Шугаман алгебрийн онолын асуулт, даалгавар. Шугаман дифференциал

Системийн ерөнхий дүр төрх

, i = 1, 2, ..., м; j = 1, 2, ..., n, - системийн коэффициентүүд; - чөлөөт гишүүд; - хувьсагч;

Хэрэв бүгд = 0 бол системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл

Тодорхойлолт 1. Нэг төрлийн систем мшугаман алгебрийн тэгшитгэл nүл мэдэгдэхийг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг

төрөл (1) эсвэл матриц хэлбэрээр (2)

Энд A нь mxn хэмжээтэй коэффициентүүдийн өгөгдсөн матриц,

Үл мэдэгдэх n багана нь m өндөртэй тэг багана юм.

Нэг төрлийн систем нь үргэлж нийцтэй байдаг (өргөтгөсөн матриц нь А-тай давхцдаг) бөгөөд тодорхой шийдлүүдтэй байдаг: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.

Энэ шийдлийг тэг эсвэл гэж нэрлэдэг өчүүхэн. Хэрэв өөр шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна өчүүхэн бус.

Теорем 1. Хэрэв А матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол (1) систем нь өвөрмөц (жижиг) шийдэлтэй байна.

Үнэхээр Крамерын теоремын дагуу r=n ба шийдэл нь өвөрмөц юм.

Теорем 2. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. шийдлийн тооны тухай теоремоос дагана).

Þ хэрэв тэгээс өөр шийдлүүд байгаа бол шийдэл нь цорын ганц биш, системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол r

Ү хэрэв r

Теорем 3. n үл мэдэгдэх n тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь detA = 0 тохиолдолд л тэгээс өөр шийдэлтэй байна.

Þ хэрэв тэгээс өөр шийдэл байвал төгсгөлгүй олон шийд байна, тэгвэл r шийдлийн тооны тухай теоремын дагуу

Ü хэрэв detA = 0 бол r

Теорем 4. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд системийн тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тооноос бага байх шаардлагатай.

Коэффициентийн матрицын зэрэглэл нь түүний эгнээний тооноос (мөн баганын тооноос) их байж болохгүй тул r

Тодорхойлолт 2. Анхны коэффициент матрицын суурийн баганууд дээр байрлах системийн хувьсагчдыг дуудна үндсэн хувьсагч, системийн үлдсэн хувьсагчдыг дуудна үнэгүй.

Тодорхойлолт 4. Хувийн шийдвэрнэгэн төрлийн бус системийг AX = B -ээр олж авсан баганын вектор Х гэнэ тэгүнэт зүйлс үнэгүйхувьсагч.

Теорем 6. Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл AX = B шугаман тэгшитгэл нь AX = B тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдэл бөгөөд AX = 0 нэгэн төрлийн системийн FSR юм.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус систем нь дараахь хэлбэрийн систем юм.

Түүний өргөтгөсөн матриц.

Теорем (нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн тухай).
Дараа нь (жишээ нь, систем (2) тууштай байгаарай):

· хэрэв , энд системийн хувьсагчдын тоо (2) байвал шийдэл (2) байгаа бөгөөд энэ нь өвөрмөц;

· Хэрэв бол (2) системийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна, энд (1) системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэгддэг. ерөнхий нэгэн төрлийн шийдэл, гэж нэрлэгддэг системийн (2) тодорхой шийдэл юм хувийн нэгэн төрлийн бус шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь дараахь хэлбэрийн систем юм.

(1) системийн тэг шийдийг нэрлэнэ өчүүхэн шийдэл.

Нэг төрлийн систем нь үргэлж нийцтэй байдаг, учир нь үргэлж өчүүхэн шийдэл байдаг.

Хэрэв системд тэгээс өөр шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна өчүүхэн бус.

Нэг төрлийн системийн шийдэл нь шугаман шинж чанартай байдаг.

Теорем (нэг төрлийн системийн шугаман шийдлийн тухай).
Нэг төрлийн (1) системийн шийдүүд, дурын тогтмолууд байг. Дараа нь мөн авч үзэж буй системийн шийдэл юм.

Теорем (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай).
Дараа нь зөвшөөр:

· хэрэв , хаана нь системийн хувьсагчийн тоо бол зөвхөн өчүүхэн шийдэл байна;

· хэрэв , тэгвэл авч үзэж буй системийн шугаман бие даасан шийдлүүд байна: , ба түүний нийтлэг шийдвэрхэлбэртэй байна: , зарим тогтмолууд хаана байна.

