Координатын тэнхлэг дээрх векторын проекцуудыг тооцоол. Тэнхлэг дээрх хүчний төсөөлөл

Оршил…………………………………………………………………………………3

1. Вектор ба скалярын утга……………………………….4

2. Цэгийн проекц, тэнхлэг, координатын тодорхойлолт……………………………………………………………………………………………………………

3. Векторын тэнхлэг дээрх проекц ………………………………………………………6

4. Вектор алгебрийн үндсэн томьёо…………………………..8

5. Векторын модулийг проекцоос нь тооцоолох……………………9

Дүгнэлт…………………………………………………………………………………11

Уран зохиол…………………………………………………………………………………12

Оршил:

Физик нь математиктай салшгүй холбоотой. Математик нь физикт туршилт эсвэл онолын судалгааны үр дүнд нээгдсэн физик хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг ерөнхий бөгөөд нарийн илэрхийлэх арга хэрэгсэл, арга техникийг өгдөг. Энэ нь эрдэмтэн хэмжилтийг ашиглан тооцооллыг илчилдэг гэсэн үг юм. Төрөл бүрийн физик хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг. Дараа нь бүх зүйлийг математикийн хэл рүү орчуулдаг. Математик загвар бий болсон. Физик бол хамгийн энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг ерөнхий хуулиудыг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Физикийн даалгавар бол бидний оюун санаанд физик ертөнцийн дүр төрхийг бий болгох, түүний шинж чанарыг бүрэн тусгасан бөгөөд элементүүдийн хооронд орших загварын элементүүдийн хоорондын харилцааг хангах явдал юм.

Тиймээс физик нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн загварыг бий болгож, түүний шинж чанарыг судалдаг. Гэхдээ ямар ч загвар хязгаарлагдмал байдаг. Тодорхой үзэгдлийн загварыг бий болгохдоо зөвхөн тухайн үзэгдлийн хүрээнд зайлшгүй шаардлагатай шинж чанар, холболтыг харгалзан үздэг. Энэ бол эрдэмтний урлаг - олон янз байдлаас гол зүйлийг сонгох явдал юм.

Физик загварууд нь математик боловч математик нь тэдний үндэс биш юм. Физик хэмжигдэхүүнүүдийн тоон харьцаа нь хэмжилт, ажиглалт, туршилт судалгааны үр дүнд тодорхойлогддог бөгөөд зөвхөн математикийн хэлээр илэрхийлэгддэг. Гэсэн хэдий ч физик онолыг бий болгох өөр хэл байхгүй.

1. Вектор ба скалярын утга.

Физик, математикийн хувьд вектор гэдэг нь тоон утга, чиглэлээрээ тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Физикт векторууд болох хүч, байрлал, хурд, хурдатгал, эргүүлэх момент, импульс, цахилгаан ба соронзон орны хүч гэх мэт олон чухал хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Тэдгээрийг энгийн тоогоор дүрсэлж болох масс, эзэлхүүн, даралт, температур, нягт гэх мэт бусад хэмжигдэхүүнүүдтэй харьцуулж болно. скаляр".

Тэдгээрийг ердийн үсгээр эсвэл тоогоор (a, b, t, G, 5, −7....) бичнэ. Скаляр хэмжигдэхүүн нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Үүний зэрэгцээ, зарим судалгааны объектууд ийм шинж чанартай байж болох бөгөөд зөвхөн тоон хэмжүүрийн талаархи бүрэн тайлбарыг өгөхийн тулд эдгээр шинж чанаруудыг орон зайн чиглэлээр тодорхойлох шаардлагатай. Ийм шинж чанарууд нь вектор хэмжигдэхүүнээр (вектор) тодорхойлогддог. Векторуудыг скаляраас ялгаатай нь тод үсгээр тэмдэглэдэг: a, b, g, F, C....
Ихэнхдээ векторыг ердийн (тод биш) үсгийн үсгээр тэмдэглэдэг боловч дээр нь сумтай байдаг.

Нэмж дурдахад векторыг ихэвчлэн хос үсгээр (ихэвчлэн томоор бичсэн) тэмдэглэдэг бөгөөд эхний үсэг нь векторын эхлэлийг, хоёр дахь нь түүний төгсгөлийг заадаг.

Векторын модуль, өөрөөр хэлбэл чиглэгдсэн шулуун шугамын сегментийн уртыг вектортой ижил үсгээр тэмдэглэдэг, гэхдээ ердийн (том биш) бичгээр, тэдгээрийн дээр сумгүй, эсвэл яг ижил аргаар тэмдэглэнэ. вектор хэлбэрээр (өөрөөр хэлбэл, тод эсвэл ердийн, гэхдээ сумтай), гэхдээ дараа нь векторын тэмдэглэгээг босоо зураасаар бичнэ.
Вектор нь хэмжээ болон чиглэлийн аль алинаар нь нэгэн зэрэг тодорхойлогддог цогц объект юм.

