Тригонометрийн функцүүдийн томъёоны хүснэгт. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд, тэдгээрийн томъёолол, гарал үүсэл

Энэ бол В11 асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай сүүлчийн бөгөөд хамгийн чухал хичээл юм. Бид өнцгийг радиан хэмжигдэхүүнээс градусын хэмжигдэхүүн рүү хэрхэн хөрвүүлэхийг аль хэдийн мэддэг ("Өнцгийн радиан ба градусын хэмжүүр" хичээлийг үзнэ үү), мөн координатын дөрөвний нэг дээр анхаарлаа төвлөрүүлж тригонометрийн функцийн тэмдгийг хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг. "Тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүд" хичээлийг үзнэ үү).

Хийх цорын ганц зүйл бол функцийн утгыг өөрөө тооцоолох явдал юм - хариултанд бичигдсэн тоо. Эндээс тригонометрийн үндсэн шинж чанар нь аврах ажилд ирдэг.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг. Аливаа α өнцгийн хувьд дараах мэдэгдэл үнэн байна.

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Энэ томьёо нь нэг өнцгийн синус ба косинусыг холбодог. Одоо бид синусыг мэдэж байгаа тул косинусыг хялбархан олох боломжтой - мөн эсрэгээр. Квадрат язгуурыг авахад хангалттай:

Үндэсний урд байрлах "±" тэмдгийг анхаарна уу. Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас харахад анхны синус ба косинус нь эерэг эсвэл сөрөг аль нь байсан нь тодорхойгүй байна. Эцсийн эцэст квадрат болгох нь бүх сул талыг (хэрэв байгаа бол) "шатдаг" тэгш функц юм.

Тийм ч учраас математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд орсон В11 бүх асуудалд шинж тэмдгүүдийн тодорхой бус байдлаас ангижрахад туслах нэмэлт нөхцөлүүд заавал байх ёстой. Ихэвчлэн энэ нь тэмдгийг тодорхойлж болох координатын улирлын үзүүлэлт юм.

Анхааралтай уншигч: "Тангенс ба котангенс яах вэ?" гэж асуух байх. Дээрх томъёоноос эдгээр функцийг шууд тооцоолох боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, аль хэдийн шүргэгч ба котангенс агуулсан үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын чухал үр дагаварууд байдаг. Тухайлбал:

Чухал үр дүн: дурын α өнцгийн хувьд тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Эдгээр тэгшитгэлийг үндсэн таних тэмдэгээс амархан гаргаж авдаг - хоёр талыг cos 2 α (шүргээ авахын тулд) эсвэл sin 2 α (котангенсыг олж авах) -аар хуваахад хангалттай.

Энэ бүхнийг тодорхой жишээн дээр авч үзье. 2012 оны Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын туршилтын хувилбаруудаас авсан бодит В11 бодлогуудыг доор харуулав.

Бид косинусыг мэддэг ч синусыг мэддэггүй. Гол тригонометрийн таних тэмдэг ("цэвэр" хэлбэрээр) эдгээр функцуудыг холбодог тул бид үүнтэй ажиллах болно. Бидэнд байгаа:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ син 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.

Асуудлыг шийдэхийн тулд синусын тэмдгийг олох хэрэгтэй. Өнцөг α ∈ (π /2; π ) тул градусын хэмжүүрээр үүнийг дараах байдлаар бичнэ: α ∈ (90°; 180°).

Тиймээс α өнцөг нь координатын II хэсэгт байрладаг - бүх синусууд эерэг байна. Тиймээс sin α = 0.1.

Тиймээс бид синусыг мэддэг ч косинусыг олох хэрэгтэй. Эдгээр функцууд хоёулаа тригонометрийн үндсэн шинж чанарт байдаг. Орлуулж үзье:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

Энэ нь бутархайн урд талын тэмдэгтэй харьцах хэвээр байна. Юу сонгох вэ: нэмэх эсвэл хасах уу? Нөхцөлөөр α өнцөг нь интервалд хамаарна (π 3π /2). Радиан хэмжигдэхүүнээс өнцгийг градус болгон хөрвүүлье - бид дараахийг авна: α ∈ (180°; 270°).

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь косинусууд сөрөг байх III координатын улирал юм. Тиймээс cos α = -0.5.

Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол tan α-г ол.

Тангенс ба косинус нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дараах тэгшитгэлээр холбогдоно.

Бид авна: tan α = ±3. Шүргэгчийн тэмдгийг α өнцгөөр тодорхойлно. α ∈ (3π /2; 2π ) гэдгийг мэддэг. Радиан хэмжигдэхүүнээс өнцгийг градус болгон хөрвүүлье - бид α ∈ (270°; 360°) авна.

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бүх шүргэгч сөрөг байх IV координатын улирал юм. Тиймээс tan α = -3.

Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол cos α-г ол.

Дахин синус нь мэдэгдэж, косинус нь тодорхойгүй байна. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг бичье.

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

Тэмдгийг өнцгөөр тодорхойлно. Бидэнд: α ∈ (3π /2; 2π ). Өнцгийг градусаас радиан руу хөрвүүлье: α ∈ (270°; 360°) нь IV координатын дөрөвний нэг, тэнд байгаа косинусууд эерэг байна. Тиймээс cos α = 0.6.

