Факторжуулалт. Олон хүчин зүйл Олон гишүүнт жишээний олон хүчин зүйлийг уусмалаар тусгаарла

Тодорхойлолт 1.Хэрэв c тоог үл мэдэгдэхийг орлуулах үед f(x) олон гишүүн алга болвол c-г f(x) олон гишүүнтийн үндэс (эсвэл f(x)=0 тэгшитгэл) гэнэ.

Жишээ 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, f(2) тул 1-ийн тоо f(x), 2-ын тоо f(x)-ийн үндэс биш. )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Олон гишүүнтийн үндэс нь хуваагчтай холбоотой болох нь харагдаж байна.

Зөвхөн f(x) нь x-c-д хуваагдах тохиолдолд c тоо нь f(x) олон гишүүнт үндэс болно.

Тодорхойлолт 2.Хэрэв c нь олон гишүүнт f(x) бол f(x) нь x-c-д хуваагдана. Тэгвэл f(x) нь (x-c) k-д хуваагдах боловч (x-c) k+1-д хуваагддаггүй k натурал тоо байна. Энэ k тоог f(x) олон гишүүнтийн c язгуурын үржвэр гэж нэрлэдэг бөгөөд c үндэс нь өөрөө энэ олон гишүүнтийн k нугалах үндэс юм. Хэрэв k=1 бол c язгуурыг энгийн гэнэ.

Олон гишүүнт f(x)-ын язгуурын үржвэрийг k олохын тулд теоремыг ашиглана:

Хэрэв c тоо нь f(x) олон гишүүнтийн k нугалах үндэс бол k>1 бол энэ олон гишүүнтийн эхний деривативын (k-1) нугалах үндэс болно; хэрэв k=1 бол c нь f "(x)-ийн үндэс болохгүй.

Үр дагавар.Эхний удаад f(x) олон гишүүнтийн k нугалах үндэс нь k-р деривативын үндэс болохгүй.

Жишээ 2. 2-ын тоо нь f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгаарай. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлох.

Шийдэл. 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0 тул 2 тоо нь f(x)-ийн үндэс юм.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

2-ын тоо нь анх удаа f"""(x)-ийн үндэс биш тул 2-ын тоо нь f(x) олон гишүүнтийн гурвалсан язгуур юм.

Тэргүүлэх коэффициент 1-тэй n≥1 зэрэгтэй f(x) олон гишүүнтийг өгье: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n ба α 1 ,... ,α n нь түүний үндэс юм. Олон гишүүнтийн үндэс ба түүний коэффициентүүд нь Vieta томъёо гэж нэрлэгддэг томъёогоор холбогддог.

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Виетийн томьёо нь олон гишүүнт язгуурыг нь бичихэд хялбар болгодог.

Жишээ 3.Энгийн язгууртай олон гишүүнт олох 2; 3 ба давхар үндэс -1.

Шийдэл.Олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг олъё:

ба 1 =– (2+3–1–1) = -3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

ба 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Шаардлагатай олон гишүүнт нь x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6 байна.

Тодорхойлолт 3. n зэрэгтэй олон гишүүнт f(x)ÌP[x] нь градусаас бага P[x]-ээс φ(x) ба ψ(x) гэсэн хоёр хүчин зүйлийн үржвэрт задрах боломжтой бол P талбарт бууруулж болно. n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

Хэрэв P[x]-ээс хүчин зүйлчлэлийн аль нэг нь 0 зэрэгтэй, нөгөө нь n зэрэгтэй байвал f(x)ОP[x]-ийг P талбар дээр бууруулж болохгүй гэж нэрлэдэг.

Дараах теоремуудыг баримтална.

P[x] цагирагаас тэг биш f(x) зэрэгтэй ямар ч олон гишүүнт P[x]-аас тэг градусын хүчин зүйл хүртэл дахин бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалж болно.

Эндээс n, n≥1 зэрэгтэй f(х)ОР[x] олон гишүүнтийн хувьд бууруулж болшгүй хүчин зүйлд дараах задаргаа явагдана гэсэн амархан гарч ирнэ.

Үүнд: нэгтэй тэнцүү тэргүүлэх коэффициенттэй P[x] дахь бууруулж болохгүй олон гишүүнт байна. Олон гишүүнтийн энэ өргөтгөл нь өвөрмөц юм.

Ийм өргөтгөлд багтсан бууруулж боломгүй хүчин зүйлүүд бүгд өөр байх албагүй. Хэрэв (2) тэлэлтийн үед бууруулж болохгүй олон гишүүнт яг k удаа тохиолдвол үүнийг f(x) олон гишүүнтийн k дахин хүчин зүйл гэнэ f(x)-ийн энгийн коэффициент.

Хэрэв өргөтгөл (2) дээр ижил хүчин зүйлсийг нэгтгэсэн бол энэ өргөтгөлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

, (3)

Р 1 (x),…, Р r (x) хүчин зүйлүүд аль хэдийн өөр байна. Энд байгаа k 1 ,…,k r үзүүлэлтүүд нь харгалзах хүчин зүйлсийн үржвэртэй тэнцүү байна. Өргөтгөл (3)-ыг дараах байдлаар бичиж болно.

