёог ашигласан үйлдлүүд нь эдгээртэй ижил төстэй байдлаар хийгддэг. Үлдсэн томъёо нь квадратуудын зөрүү юм. Энэ томьёоны жишээг тодорхойлох, бусад илэрхийллүүдийн дунд олоход маш хялбар байдаг. Жишээлбэл:

• 25a 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). 25a 2 = (5a) 2, 400 = 20 2 тул
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2, 25y 2 = (5y 2) тул
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 оноос хойш

Нэр томьёо бүр нь тодорхой илэрхийллийн квадрат байх нь чухал. Дараа нь энэ олон гишүүнт квадратын зөрүүний томъёог ашиглан үржвэрлэх ёстой. Үүний тулд хоёр дахь зэрэг нь тооноос дээгүүр байх шаардлагагүй. Том градус агуулсан олон гишүүнтүүд байдаг ч эдгээр томьёотой тохирдог.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Энэ жишээнд 8-ыг (a 4) 2, өөрөөр хэлбэл тодорхой илэрхийллийн квадратаар илэрхийлж болно. 25 нь 5 2, 10a нь 4 - Энэ нь 2 * a 4 * 5 нөхцлийн давхар үржвэр юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ илэрхийлэл нь том экспонент бүхий зэрэгтэй байсан ч дараа нь тэдэнтэй ажиллахын тулд 2 хүчин зүйл болгон задалж болно.

Кубын томъёо

Куб агуулсан олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгахад ижил томъёо байдаг. Тэд квадраттай харьцуулахад арай илүү төвөгтэй байдаг:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- энэ томьёог кубын нийлбэр гэж нэрлэдэг, учир нь анхны хэлбэр нь олон гишүүнт нь шоо дотор хавсаргасан хоёр илэрхийлэл эсвэл тооны нийлбэр юм.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -өмнөхтэй ижил томьёог кубын зөрүү гэж тодорхойлсон.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - нийлбэрийн шоо, тооцооллын үр дүнд тоо эсвэл илэрхийллийн нийлбэрийг хаалтанд хийж, өөрөө 3 дахин үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл шоо дотор байрлана.
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -Математик үйлдлийн зөвхөн зарим шинж тэмдгийг (нэмэх ба хасах) өөрчилсөн өмнөхтэй ижил төстэй байдлаар эмхэтгэсэн томъёог "ялгаа шоо" гэж нэрлэдэг.

Сүүлийн хоёр томьёог олон гишүүнт хүчин зүйлээр ялгах зорилгоор бараг ашигладаггүй, учир нь тэдгээр нь нарийн төвөгтэй бөгөөд яг энэ бүтэцтэй бүрэн нийцэх олон гишүүнтийг олох нь хангалттай ховор бөгөөд эдгээр томъёог ашиглан тэдгээрийг хүчин зүйлээр ялгах боломжтой. Гэхдээ та тэдгээрийг мэдэх хэрэгтэй хэвээр байна, учир нь эсрэг чиглэлд ажиллах үед - хаалт нээх үед шаардлагатай болно.

Шоо томьёоны жишээ

Нэг жишээг харцгаая: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Энд маш энгийн тоонуудыг авсан тул 64a 3 нь (4a) 3, 8b 3 нь (2b) 3 гэдгийг шууд харж болно. Тиймээс энэ олон гишүүнт кубын зөрүүний томъёоны дагуу 2 хүчин зүйл болгон өргөжүүлэв. Шоо нийлбэрийн томъёог ашиглан үйлдлүүд нь аналоги байдлаар хийгддэг.

Бүх олон гишүүнтүүдийг ядаж нэг аргаар тэлэх боломжгүй гэдгийг ойлгох нь чухал. Гэхдээ дөрвөлжин эсвэл шоо гэхээсээ илүү их хүчийг агуулсан хэллэгүүд байдаг ч тэдгээрийг товчилсон үржүүлэх хэлбэр болгон өргөжүүлж болно. Жишээ нь: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Энэ жишээ нь 12-р зэрэглэлийг агуулдаг. Гэхдээ үүнийг ч гэсэн кубын нийлбэр томъёогоор хүчин зүйл болгож болно. Үүнийг хийхийн тулд та x 12-ыг (x 4) 3, өөрөөр хэлбэл ямар нэгэн илэрхийллийн шоо хэлбэрээр төсөөлөх хэрэгтэй. Одоо та үүнийг томъёонд a-ийн оронд орлуулах хэрэгтэй. За, 125y 3 илэрхийлэл нь 5y-ийн шоо юм. Дараа нь та томъёог ашиглан бүтээгдэхүүнийг зохиож, тооцоолол хийх хэрэгтэй.