2. Орлуулалт ба орлуулалт. n-р эрэмбийн тодорхойлогч. Тодорхойлогчдын шинж чанарууд.

Тодорхойлогчийн тодорхойлолт --р дараалал.

Эхний эрэмбийн квадрат матрицыг өгье.

Тодорхойлолт. Мөр, багана бүрээс нэгийг авсан А матрицын элементүүдийн үржвэрийг А матрицын тодорхойлогчийн гишүүн гэнэ.3 Тодорхойлогчд аль нэг хоёр мөр эсвэл хоёр багана солигдсон бол тодорхойлогч тэмдэгээ өөрчилнө. эсрэгээрээ. 4Хэрэв матриц нь тэг мөр (багана) агуулж байвал энэ матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.5 Хэрэв матрицын хоёр мөр (багана) нь хоорондоо тэнцүү бол энэ матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байна. тэг хүртэл.6 Хэрэв матрицын хоёр мөр (багана) хоорондоо пропорциональ байвал энэ матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.7 Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. үндсэн диагональ.8 Хэрэв бүх элементүүд кТодорхойлогчийн 3-р мөр (багана)-ийг нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэв a k j + б к ж, тэгвэл тодорхойлогчийг харгалзах тодорхойлогчдын нийлбэрээр илэрхийлж болно.9 Хэрэв түүний аль нэг мөрийн (эсвэл харгалзах баганын) элементүүдэд өөр мөрийн (эсвэл харгалзах баганын) харгалзах элементүүдийг нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй. , ижил тоогоор үржүүлнэ.10. Болъё АТэгээд Бижил дарааллын квадрат матрицууд. Дараа нь матрицуудын үржвэрийн тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

1 | | | | | | | | | | |

C 1 ба C 2 нь тодорхойгүй байна.

Бүх у нь мэдэгдэж байгаа тоонууд бөгөөд x = x 0-д тооцогдоно. Системийн аль ч баруун талын шийдэлтэй байхын тулд үндсэн тодорхойлогч нь 0-ээс өөр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Вронскийн тодорхойлогч. Тодорхойлогч нь 0 бол эхний нөхцлийн хувь хэмжээ байгаа тохиолдолд л систем шийдэлтэй болно. Иймд эндээс үзэхэд анхны нөхцлийн сонголт нь хуульд захирагдах учир анхны нөхцөлийг авч болохгүй бөгөөд энэ нь Кошигийн асуудлын нөхцөлийг зөрчсөн үйлдэл юм.

Хэрэв бол Вронски тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш, x 0-ийн аль ч утгын хувьд.

Баталгаа. Тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү байя, гэхдээ тэгээс бусад анхны нөхцөлүүдийг y=0, y’=0 сонгоё. Дараа нь бид дараах системийг авна.

Тодорхойлогч нь 0 байх үед энэ систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна. C 11 ба C 12 нь системийн шийдэл юм.

Энэ нь эхний тохиолдолтой зөрчилдөж байгаа бөгөөд энэ нь Wronski тодорхойлогч нь ямар ч x 0-ийн хувьд 0-тэй тэнцүү биш гэсэн үг юм. -ийн ерөнхий шийдлээс тодорхой шийдлийг сонгох боломжтой байдаг.

Тасалбар №33

Баталгаатай 2-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн тухай теорем:

энэ тэгшитгэлийн шийд, дараа нь функц бас шийдэл. Энэ теорем дээр үндэслэн бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн талаар дүгнэж болно: хэрвээ 1 ба 2 нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлтэй бол тэдгээрийн харьцаа тогтмол хэмжээтэй тэнцүү биш байвал эдгээр функцүүдийн шугаман хослол нь дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл. Өчүүхэн шийдэл (эсвэл тэг) нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болж чадахгүй.

Нотолгоо:

Тасалбар №34

Баталгаатай 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем.

Баруун талтай тэгшитгэл өгье: . Баруун талгүй тэгшитгэл

Хэрэв функцийн оронд 0-г тавьбал бид үүнийг шинж чанар гэж нэрлэдэг.

Баруун талтай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем.

T.1 Баруун гар талтай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг баруун талгүй тэгшитгэлийн ерөнхий шийд болон энэ тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдийн нийлбэрээр бүрдүүлж болно.

Баталгаа.

Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон зарим тодорхой шийдлээр тэмдэглэе. Функцийг авч үзье . Бидэнд байгаа

, .