Энд F 1 (x) нь бүх энгийн бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийн үржвэр, бүх давхар бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийн үржвэр гэх мэт. өргөтгөлд (3). Хэрэв тэлэлтийн үед m дахин хүчин зүйл байхгүй бол (3) хүчин зүйлийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Тооны талбар дээрх олон гишүүнт f(x)-ын F 1 (x),…,F s (x) олон гишүүнтүүдийг дериватив ойлголтыг ашиглан олж болно, өмнө нь томьёолсон теоремын Евклидийн алгоритм (үүсмэл утгатай холболтын тухай) дараах байдлаар:

Тиймээс бид авдаг

Тиймээс, олон гишүүнт f(x)-ийн хувьд бид хүчин зүйлсийг олж болно .

Хэрэв олон гишүүнт f(x)-ийн хувьд түүний тэлэлтийн (4) F 1 (x),...,F s (x) хүчин зүйлсийг олох шаардлагатай бол түүний олон хүчин зүйлийг салгах шаардлагатай гэж тэд хэлдэг.

Жишээ 4. f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4 олон хүчин зүйлийг салга.

Шийдэл. f(x) ба f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd-г ол.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Одоо бид d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 "(x))-ийг олно.

Бид v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) -ийг илэрхийлдэг.

(бид хуваах).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(бид хуваах).

Тиймээс бид F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Тиймээс f(x) олон гишүүнт f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 тэлэлттэй байна. f(x) олон гишүүнт (3) тэлэлтэнд анхны хүчин зүйл байхгүй, хоёр дахин хүчин зүйл нь x-2, гурав дахин хүчин зүйл нь x+1 байна.

Тайлбар 1.Хэрэв олон гишүүнт f(x)-ын бүх бууруулж болохгүй хүчин зүйлүүд энгийн байвал энэ арга юу ч өгөхгүй (бид f(x) = F 1 (x) ижил төстэй байдлыг олж авна).

Тайлбар 2.Энэ арга нь дурын олон гишүүнтийн бүх язгуурын үржвэрийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

ЛАБОРАТОРИЙН АЖЛЫН СОНГОЛТ

Сонголт 1

1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 олон гишүүнт 1+i үндэстэй эсэхийг шалгаарай. Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108-ын үржвэрийг салга.

3. Үндэс нь 5, i, i+3 байх хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 2

1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 олон гишүүнт x 0 = 2 язгуурын үржвэр хэд вэ? Үлдсэн үндсийг нь олоорой.

2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8-ийн үржвэрийг салга.

3. Тэгшитгэлийн x 1, x 2, x 3 язгуурууд нь хамаарлыг хангаж байвал x 3 +px+q=0 тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойл.

Сонголт 3

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 олон гишүүнт x 0 = 4 язгуурын үржвэр хэд вэ? Үлдсэн үндсийг олоорой.

2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 үржвэрүүдийг салга.

3. Тэгшитгэлийн нэг язгуур нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их байхаар λ-ийг тодорхойл: x 3 -7x+λ=0.

Сонголт 4

1. x=3 нь f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлж, үлдсэн үндсийг ол.

2. Олон гишүүнт x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 олон гишүүнтийг салга.

3. 2x 3 - x 2 -7x+λ=0 тэгшитгэлийн хоёр язгуурын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү. λ-г ол.

Сонголт 5

1. x 0 = -2 нь x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлж, үлдсэн үндсийг ол.

2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. 1, 2, 3, 1+i үндэс өгөгдсөн хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 6

1. x 5 + ax 4 + b олон гишүүнт тэгээс ялгаатай давхар язгууртай байх нөхцлийг ол.

2. Олон гишүүнт x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 олон гишүүнтийг салга.

3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n олон гишүүнт x 1, x 2,…, x n үндэстэй. Олон гишүүнт ямар үндэстэй вэ: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Сонголт 7

1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 олон гишүүнтийн үндэс нь x=-2 болохыг харуул. Үндэсийн үржвэрийг олоод олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

3. 2х 3 -2х 2 -4х-1 тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг ол.

Сонголт 8

1. x=1 нь x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 олон гишүүнтийн үндэс болохыг батал. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлох. Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

3. Олон гишүүнтийн нэг язгуур нөгөөгөөсөө 2 дахин том байна. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ олон гишүүнтийн язгуурыг ол.

Сонголт 9

1. x 5 +10ax 3 +5bx+c олон гишүүнт тэгээс ялгаатай гурвалсан язгууртай байх нөхцлийг ол.

2. Олон гишүүнт x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 олон гишүүнтийг салга.

3. Үндэс нь арифметик прогресс үүсгэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол x 3 -6x 2 +qx+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Сонголт 10

1. x=3 нь f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Үндэсийн үржвэрийг тодорхойлж, олон гишүүнтийн бусад язгуурыг ол.

2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. 1, 2+i, 3 язгуур өгөгдсөн хамгийн бага зэрэгтэй бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 11

1. x=2 нь x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдал болон бусад үндсийг олоорой.