Эхлээд эсвэл эргэлзээтэй тохиолдолд та урвуу үржүүлэх замаар үргэлж шалгаж болно. Та үүссэн илэрхийлэл дэх хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёо бүхий үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. Энэ арга нь жагсаасан бүх багасгах аргуудад хамаарна: нийтлэг хүчин зүйл, бүлэглэлтэй ажиллах, шоо ба квадрат зэрэглэлийн томъёотой ажиллах.

Олон гишүүнт гэдэг нь мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх илэрхийлэл юм. Сүүлийнх нь тогтмол (тоо) ба илэрхийллийн үндэс (эсвэл үндэс) -ийн үржвэр нь k-ийн зэрэглэл юм. Энэ тохиолдолд бид k зэрэгтэй олон гишүүнтийн тухай ярьж байна. Олон гишүүнтийн тэлэлт нь нэр томьёо нь хүчин зүйлээр солигдсон илэрхийллийн өөрчлөлтийг агуулдаг. Энэ төрлийн өөрчлөлтийг хийх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Нийтлэг хүчин зүйлийг тусгаарлах замаар олон гишүүнтийг тэлэх арга

Энэ арга нь хуваарилалтын хуулийн хуулиуд дээр суурилдаг. Тэгэхээр mn + mk = m * (n + k).

• Жишээ:тэлэх 7y 2 + 2uy болон 2м 3 – 12м 2 + 4лм.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2м 3 – 12м 2 + 4лм = 2м(м 2 – 6м + 2л).

Гэсэн хэдий ч олон гишүүнт бүрт заавал байх хүчин зүйл нь үргэлж олддоггүй тул энэ арга нь бүх нийтийнх биш юм.

Үржүүлэх товчилсон томъёонд суурилсан олон гишүүнт тэлэлтийн арга

Үржүүлэх товчилсон томъёо нь аль ч зэрэгтэй олон гишүүнтэд хүчинтэй. Ерөнхийдөө хувиргах илэрхийлэл дараах байдалтай байна.

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), энд k нь төлөөлөгч юм. натурал тоонууд.

Практикт хамгийн их хэрэглэгддэг томьёо нь хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн олон гишүүнтэд зориулагдсан болно.

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Жишээ:тэлэх 25p 2 – 144b 2 ба 64м 3 – 8л 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64м 3 – 8л 3 = (4м) 3 – (2л) 3 = (4м – 2л)((4м) 2 + 4м * 2л + (2л) 2) = (4м – 2л)(16м 2 + 8мл + 4л 2 ).

Олон гишүүнт тэлэлтийн арга - илэрхийллийн нэр томъёог бүлэглэх

Энэ арга нь нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авах арга техниктэй ямар нэгэн байдлаар нийтлэг зүйлтэй боловч зарим нэг ялгаатай талуудтай. Ялангуяа нийтлэг хүчин зүйлийг тусгаарлахын өмнө мономиалуудыг бүлэглэх хэрэгтэй. Бүлэглэл нь хослолын болон хувирах хуулиудын дүрэмд суурилдаг.

Илэрхийлэлд үзүүлсэн бүх мономиалуудыг бүлэгт хуваадаг бөгөөд тус бүрдээ хоёр дахь хүчин зүйл нь бүх бүлэгт ижил байхаар нийтлэг утгыг өгдөг. Ерөнхийдөө энэ задралын аргыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Жишээ:тархсан 14мн + 16лн – 49м – 56л.

14мн + 16н – 49м – 56л = (14мн – 49м) + (16лн – 56л) = 7м * (2н – 7) + 8л * (2н – 7) = (7м + 8л)(2н – 7).

