Тусгай хавтгай муруй. Параметрийн циклоидын тэгшитгэл ба декарт координат дахь тэгшитгэл Циклоид томъёо

Шинжилсэн жишээнүүд нь хувьсал ба эволютийн шинэ ойлголтод дасахад тусалсан. Одоо бид циклоидын муруйн хөгжлийг судлахад хангалттай бэлтгэлтэй байна.

Энэ эсвэл өөр муруйг судалж байхдаа бид ихэвчлэн туслах муруйг бүтээдэг - энэ муруйн "хамтрагч".

Цагаан будаа. 89. Циклоид ба түүний үйлчлэгч.

Тиймээс бид шулуун ба тойргийн конкоидууд, тойргийн хөгжил, синусоид - циклоидын хамтрагчийг бүтээв. Одоо бид энэ циклоид дээр үндэслэн түүнтэй салшгүй холбоотой туслах циклоидыг бүтээх болно. Ийм хос циклоидыг хамтарсан судалгаа хийх нь нэг циклоидыг судлахаас зарим талаар хялбар байдаг. Бид ийм туслах циклоидыг дагалдах циклоид гэж нэрлэх болно.

Циклоид AMB-ийн нуман хаалганы хагасыг авч үзье (Зураг 89). Энэ циклоид нь ер бусын байдлаар ("хөмсөг") байрладаг тул бид ичиж болохгүй.

AK чиглүүлэгч шугамтай параллель a, 2a, 3a, 4a зайд 4 шулуун зуръя. М цэгт тохирох байрлалд үүсгэгч тойрог байгуулъя (89-р зурагт энэ тойргийн төвийг О үсгээр тэмдэглэсэн). MON-ийн эргэлтийн өнцгийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь AN сегмент тэнцүү байх болно (өнцгийг радианаар илэрхийлнэ).

Бид үүсгэгч тойргийн NT диаметрийг T цэгээс цааш PP шулуун шугамтай огтлолцол (Е цэг дээр) хүртэл үргэлжлүүлнэ. TE диаметрийг ашиглан бид тойрог (төвтэй) байгуулна. Циклоид AMB-тай M цэг дээр шүргэгч байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд M цэг нь бидний мэдэж байгаагаар T цэгтэй холбогдсон байх ёстой (х. 23). T цэгээс цааш MT шүргэгчийг туслах тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье, огтлолцлын цэгийг . Энэ бол одоо бидний ярихыг хүсч буй зүйл юм.

Бид MON өнцгийг тэмдэглэсэн Тиймээс MTN өнцөг нь (ижил нуман дээр тулгуурласан бичээстэй өнцөг) тэнцүү байх болно. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт байх нь ойлгомжтой. Тиймээс зөвхөн өнцөг төдийгүй өнцөг тус бүр нь тэнцүү байх тул гурвалжин дахь өнцгийн фракцын хувьд яг радианууд үлдэнэ (180 ° өнцөг нь радиантай тэнцүү гэдгийг санаарай). Түүнчлэн NK сегмент нь () -тэй тэнцүү гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Зурагт үзүүлсэн төвтэй тойргийг авч үзье. 89 тасархай шугам. Энэ нь ямар тойрог болох нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Хэрэв та CB шулуун шугамын дагуу гулсуулахгүйгээр өнхрүүлбэл түүний B цэг нь BB циклоидыг дүрслэх болно. Тасархай тойрог өнцгөөр эргэх үед төв нь цэг дээр хүрч, радиус нь байрлалыг авна. баригдсан нь циклоидын BB цэг болж хувирав.

Тайлбарласан бүтэц нь циклоидын AMB-ийн M цэг бүрийг циклоидын цэгтэй холбодог. 90 энэ захидал харилцааг илүү тодорхой харуулав. Ийм аргаар олж авсан циклоидыг дагалдах гэж нэрлэдэг. Зураг дээр. 89 ба 90-д бүдүүн тасархай зураасаар дүрсэлсэн циклоидууд нь зузаан цул шугамаар дүрслэгдсэн циклоидуудтай харьцуулахад дагалдаж байна.

Зураг дээрээс. 89 дагалдаж буй циклоидын цэгт шулуун шугам хэвийн байгаа нь тодорхой байна. Үнэн хэрэгтээ энэ шулуун шугам нь циклоидын цэг, үүсгэгч тойргийн шүргэлтийн T цэг ба чиглүүлэх шугамаар дамжин өнгөрдөг (бидний хэлсэнчлэн үүсгэгч тойргийн хамгийн доод цэг; одоо энэ нь болж хувирав. Зургийг эргүүлсэн тул "хамгийн өндөр").