Мөн эерэг ба сөрөг векторууд байдаггүй. Гэхдээ векторууд хоорондоо тэнцүү байж болно. Энэ нь жишээ нь, a ба b нь ижил модультай бөгөөд нэг чиглэлд чиглэсэн байдаг. Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээ үнэн болно а= б. Векторын тэмдгийн өмнө хасах тэмдэг байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй, жишээлбэл - c, гэхдээ энэ тэмдэг нь вектор -c нь в вектортой ижил модультай, харин эсрэг чиглэлд чиглэгддэг гэдгийг бэлгэдлийн хувьд харуулж байна. чиглэл.

-c векторыг в векторын эсрэг (эсвэл урвуу) гэж нэрлэдэг.
Физикийн хувьд вектор бүрийг тодорхой агуулгаар дүүргэдэг бөгөөд ижил төрлийн векторуудыг (жишээлбэл, хүч) харьцуулахдаа тэдгээрийн хэрэглээний цэгүүд бас чухал байж болно.

2. Цэгийн проекц, тэнхлэг, координатыг тодорхойлох.

Тэнхлэг- Энэ бол тодорхой чиглэл өгсөн шулуун шугам юм.
Тэнхлэгийг ямар нэг үсгээр тэмдэглэдэг: X, Y, Z, s, t... Ихэвчлэн тэнхлэг дээр цэгийг (дур зоргоороо) сонгодог бөгөөд үүнийг эхлэл гэж нэрлэдэг бөгөөд дүрмээр бол О үсгээр тэмдэглэдэг. Энэ цэгээс бидний сонирхож буй бусад цэг хүртэлх зайг хэмждэг.

Цэгийн төсөөлөлЭнэ цэгээс өгөгдсөн тэнхлэг рүү татсан перпендикулярын суурь нь тэнхлэгт байна. Өөрөөр хэлбэл, тэнхлэг дээрх цэгийн проекц нь цэг юм.

Цэгийн координатТухайн тэнхлэг дээрх үнэмлэхүй утга нь тэнхлэгийн гарал үүсэл ба энэ тэнхлэг дээрх цэгийн проекцын хоорондох тэнхлэгийн сегментийн урттай (сонгосон масштабаар) тэнцүү тоо юм. Хэрэв цэгийн проекц нь гарал үүслээсээ тэнхлэгийн чиглэлд байрласан бол энэ тоог нэмэх тэмдгээр, эсрэг чиглэлд байвал хасах тэмдгээр авна.

3. Векторын тэнхлэг дээрх проекц.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь векторын энэ тэнхлэг дээрх скаляр проекц ба энэ тэнхлэгийн нэгж векторыг үржүүлснээр олж авсан вектор юм. Жишээлбэл, хэрэв a x нь а векторын X тэнхлэг дээрх скаляр проекц бол x ·i нь түүний энэ тэнхлэг дээрх вектор проекц юм.

Векторын проекцийг вектортой адилаар, харин векторын проекцын тэнхлэгийн индексээр тэмдэглэе. Тиймээс бид а векторын X тэнхлэг дээрх векторын проекцийг x гэж тэмдэглэнэ (вектор ба тэнхлэгийн нэрийн доод тэмдгийг илэрхийлсэн тод үсэг) эсвэл

(векторыг илэрхийлэх бага тод үсэг, гэхдээ дээд талд нь сумтай (!) болон тэнхлэгийн нэрийн доод тэмдэг).

Скаляр проекцнэг тэнхлэгт вектор гэж нэрлэдэг тоо, үнэмлэхүй утга нь векторын эхлэл ба төгсгөлийн цэгийн проекцуудын хооронд хаагдсан тэнхлэгийн сегментийн урттай (сонгосон масштабаар) тэнцүү байна. Ихэвчлэн илэрхийллийн оронд скаляр проекцТэд зүгээр л хэлдэг - проекц. Проекцийг проекцолсон вектортой ижил үсгээр (ердийн, тод бус бичгээр) тэмдэглэнэ, энэ векторыг проекцлох тэнхлэгийн нэрний доод индекс (дүрмээр) байна. Жишээлбэл, хэрэв векторыг X тэнхлэгт тусгавал А,тэгвэл түүний проекцийг х-ээр тэмдэглэнэ. Нэг векторыг өөр тэнхлэгт проекцлох үед тэнхлэг нь Y бол түүний проекцыг y гэж тэмдэглэнэ.

Төсөөллийг тооцоолохын тулд вектортэнхлэг дээр (жишээлбэл, X тэнхлэг) эхлэх цэгийн координатыг түүний төгсгөлийн цэгийн координатаас хасах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл

a x = x k − x n.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь тоо юм.Түүнчлэн, хэрэв x k утга нь x n утгаас их байвал проекц эерэг байж болно.

x k утга нь x n утгаас бага бол сөрөг

x k нь x n бол тэгтэй тэнцүү.