Олон гишүүнт тэлэлтийн арга - төгс квадрат үүсгэх

Энэ арга нь олон гишүүнтийг тэлэх хамгийн үр дүнтэй арга юм. Эхний үе шатанд зөрүү буюу нийлбэрийн квадрат руу "нурах" боломжтой мономиалуудыг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд харилцааны аль нэгийг ашиглана уу:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,

• Жишээ: u 4 + 4u 2 – 1 илэрхийллийг өргөжүүл.

Түүний мономиалуудаас бид бүрэн дөрвөлжин үүсгэх нэр томъёог сонгоно: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Үржүүлэх товчилсон дүрмийг ашиглан хувиргалтыг гүйцээнэ үү: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Тэр. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Факторинг олон гишүүнтийн 8 жишээг өгөв. Үүнд квадрат ба биквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ, харилцан олон гишүүнтийн жишээ, гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг олох жишээ орно.

1. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Шийдэл

Бид x-г гаргаж авдаг 2 хаалтны гадна талд:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Тэгшитгэлийн үндэс:
, .

.

Хариулах

Жишээ 1.2

Гурав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Шийдэл

Хаалтаас x-г авч үзье:
.
Х квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 + 6 x + 9 = 0:
Түүний ялгаварлагч: .
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэлийн үндэс нь үржвэр болно: ;
.

Үүнээс бид олон гишүүнтийн хүчин зүйлчлэлийг олж авна.
.

Хариулах

Жишээ 1.3

Тав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Шийдэл

Бид x-г гаргаж авдаг 3 хаалтны гадна талд:
.
Х квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 - 2 x + 10 = 0.
Түүний ялгаварлагч: .
Дискриминант нь тэгээс бага тул тэгшитгэлийн язгуур нь нийлмэл байна: ;
, .

Олон гишүүнтийг үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Хэрэв бид бодит коэффициент бүхий хүчин зүйлчлэлийг сонирхож байгаа бол:
.

Хариулах

Томьёог ашиглан олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах жишээ

Биквадрат олон гишүүнттэй жишээнүүд

Жишээ 2.1

Биквадрат олон гишүүнт хүчин зүйл:
x 4 + x 2 - 20.

Шийдэл

Томъёог хэрэгжүүлье:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Хариулах

Жишээ 2.2

Биквадрат болгон бууруулж буй олон гишүүнтийг үржүүлээрэй.
x 8 + x 4 + 1.

Шийдэл

Томъёог хэрэгжүүлье:
а 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
а 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Хариулах

Давтагдах олон гишүүнтэй жишээ 2.3

Харилцан олон гишүүнт хүчин зүйл:
.

Шийдэл

Харилцан олон гишүүнт сондгой зэрэгтэй байна. Тиймээс энэ нь үндэстэй x = - 1 . Олон гишүүнтийг х -д хуваа. (-1) = x + 1. Үүний үр дүнд бид:
.
Сэлгээ хийцгээе:
, ;
;


;
.

Хариулах

Бүхэл язгууртай олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгах жишээ

Жишээ 3.1

Олон гишүүнт хүчин зүйл:
.

Шийдэл

Тэгшитгэл гэж үзье

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Тиймээс бид гурван үндэс олсон:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Анхны олон гишүүнт гуравдугаар зэрэгтэй тул гурваас илүүгүй үндэстэй. Бид гурван үндэс олсон тул тэдгээр нь энгийн. Дараа нь
.

Хариулах

Жишээ 3.2

Олон гишүүнт хүчин зүйл:
.

Шийдэл

Тэгшитгэл гэж үзье

дор хаяж нэг бүхэл үндэстэй. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
-2, -1, 1, 2 .
Бид эдгээр утгыг нэг нэгээр нь орлуулж байна:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно. 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тиймээс бид өөр нэг язгуур х оллоо 2 = -1 . Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно.
.

x тэгшитгэлээс хойш 2 + 2 = 0 бодит үндэсгүй бол олон гишүүнтийн үржвэрлэх хэлбэр байна.

Олон гишүүнт хүчин зүйл хийх. 1-р хэсэг

Факторжуулалтнь нарийн төвөгтэй тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг бүх нийтийн арга юм. Баруун талд нь тэг байгаа тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хамгийн түрүүнд толгойд орж ирэх бодол бол зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцох явдал юм.