Тэгшитгэлийн зүүн талд y, y', y''-ийн илэрхийллүүдийг орлуулж үзвэл: Эхний дөрвөлжин хаалтанд байгаа илэрхийлэл 0-тэй тэнцүү. Хоёрдахь хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь f(x) функцтэй тэнцүү байна. ). Тиймээс функц энэ тэгшитгэлийн шийдэл байна.

Тасалбар №35

Тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл, F.S.R. болон өөр өөр бодит язгууртай тохиолдолд ерөнхий шийдэл, баталгаатай шинж чанарын тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийг авч үзье.

,

а нь тоонууд хаана байна.

Маягтын функцээр тэгшитгэлийг хангахыг хичээцгээе. Эндээс бидэнд:

Эндээс бид r нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур бол энэ тэгшитгэлийн шийдэл ямар байхыг харж болно. Энэ тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг. Онцлогийн тэгшитгэл үүсгэхийн тулд y-г нэгээр, дериватив бүрийг r-ээр деривативын эрэмбийн зэрэгт орлуулах хэрэгтэй.

1) Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит бөгөөд өөр байна.

Энэ тохиолдолд хоёр үндэсийг r функцийн үзүүлэлт болгон авч болно. Эндээс та хоёр тэгшитгэлийг шууд авах боломжтой. Тэдний харьцаа тогтмол утгатай тэнцүү биш нь тодорхой байна.

Бодит ба өөр үндэстэй тохиолдолд ерөнхий шийдлийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

.

Тасалбар №36

Тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл, F.S.R. олон үндэстэй тохиолдолд ерөнхий шийдэл, баталгаатай шинж чанарын тэгшитгэл.

Бодит тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байна.

Үнэгүй эсийн үнэлгээ– (боломжтой аргыг үзнэ үү)

Цикл -зөөврийн хүснэгтийн нүднүүдийн ийм дараалал (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(i k ,j 1), үүнд хоёр ба зөвхөн хоёр зэргэлдээх нүд байна. нэг мөр эсвэл баганад байрлах ба эхний болон сүүлчийн нүд нь нэг мөр эсвэл баганад байна.

(?)Циклийн дагуух пермутаци - (мөчлөгийн дагуу t утгаар шилжих)-"+" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн мөчлөгийн бүх сондгой нүднүүдийн эзлэхүүний өсөлт t, "-" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн бүх тэгш нүднүүдийн тээвэрлэлтийн хэмжээ буурч байна.

1. 
   ^ Лавлагаа төлөвлөгөөний оновчтой байх нөхцөл.

Оновчтой төлөвлөгөө нь ханган нийлүүлэгч бүрийн үйлдвэрлэлийн хэмжээг хэтрүүлэхгүйгээр, хэрэглэгч бүрийн хэрэгцээг бүрэн хангахгүйгээр тээврийн хамгийн бага нийт зардлыг тодорхойлох ёстой.

Тээврийн оновчтой төлөвлөгөө нь хэрэглээ ба нийлүүлэлтийн хязгаарлалтын үед f(X)= min шугаман зорилгын функцийн хамгийн бага хэмжээтэй тохирч байна.

No 32. k зэрэгтэй ялгавартай тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба түүний ерөнхий шийдийг томъёол. Тогтмол коэффициенттэй k зэрэглэлийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг хэл. Нэг төрлийн ба нэг төрлийн бус шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн теоремуудыг томъёол (баталгаагүй).

F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, k нь тогтмол тоо, n нь дурын натурал тоо, x n ; x n +1 ;…; x n + k нь k эрэмбийн ялгавартай тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг үл мэдэгдэх тооны дарааллын гишүүн юм.

Ялгаатай тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь тэгшитгэлийг хангасан бүх дарааллыг (x n) олохыг хэлнэ.

k-р эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь түүний k бие даасан дурын тогтмол C 1 , C 2 , …, C k-аас хамаарч x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ) байна. k тогтмолуудын тоо нь ялгавартай тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү бөгөөд тусгаар тогтнол гэдэг нь тогтмолуудын аль нь ч бусдаараа илэрхийлэгдэх боломжгүй гэсэн үг юм.

Тогтмол коэффициент бүхий k зэрэглэлийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлийг авч үзье.

a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , энд a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) ба

(f n ) – өгөгдсөн тоо ба дараалал.

^ Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн тухай теорем.

Шугаман нэг төрлийн бус ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x n нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл x n * ба харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл n-ийн нийлбэр юм.

^ Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн теорем.