Векторын тэнхлэг дээрх проекцийг мөн векторын модуль ба энэ тэнхлэгтэй хийх өнцгийг мэдэх замаар олж болно.

Зурагнаас a x = a Cos α болох нь тодорхой байна

Өөрөөр хэлбэл, векторын тэнхлэг дээрх проекц нь векторын модуль ба тэнхлэгийн чиглэл ба өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна. вектор чиглэл. Хэрэв өнцөг нь хурц байвал
Cos α > 0 ба a x > 0, хэрэв мохоо бол мохоо өнцгийн косинус сөрөг байх ба векторын тэнхлэг дээрх проекц нь мөн сөрөг байх болно.

Тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг хэмжсэн өнцгийг эерэг, тэнхлэгийн дагуу хэмжсэн өнцгийг сөрөг гэж үзнэ. Гэхдээ косинус нь тэгш функц, өөрөөр хэлбэл Cos α = Cos (− α) тул проекцийг тооцоолохдоо өнцгийг цагийн зүүний дагуу болон эсрэгээр тоолж болно.

Векторын тэнхлэг дээрх проекцийг олохын тулд энэ векторын модулийг тэнхлэгийн чиглэл ба векторын чиглэлийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлэх шаардлагатай.

4. Вектор алгебрийн үндсэн томъёо.

Тэгш өнцөгт координатын системийн X ба Y тэнхлэгт вектор а-г проекц болгоё. Эдгээр тэнхлэгүүд дээрх а векторын вектор проекцуудыг олъё.

a x = a x ·i, мөн y = a y ·j.

Гэхдээ вектор нэмэх дүрмийн дагуу

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Тиймээс бид векторыг түүний проекцууд болон тэгш өнцөгт координатын системийн векторуудаар (эсвэл векторын проекцоор) илэрхийлсэн.

a x ба а y вектор проекцуудыг а векторын бүрэлдэхүүн хэсэг буюу бүрдэл хэсгүүд гэж нэрлэдэг. Бидний хийсэн үйлдлийг тэгш өнцөгт координатын системийн тэнхлэгүүдийн дагуу векторын задрал гэж нэрлэдэг.

Хэрэв вектор орон зайд өгөгдсөн бол

a = a x i + a y j + a z k.

Энэ томьёог вектор алгебрийн үндсэн томъёо гэж нэрлэдэг. Мэдээж ингэж бичиж болно.

ВЕКТОР АЛГЕБРЫН ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ

Скаляр ба вектор хэмжигдэхүүнүүд

Температур, эзэлхүүн, биеийн жин, нягт гэх мэт зарим физик хэмжигдэхүүнүүд зөвхөн тоон утгаараа тодорхойлогддог болохыг анхан шатны физикийн хичээлээс мэддэг. Ийм хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг скаляр хэмжигдэхүүнүүд эсвэл скалярууд.

Хүч, хурд, хурдатгал гэх мэт бусад хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлохын тулд тоон утгуудаас гадна тэдгээрийн орон зай дахь чиглэлийг зааж өгөх шаардлагатай. Үнэмлэхүй утгаас гадна чиглэлээр тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнийг дууддаг вектор.

ТодорхойлолтВектор нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог чиглэсэн сегмент юм: эхний цэг нь векторын эхлэлийг, хоёр дахь нь түүний төгсгөлийг тодорхойлдог. Тиймээс ч тэд векторыг эрэмбэлэгдсэн хос цэг гэж хэлдэг.

Зураг дээр векторыг шулуун шугамын сегмент хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд векторын эхлэлээс төгсгөл хүртэлх чиглэлийг сумаар тэмдэглэв. Жишээ нь, fig. 2.1.

Хэрэв векторын эхлэл цэгтэй давхцаж байвал , төгсгөл нь цэгтэй , тэгвэл векторыг тэмдэглэнэ
. Нэмж дурдахад векторуудыг ихэвчлэн нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд дээр нь сумтай байдаг . Номонд заримдаа сумыг орхигдуулдаг, дараа нь векторыг зааж өгөхийн тулд тод фонт ашигладаг.

Векторууд орно тэг вектор, эхлэл ба төгсгөл нь давхцдаг. Энэ нь томилогдсон эсвэл зүгээр л .

Векторын эхлэл ба төгсгөлийн хоорондох зайг түүний гэнэ урт эсвэл модуль. Вектор модулийг зүүн талд байгаа хоёр босоо зураасаар зааж өгсөн болно.
, эсвэл сумгүй
эсвэл .

Нэг шулуунтай параллель векторуудыг нэрлэдэг collinear.

Нэг хавтгайд эсвэл нэг хавтгайд параллель байрлах векторуудыг нэрлэдэг хавтгай.