2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. Үндэс нь x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул.

Сонголт 12

1. x = -1 нь x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний үржвэр болон олон гишүүнтийн үлдсэн язгуурыг ол.

2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. X 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 язгуурууд нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул.

Сонголт 13

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 олон гишүүнт x 0 = 4 язгуурын үржвэр хэд вэ? Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

2. Олон гишүүнт x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 олон гишүүнтийг салга.

3. x 3 -7x+λ=0 тэгшитгэлийн аль нэг язгуур нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их байхаар λ-ийг тодорхойл.

Холбогдох мэдээлэл.

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь функцийг хүчин зүйл болгоход зориулагдсан.

Жишээ нь: х 2 /3-3x+12. Үүнийг x^2/3-3*x+12 гэж бичье. Та бүх тооцооллыг Word форматаар хадгалдаг энэ үйлчилгээг ашиглаж болно.

Жишээлбэл, нэр томьёо болгон задлах. Үүнийг (1-x^2)/(x^3+x) гэж бичье. Шийдлийн явцыг харахын тулд "Алхамуудыг харуулах" дээр дарна уу. Хэрэв та Word форматаар үр дүнг авах шаардлагатай бол энэ үйлчилгээг ашиглана уу.

Анхаарна уу: "pi" (π) тоог pi гэж бичсэн; язгуурыг sqrt , жишээ нь sqrt(3) , тангенс tg гэж бичнэ tan . Хариултыг харахын тулд Альтернатив хувилбарыг үзнэ үү.

1. Хэрэв энгийн илэрхийлэл өгөгдсөн бол жишээ нь 8*d+12*c*d бол илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилах нь илэрхийлэлийг хүчин зүйл хэлбэрээр илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд та нийтлэг хүчин зүйлсийг олох хэрэгтэй. Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар бичье: 4*d*(2+3*c) .
2. Бүтээгдэхүүнийг хоёр дуран хэлбэрээр үзүүлнэ үү: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Энд та хэд хэдэн нийтлэг хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Бид (x+7z) гаргаж аваад: (x+7z)(x + 3y) авна.

Мөн олон гишүүнтийг булангаар хуваахыг үзнэ үү (баганаар хуваах бүх алхмуудыг харуулав)

Хүчин зүйлчлэлийн дүрмийг судлахад ашигтай байх болно үржүүлэх товчилсон томъёо, үүний тусламжтайгаар дөрвөлжин хэлбэртэй хаалт хэрхэн нээх нь тодорхой болно.

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Факторжуулалтын аргууд

Хэд хэдэн техник сурсны дараа хүчин зүйлчлэлДараахь шийдлүүдийг ангилж болно.

1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.
2. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох.

Тодорхойлолт 1.Хэрэв c тоог үл мэдэгдэхийг орлуулах үед f(x) олон гишүүн алга болвол c-г f(x) олон гишүүнтийн үндэс (эсвэл f(x)=0 тэгшитгэл) гэнэ.

Жишээ 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, f(2) тул 1-ийн тоо f(x), 2-ын тоо f(x)-ийн үндэс биш. )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Олон гишүүнтийн үндэс нь хуваагчтай холбоотой болох нь харагдаж байна.

Зөвхөн f(x) нь x-c-д хуваагдах тохиолдолд c тоо нь f(x) олон гишүүнт үндэс болно.

Тодорхойлолт 2.Хэрэв c нь олон гишүүнт f(x) бол f(x) нь x-c-д хуваагдана. Тэгвэл f(x) нь (x-c) k-д хуваагдах боловч (x-c) k+1-д хуваагддаггүй k натурал тоо байна. Энэ k тоог f(x) олон гишүүнтийн c язгуурын үржвэр гэж нэрлэдэг бөгөөд c үндэс нь өөрөө энэ олон гишүүнтийн k нугалах үндэс юм. Хэрэв k=1 бол c язгуурыг энгийн гэнэ.

Олон гишүүнт f(x)-ын язгуурын үржвэрийг k олохын тулд теоремыг ашиглана:

Хэрэв c тоо нь f(x) олон гишүүнтийн k нугалах үндэс бол k>1 бол энэ олон гишүүнтийн эхний деривативын (k-1) нугалах үндэс болно; хэрэв k=1 бол c нь f "(x)-ийн үндэс болохгүй.

Үр дагавар.Эхний удаад f(x) олон гишүүнтийн k нугалах үндэс нь k-р деривативын үндэс болохгүй.

Жишээ 2. 2-ын тоо нь f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгаарай. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлох.

Шийдэл. 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0 тул 2 тоо нь f(x)-ийн үндэс юм.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

2-ын тоо нь анх удаа f"""(x)-ийн үндэс биш тул 2-ын тоо нь f(x) олон гишүүнтийн гурвалсан язгуур юм.

Тэргүүлэх коэффициент 1-тэй n≥1 зэрэгтэй f(x) олон гишүүнтийг өгье: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n ба α 1 ,... ,α n нь түүний үндэс юм. Олон гишүүнтийн үндэс ба түүний коэффициентүүд нь Vieta томъёо гэж нэрлэгддэг томъёогоор холбогддог.