Шугаман нэгэн төрлийн ялгавартай тэгшитгэлийн k шугаман бие даасан шийдүүдээс бүрдэх системийг x n 1 ,…, x n k гэж үзье. Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k томъёогоор олно.
No 33. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман ялгавартай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг тайлбарла. Дараах ойлголтуудын тодорхойлолтыг томъёолоорой: шугаман ялгавартай тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн багц, шинж чанарын тэгшитгэл, Касоратти тодорхойлогч.

Онцлог тэгшитгэлийн үндсийг мэдэх нь нэгэн төрлийн ялгавартай тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг бий болгох боломжийг олгодог. Үүнийг хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн жишээн дээр авч үзье: Үүссэн шийдлүүдийг дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн тохиолдол руу хялбархан шилжүүлж болно.

Онцлог тэгшитгэлийн ялгах D=b 2 -4ac утгуудаас хамааран дараахь тохиолдлууд боломжтой.

C 1 , C 2 нь дурын тогтмолууд юм.

k-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн ялгавартай тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь k хэмжээст шугаман орон зайг бүрдүүлдэг ба шугаман бие даасан k шийдүүдийн дурын олонлог (үндсэн багц гэж нэрлэдэг) нь түүний үндэс юм. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн шугаман бие даасан байдлын шинж тэмдэг нь Касоратти тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш байх явдал юм.

Тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
№ 34. X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n тогтмол коэффициенттэй шугаман ялгавартай тэгшитгэл өгөгдсөн.

^ Үүний тодорхой шийдлийг ямар хэлбэрээр хайх ёстой вэ? Хариултыг тайлбарлана уу.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Түүний тодорхой шийдлийг ямар хэлбэрээр хайх ёстой вэ? Хариултыг тайлбарлах ёстой.

X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n

X n +2 -4x n +1 +3x n =0

X n =C 1 3 n +C 2 1 n

X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n

X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n

X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
№ 35. Х n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n тогтмол коэффициенттэй шугаман ялгавартай тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүний тодорхой шийдлийг ямар хэлбэрээр хайх ёстой вэ?

x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n

1) x n +2 -4x n +1 +3x=0

λ 1 =3, λ 2 =1

x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2

2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2

2-тэй тэнцүү экспоненциал чадлын f(n)=2 n суурь нь шинж чанарын тэгшитгэлийн аль ч язгууртай давхцахгүй тул бид Y n =C(2) n хэлбэрээр харгалзах тодорхой шийдийг хайна. . Г(n)=3 n экспоненциал функцийн суурь нь 3-тай тэнцэх нь шинж чанарын тэгшитгэлийн аль нэг язгууртай давхцаж байгаа тул харгалзах тодорхой шийдийг X n =Bn(3) n хэлбэрээр хайна. z(n)=n 2 нь олон гишүүнт тул тодорхой шийдийг олон гишүүнт хэлбэрээр хайх болно: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
№36. x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 тогтмол коэффициенттэй шугаман ялгавартай тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүний тодорхой шийдлийг ямар хэлбэрээр хайх ёстой вэ?

x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2

1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

3-тэй тэнцүү экспоненциал чадлын f(n)=3 n суурь нь шинж чанарын тэгшитгэлийн аль ч язгууртай давхцахгүй тул харгалзах тодорхой шийдийг Y n =B(3) n хэлбэрээр хайна. . g(n)=n 2 нь олон гишүүнт тул тодорхой шийдийг олон гишүүнт хэлбэрээр хайх болно: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
№37. x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 тогтмол коэффициенттэй шугаман ялгавартай тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүний тодорхой шийдлийг ямар хэлбэрээр хайх ёстой вэ?

x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2

λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i

X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin )

2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos

3-тэй тэнцүү экспоненциал чадлын f(n)=3 n суурь нь шинж чанарын тэгшитгэлийн аль ч язгууртай давхцахгүй тул харгалзах тодорхой шийдийг Y n =B(3) n хэлбэрээр хайна. . g(n)=n 2 нь олон гишүүнт тул тодорхой шийдийг олон гишүүнт хэлбэрээр хайх болно: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Самуэлсон-Хиксийн загварыг тайлбарла. Үүний цаана эдийн засгийн ямар таамаглалууд байгаа вэ? Хиксийн тэгшитгэлийн шийдэл ямар тохиолдолд хөдөлгөөнгүй дараалал байх вэ?

Самуэлсон-Хиксийн бизнесийн мөчлөгийн загвар нь хөрөнгө оруулалтын хэмжээ нь үндэсний орлогын өсөлттэй шууд пропорциональ байна (хурдасгалын зарчим), өөрөөр хэлбэл.