Гол зүйлийг жагсаацгаая олон гишүүнт хүчин зүйл тооцох арга:

• нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна
• үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан
• квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгох томъёог ашиглан
• бүлэглэх арга
• олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах
• тодорхойгүй коэффициентийн арга

Энэ нийтлэлд бид эхний гурван аргыг нарийвчлан авч үзэх болно, үлдсэнийг нь дараагийн өгүүллээр авч үзэх болно.

1. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахын тулд эхлээд үүнийг олох хэрэгтэй. Нийтлэг үржүүлэгч хүчин зүйлбүх коэффициентүүдийн хамгийн том нийтлэг хуваагчтай тэнцүү.

Захидлын хэсэгнийтлэг хүчин зүйл нь гишүүн бүрт багтсан хамгийн бага илтгэгчтэй илэрхийллийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Нийтлэг үржүүлэгчийг хуваарилах схем дараах байдалтай байна.

Анхаар!
Хаалтанд байгаа нэр томъёоны тоо нь анхны илэрхийлэл дэх нэр томъёоны тоотой тэнцүү байна. Хэрэв нэр томъёоны аль нэг нь нийтлэг хүчин зүйлтэй давхцаж байвал түүнийг нийтлэг хүчин зүйлээр хуваахдаа бид нэгийг авна.

Жишээ 1.

Олон гишүүнт хүчин зүйл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд үүнийг олох болно.

1. Олон гишүүнтийн бүх коэффициентийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол, i.e. 20, 35, 15 тоо. Энэ нь 5-тай тэнцүү.

2. Бид хувьсагч бүх гишүүнд агуулагдаж байгаа бөгөөд түүний илтгэгчийн хамгийн бага нь 2-той тэнцүү байна. Хувьсагч бүх гишүүнд агуулагдаж, хамгийн бага илтгэгч нь 3 байна.

Хувьсагч нь зөвхөн хоёр дахь гишүүнд агуулагддаг тул энэ нь нийтлэг хүчин зүйлийн нэг хэсэг биш юм.

Тэгэхээр нийт хүчин зүйл нь

3. Бид дээр өгөгдсөн диаграммыг ашиглан үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргана.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэр болгоё. Хаалтанд байгаа хүчин зүйлийг авч үзье:

Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлье:

Бид олж авна - эхний тэгшитгэлийн үндэс.

Үндэс:

Хариулт: -1, 2, 4

2. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үржүүлэх.

Хэрэв бидний үржүүлэх гэж буй олон гишүүнт гишүүний тоо гурваас бага буюу тэнцүү бол бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглахыг оролддог.

1. Хэрэв олон гишүүнт байвалхоёр нэр томъёоны зөрүү, дараа нь бид өргөдөл гаргахыг хичээдэг квадрат зөрүүний томъёо:

эсвэл кубын зөрүүний томъёо:

Энд захидал байна мөн тоо эсвэл алгебрийн илэрхийлэлийг тэмдэглэнэ.

2. Хэрэв олон гишүүнт нь хоёр гишүүний нийлбэр бол үүнийг ашиглан хүчин зүйлээр ялгах боломжтой куб томъёоны нийлбэр:

3. Хэрэв олон гишүүнт гурван гишүүнээс бүрддэг бол бид хэрэглэхийг оролддог квадрат нийлбэрийн томъёо:

эсвэл квадрат ялгааны томъёо:

Эсвэл бид хүчин зүйлээр тооцохыг хичээдэг квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр ялгах томьёо:

Энд ба квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд байна

Жишээ 3.Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдэл. Бидний өмнө хоёр гишүүний нийлбэр байна. Шоо нийлбэрийн томъёог хэрэглэхийг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд нэр томъёо бүрийг ямар нэгэн илэрхийллийн шоо хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь кубуудын нийлбэрийн томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ 4.Илэрхийллийн хүчин зүйл:

Шийдвэр. Энд бид хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгааг олж авна. Эхний илэрхийлэл: , хоёр дахь илэрхийлэл:

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглая:

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох тодорхой жишээнүүдийг харцгаая.

-ийн дагуу олон гишүүнтүүдийг өргөжүүлнэ.