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Виетийн томьёо нь олон гишүүнт язгуурыг нь бичихэд хялбар болгодог.

Жишээ 3.Энгийн язгууртай олон гишүүнт олох 2; 3 ба давхар үндэс -1.

Шийдэл.Олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг олъё:

ба 1 =– (2+3–1–1) = -3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

ба 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Шаардлагатай олон гишүүнт нь x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6 байна.

Тодорхойлолт 3. n зэрэгтэй олон гишүүнт f(x)ÌP[x] нь градусаас бага P[x]-ээс φ(x) ба ψ(x) гэсэн хоёр хүчин зүйлийн үржвэрт задрах боломжтой бол P талбарт бууруулж болно. n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

Хэрэв P[x]-ээс хүчин зүйлчлэлийн аль нэг нь 0 зэрэгтэй, нөгөө нь n зэрэгтэй байвал f(x)ОP[x]-ийг P талбар дээр бууруулж болохгүй гэж нэрлэдэг.

Дараах теоремуудыг баримтална.

P[x] цагирагаас тэг биш f(x) зэрэгтэй ямар ч олон гишүүнт P[x]-аас тэг градусын хүчин зүйл хүртэл дахин бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалж болно.

Эндээс n, n≥1 зэрэгтэй f(х)ОР[x] олон гишүүнтийн хувьд бууруулж болшгүй хүчин зүйлд дараах задаргаа явагдана гэсэн амархан гарч ирнэ.

Үүнд: нэгтэй тэнцүү тэргүүлэх коэффициенттэй P[x] дахь бууруулж болохгүй олон гишүүнт байна. Олон гишүүнтийн энэ өргөтгөл нь өвөрмөц юм.

Ийм өргөтгөлд багтсан бууруулж боломгүй хүчин зүйлүүд бүгд өөр байх албагүй. Хэрэв (2) тэлэлтийн үед бууруулж болохгүй олон гишүүнт яг k удаа тохиолдвол үүнийг f(x) олон гишүүнтийн k дахин хүчин зүйл гэнэ f(x)-ийн энгийн коэффициент.

Хэрэв өргөтгөл (2) дээр ижил хүчин зүйлсийг нэгтгэсэн бол энэ өргөтгөлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

, (3)

Р 1 (x),…, Р r (x) хүчин зүйлүүд аль хэдийн өөр байна. Энд байгаа k 1 ,…,k r үзүүлэлтүүд нь харгалзах хүчин зүйлсийн үржвэртэй тэнцүү байна. Өргөтгөл (3)-ыг дараах байдлаар бичиж болно.

Энд F 1 (x) нь бүх энгийн бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийн үржвэр, бүх давхар бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийн үржвэр гэх мэт. өргөтгөлд (3). Хэрэв тэлэлтийн үед m дахин хүчин зүйл байхгүй бол (3) хүчин зүйлийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Тооны талбар дээрх олон гишүүнт f(x)-ын F 1 (x),…,F s (x) олон гишүүнтүүдийг дериватив ойлголтыг ашиглан олж болно, өмнө нь томьёолсон теоремын Евклидийн алгоритм (үүсмэл утгатай холболтын тухай) дараах байдлаар:

Тиймээс бид авдаг

Тиймээс, олон гишүүнт f(x)-ийн хувьд бид хүчин зүйлсийг олж болно .

Хэрэв олон гишүүнт f(x)-ийн хувьд түүний тэлэлтийн (4) F 1 (x),...,F s (x) хүчин зүйлсийг олох шаардлагатай бол түүний олон хүчин зүйлийг салгах шаардлагатай гэж тэд хэлдэг.

Жишээ 4. f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4 олон хүчин зүйлийг салга.

Шийдэл. f(x) ба f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd-г ол.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Одоо бид d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 "(x))-ийг олно.

Бид v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) -ийг илэрхийлдэг.

(бид хуваах).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(бид хуваах).

Тиймээс бид F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Тиймээс f(x) олон гишүүнт f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 тэлэлттэй байна. f(x) олон гишүүнт (3) тэлэлтэнд анхны хүчин зүйл байхгүй, хоёр дахин хүчин зүйл нь x-2, гурав дахин хүчин зүйл нь x+1 байна.

Тайлбар 1.Хэрэв олон гишүүнт f(x)-ын бүх бууруулж болохгүй хүчин зүйлүүд энгийн байвал энэ арга юу ч өгөхгүй (бид f(x) = F 1 (x) ижил төстэй байдлыг олж авна).

Тайлбар 2.Энэ арга нь дурын олон гишүүнтийн бүх язгуурын үржвэрийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

ЛАБОРАТОРИЙН АЖЛЫН СОНГОЛТ

Сонголт 1

1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 олон гишүүнт 1+i үндэстэй эсэхийг шалгаарай. Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108-ын үржвэрийг салга.

3. Үндэс нь 5, i, i+3 байх хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 2

1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 олон гишүүнт x 0 = 2 язгуурын үржвэр хэд вэ? Үлдсэн үндсийг нь олоорой.