V>0 коэффициент нь хурдатгалын хүчин зүйл,

I t - t үеийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээ,

X t -1 ,X t -2 - (t-1) ба (t-2) үе дэх үндэсний орлогын үнэ цэнэ.

Мөн энэ үе шатанд эрэлт хэрэгцээтэй байгаа гэж үзэж байна өмнөх шатны үндэсний орлогын хэмжээнээс хамаарна
шугаман байдлаар
. Эрэлт, нийлүүлэлтийн тэгш байдлын нөхцөл нь хэлбэртэй байна
. Дараа нь бид Хиксийн тэгшитгэлд хүрнэ

Энд a, b нь энэ үе шатанд эрэлтийн шугаман илэрхийллийн коэффициентүүд юм.

Тогтмол дараалал
нь зөвхөн Хиксийн тэгшитгэлийн шийдэл юм
; хүчин зүйл
Кейнсийн үржүүлэгч (нийт зардлын матрицын нэг хэмжээст аналог) гэж нэрлэдэг.
№ ^ 39. Аалзны зах зээлийн загварыг тайлбарла. Үүний цаана эдийн засгийн ямар таамаглалууд байгаа вэ? Вэб зах зээлийн загварын тэнцвэрт байдлыг ол.

40. Купон бондын өнөөгийн үнэ цэнийг тодорхойлох асуудлыг томъёол. Ялгаатай тэгшитгэлийн Кошигийн бодлого юу вэ? Купон бондын одоогийн үнэ цэнийг тодорхойлох Коши асуудлын тэнцвэрт шийдлийг ол. Олдсон үнэ нь нэг купоны хугацаанд өгөгдсөн хүүгээр хязгааргүй урт хугацаанд купоны дүнг хүлээн авахын тулд тухайн үед төлөх ёстой дүнтэй тохирч байгаа эсэхийг шалгана уу.

Болъё Ф - купоны бондын нэрлэсэн үнэ (жишээ нь, эргүүлэн авах үед үнэт цаас гаргагчийн төлсөн мөнгөний хэмжээ, купоны сүүлчийн хугацаа дуусахтай давхцаж байгаа). К – купоны үнэ (жишээлбэл, купоны хугацаа бүрийн эцэст төлсөн мөнгөний хэмжээ), X - купоны n-р хугацааны эцэст бондын одоогийн үнэ цэнэ,

Тэдгээр. х нэг купоны хугацаанд өгөгдсөн хүүгээр хязгааргүй урт хугацаанд купоны дүнг хүлээн авахын тулд тухайн үед төлөх ёстой дүнтэй давхцаж байна.

Шугаман дифференциал систем тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг шугаман,үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн деривативын хувьд шугаман бол. систем n-1-р эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Системийн коэффициентүүд нь const.

Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой: ,

Энд нэг аргументаас хамаарах үл мэдэгдэх функцүүдийн баганын вектор байна.

Эдгээр функцүүдийн деривативын баганын вектор.

Чөлөөт нэр томъёоны багана вектор.

Коэффицент матриц.

Теорем 1:Хэрэв бүх матрицын коэффициентууд Атодорхой интервал дээр үргэлжилдэг ба , дараа нь м бүрийн тодорхой хөрш. TS & E нөхцөл хангагдсан. Иймээс ийм цэг бүрээр нэг интеграл муруй өнгөрдөг.

Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд системийн баруун гар тал нь аргументуудын багцын хувьд тасралтгүй бөгөөд тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд нь (А матрицын коэффициентүүдтэй тэнцүү) хаалттай интервал дахь тасралтгүй байдлын улмаас хязгаарлагдмал байдаг.

SLD-ийг шийдвэрлэх аргууд

1. Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ:Тэгшитгэлийн системийг шийд: (1)

Шийдэл:оруулахгүй zэдгээр тэгшитгэлээс. Эхний тэгшитгэлээс бид . Хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. .

Энэ тэгшитгэлийн систем (1) Хоёр дахь эрэмбийн нэг тэгшитгэл болгон бууруулсан. Энэ тэгшитгэлээс олсны дараа y, олдох ёстой z, тэгш байдлыг ашиглан.

2. Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ ихэвчлэн илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлийг олж авдаг тул олон тохиолдолд системийг олох замаар шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. нэгдсэн хослолууд.

Үргэлжлэл 27б

Жишээ:Системийг шийд

Шийдэл:

Энэ системийг Эйлерийн аргаар шийдье. Шинж чанарыг олох тодорхойлогчийг бичье

тэгшитгэл: , (систем нь нэгэн төрлийн учир өчүүхэн бус шийдэлтэй байхын тулд энэ тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой). Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг олж, түүний үндсийг олно.