Гэхдээ энэ шулуун шугам нь бүтцийн хувьд "үндсэн" циклоид AMB-тай шүргэнэ. Тиймээс анхны циклоид нь дагалдаж буй циклоидын хэвийн бүх зүйлд хүрдэг. Энэ нь дагалдах циклоидын хэвийн хэмжээ, өөрөөр хэлбэл түүний хувьслын дугтуй юм. Мөн "дагалдах" циклоид нь зүгээр л анхны циклоидын эволют (нээлт) болж хувирав!

Цагаан будаа. 91 Циклоид ба түүнийг дагалдах цэгүүдийн хоорондын харилцан хамаарал.

Энэхүү төвөгтэй боловч үндсэндээ энгийн барилгын ажилд оролцсоноор бид Голландын эрдэмтэн Гюйгенсийн нээсэн гайхалтай теоремыг нотолсон. Энэ теорем нь: циклоидын хувьсал нь циклоидтой яг ижил, зөвхөн шилжсэн.

Нэг нуман хаалга биш, харин бүхэл бүтэн циклоидын хувьд хувьсал (энэ нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн оюун ухаанаар л хийх боломжтой), дараа нь энэ хувьсалын хувьсал гэх мэтийг байгуулсны дараа бид Зураг 1-ийг олж авна. 91, хавтантай төстэй.

Гюйгенсийн теоремыг батлахдаа бид хязгааргүй жижиг, хуваагдашгүй, ойролцоо тооцоог ашиглаагүйд анхаарлаа хандуулъя. Бид механикийг ч ашигладаггүй байсан; бид заримдаа механикаас авсан хэллэгийг ашигладаг байсан. Энэхүү нотолгоо нь 17-р зууны эрдэмтдийн янз бүрийн тэргүүлэх үзэл баримтлалыг ашиглан олж авсан үр дүнг хатуу нотлохыг хүссэн үндэслэлийн сүнсэнд бүрэн нийцдэг.

Гюйгенсийн теоремоос нэн чухал үр дагавар гарч ирэв. Зураг дээрх AB сегментийг авч үзье. 89. Энэ сегментийн урт нь 4a байх нь ойлгомжтой. Одоо циклоидын AMB нумын эргэн тойронд утас ороож, А цэг дээр бэхлэгдсэн, Б цэг дээр харандаагаар тоноглогдсон байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв утсыг "салхивал" харандаа нь циклоидын AMB-ийн хөгжлийн дагуу хөдөлнө. , өөрөөр хэлбэл циклоидын BMB дагуу.

Цагаан будаа. 91 Циклоид дараалсан эволютууд.

Утасны урт нь циклоидын хагас нуман хаалганы урттай тэнцүү байх нь мэдээжийн хэрэг AB сегменттэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл бидний харж байгаагаар 4a. Үүний үр дүнд циклоидын бүх нумын урт нь 8a-тай тэнцүү байх бөгөөд одоо томъёог нэлээд хатуу нотлогдсон гэж үзэж болно.

Зураг дээрээс. 89-аас та илүү ихийг харж болно: томьёо нь циклоидын бүх нумын урт төдийгүй түүний аль нэг нумын уртын хувьд. Үнэн хэрэгтээ MB нумын урт нь сегментийн урттай тэнцүү байх нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл үүсгэх тойрог дотор агуулагдах циклоидын харгалзах цэг дээрх давхар шүргэгч сегмент.

Цикломис (Грек хэлнээс khklpeidYut - дугуй) нь хавтгай трансцендент муруй юм. Циклоид нь шулуун шугамд гулсахгүй өнхөрч буй r радиустай тойргийн тогтсон цэгийн траекторийг кинематик байдлаар тодорхойлдог.

Тэгшитгэл

Хэвтээ координатын тэнхлэгийг r радиустай үүсгэгч тойрог эргэлдэж буй шулуун шугам гэж үзье.