2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8-ийн үржвэрийг салга.

3. Тэгшитгэлийн x 1, x 2, x 3 язгуурууд нь хамаарлыг хангаж байвал x 3 +px+q=0 тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойл.

Сонголт 3

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 олон гишүүнт x 0 = 4 язгуурын үржвэр хэд вэ? Үлдсэн үндсийг олоорой.

2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 үржвэрүүдийг салга.

3. Тэгшитгэлийн нэг язгуур нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их байхаар λ-ийг тодорхойл: x 3 -7x+λ=0.

Сонголт 4

1. x=3 нь f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлж, үлдсэн үндсийг ол.

2. Олон гишүүнт x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 олон гишүүнтийг салга.

3. 2x 3 - x 2 -7x+λ=0 тэгшитгэлийн хоёр язгуурын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү. λ-г ол.

Сонголт 5

1. x 0 = -2 нь x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлж, үлдсэн үндсийг ол.

2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. 1, 2, 3, 1+i үндэс өгөгдсөн хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 6

1. x 5 + ax 4 + b олон гишүүнт тэгээс ялгаатай давхар язгууртай байх нөхцлийг ол.

2. Олон гишүүнт x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 олон гишүүнтийг салга.

3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n олон гишүүнт x 1, x 2,…, x n үндэстэй. Олон гишүүнт ямар үндэстэй вэ: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Сонголт 7

1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 олон гишүүнтийн үндэс нь x=-2 болохыг харуул. Үндэсийн үржвэрийг олоод олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

3. 2х 3 -2х 2 -4х-1 тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг ол.

Сонголт 8

1. x=1 нь x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 олон гишүүнтийн үндэс болохыг батал. Түүний олон талт байдлыг тодорхойлох. Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

3. Олон гишүүнтийн нэг язгуур нөгөөгөөсөө 2 дахин том байна. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ олон гишүүнтийн язгуурыг ол.

Сонголт 9

1. x 5 +10ax 3 +5bx+c олон гишүүнт тэгээс ялгаатай гурвалсан язгууртай байх нөхцлийг ол.

2. Олон гишүүнт x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 олон гишүүнтийг салга.

3. Үндэс нь арифметик прогресс үүсгэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол x 3 -6x 2 +qx+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Сонголт 10

1. x=3 нь f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Үндэсийн үржвэрийг тодорхойлж, олон гишүүнтийн бусад язгуурыг ол.

2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. 1, 2+i, 3 язгуур өгөгдсөн хамгийн бага зэрэгтэй бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийг ол.

Сонголт 11

1. x=2 нь x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний олон талт байдал болон бусад үндсийг олоорой.

2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. Үндэс нь x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул.

Сонголт 12

1. x = -1 нь x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 олон гишүүнтийн үндэс болохыг харуул. Түүний үржвэр болон олон гишүүнтийн үлдсэн язгуурыг ол.

2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 олон гишүүнтийн олон хүчин зүйлийг салга.

3. X 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 язгуурууд нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт байгуул.

Сонголт 13

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 олон гишүүнт x 0 = 4 язгуурын үржвэр хэд вэ? Олон гишүүнтийн үлдсэн үндсийг ол.

2. Олон гишүүнт x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 олон гишүүнтийг салга.

3. x 3 -7x+λ=0 тэгшитгэлийн аль нэг язгуур нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их байхаар λ-ийг тодорхойл.

Өгөгдсөн олон гишүүнт олон хүчин зүйлтэй эсэхийг мэдэх боломжийг олгодог аргууд байдаг бөгөөд хэрэв хариулт нь эерэг бол энэ олон гишүүнтийг судлах ажлыг олон хүчин зүйл агуулаагүй олон гишүүнтийг судлах боломжтой болгодог.

Теорем. Хэрэв олон гишүүнтийн олон тооны бууруулж болохгүй хүчин зүйл бол энэ олон гишүүнтийн деривативын олон хүчин зүйл болно. Ялангуяа олон гишүүнтийн анхны хүчин зүйл. Дериватив өргөтгөлд ордоггүй.

Үнэндээ болъё

-д хуваагдахаа больсон. Тэгш байдлыг ялгаж (5.1) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хаалтанд байгаа нэр томъёоны хоёр дахь нь хуваагдахгүй. Үнэн хэрэгтээ энэ нь нөхцөлөөр хуваагддаггүй, доод зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. мөн хуваагдахгүй. Нөгөө талаас, дөрвөлжин хаалтанд байгаа нийлбэрийн эхний гишүүнийг хуваана, i.e. үржүүлэгч нь үнэндээ үржвэрт багтдаг.

Энэ теорем болон дээрх хоёр олон гишүүнтийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох аргаас харахад олон гишүүнт задралыг бууруулж болохгүй хүчин зүйл болгон өгвөл:

Дараа нь олон гишүүнт болон түүний деривативын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь дараах хуваагдашгүй хүчин зүйлүүдэд хуваагдана.

үржүүлэгчийг нэгээр солих ёстой. Ялангуяа олон гишүүнт нь зөвхөн деривативтай хамт олон тооны хүчин зүйлүүдийг агуулдаггүй.