Ерөнхий шийдэл нь: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

- хувийн вектор.

Бид шийдлийг бичнэ: ;

Бид ерөнхий шийдлийг олж авдаг: .

Шалгацгаая:

-ийг олъё, мөн үүнийг энэ системийн эхний тэгшитгэлд орлуулна, өөрөөр хэлбэл. .

Бид авах:

- жинхэнэ тэгш байдал.

Шугаман ялгаа. n-р эрэмбийн тэгшитгэл. n-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн теорем.

n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм. (1)

Хэрэв энэ тэгшитгэл нь коэффициенттэй бол түүнийг хувааж үзвэл бид тэгшитгэлд хүрнэ. (2) .

Ихэвчлэн ийм төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг (2). Үүнийг ur-i гэж бодъё (2) бүх магадлал, түүнчлэн f(x)тодорхой интервалд тасралтгүй (а, б).Дараа нь TS&E-ийн дагуу тэгшитгэл (2) нь анхны нөхцөлийг хангасан өвөрмөц шийдэлтэй: , , …, for. Энд - интервалаас дурын цэг (а, б),ба бүгд - өгөгдсөн дурын тоо. Тэгшитгэл (2) TC&E-г хангасан , тиймээс байхгүй тусгай шийдлүүд.

Тодорхойлолт: тусгайцэгүүд нь =0 байх цэгүүд юм.

Шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарууд:

1. Бие даасан хувьсагчийн аливаа өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр байна.
2. Хүссэн функцийн шугаман өөрчлөлтөд шугаман тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ.

Def:Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол (2) тавих f(x)=0, дараа нь бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна. (3) гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтэй харьцуулахад (2).

Шугаман дифференциал операторыг танилцуулъя: (4). Энэ операторыг ашигласнаар та тэгшитгэлийг богино хэлбэрээр дахин бичиж болно (2) Тэгээд (3): L(y)=f(x), L(y)=0.Оператор (4) дараах энгийн шинж чанаруудтай:

Эдгээр хоёр шинж чанараас дүгнэлт гаргаж болно: .

Чиг үүрэг у=у(х)нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл юм (2), Хэрэв L(y(x))=f(x), Дараа нь f(x)тэгшитгэлийн шийд гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр тэгшитгэлийн шийдэл (3) функц гэж нэрлэдэг у(х), Хэрэв L(y(x))=0харгалзан үзсэн интервалууд дээр.

Санаж үз нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл: , L(y)=f(x).

Бид ямар нэгэн байдлаар тодорхой шийдлийг олсон гэж бодъё, тэгвэл .

Үл мэдэгдэх шинэ функцийг танилцуулъя zтомъёоны дагуу: , тодорхой шийдэл хаана байна.

Үүнийг тэгшитгэлд орлуулъя: , хаалтыг нээж: .

Үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл учраас .

Тиймээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авлаа z. Энэхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь шугаман хослол юм: , энд функцууд нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг. Орлуулах zорлуулах томъёонд бид дараахь зүйлийг авна. (*) функцийн хувьд y– анхны тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх функц. Анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд (*) хэсэгт агуулагдах болно.

Ийнхүү нэгэн төрлийн бус шугамын ерөнхий шийдэл. тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн зарим тодорхой шийдийн нийлбэрээр илэрхийлнэ.

(нөгөө талд үргэлжилсэн)

30. Дифференциалын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. тэгшитгэл

Теорем:Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгш өнцөгт дээр үргэлжилсэн бол мөн хязгаарлагдмал бөгөөд мөн Липшицийн нөхцөлийг хангана: , N=const, тэгвэл эхний нөхцлүүдийг хангасан, сегмент дээр тодорхойлогдсон өвөрмөц шийдэл байна. , Хаана.

Нотолгоо:

Метрийн орон зайг бүрэн хэмжээгээр авч үзье ХАМТ,цэгүүд нь интервал дээр тодорхойлогдсон y(x) бүх боломжит тасралтгүй функцууд юм , графикууд нь тэгш өнцөгт дотор байрлах ба зай нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. . Энэ орон зайг ихэвчлэн математикийн шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг жигд нэгдэх орон зай, учир нь энэ орон зайн хэмжигдэхүүн дэх нийлэгжилт жигд байна.