· Циклоид нь параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

Декарт координат дахь тэгшитгэл:

· Циклоидыг дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл болгон авч болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• · Циклоид - x тэнхлэгийн дагуух үечилсэн функц, 2рr хугацаатай. t = 2рk хэлбэрийн цорын ганц цэгүүдийг (буцах цэгүүдийг) хугацааны зааг болгон авах нь тохиромжтой бөгөөд k нь дурын бүхэл тоо юм.
• · Дурын А цэг дээр циклоид руу шүргэгч зурахын тулд энэ цэгийг үүсгэгч тойргийн дээд цэгтэй холбоход хангалттай. А-г үүсгэгч тойргийн доод цэгт холбосноор бид нормыг авна.
• · Циклоид нумын урт нь 8r. Энэ өмчийг Кристофер Врен (1658) нээсэн.
• · Циклоид нуман бүрийн доорх талбай нь үүсгэгч тойргийн талбайгаас гурав дахин их байна. Торричелли энэ баримтыг Галилео нээсэн гэж мэдэгджээ.
• · Циклоидын эхний нумын муруйлтын радиус тэнцүү байна.

• · “Урвуулагдсан” циклоид нь хамгийн эгц уналттай муруй юм (брахистохрон). Түүнээс гадна, энэ нь мөн tautochrony шинж чанартай байдаг: циклоид нумын аль ч цэг дээр байрлуулсан хүнд бие нь нэгэн зэрэг хэвтээ чиглэлд хүрдэг.
• · Урвуутай циклоидын дагуу гулсах материаллаг цэгийн хэлбэлзлийн хугацаа нь далайцаас хамаардаггүй бөгөөд энэ баримтыг Гюйгенс нарийн механик цагийг бүтээхэд ашигласан.
• · Циклоид хувирал нь анхныхтайгаа ижил циклоид, тухайлбал, оройнууд нь "цэг" болж хувирах параллель шилжилт юм.
• · Нэг төрлийн эргэлтийн болон хөрвүүлэх хөдөлгөөнийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг машины эд ангиуд нь циклоид муруйг (циклоид, эпициклоид, гипоциклоид, трохоид, астроид) дүрсэлдэг (Бернуллигийн лемнискатыг харна уу).

Циклоид нумын уртыг анх 1658 онд Английн архитектор, математикч Врен тооцоолжээ. Врен Торричелли, Робервал нарын анхны бүтээлүүдийг санагдуулам механик үзэл баримтлалаас гаралтай. Тэрээр өнхрөх тойргийн эргэлтийг үүсгэгч тойргийн "доод" цэгийн ойролцоо маш жижиг өнцгөөр авч үзсэн. Врений санал бодлыг харуулахын тулд бүхэл бүтэн туслах теоремуудыг авч үзэх шаардлагатай бөгөөд үүний дагуу хэт их ажил хийх шаардлагатай болно.

Урт боловч зөөлөн замыг ашиглах нь илүү тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд та хавтгай муруй бүрт байдаг тусгай муруйг - түүний хөгжлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Муруй шугамын AB гүдгэр нумыг авч үзье (Зураг 4.1). AB нумантай ижил урттай уян хатан, сунадаггүй утас нь AB нуманд А цэг дээр бэхлэгдсэн байх ба энэ утас нь муруйн дээр "ороож" нягт наалдсан тул төгсгөл нь цэгтэй давхцаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. B. Бид "нээх" болно -- утсыг чангалж, CM утасны чөлөөт хэсэг нь AB нуман руу үргэлж тангенциал чиглэнэ. Эдгээр нөхцөлд утасны төгсгөл нь тодорхой муруйг дүрслэх болно. Энэ муруйг хөгжил гэж нэрлэдэг буюу Латинаар: оролцуулаханхны муруй.

Хэрэв муруйн нум нь нэг чиглэлд хаа сайгүй гүдгэр биш бол энэ нь Зураг дээрх AB муруйтай адил бол. 4.2, муруйн шүргэгч нь нэг талаас нөгөө тал руу дамждаг C цэгтэй (ийм цэгийг гулзайлтын цэг гэж нэрлэдэг), энэ тохиолдолд бид муруйн хөгжлийн талаар ярьж болно, гэхдээ үндэслэл нь байх болно. арай илүү төвөгтэй байх.

Утас нь C гулзайлтын цэг дээр яг бэхлэгдсэн байна гэж төсөөлье (Зураг 4.2). МЭӨ нумаас тайлагдсан утас нь BMR муруйг дүрслэх болно - сканнер.