Олон тооны тусгаарлалт

Хэрэв (5.2) тэлэлттэй олон гишүүнт өгөгдсөн бөгөөд хэрэв бид хамгийн их нийтлэг хуваагч ба түүний уламжлалыг тэмдэглэвэл (5.3) нь өгөгдлийн өргөтгөл болно. (5.2)-ыг (5.3) хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

тэдгээр. Бид олон гишүүнчлэлийг агуулаагүй олон гишүүнтийг олж авдаг бөгөөд бууруулж болохгүй хүчин зүйл бүр нь ерөнхийдөө бага зэрэгтэй, ямар ч тохиолдолд зөвхөн анхны хүчин зүйлийг агуулдаг. Хэрэв энэ асуудлыг шийдсэн бол хуваах алгоритмыг ашиглан олж авсан бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийн олон тоог тодорхойлоход л үлддэг.

Одоо тайлбарласан аргыг улам хүндрүүлснээр бид олон хүчин зүйлгүй хэд хэдэн олон гишүүнтийг авч үзэх ажлыг нэн даруй үргэлжлүүлж болох бөгөөд эдгээр олон гишүүнтүүдийн бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийг олсны дараа бид зөвхөн бүх бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийг олох төдийгүй тэдгээрийн үржвэрийг мэдэх болно.

(5.2)-ыг бууруулж болохгүй хүчин зүйл болгон задлах ба хамгийн олон хүчин зүйл нь, . Олон гишүүнтийн бүх ганц хүчин зүйлийн үржвэрээр, бүх давхар хүчин зүйлийн үржвэрээр, гэхдээ зөвхөн нэг удаа авсан гэх мэт, эцэст нь бүх олон хүчин зүйлийн үржвэрээр, мөн зөвхөн нэг удаа авсан гэж тэмдэглэе; Хэрэв заримд нь олон хүчин зүйл байхгүй бол бид таамаглаж байна. Дараа нь олон гишүүнтийн зэрэгт хуваагдаж тэлэлт (5.2) хэлбэрийг авна

болон өргөтгөл (5.3) хэлбэрээр дахин бичигдэнэ

олон гишүүнтийн хамгийн том нийтлэг хуваагч ба түүний дериватив, ерөнхийдөө олон гишүүнтийн хамгийн том нийтлэг хуваагчаар дамжуулан тэмдэглэж, ийм байдлаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

……………………………

……………………………

Тэгээд эцэст нь

Тиймээс зөвхөн олон гишүүнтийн бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн талаар мэдлэг шаарддаггүй арга техникийг ашиглан, тухайлбал дериватив, Евклидийн алгоритм ба хуваах алгоритмыг ашиглан олон гишүүнтийг олон хүчин зүйлгүй олох боломжтой бөгөөд олон гишүүнтийн бууруулж болохгүй хүчин зүйл бүр нь олон гишүүнт байх болно. төлөө.

Жишээ.Олон гишүүнтийг үржвэр болгон үржүүлэх.

Олон гишүүнт хэлбэр нь өргөтгөлтэй байна.

Би олон гишүүнтийг үржвэр болгох программ хийсэн.

Windows, Мессеж, SysUtils, Хувилбарууд, Ангиуд, Графикууд, Хяналтууд, Маягтууд,

Харилцах цонх, StdCtrls, Grids;

TForm1 = анги (TForm)

SGd1: TStringGrid;

1-р товчлуур: TB товчлуур;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

журам Button1Click(Илгээгч: TObject);

(Хувийн мэдүүлэг)

(Нийтийн мэдүүлэг)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,алхам,f:бүхэл тоо;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:бүхэл тооны массив;

izub,e,fx:бүхэл тооны массив;

процедур TForm1.Button1Click(Илгээгч: TObject);

var i,j,k_1,st3,l:бүхэл тоо;

k2_2,k1_1:бүхэл тооны массив;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

i:=0-ээс st1 хүртэл эхэлнэ

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

i:=0-ээс st1 хүртэл эхэлнэ

хэрэв SGd1.Cells<>"" тэгвэл

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("Анхаарал! Коэффициентийн утгыг оруулаагүй байна!",mtWarning,,0);

i:=st1-ээс 0 хүртэлх хугацаанд эхэлнэ

хэрэв kof1[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

i:=st2-оос 0 хүртэл байх үед эхэлнэ

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

хэрэв kof2[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=0-ээс st1 хүртэл эхэлнэ

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

i:=0-ээс st2 хүртэл эхэлнэ

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

kof2 байхад<>0 эхэлнэ

//Edit4.Text:="";

хэрэв k1<>kof2 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (k1 mod kof2)=0 байвал эхэлнэ

j:=0-ээс st2-ийн хувьд хийх

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

хэрэв k2<>1 тэгвэл

j:=0-ээс st1-ийн хувьд хийх

k1[j]:=kof2*k1[j];