Тэг векторыг аль ч вектортой коллинеар гэж үзнэ. Түүний урт нь 0 байна.

ТодорхойлолтХоёр вектор
Тэгээд
тэнцүү гэж нэрлэдэг (Зураг 2.2) хэрэв тэдгээр нь:
1)collinear; 2) хамтарсан чиглэлтэй 3) урттай тэнцүү.

Үүнийг ингэж бичсэн байна.
(2.1)

Векторуудын тэгш байдлын тодорхойлолтоос үзэхэд векторыг зэрэгцээ шилжүүлэх үед анхны вектортой тэнцүү вектор гарч ирдэг тул векторын эхлэлийг орон зайн аль ч цэг дээр байрлуулж болно. Эхлэл нь огторгуйн аль ч цэгт байрлаж болох ийм векторуудыг (онолын механик, геометрийн хувьд) гэж нэрлэдэг. үнэгүй. Бид яг эдгээр векторуудыг авч үзэх болно.

Тодорхойлолт Вектор систем
ийм тогтмолууд байвал шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг
, тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай, тэгш байдал хангагдсан байдаг.

ТодорхойлолтОрон зай дахь суурийг тодорхой дарааллаар авдаг дурын гурван хосгүй вектор гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт Хэрэв
- суурь ба вектор, дараа нь тоонууд
вектор координат гэж нэрлэдэг энэ үндсэн дээр.

Бид векторын координатыг векторын тэмдэглэгээний дараа буржгар хаалтанд бичнэ. Жишээлбэл,
вектор гэсэн үг Зарим сонгосон суурь нь өргөтгөлтэй байдаг:
.

Векторыг тоогоор үржүүлэх, вектор нэмэх шинж чанаруудаас координатаар тодорхойлогдсон векторууд дээрх шугаман үйлдлүүдийн тухай өгүүлбэр дараах байдалтай байна.

Векторын координатыг олохын тулд түүний эхлэл ба төгсгөлийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол түүний төгсгөлийн харгалзах координатаас эхлэлийн координатыг хасах шаардлагатай.

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд нь векторуудыг нэмэх (хасах) болон векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд юм. Тэднийг харцгаая.

Тодорхойлолт Векторын бүтээгдэхүүн тоо бүрт
вектортой чиглэлтэй давхцаж байгаа векторыг гэнэ , Хэрэв
, эсрэг чиглэлтэй байх, хэрэв
сөрөг. Энэ векторын урт нь векторын уртын үржвэртэй тэнцүү байна тооны модулиар
.

П жишээ . Вектор бүтээх
, Хэрэв
Тэгээд
(Зураг 2.3).

Векторыг тоогоор үржүүлэхэд координатыг нь тухайн тоогоор үржүүлнэ.

Үнэхээр, хэрэв тийм бол

Векторын бүтээгдэхүүн дээр
вектор гэж нэрлэдэг
;
- эсрэгээр чиглэсэн .

Урт нь 1 векторыг дууддаг болохыг анхаарна уу ганц бие(эсвэл Ортом).

Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг ашиглан дурын векторыг ижил чиглэлийн нэгж вектороор илэрхийлж болно. Үнэхээр векторыг хуваах нь түүний урт хүртэл (жишээ нь үржүүлэх дээр ), бид вектортой ижил чиглэлд нэгж векторыг олж авдаг . Бид үүнийг тэмдэглэх болно
. Үүнийг дагадаг
.

Тодорхойлолт Хоёр векторын нийлбэр Тэгээд вектор гэж нэрлэдэг , энэ нь тэдгээрийн нийтлэг гарал үүсэлтэй бөгөөд талууд нь векторууд болох параллелограммын диагональ юм Тэгээд (Зураг 2.4).

.

Тэнцүү векторуудын тодорхойлолтоор
Тийм ч учраас
-гурвалжингийн дүрэм. Гурвалжны дүрмийг дурын тооны вектор хүртэл сунгаж болох бөгөөд ингэснээр олон өнцөгт дүрмийг олж авна.
нь эхний векторын эхлэлийг холбосон вектор юм сүүлчийн векторын төгсгөлтэй (Зураг 2.5).

Тиймээс, нийлбэр векторыг байгуулахын тулд та хоёр дахьын эхлэлийг эхний векторын төгсгөлд, гурав дахь хэсгийн эхлэлийг хоёр дахь векторын төгсгөлд хавсаргах хэрэгтэй. Дараа нь нийлбэрийн вектор нь эхний векторын эхлэлийг сүүлчийн векторын төгсгөлтэй холбосон вектор байх болно..

Векторуудыг нэмэхдээ тэдгээрийн харгалзах координатуудыг мөн нэмнэ

Үнэхээр, хэрэв
,

Хэрэв векторууд
Тэгээд нь хос хавтгай биш бол тэдгээрийн нийлбэр нь диагональ болно
Эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелепипед (Зураг 2.6)

,

Хаана

Үл хөдлөх хөрөнгө:

- шилжих чадвар;

- нэгдэл;

- тоогоор үржүүлэхтэй холбоотой тархалт

.