Одоо анхны муруйн АС нумын эргэн тойронд утас ороож байгаа гэж төсөөлье, гэхдээ энэ утас аль хэдийн сунасан байна: С цэг дээр CP утас уясан байна. Сунгасан ACP утсыг CA муруйгаар оросноор бид РНХ нумыг олж авдаг бөгөөд энэ нь BMP нумын хамт нэг тасралтгүй муруй үүсгэдэг - тасралтгүй, гэхдээ хаа сайгүй жигд биш: анхны муруйн C хазайлтын цэг нь BMRNA муруйн үзүүр (буцах цэг): BMRNA муруй нь BCA муруйны эволют (шүүрдэх) болно.

Эдгээр жишээнүүд нь хувьсал ба эволютийн шинэ ойлголтод дасахад тусалсан. Одоо циклоидын муруйн хөгжлийг судалцгаая.

Энэ эсвэл өөр муруйг судлахдаа бид энэ муруйн "хамтрагч" болох туслах муруйг ихэвчлэн хийдэг. Тиймээс бид циклоидын хамтрагч болох синусоид үнэтэй болсон. Одоо бид энэ циклоид дээр үндэслэн түүнтэй салшгүй холбоотой туслах циклоидыг бүтээх болно. Ийм хос циклоидын хамтарсан судалгаа нь нэг циклоидыг судлахаас зарим талаар хялбар байдаг. Бид ийм туслах циклоидыг дагалдах циклоид гэж нэрлэх болно.

Циклоид AMB-ийн нуман хаалганы хагасыг авч үзье (Зураг 4.3). Энэ циклоид нь ер бусын байдлаар ("хөмсөг") байрладаг тул бид ичиж болохгүй. Холын зайд чиглүүлэгч шулуун AK-тай параллель 4 шулуун зуръя а, 2а, 3аболон 4 а. М цэгт тохирох байрлалд үүсгэгч тойрог байгуулъя (4.3-р зурагт энэ тойргийн төвийг О үсгээр тэмдэглэсэн). MON-ийн эргэлтийн өнцгийг c-ээр тэмдэглэе. Дараа нь AN сегмент нь bc-тэй тэнцүү байх болно (c өнцгийг радианаар илэрхийлнэ).

Бид үүсгэгч тойргийн NT диаметрийг T цэгээс цааш PP шулуун шугамтай огтлолцол (Е цэг дээр) хүртэл үргэлжлүүлнэ. TE-ийн диаметрийг ашиглан бид тойрог (O 1 төвтэй) байгуулна. Циклоид AMB-тай M цэг дээр шүргэгч байгуулъя. Үүний тулд М цэг нь бидний мэдэж байгаагаар T цэгтэй холбогдсон байх ёстой. Т цэгээс цааш MT шүргэгчийг туслах тойрогтой огтлолцол хүртэл сунгаж, огтлолцох цэгийг M 1 гэж нэрлэе. Яг энэ М 1 цэгийг бид одоо шийдвэрлэхийг хүсч байна.

Бид MON өнцгийг в гэж тэмдэглэв. Тиймээс MTN өнцөг нь тэнцүү байх болно (ижил нуман дээр тулгуурласан бичээстэй өнцөг). TO 1 M 1 гурвалжин нь тэгш өнцөгт байх нь ойлгомжтой. Тиймээс зөвхөн O 1 TM 1 өнцөг төдийгүй TM 1 O 1 өнцөг тус бүр тэнцүү байх болно. Тиймээс TO 1 M 1 гурвалжин дахь TO 1 M 1 өнцгийн хэсэг нь яг p - q радиан хэвээр байна (180? өнцөг нь p радиантай тэнцүү гэдгийг санаарай). NK сегмент нь b(p - q)-тай тэнцүү гэдгийг мөн тэмдэглэе.

Одоо тасархай шугамаар 4.3-т үзүүлсэн төв O 2 бүхий тойргийг авч үзье. Энэ нь ямар тойрог болох нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Хэрэв та NE шулуун шугамын дагуу гулсуулахгүйгээр өнхрүүлбэл түүний В цэг нь BB циклоидыг дүрслэх болно. Тасархай тойрог нь p - c өнцгөөр эргэх үед төв O 2 нь O 1 цэгт хүрч, O 2 B радиус нь O 1 M 1 байрлалыг авна. Ийнхүү бидний байгуулсан М 1 цэг нь BB циклоидын цэг болж хувирав.