хэрэв k_1<>1 дараа нь эхэлнэ

j:=0-ээс st2-ийн хувьд хийх

k2[j]:=k_1*kof2[j];

i:=1-ээс st1 хүртэл эхэлнэ

k1:=k1[i]-k2[i];

st1 хүртэл

хэрэв k1<>0 дараа нь эхэлнэ // Товчлол

i:=1-ээс st1-ийн хувьд хийх

хэрэв k1[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (k1[i] mod k1)<>0 дараа нь sokr:=false;

хэрэв sokr=үнэн бол

i:=0-ээс st1 хийх

k1[i]:=k1[i] div k_1;

for i:=0 to st2 do //Олон гишүүнтийг орлуулах

k2_2[i]:=kof2[i];

i:=0-ээс st1 хийх

i:=0-ээс 10 хүртэл эхэлнэ

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

i:=0-ээс st2 хүртэл эхэлнэ

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

хэрэв k1[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

хэрэв (k2_2>0)болон (i

i:=0-ээс st1 хүртэл эхэлнэ

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

i:=d_st+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

// Э

n_nod:=1-ийн хувьд n_iz эхлэх хэрэгтэй

m:=izubst;

хувьд i:=n+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

i:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

b[i]:=izub;

хувьд i:=n+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

хэрэв a[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

Хэрвээ<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

хэрэв b[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв(б<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

j:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f-ийн хувьд 1 хүртэл эхэлнэ

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f-ийн хувьд 1 хүртэл эхэлнэ

a2[j]:=a2[j]-b2;

i:=f+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

e:=buf[i];

хэрэв buf[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

i:=n-ийн хувьд 0 хүртэл эхэлнэ

хэрэв a2[i]<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

n_nod:=1-ээс n_iz-1 хүртэл эхэлнэ

m:=est;

хувьд i:=n+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

a[i]:=e;

i:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

b[i]:=e;

хэрэв n_nod=n_iz-1 бол fx:=b[i];

хувьд i:=n+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

хэрэв a[i]<>0 дараа нь хэрэв (a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

i:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

хэрэв b[i]<>0 дараа нь хэрэв (b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

i:=алхам+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

j:=m+1-ээс 1-ээс эхэлнэ

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f-ийн хувьд 1 хүртэл эхэлнэ

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f-ийн хувьд 1 хүртэл эхэлнэ

a2[j]:=a2[j]-b2;

i:=f+1-ээс 1 хүртэл эхэлнэ

fx:=buf[i];

хэрэв buf[i]<>0 дараа нь if (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

i:=n-ийн хувьд 0 хүртэл эхэлнэ

хэрэв a2[i]<>0 дараа нь хэрэв (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

i:=1-ээс n_iz хүртэл эхлэх хэрэгтэй

j:=fxst[i]-н хувьд 0 хүртэл эхэлнэ

хэрэв fx<>0 дараа нь эхэлнэ

хэрэв (fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

i:=0-ээс 10 хүртэл эхэлнэ

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

Теорем 14.1. (Олон гишүүнтийн тухай үндсэн теорем). F талбар дээрх эерэг зэрэгтэй олон гишүүнтийг F дээр бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүдийн үржвэрээр дүрсэлж болох ба ийм дүрслэл нь хүчин зүйлүүд болон холбоодын дараалал хүртэл өвөрмөц байдаг.

Баталгаа. 1) Оршихуй. Болъё f(x) F(x)Тэгээд deg f(x)=n> 0. Бид параметр дээр математик индукцийн аргыг ашиглан нотолгоог гүйцэтгэдэг n.

1. Болъё n=1 f(x)бууруулах боломжгүй Ф => f(x)=f(x)- шаардлагатай төлөөлөл.

2. Аливаа эерэг зэрэгтэй олон гишүүнтэд уг мэдэгдлийг үнэн гэж үзье< nталбай дээгүүр Ф.

3. Олон гишүүнтийн мэдэгдлийг баталъя f(x). Хэрэв f(x)бууруулах боломжгүй Ф, Тэр f(x)=f(x) нь шаардлагатай дүрслэл юм. Болъё f(x)бид дээр өгсөн Ф f(x)=f 1 (x),Хаана е 1 (x), f 2 (х) Ф[x] ба 0 < deg f i < n, i= е 1 (x) = p 1 (x)· х 2 (x) · …·p r (x)Тэгээд е 2 (x)=q 1 (x) ·…·q s (x)– олон гишүүнт дээр бууруулж болохгүй үржвэрийн хэлбэрээр дүрслэл f=f 1 е 2 = х 1 · … ·p r · q 1 · … ·q s- шаардлагатай төлөөлөл.

1-3-аас эхлэн математикийн индукцийн аргыг ашиглан мэдэгдэл аль ч тохиолдолд үнэн болно n Н.