Тэдгээр. векторын нийлбэрийг алгебрийн нийлбэртэй ижил дүрмийн дагуу хувиргаж болно.

ТодорхойлолтХоёр векторын ялгаа Тэгээд ийм вектор гэж нэрлэдэг , энэ нь вектор дээр нэмэгдэхэд вектор өгдөг . Тэдгээр.
Хэрэв
. Геометрийн хувьд векторууд дээр баригдсан параллелограммын хоёр дахь диагональыг илэрхийлнэ Тэгээд нийтлэг эхлэлтэй ба векторын төгсгөлөөс чиглэсэн векторын төгсгөл хүртэл (Зураг 2.7).

Векторын тэнхлэг дээрх проекц. Проекцийн шинж чанарууд

Тооны тэнхлэгийн тухай ойлголтыг эргэн санацгаая. Тооны тэнхлэг нь тодорхойлогдсон шугам юм:

чиглэл (→);

гарал үүсэл (O цэг);

масштабын нэгж болгон авсан сегмент.

Вектор байх болтугай
ба тэнхлэг . Онооноос Тэгээд тэнхлэгт перпендикуляруудыг буулгана . Оноо авцгаая Тэгээд - цэгүүдийн төсөөлөл Тэгээд (Зураг 2.8 a).

Тодорхойлолт Вектор проекц
тэнхлэг бүрт сегментийн урт гэж нэрлэдэг
векторын эхлэл ба төгсгөлийн төсөөллийн суурийн хооронд байрлах энэ тэнхлэг
тэнхлэг бүрт . Хэрэв сегментийн чиглэл байвал нэмэх тэмдгээр авна
проекцын тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж, хэрэв эдгээр чиглэлүүд эсрэг байвал хасах тэмдэгтэй байна. Зориулалт:
.

ТУХАЙ шийдэмгий байдал Вектор хоорондын өнцөг
ба тэнхлэг өнцөг гэж нэрлэдэг , аль болох богино хугацаанд тэнхлэгийг эргүүлэх шаардлагатай ингэснээр векторын чиглэлтэй давхцаж байна
.

Бид олох болно
:

Зураг 2.8а-д:
.

Зураг дээр. 2.8 б): .

Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь энэ векторын урт ба вектор ба проекцын тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.
.

Проекцийн шинж чанарууд:

Хэрэв
, тэгвэл векторуудыг ортогональ гэж нэрлэдэг

Жишээ . Өгөгдсөн векторууд
,
.Дараа нь

.

Жишээ. Хэрэв векторын эхлэл бол
цэг дээр байна
, төгсгөл нь цэг дээр байна
, дараа нь вектор
координаттай:

ТУХАЙ шийдэмгий байдал Хоёр векторын хоорондох өнцөг Тэгээд хамгийн бага өнцөг гэж нэрлэдэг
(Зураг 2.13) эдгээр векторуудын хооронд нийтлэг гарал үүслийг бууруулсан .

Векторуудын хоорондох өнцөг Тэгээд бэлгэдлийн хувьд ингэж бичсэн байна: .

Тодорхойлолтоос харахад өнцөг векторуудын хооронд хэлбэлзэж болно
.

Хэрэв
, тэгвэл векторуудыг ортогональ гэж нэрлэдэг.

.

Тодорхойлолт.Координатын тэнхлэгүүдтэй векторын өнцгийн косинусуудыг векторын чиглэлийн косинусууд гэнэ. Хэрэв вектор
координатын тэнхлэгүүдтэй өнцөг үүсгэдэг

.

Битүү хүчний олон өнцөгт байгуулах замаар нийлэх хүчний тэнцвэрт байдлын асуудлыг шийдэх нь нүсэр барилга байгууламжийг хамарна. Ийм асуудлыг шийдэх бүх нийтийн арга бол координатын тэнхлэгт өгөгдсөн хүчний проекцийг тодорхойлох, эдгээр проекцуудтай ажиллах явдал юм. Тэнхлэг нь тодорхой чиглэл өгсөн шулуун шугам юм.

Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь скаляр хэмжигдэхүүн бөгөөд энэ нь векторын эхлэл ба төгсгөлөөс түүн дээр буулгасан перпендикуляраар таслагдсан тэнхлэгийн сегментээр тодорхойлогддог.

Проекцийн эхнээс төгсгөл хүртэлх чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байвал вектор проекцийг эерэг гэж үзнэ. Хэрэв проекцын эхлэлээс төгсгөл хүртэлх чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн эсрэг байвал вектор проекцийг сөрөг гэж үзнэ.

Тиймээс координатын тэнхлэг дээрх хүчний проекц нь хүчний вектор ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийн косинус ба хүчний модулийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Хүчийг тэнхлэгт оруулах хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

Хүчний вектор Ф(Зураг 15) х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэнэ.