Тайлбарласан барилга нь циклоид AMB-ийн М цэг бүрийг VM 1 B циклоидын M 1 цэгтэй холбодог. Зураг дээр. 4.4 нь энэ захидал харилцааг илүү тодорхой харуулж байна. Ийм аргаар олж авсан циклоидыг дагалдах гэж нэрлэдэг. Зураг дээр. 4.3 ба 4.4-т бүдүүн тасархай шугамаар дүрслэгдсэн циклоидууд нь бүдүүн цул шугамаар дүрслэгдсэн циклоидуудтай харьцуулахад дагалдаж байна.

Зураг дээрээс. 4.3. MM 1 шулуун шугам нь M 1 цэгт дагалдах циклоид хүртэл хэвийн байх нь тодорхой байна. Үнэн хэрэгтээ энэ шулуун шугам нь циклоидын M 1 цэгийг дайран өнгөрч, үүсгэгч тойргийн шүргэлтийн T цэг ба чиглүүлэх шугамыг (бидний хэлсэнчлэн үүсгэгч тойргийн "хамгийн" доод цэг; одоо бол ийм болсон. зураг эргүүлсэн тул "хамгийн өндөр"). Гэхдээ энэ шулуун шугам нь бүтцийн хувьд циклоидын AMB-ийн "суурь" -тай шүргэнэ. Тиймээс анхны циклоид нь дагалдаж буй циклоидын хэвийн бүх зүйлд хүрдэг. Энэ нь дагалдаж буй циклоидын хэвийн хэмжээнүүдийн дугтуй, i.e. түүний хувьсал. Мөн "дагалдах" циклоид нь зүгээр л анхны циклоидын эволют болж хувирав!

Энэхүү төвөгтэй боловч үндсэндээ энгийн барилгын ажилд оролцсоноор бид Голландын эрдэмтэн Гюйгенсийн нээсэн гайхалтай теоремыг нотолсон. Энэ бол теорем юм: Циклоидын хувьсал нь циклоидтой яг ижил, зөвхөн шилжсэн.

Нэг нуман хаалга биш, харин бүхэл бүтэн циклоидын хувьд хувьсал (энэ нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн оюун ухаанаар л хийх боломжтой), дараа нь энэ хувьслын хувьсал гэх мэтийг байгуулсны дараа бид 1-р зургийг олж авна. 4.5, хавтантай төстэй.

Гюйгенсийн теоремыг батлахдаа бид хязгааргүй жижиг, хуваагдашгүй, ойролцоо тооцоог ашиглаагүйд анхаарлаа хандуулъя. Бид механикийг ч ашигладаггүй байсан ч заримдаа механикаас авсан хэллэгийг ашигладаг байсан. Энэхүү нотолгоо нь 17-р зууны эрдэмтдийн янз бүрийн тэргүүлэх үзэл баримтлалыг ашиглан олж авсан үр дүнг хатуу нотлохыг хүссэн үндэслэлийн сүнсэнд бүрэн нийцдэг.

Гюйгенсийн теоремоос нэн чухал үр дагавар гарч ирэв. Зураг дээрх AB сегментийг авч үзье. 4.4. Энэ сегментийн урт нь 4 байх нь ойлгомжтой а. Одоо циклоидын AMB нумын эргэн тойронд утас ороож, А цэг дээр бэхлэгдсэн, Б цэг дээр харандаагаар тоноглогдсон байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв утсыг "салхивал" харандаа нь циклоидын AMB-ийн хөгжлийн дагуу хөдөлнө. , өөрөөр хэлбэл циклоидын дагуу BM 1 B. Утасны урт нь циклоидын хагас нуман хаалганы урттай тэнцүү байх нь мэдээжийн хэрэг AB сегменттэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл бидний үзсэнчлэн 4. а. Тиймээс циклоидын нуман хаалганы L урт нь 8-тай тэнцүү байх болно а, мөн томьёо L=8 аодоо нэлээд хатуу нотлогдсон гэж үзэж болно.

Дифференциал геометр ашиглан нумын уртыг тооцоолъё. Энэ аргаар олж авсан шийдэл нь илүү богино бөгөөд хялбар байх болно:

Хаана т?

| r(t)|===2 нүгэл

5. Параметрийн циклоидын тэгшитгэл ба декарт координат дахь тэгшитгэл

Бидэнд төв нь А цэгт a радиустай тойргоос үүссэн циклоид өгөгдсөн гэж үзье.

Хэрэв бид өнхрөхийн эхэнд AO босоо байрлалтай байсан радиус эргэлдэж чадсан t=∟NDM өнцгийг тухайн цэгийн байрлалыг тодорхойлох параметр болгон сонговол М цэгийн x, y координатууд болно. дараах байдлаар илэрхийлнэ.