Дифференциалыг сольж үзье. Өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий тэгшитгэлийг эквивалент интеграл тэгшитгэлд: мөн операторыг анхаарч үзээрэй A(y), энэ тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцүү: . Энэ оператор нь тасралтгүй функц бүрт оноодог

Липшицийн тэгш бус байдлыг ашиглан бид зай гэж бичиж болно. Дараах тэгш бус байдлыг хангах нэгийг сонгоцгооё.

Ингэж сонгох хэрэгтэй, тэгвэл. Тиймээс бид үүнийг харуулсан.

Агшилтын зураглалын зарчмын дагуу өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь нэг цэг буюу ижил функцтэй байдаг.

Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Жишээ нь: цилиндр ба бөмбөрцөг координатын тохиолдлууд.

Гөлгөр гадаргуугийн талбайн тооцоог параметрийн болон тодорхой зааж өгсөн. Гадаргуугийн талбайн элемент.

Нэгдүгээр төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо. Эхний төрлийн интегралтай холболт.

Ногоон томъёо. Хавтгай дээрх муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй байх нөхцөл.

Нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо.

Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо. Эхний төрлийн интегралтай холболт.

Гаусс-Остроградскийн теорем, түүнийг координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр бүртгэх.

Стоксын теорем, координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр дүрслэх.

Орон зай дахь муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй байх нөхцөл.

Скаляр талбар. Скаляр талбайн градиент ба түүний шинж чанарууд. Декарт координат дахь градиентийн тооцоо.

Вектор талбарын тодорхойлолт. Градиент талбар. Боломжит талбар, боломжийн нөхцөл.

Гадаргуугаар урсах вектор талбар. Векторын талбайн ялгаралын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд. Декарт координат дахь ялгааны тооцоо.

Соленоидын векторын талбарууд, соленоидын нөхцөлүүд.

Вектор талбайн эргэлт ба вектор талбайн ротор. Декарт координат дахь роторын тооцоо.

Хамилтон оператор (набла), хоёр дахь эрэмбийн дифференциал үйлдлүүд, тэдгээрийн хоорондын холболтууд.

Нэгдүгээр эрэмбийн ode-тэй холбоотой үндсэн ойлголтууд: ерөнхий ба тусгай шийдэл, ерөнхий интеграл, интеграл муруй. Кошигийн асуудал, түүний геометрийн утга.

Нэгдүгээр эрэмбийн odes-уудыг салгаж болох ба нэгэн төрлийн хувьсагчтай нэгтгэх.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл ба Бернулли тэгшитгэлийн интеграл.

Нийт дифференциал дахь нэгдүгээр эрэмбийн оддыг нэгтгэх. Интеграцийн хүчин зүйл.

Параметр оруулах арга. Лагранж, Клэраутын эхний эрэмбийн шүлгийг нэгтгэх.

Дөрвөлжин хэлбэрээр нэгтгэгдэж, дарааллыг багасгах боломжийг олгодог дээд эрэмбийн хамгийн энгийн дуунууд.

Шугаман од, скаляр ба вектор (матриц) тэмдэглэгээний системийн хэвийн хэлбэр. Шугаман коэффициентийн ердийн системийн Коши бодлого, түүний геометрийн утга.

Вектор функцийн шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан систем. Шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Нэг төрлийн шугаман оддын системийн шийдлийн Вронски тодорхойлогчийн тухай теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн ерөнхий шийдийн тухай (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай) теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн хэсэгчилсэн шийдлийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Онцлог тэгшитгэлийн энгийн бодит язгуурын хувьд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ердийн системийн шийдлийн үндсэн систем.

Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан функцүүдийн системүүд. Шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Нэг төрлийн шугаман кодын шийдүүдийн Вронски тодорхойлогчийн тухай теорем.

Нэг төрлийн шугаман одагийн ерөнхий шийдийн тухай теорем (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай).

Нэг төрлийн бус шугаман одагийн ерөнхий шийдийн тухай (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай) теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман одагийн хэсэгчилсэн шийдлийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Бодит ба нийлмэл шинж чанарын тэгшитгэлийн энгийн язгуурын хувьд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем.

Онцлог тэгшитгэлийн олон үндэстэй тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем.

Тогтмол коэффициенттэй, тусгай баруун гар талтай нэг төрлийн бус шугаман дууны хэсэгчилсэн шийдлийг олох.

Нэгдүгээр эрэмбийн ODE-ийн Коши бодлогын (орон нутгийн) шийдлийн оршихуйн теорем.

Нэгдүгээр эрэмбийн ode-д зориулсан Кошигийн асуудлыг шийдэх өвөрмөц байдлын теорем.

1. Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн ерөнхий шийдийн тухай (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай) теорем.

n-р эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус шугаман системийг авч үзье

Энд А

Дараах нь үнэн юм ерөнхий шийдлийн бүтцийн теорем ODE-ийн энэхүү нэгэн төрлийн бус шугаман системийн .

Хэрэв матриц А(x) ба вектор функц б (x) үргэлжилсэн [ дээр а, б], орхи Φ (x) нь нэгэн төрлийн шугаман системийн шийдлүүдийн үндсэн матриц, дараа нь нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл юм. Y" = А(x) Ю + б(x) дараах хэлбэртэй байна.

Хаана C- дурын тогтмол баганын вектор, x 0 - сегментээс дурын тогтмол цэг.

Дээрх томъёоноос шугаман нэг төрлийн бус ODE системийн Кошигийн асуудлыг шийдэх томьёог олж авахад хялбар байдаг - Коши томъёо.

Кошигийн асуудлыг шийдэж, Ю(x 0) = Ю 0 нь вектор функц юм

1. Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн хэсэгчилсэн шийдлийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Нэг төрлийн бус шугаман ODE-ийн системийн тодорхойлолт. ODU системтөрөл:

дуудсан шугаман гетероген . Болъё

Систем (*) вектор-матриц хэлбэрээр: .- систем нь нэгэн төрлийн, эс бөгөөс нэг төрлийн бус байна.

Арга өөрөө. Шугаман нэг төрлийн бус систем байг , дараа нь шугаман нэгэн төрлийн бус системд тохирох шугаман нэгэн төрлийн систем юм. Шийдвэрлэх системийн үндсэн матриц болъё. , энд C нь дурын тогтмол вектор бөгөөд системийн ерөнхий шийдэл юм. (1) системийн шийдлийг маягтаас хайцгаая , энд C(x) нь үл мэдэгдэх (хараахан) вектор функц юм. Бид (3) вектор функцийг (1) системийн шийдэл болгохыг хүсч байна. Дараа нь таних нь үнэн байх ёстой:

(интеграцчлалын үр дүнд олж авсан дурын тогтмол векторыг 0-тэй тэнцүү гэж үзэж болно). Энд x 0 цэгүүд дурын байна.

Тиймээс бид (3)-д байгаа бол C(t) гэж авна гэдгийг бид харж байна. , дараа нь вектор функц системийн шийдэл байх болно (1).

Шугаман нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийг (1) хэлбэрээр бичиж болно . Анхны нөхцөлийг хангасан системийн (1) шийдлийг олох шаардлагатай байг . Эхний өгөгдлийн (5) орлуулалт (4) өгнө . Иймд (1)-(5) Коши бодлогын шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно. . Сүүлчийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байх онцгой тохиолдолд: .

1. Онцлог тэгшитгэлийн энгийн бодит язгуурын хувьд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ердийн системийн шийдлийн үндсэн систем.

Ердийн шугаман нэгэн төрлийн системnтогтмол коэффициент бүхий захиалга - эсвэл ,Хүссэн функцүүдийн шугаман хослолын коэффициентүүд тогтмол байна. Энэ систем нь матриц хэлбэртэй байна – матрицын хэлбэр, энд А нь тогтмол матриц юм. Матрицын арга: -аас шинж чанарын тэгшитгэл Бид өөр өөр үндэс олох бөгөөд үндэс тус бүрийн хувьд (түүний олон талт байдлыг харгалзан) тохирох тодорхой шийдлийг тодорхойлно. Ерөнхий шийдэл нь: . Энэ тохиолдолд 1) хэрэв - нь олон тооны 1-ийн жинхэнэ үндэс юм, тэгвэл , А матрицын хувийн утгад тохирох хувийн вектор хаана байна, өөрөөр хэлбэл. 2) – үржвэрийн үндэс, дараа нь энэ язгуурт тохирох системийн шийдлийг вектор хэлбэрээр хайна (**), тэдгээрийн коэффициентүүд векторыг (**) анхны системд орлуулсны үр дүнд ижил зэрэгт x дээрх коэффициентүүдийг тэнцүүлэх замаар олж авсан шугаман тэгшитгэлийн системээс тодорхойлогдоно.

NLOS шийдлүүдийн үндсэн системдурын n шугаман бие даасан шийдүүдийн цуглуулга юм

Онцлог тэгшитгэлийн бүх үндэс нь энгийн боловч нарийн төвөгтэй үндэстэй тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман ODE-ийн ердийн системийн шийдлүүдийн үндсэн систем юм.

Асуултыг устгасан.