Проекцийг олохын тулд хүчний векторын эхлэл ба төгсгөлөөс тэнхлэгт перпендикуляруудыг буулгана өө; бид авдаг

1. Fx = Ф cos α

Энэ тохиолдолд векторын проекц эерэг байна

Хүч Ф(Зураг 16) нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй байна Xмохоо өнцөг α.

Дараа нь Ф x = Ф cos α, гэхдээ α = 180 0 - φ тул

Ф x = Ф cos α = Ф cos180 0 - φ =- Ф cos φ.

Хүчний төсөөлөл Фтэнхлэг бүрт өөэнэ тохиолдолд сөрөг байна.

Хүч Ф(Зураг 17) тэнхлэгт перпендикуляр өө.

F хүчний тэнхлэг дээрх проекц Xтэгтэй тэнцүү

Ф x = Ф cos 90° = 0.

Онгоцонд байрлах хүч яаж(Зураг 18), хоёр координатын тэнхлэг дээр төсөөлж болно ӨөТэгээд OU.

Хүч чадал Фбүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж болно: Ф x ба Ф y. Вектор модуль Ф x нь векторын проекцтой тэнцүү Фтэнхлэг бүрт үхэр, ба векторын модуль Ф y нь векторын проекцтой тэнцүү байна Фтэнхлэг бүрт өө.

Δ-ээс OAV: Ф x = Фучир α, Ф x = Фгэм α.

Δ-ээс OAS: Ф x = Ф cos φ, Ф x = Фгэм φ.

Хүчний хэмжээг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно.

Аливаа тэнхлэгт векторын нийлбэр эсвэл үр дүнгийн проекц нь ижил тэнхлэг дээрх векторуудын нийлбэрийн проекцуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Нэгдэх хүчийг авч үзье Ф 1 , Ф 2 , Ф 3, ба Ф 4, (Зураг 19, а). Эдгээр хүчний геометрийн нийлбэр буюу үр дүн Фхүчний олон өнцөгтийн хаалтын талаас тодорхойлогдоно

Хүчний олон өнцөгтийн оройгоос тэнхлэг рүү буулгая xперпендикуляр.

Барилга угсралтын ажил дууссанаас шууд авсан хүчний төсөөллийг авч үзье

Ф= Ф 1x+ Ф 2x+ Ф 3x+ Ф 4x

энд n нь вектор гишүүний тоо. Тэдний төсөөлөл нь дээрх тэгшитгэлд харгалзах тэмдгээр ордог.

Хавтгайд хүчний геометрийн нийлбэрийг хоёр координатын тэнхлэгт, орон зайд гурван тэнхлэгт тус тус тусгаж болно.

Тэнхлэг нь чиглэл юм. Энэ нь тэнхлэгт эсвэл чиглэсэн шугам дээрх проекцийг ижил гэж үзнэ гэсэн үг юм. Төсөл нь алгебр эсвэл геометрийн байж болно. Геометрийн хэллэгээр векторын тэнхлэг дээрх проекцийг вектор, алгебрийн хэллэгээр бол тоо гэж ойлгодог. Өөрөөр хэлбэл, векторыг тэнхлэгт проекцлох, тэнхлэг рүү векторыг тоон проекц хийх тухай ойлголтуудыг ашигладаг.

Хэрэв бид L тэнхлэг ба тэгээс ялгаатай A B → вектортой бол түүний A 1 ба B 1 цэгүүдийн проекцийг тэмдэглэсэн A 1 B 1 ⇀ векторыг байгуулж болно.

A 1 B → 1 нь A B → векторын L дээрх проекц болно.

Тодорхойлолт 1

Векторын тэнхлэг дээрх проекцнь өгөгдсөн векторын эхлэл ба төгсгөлийн проекцуудын эхлэл ба төгсгөл нь вектор юм. n p L A B → → L дээр A B → проекцийг тэмдэглэдэг заншилтай. L дээр проекц байгуулахын тулд перпендикуляруудыг L дээр буулгана.

Жишээ 1

Тэнхлэг дээрх вектор проекцын жишээ.

O x y координатын хавтгайд M 1 (x 1, y 1) цэгийг зааж өгсөн болно. М 1 цэгийн радиус векторыг дүрслэхийн тулд O x ба O y дээр проекц байгуулах шаардлагатай. Бид (x 1, 0) ба (0, y 1) векторуудын координатыг авна.