Хүчин зүйлийн олон гишүүнтүүд:

Нийтлэг хүчин зүйл байгаа эсэхийг шалгацгаая. тийм ээ, энэ нь 7cd-тэй тэнцүү байна. Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:

Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь хоёр гишүүнээс бүрдэнэ. Нийтлэг хүчин зүйл байхаа больсон, илэрхийлэл нь кубуудын нийлбэрийн томъёо биш бөгөөд энэ нь задрал дууссан гэсэн үг юм.

Нийтлэг хүчин зүйл байгаа эсэхийг шалгацгаая. Үгүй Олон гишүүнт гурван гишүүнээс бүрдэх тул бүтэн квадратын томьёо байгаа эсэхийг шалгана. Хоёр гишүүн нь илэрхийллийн квадратууд юм: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², гурав дахь гишүүн нь эдгээр илэрхийллийн давхар үржвэртэй тэнцүү: 2∙5x∙3y=30xy. Энэ нь энэ олон гишүүнт төгс квадрат гэсэн үг юм. Давхар бүтээгдэхүүн нь хасах тэмдэгтэй тул энэ нь:

Бид нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгадаг. Нийтлэг хүчин зүйл байдаг, энэ нь а-тай тэнцүү байна. Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:

Хаалтанд хоёр нэр томъёо байна. Бид квадратуудын зөрүү эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг тодорхойлох томьёо байгаа эсэхийг шалгадаг. a² нь a-ийн квадрат, 1=1². Энэ нь хаалтанд байгаа илэрхийллийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор бичиж болно гэсэн үг юм.

Нийтлэг хүчин зүйл байна, энэ нь 5-тай тэнцүү. Үүнийг хаалтнаас гаргая:

хаалтанд гурван нэр томъёо байна. Бид илэрхийлэл нь төгс дөрвөлжин эсэхийг шалгадаг. Хоёр гишүүн нь квадрат: 16=4² ба a² - a-ийн квадрат, гурав дахь гишүүн нь 4 ба a-ийн давхар үржвэртэй тэнцүү: 2∙4∙a=8a. Тиймээс энэ нь төгс дөрвөлжин юм. Бүх нэр томъёо нь "+" тэмдэгтэй байдаг тул хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь нийлбэрийн төгс квадрат болно.

Бид хаалтнаас ерөнхий үржүүлэгч -2x-ийг авдаг.

Хаалтанд хоёр гишүүний нийлбэр байна. Энэ илэрхийлэл нь кубуудын нийлбэр эсэхийг шалгана. 64=4³, x³- шоо х. Энэ нь дараах томъёог ашиглан биномийг өргөжүүлж болно гэсэн үг юм.

Нийтлэг үржүүлэгч байдаг. Гэхдээ олон гишүүнт нь 4 гишүүнээс бүрддэг тул эхлээд, дараа нь хаалтнаас нийтлэг хүчин зүйлийг авна. Эхний гишүүнийг дөрөв дэх, хоёр дахь нь гурав дахь нэр томъёогоор бүлэглэе.

Эхний хаалтаас бид нийтлэг хүчин зүйл 4a, хоёр дахь нь 8b-ийг гаргаж авдаг.

Одоогоор нийтлэг үржүүлэгч байхгүй байна. Үүнийг авахын тулд бид хоёр дахь хаалтаас "-" тэмдгийг гаргаж авах ба хаалтанд байгаа тэмдэг бүр эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Одоо нийтлэг хүчин зүйлийг (1-3a) хаалтнаас гаргая:

Хоёрдахь хаалтанд нийтлэг хүчин зүйл 4 байна (энэ нь жишээний эхэнд хаалтанд оруулаагүй хүчин зүйл юм):

Олон гишүүнт дөрвөн гишүүнээс бүрддэг тул бид бүлэглэнэ. Эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй бүлэглэе.

Эхний хаалтанд нийтлэг хүчин зүйл байхгүй, гэхдээ квадратуудын зөрүүний томъёо байдаг, хоёр дахь хаалтанд нийтлэг хүчин зүйл нь -5 байна.

Нийтлэг үржүүлэгч гарч ирэв (4м-3н). Үүнийг тэгшитгэлээс хасъя.