Даалгавар. Дараах нь мэдэгдэж байгаа бол нүгэл α-г ол.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас үүссэн, синус ба котангенсыг шууд холбосон томьёог бичье.

Эндээс бид нүгэл 2 α = 1/25, i.e. sin α = ±1/5 = ±0.2. α ∈ (0; π /2) өнцөг гэдгийг мэддэг. Зэрэглэлийн хэмжүүрээр үүнийг дараах байдлаар бичнэ: α ∈ (0°; 90°) - I координат улирал.

Тиймээс өнцөг нь I координатын квадратад байна - тэнд байгаа бүх тригонометрийн функцууд эерэг тул sin α = 0.2 байна.

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Синус (sin x) ба косинус (cos x) тригонометрийн функцүүдийн талаархи лавлагаа мэдээлэл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Синус ба косинусын хүснэгт, дериватив, интеграл, цуваа тэлэлт, секант, косекант. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Синус ба косинусын геометрийн тодорхойлолт

|BD|- нэг цэг дээр төвтэй тойргийн нумын урт А.
α - радианаар илэрхийлсэн өнцөг.

Тодорхойлолт
Синус (нүгэл α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| гипотенузын уртыг |АС|.

Косинус (cos α)нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| гипотенузын уртыг |АС|.

Зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ

;
;
.

;
;
.

Синусын функцийн график, y = sin x

Косинусын функцийн график, y = cos x

Синус ба косинусын шинж чанарууд

Үе үе

y = функцууд гэм хба у = cos xүетэй үе үе 2π.

Паритет

Синусын функц нь сондгой юм. Косинусын функц тэгш байна.

Тодорхойлолт ба утгын домэйн, экстремум, өсөлт, бууралт

Синус ба косинусын функцууд нь тодорхойлолтын муждаа, өөрөөр хэлбэл бүх x-ийн хувьд тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тэдний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв (n - бүхэл тоо).

	у= гэм х	у= cos x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Утгын хүрээ	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Нэмэгдэх
Бууж байна
Максима, у = 1
Минимум, у = - 1
Тэг, у = 0
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 0	у= 1

Үндсэн томъёо

Синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр

Нийлбэр ба ялгавараас синус ба косинусын томъёо

;
;

Синус ба косинусын үржвэрийн томъёо

Нийлбэр ба ялгааны томъёо

Синусыг косинусаар илэрхийлэх

;
;
;
.

Косинусыг синусаар илэрхийлэх

;
;
;
.

Шүргэгчээр илэрхийлэх

; .

Хэзээ, бидэнд байна:
; .

:
; .

Синус ба косинусын, тангенс ба котангентын хүснэгт

Энэ хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын синус ба косинусын утгыг харуулав.

Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл

;

Эйлерийн томъёо

{ -∞ < x < +∞ }

Секант, косекант

Урвуу функцууд

Синус ба косинусын урвуу функцууд нь арксин ба арккосинус юм.

Арксин, арксин

Арккосин, аркос

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Тангенс (tg x) ба котангенс (ctg x)-ийн лавлагаа өгөгдөл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Шүргэгч ба котангентын хүснэгт, дериватив, интеграл, цувааны өргөтгөл. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Геометрийн тодорхойлолт

|BD| - төв нь А цэгтэй тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.

шүргэгч ( бор α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB| .

Котангенс ( ctg α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| эсрэг талын хөлний урт хүртэл |BC| .

Тангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.
;
;
.

Шүргэх функцийн график, y = tan x

Котангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараах тэмдэглэгээг мөн хүлээн зөвшөөрнө.
;
;
.

Котангенсийн функцийн график, y = ctg x

Тангенс ба котангенсийн шинж чанарууд

Үе үе

y = функцууд tg xба у = ctg xπ үетэй үечилсэн байна.

Паритет

Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.

Тодорхойлолт, үнэлэмжийн талбарууд, нэмэгдэж, буурч байна

Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын хүрээнд тасралтгүй байдаг (харна уу. тасралтгүй байдлын баталгаа). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэлд нь).

	у= tg x	у= ctg x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал
Утгын хүрээ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Нэмэгдэх		-
Бууж байна	-
Хэт их	-	-
Тэг, у = 0
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 0	-

Томъёо

Синус ба косинусыг ашигласан илэрхийллүүд

; ;
; ;
;

Нийлбэр ба ялгавартай тангенс ба котангенсийн томъёо

Жишээ нь, үлдсэн томьёог олж авахад хялбар байдаг

Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн

Шүргэгчийн нийлбэр ба зөрүүний томъёо

Энэхүү хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав.

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл

;
;

Дериватив

; .

.
Функцийн х хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томъёо гаргах > > > ; котангенсийн хувьд > > >

Интеграл

Цуврал өргөтгөлүүд

X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн тэлэлтийг олж авахын тулд функцүүдийн чадлын цуваа дахь тэлэлтийн хэд хэдэн нөхцөлийг авах шаардлагатай. гэм хТэгээд cos xТэгээд эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хуваа, . Энэ нь дараах томъёог үүсгэдэг.

-д.

цагт.
Хаана Bn- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
Хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу:

Урвуу функцууд

Тангенс ба котангенсын урвуу функцууд нь арктангенс ба арккотангенс, тус тус.

Арктангенс, арктг

, Хаана n- бүхэлд нь.

Арккотангенс, arcctg

, Хаана n- бүхэлд нь.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Г.Корн, Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.