Хэрэв бид тэгээс өөр b → руу a → проекц эсвэл b → чиглэл рүү a → проекцын тухай ярьж байгаа бол b → чиглэл давхцах тэнхлэг рүү a → проекцийг хэлнэ. b →-ээр тодорхойлсон шулуун дээрх a → проекцийг n p b → a → → гэж тэмдэглэнэ. a → ба b → , n p b → a → → ба b → хоёрын хоорондох өнцгийг хамтарсан чиглэлтэй гэж үзэж болох нь мэдэгдэж байна. Өнцөг нь мохоо байх тохиолдолд n p b → a → → ба b → эсрэг чиглэлд байна. a → ба b → перпендикуляр байдал, a → тэг байх нөхцөлд b → чиглэлд a → проекц нь тэг вектор болно.

Векторын тэнхлэгт проекцын тоон шинж чанар нь өгөгдсөн тэнхлэг дээрх векторын тоон проекц юм.

Тодорхойлолт 2

Векторын тэнхлэг дээрх тоон проекцөгөгдсөн векторын урт ба тэнхлэгийн чиглэлийг тодорхойлох вектор ба өгөгдсөн векторын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо юм.

A B → L дээр байрлах тоон проекцийг n p L A B →, a → дээр b → - n p b → a → гэж тэмдэглэнэ.

Томъёо дээр үндэслэн бид n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ -г олж авдаг бөгөөд эндээс a → нь векторын урт a → , a ⇀ , b → ^ нь a → векторуудын хоорондох өнцөг юм. ба b → .

Бид тоон төсөөллийг тооцоолох томъёог олж авна: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Энэ нь мэдэгдэж буй a → ба b → урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөгт хамаарна. Энэ томьёо нь мэдэгдэж буй a → ба b → координатуудад хамаарах боловч хялбаршуулсан хэлбэр байдаг.

Жишээ 2

a → урт a → 8-тай тэнцүү, тэдгээрийн хоорондох 60 градусын өнцөгтэй b → чиглэлийн шулуун шугам дээрх тоон проекцийг ол. Нөхцөлөөр бид ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° байна. Энэ нь бид n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 томъёонд тоон утгыг орлуулна гэсэн үг юм.

Хариулт: 4.

Мэдэгдэж буй cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → -тэй бол бид a → ба b → -ийн скаляр үржвэр болох a → , b → байна. n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ томьёоны дагуу b → векторын дагуу чиглэсэн a → тоон проекцийг олж n p b → a → = a → , b → b → болно. Томъёо нь догол мөрний эхэнд өгсөн тодорхойлолттой тэнцүү байна.

Тодорхойлолт 3

a → векторын b → чиглэлтэй давхцаж буй тэнхлэг дээрх тоон проекц нь a → ба b → векторуудын скаляр үржвэрийг b → урттай харьцуулсан харьцаа юм. n p b → a → = a →, b → b → томьёо нь мэдэгдэж байгаа a → ба b → координаттай b → чиглэлтэй давхцаж буй шулуун дээрх a → тоон проекцийг олоход тохиромжтой.

Жишээ 3

Өгөгдсөн b → = (- 3 , 4) . L дээр a → = (1, 7) тоон проекцийг ол.

Шийдэл

Координатын хавтгайд n p b → a → = a →, b → b → нь n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 хэлбэртэй, a → = (a x , a y ) ба b → = b x , b y . a → векторын L тэнхлэг дээрх тоон проекцийг олохын тулд: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Хариулт: 5.

Жишээ 4

a → = - 2, 3, 1 ба b → = (3, - 2, 6) байх b → чиглэлтэй давхцаж буй L дээрх a → проекцийг ол. Гурван хэмжээст орон зайг зааж өгсөн.

Шийдэл

a → = a x , a y , a z and b → = b x , b y , b z өгөгдсөн бол бид скаляр үржвэрийг тооцоолно: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 томъёог ашиглан b → уртыг олно. Үүнээс үзэхэд a → тоон проекцийг тодорхойлох томъёо нь: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 байх болно.

Тоон утгуудыг орлуулна уу: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Хариулт: - 6 7.

a → дээр L болон проекцын уртыг a → L дээр холбохыг харцгаая. L тэнхлэгийг L дээр байгаа цэгээс a → ба b → нэмээд дараа нь a → төгсгөлөөс L хүртэл перпендикуляр шугам татаад L дээр проекц зуръя. Зургийн 5 хувилбар байдаг:

Эхлээд a → = n p b → a → → гэсэн утгатай тохиолдол нь a → = n p b → a → → → n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Хоёрдугаарттохиолдол нь n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → -г ашиглахыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → гэсэн утгатай.

Гуравдугаарттохиолдолд n p b → a → → = 0 → бид n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, тэгвэл n p b → a → → = 0 болно гэдгийг тайлбарлав. ба n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Дөрөвдүгээрттохиолдолд n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , дараах n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Тавдугаарттохиолдолд a → = n p b → a → → гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь a → = n p b → a → → гэсэн утгатай тул бидэнд n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - байна. a → = - n p b → a → .

Тодорхойлолт 4

a → векторын L тэнхлэг рүү b →-тэй ижил аргаар чиглэсэн тоон проекц нь дараах утгатай байна.