2) Өвөрмөц байдал. Болъё f(x)=p 1 (x)· … ·p r (x)Тэгээд f(x)=q 1 (x)· … ·q s (x)– шаардлагатай төлөөлөл (1). Учир нь r,s N,аль аль нь r s,эсвэл r s.Жишээлбэл, r s.(1)-ийн зүүн тал нь хуваагддаг тул х 1 , Тэр (q 1 · … ·q s) х 1-ээр Лемма 13.4-ийн дор хаяж нэг хүчин зүйл нь хуваагддаг х 1 . Хүчин зүйлсийг сольж болох тул бид үүнийг таамаглах болно q 1 х 1 Лемма 13.2 q 1 ~q 2 ба тайлбараар 3 q 1 =p 1 ·а 0, хаана а 0 F# => х 1 · … ·p r =a 0 ·p 1 · q 2 · … ·q s, (2). (2)-ын зүүн тал нь хуваагддаг тул Р 2 , дараа нь дээр дурдсанчлан бид авна Р 2 ~q 2 ба Р 2 =q 2 б 0, хаана б 0 F#,ба (3) гэх мэт, хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа бид 1-ийг авна =а 0 · 0 · … ·q r + 1 · … ·q s(4). Ингэж бодъё r 1 q r + 1 => градус q r + 1 =0 => зөрчилдөөн => r=s.Тиймээс олон гишүүнтийн төлөөлөл f(x)шаардлагатай бүтээгдэхүүний хэлбэрээр хүчин зүйлүүд болон холбоодын дарааллаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт 14.1. Болъё Ф- талбай. Олон гишүүнт f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F[x] гэж нэрлэдэг хэвийн болгосонэсвэл өгсөн,Хэрэв А 0 = 1.

Дүгнэлт 14.1.1. F талбар дээрх эерэг зэрэгтэй ямар ч олон гишүүн f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), a 0 F # , p 1 ,…,p r нь хэвийн олон гишүүнтүүд юм. F дээр дахин бууруулж болохгүй.

Тайлбар 14.1.Болъё f(x) F[x], F -талбай, degf(x)>0.Дараа нь Дүгнэлт 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x)(1), хаана a 0 F #, p 1 (x),…, p r (x) -бууруулах боломжгүй Фнормчлогдсон олон гишүүнт. Энэ нь олон гишүүнтүүдийн дунд байж болох юм p 1 ,…,p rтэнцүү хүмүүс байдаг . (1) дэх тэнцүү хүчин зүйлсийг үржүүлснээр бид хэлбэрийн тэгш байдлыг олж авна f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

Тодорхойлолт 14.2.Болъё f(x) F[x],F-талбай, градус f(x)>0.Олон гишүүнт дүрслэл f(x)зэрэг f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2), Хаана a 0 F # , p 1, …, p s- талбар дээрх хосоор ялгагдах үл бууралтууд Фхэвийн олон гишүүнт, k i ≥1, i=, дуудсан каноник дүрслэлолон гишүүнт е, тоо к бидуудсан p i , i= хүчин зүйлийн үржвэр. Хэрэв k i = 1, тэгвэл p iолон гишүүнтийн энгийн бууруулж болохгүй хүчин зүйл гэж нэрлэдэг е.

Дүгнэлт 14.2.f(x), g(x) F гэж үзье[x], F - талбар, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , энд a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – F, k i дээр бууруулж болохгүй, хосоороо ялгаатай хэвийн олон гишүүнтүүд. 0, би 0, i= . Дараа нь (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s , энд γ i =min{к би, л би} , i= ,[f,g]= p 1 δ 1 ·p 2 δ 2 · … ·p s δ s, энд δ i =max(k i,l i), i=.

Тодорхойлолт 14.3.Болъё f(x) F[x], Ф- таних тэмдэг бүхий ассоциатив-коммутатив цагираг, -тай- үндэс f(x).Тоо кдуудсан олон талт байдалүндэс волон гишүүнт f(x),Хэрэв

f (x-s) k,Гэхдээ f (x-c) k + 1 .

Энэ тохиолдолд тэд бичдэг (x-c) k ┬ f(x) -Энэ оруулга нь үүнийг илэрхийлж байна (x-c) k- энэ бол хамгийн дээд зэрэглэл юм (x-s),хуваагддаг f(x).

Тайлбар 14.2. Хэрэв k = 1, тэгвэл -тайолон гишүүнтийн энгийн язгуур гэж нэрлэдэг f(x).

Болъё f(x) F[x],F-талбар. Олон гишүүнтийн бүх бууруулж болохгүй олон хүчин зүйлийг салгах даалгавар өгье f(x).Үүний тулд бид дараах теоремыг батална. Олон гишүүнт f(x) F[x], F талбар нь k > үржвэрийн олон тооны бууруулж болохгүй хүчин зүйлгүй 1(f,f ")= 1.

Дүгнэлт 14.2.3.Олон гишүүнтийн олон тооны бууруулж болохгүй хүчин зүйлүүд f F[x] нь d(x)=(f,f ") олон гишүүнтийн яг бууруулж болохгүй хүчин зүйлүүд юм.

Дүгнэлт:Тиймээс олон гишүүнтийн олон тооны бууруулж болохгүй хүчин зүйлийг салгах асуудал гарч ирэв f(x)олоход хүрдэг d=(f,f ")ба олон гишүүнтийн өргөтгөл гүржүүлэгчээр. Хариуд нь олон гишүүнтийн олон тооны бууруулж болохгүй хүчин зүйлсийг салга d(x)олох боломжтой d 1 =(d,d ")гэх мэт.