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Тиймээс циклоидын параметрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

t нь -∞-аас +∞ болж өөрчлөгдөхөд энэ зурагт үзүүлсэн шиг хязгааргүй олон салбаруудаас бүрдэх муруй үүснэ.

Мөн циклоидын параметрийн тэгшитгэлээс гадна декарт координат дахь түүний тэгшитгэл бас байдаг.

Энд r нь циклоидыг үүсгэдэг тойргийн радиус юм.

6. Циклоидын хэсгүүд ба циклоидоор үүссэн дүрсүүдийг олох бодлого

Даалгавар №1. Параметрээр тэгшитгэл нь өгөгдсөн циклоидын нэг нумаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

ба Үхрийн тэнхлэг.

Шийдэл. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид интегралын онолоос мэддэг баримтуудыг ашиглах болно, тухайлбал:

Муруй салбарын талбай.

[α, β] дээр тодорхойлогдсон r = r(ϕ) функцийг авч үзье.

ϕ 0 ∈ [α, β] нь r 0 = r(ϕ 0) ба иймд M 0 (ϕ 0, r 0) цэгтэй тохирч, энд ϕ 0,

r 0 - цэгийн туйлын координат. Хэрэв ϕ өөрчлөгдвөл [α, β]-ийг бүхэлд нь “гүйж” байвал M хувьсах цэг нь өгөгдсөн AB муруйг дүрслэх болно.

тэгшитгэл r = r (ϕ).

Тодорхойлолт 7.4. Муруй сектор нь ϕ = α, ϕ = β гэсэн хоёр туяа болон туйлаар тодорхойлогдсон AB муруйгаар хязгаарлагдсан дүрс юм.

координатыг r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Дараах нь үнэн юм

Теорем. Хэрэв функц r(ϕ) > 0 ба [α, β] дээр тасралтгүй байвал талбай

Муруй шугаман салбарыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Энэ теорем нь тодорхой интеграл сэдвээр өмнө нь батлагдсан.

Дээрх теорем дээр үндэслэн тэгшитгэлийг x= a (t – sin t), y= a (1) параметрийн параметрүүдээр өгөгдсөн циклоидын нэг нумаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олох бидний асуудал гарч ирэв. – cos t) ба Ox тэнхлэгийг дараах шийдэлд буулгана.

Шийдэл. Муруй тэгшитгэлээс dx = a(1−cos t) dt. Циклоидын эхний нум нь t параметрийн 0-ээс 2π хүртэлх өөрчлөлттэй тохирч байна. Тиймээс,

Даалгавар №2. Циклоид нэг нумын уртыг ол

Дараах теорем ба түүний үр дагаварыг интеграл тооцоонд мөн судалсан.

Теорем. Хэрэв AB муруй нь y = f(x) тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол f(x) ба f ’ (x) нь дээр үргэлжилдэг бол AB нь засах боломжтой ба

Үр дагавар. AB-г параметрээр өгье

L AB = (1)

[α, β] дээр x(t), y(t) функцууд тасралтгүй дифференциал болно. Дараа нь

(1) томъёог дараах байдлаар бичиж болно

Энэ интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт хийцгээе x = x(t), тэгвэл y’(x)= ;

dx= x’(t)dt тул:

Одоо эргээд асуудлаа шийдье.

Шийдэл. Бидэнд байгаа, тиймээс

Даалгавар №3. Циклоид нэг нумын эргэлтээс үүссэн S гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – зардал), 0≤ t ≤ 2π)

Интеграл тооцоонд сегмент дээр параметрийн дагуу тодорхойлсон муруйн х тэнхлэгийг тойрсон эргэлтийн биеийн гадаргуугийн талбайг олох дараах томъёо байдаг: x=φ(t), y=ψ(t) (t) 0 ≤t ≤t 1)

Энэ томъёог манай циклоид тэгшитгэлд ашигласнаар бид дараах зүйлийг олж авна.

Даалгавар No4. Циклоид нумыг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Үхрийн тэнхлэгийн дагуу.

Интеграл тооцоололд эзлэхүүнийг судлахдаа дараахь зүйлийг тэмдэглэнэ.