• a → ба b → хоорондох өнцөг нь 90 градусаас бага буюу 0-тэй тэнцүү байх нөхцөлд a → векторын L дээрх проекцын урт: n p b → a → = n p b → a → 0 ≤ нөхцөлтэй (a → , b →) ^< 90 ° ;
• a → ба b → перпендикуляр байх тохиолдолд тэг: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° байх үед;
• a → ба b → векторуудын мохоо буюу шулуун өнцөг байх үед a → L руу проекцын уртыг -1-ээр үржүүлнэ: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° -ийн нөхцөлтэй.< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Жишээ 5

L дээр a → проекцын урт нь 2-той тэнцүү. Өнцөг нь 5 π 6 радиан байх нөхцөлд a → тоон проекцийг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөс харахад энэ өнцөг нь мохоо байна: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Хариулт: - 2.

Жишээ 6

30 градусын өнцөгтэй a → 6 3-тай тэнцүү, b → (- 2, 1, 2) векторын урттай O x y z хавтгай өгөгдсөн. L тэнхлэг дээрх a → проекцын координатыг ол.

Шийдэл

Эхлээд a → векторын тоон проекцийг тооцоолно: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Нөхцөлөөр өнцөг нь хурц, дараа нь тоон проекц a → = векторын проекцын урт a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Энэ тохиолдол нь n p L a → → ба b → векторууд хамтран чиглүүлж байгааг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь тэгш байдал үнэн болох t тоо байна гэсэн үг: n p L a → → = t · b → . Эндээс бид n p L a → → = t · b → t параметрийн утгыг олох боломжтой болохыг харж байна: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Дараа нь n p L a → → = 3 · b → векторын проекцын координаттай a → L тэнхлэг рүү b → = (- 2 , 1 , 2) -тай тэнцүү байх ба энд утгуудыг үржүүлэх шаардлагатай. 3. Бидэнд n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) байна. Хариулт: (- 6, 3, 6) .

Векторуудын коллинеар байдлын байдлын талаар өмнө нь олж мэдсэн мэдээллийг давтах шаардлагатай.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

§ 3. Векторын координатын тэнхлэг дээрх проекцууд

1. Проекцуудыг геометрийн аргаар олох.

Вектор
- тэнхлэг дээрх векторын проекц ҮХЭР
- тэнхлэг дээрх векторын проекц Өө

Тодорхойлолт 1. Вектор проекц координатын аль ч тэнхлэг дээр векторын эхэн ба төгсгөлөөс координатын тэнхлэг хүртэл буулгасан перпендикуляруудын суурийн хооронд байрлах сегментийн урттай тохирох нэмэх эсвэл хасах тэмдгээр авсан тоо байна.

Проекцийн тэмдгийг дараах байдлаар тодорхойлно. Хэрэв координатын тэнхлэгийн дагуу хөдөлж байх үед векторын эхлэлийн проекцын цэгээс тэнхлэгийн эерэг чиглэлд векторын төгсгөлийн проекцын цэг хүртэл хөдөлгөөн хийгдэж байвал векторын проекцийг эерэг гэж үзнэ. . Хэрэв энэ нь тэнхлэгийн эсрэг байвал проекцийг сөрөг гэж үзнэ.

Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эсрэг ямар нэгэн байдлаар чиглэсэн байвал энэ тэнхлэг дээрх проекц нь сөрөг байна гэдгийг зураг харуулж байна. Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд ямар нэгэн байдлаар чиглэсэн байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц эерэг байна.

Хэрэв вектор координатын тэнхлэгт перпендикуляр байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц нь тэг болно.
Хэрэв вектор нь тэнхлэгтэй ижил чиглэлтэй байвал түүний энэ тэнхлэг дээрх проекц нь векторын абсолют утгатай тэнцүү байна.
Хэрэв вектор координатын тэнхлэгийн эсрэг чиглэсэн байвал энэ тэнхлэг дээрх түүний проекц нь хасах тэмдгээр авсан векторын үнэмлэхүй утгатай үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү байна.

2. Проекцийн хамгийн ерөнхий тодорхойлолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжнаас АНУ: .

Тодорхойлолт 2. Вектор проекц аль ч координатын тэнхлэг дээр координатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусын модуль ба векторын үржвэртэй тэнцүү тоо байна.

Проекцийн тэмдгийг эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусын тэмдгээр тодорхойлно.
Хэрэв өнцөг нь хурц байвал косинус эерэг тэмдэгтэй, төсөөлөл нь эерэг байна. Мохоо өнцгүүдийн хувьд косинус нь сөрөг тэмдэгтэй байдаг тул ийм тохиолдолд тэнхлэг дээрх проекцууд нь сөрөг байдаг.
- тиймээс тэнхлэгт перпендикуляр векторуудын хувьд проекц нь тэг байна.