Хэрэв муруйн трапецийг хязгаарлах муруй нь параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд эдгээр тэгшитгэлийн функцууд нь тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлтийн тухай теоремын нөхцлийг хангаж байвал Окс тэнхлэгийг тойрсон трапецын эргэлтийн биеийн эзэлхүүн . томъёогоор тооцоолно

Энэ томьёог ашиглан өөрт хэрэгтэй эзлэхүүнээ олъё.

Асуудал шийдэгдсэн.

Дүгнэлт

Тиймээс энэ ажлын явцад циклоидын үндсэн шинж чанарыг тодруулсан. Мөн бид циклоидыг хэрхэн бүтээх талаар сурч, циклоидын геометрийн утгыг олж мэдсэн. Циклоид нь зөвхөн математикт төдийгүй технологийн тооцоолол, физикт асар их практик хэрэглээтэй болсон. Гэхдээ циклоид нь бусад давуу талуудтай. Үүнийг 17-р зууны эрдэмтэд муруй шугамыг судлах арга техникийг боловсруулахдаа ашигласан - эцэст нь дифференциал ба интеграл тооцоог зохион бүтээхэд хүргэсэн техникүүд. Энэ нь мөн Ньютон, Лейбниц болон тэдний эртний судлаачид хүчирхэг математикийн шинэ аргуудын хүчийг туршиж үзсэн "хүрч чулууны" нэг байв. Эцэст нь брахистохроны асуудал нь өнөөгийн физикчдэд зайлшгүй шаардлагатай өөрчлөлтийн тооцоог зохион бүтээхэд хүргэсэн. Ийнхүү циклоид нь математикийн түүхэн дэх хамгийн сонирхолтой үеүүдийн нэгтэй салшгүй холбоотой байв.

Уран зохиол

1. Берман Г.Н. Циклоид. - М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрон эсвэл циклоидын өөр нууц // Квант. – 1975. - No5

3. Веров С.Г. Циклоидын нууц // Квант. – 1975. - No8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С., Радченко Т.Н. Тодорхой интегралын хэрэглээ. Физикийн факультетийн 1-р курсын оюутнуудад зориулсан арга зүйн заавар, бие даасан даалгавар. - Ростов н/а: UPL RSU, 1994 он.

5. Гиндикин С.Г. Циклоид одны нас // Квант. – 1985. - No6.

6. Фихтэнголц Г.М. Дифференциал ба интеграл тооцооллын курс. T.1. - М., 1969

Энэ мөрийг "дугтуй" гэж нэрлэдэг. Муруй шугам бүр нь шүргэгчийн дугтуй юм.

Матери ба хөдөлгөөн, тэдгээрийн бүрдүүлдэг арга нь үнэний мэдлэг дэх өөрийн чадавхийг хэрэгжүүлэх боломжийг хүн бүрт олгодог. Диалектик-материалист сэтгэлгээний хэлбэрийг хөгжүүлэх арга зүйг боловсруулах, танин мэдэхүйн ижил төстэй аргыг эзэмших нь хүний ​​чадварыг хөгжүүлэх, хэрэгжүүлэх асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь алхам юм. XX боломжуудын фрагмент...

Ийм нөхцөлд хүмүүс неврастения үүсч болно - невроз, эмнэлзүйн зураглалын үндэс нь астеник байдал юм. Неврастения болон мэдрэлийн эмгэгийн декомпенсацийн үед сэтгэцийн (сэтгэл зүйн) хамгаалалтын мөн чанар нь ургамлын эмгэг бүхий цочромтгой сул дорой байдал руу хүндрэлээс ангижрахад илэрдэг: эсвэл хүн ухамсаргүйгээр халдлагатай илүү "тэмцдэг". ..

Төрөл бүрийн үйл ажиллагаа; Сургуулийн сурагчдын орон зайн төсөөлөл, орон зайн ойлголт, дүрслэл, орон зайн, логик, хийсвэр сэтгэлгээг хөгжүүлэх; янз бүрийн хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд геометрийн болон график мэдлэг, чадварыг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх; техникийн болон...

Нуманууд. Спираль нь мөн битүү муруйн эволюц, жишээлбэл, тойргийн эволют юм. Зарим спиральуудын нэрийг декартын координат дахь муруйн тэгшитгэлүүдтэй туйлын тэгшитгэлийн ижил төстэй байдлаар өгдөг, жишээлбэл: · параболик спираль (a - r)2 = bj, · гипербол спираль: r = a/j. · Саваа: r2 = a/j · si-ci-спираль, параметрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , )