Главная / Остекление / Определить множество функция отображает множество. Отображения

Определить множество функция отображает множество. Отображения

Изучим теперь некоторые вопросы, связанные с отношениями между множествами.

Будем говорить, что между множествами изаданоотношение (инаходятся в отношении), если некоторым (возможно всем) элементам изсоответствуют некоторые элементы из. Если множествонаходится в отношениис множеством, то будем писать:

Если при этом элементу ставится в соответствие элемент, то обозначать это будем

Определение 1.1.2. Отношение между множествамииназываетсяотображением , если каждому изпоставлен в соответствие один и только один элементиз(см. рис. 1.1.2. и 1.1.3). При специализации природы множествивозникают специальные типы отображений, которые носят особые названия “функция”," вектор-функция", "оператор", "мера", "функционал" и т.д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функции (отображения) из вбудем пользоваться записью

Рис.1.1.2. Отображение Рис.1.1.3.Отношение, не являющееся

отображением

Определение 1.1.3 . Если - элемент из, то отвечающий ему элементиз, называется его образом (при отображении), а множество всех тех, для которых, называется прообразоми обозначается(см.рис.1.1.4).

Рис.1.1.4. Прообраз b

Определение 1.1.4. Отображение называетсявзаимно однозначным отображением , если каждый элемент из имеет единственный образ при отображениии каждый элемент изимеет единственный прообраз при этом отображении.

Рис.1.1.5. Взаимно однозначное отображение

Мы в дальнейшем будем рассматривать только отображения, поскольку имеются приемы, сводящие многозначные отображения к однозначным, которые мы называем просто отображениями.

Понятие отображения играет важнейшую роль в математике, в частности в математическом анализе центральное место занимает понятие функции , которой называется отображение одного числового множества в другое.

1.7. Мощность множества

При исследовании отношений между множествами большой интерес представляет "объем" множеств, число элементов в них. Но разговор о числе элементов понятен и обоснован, если это число конечное. Множества, состоящие из конечного числа элементов, будем называть конечными . Однако, многие из множеств, рассматриваемых в математике, не являются конечными, например, множество действительных чисел, множество точек на плоскости, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке и т.д. Для количественной характеристики бесконечных (да и конечных) множеств в теории множеств используется понятие мощности множества .

Будем говорить, что множества иимеютодинаковую мощность , если существует взаимно однозначное отображение множества на множество(заметим, что в этом случае существует и взаимно однозначное отображение множества B на множество A).

Если множества иимеют одинаковую мощность, то будем говорить, что ониэквивалентны , это обозначается: .

Пусть - произвольные множества, тогда

т.е. любое множество эквивалентно самому себе; если множество эквивалентно множеству, тоэквивалентно; если, наконец, множествоэквивалентно множеству, которое эквивалентно множеству, тоэквивалентно.

Множество, эквивалентное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным .

Если конечные множества имеют разное число элементов, то ясно, что одно из них содержит меньше элементов, чем другое. А как сравнить в этом смысле бесконечные множества? Будем говорить, что мощность множества меньше мощности множества, если существует подмножество множества, эквивалентное множеству, но сами множестваине являются эквивалентными.

Мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных множеств понятие "мощность" является обобщением понятия "количество элементов".

Укажем некоторые, полезные для дальнейшего, классы множеств.

Множество называется счетным , если оно имеет такую же мощность как и некоторое подмножество множества (множества натуральных чисел). Счетное множество может быть конечным или бесконечным.

Бесконечное множество является счетным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству натуральных чисел .

Заметим, что любое множество, мощность которого меньше мощности бесконечного счетного множества, является конечным.

Множество действительных чисел на отрезке от нуля до единицы имеет мощность континуум , и само часто называется континуумом . Мощность этого множества больше мощности бесконечного счетного множества. Возникает вопрос: имеется ли множество, мощность которого больше мощности бесконечного счетного множества, но меньше мощности континуум. Эта задача была сформулирована в 1900 году одним из крупнейших математиков мира Давидом Гильбертом. Оказалось, что эта задача имеет несколько неожиданный ответ: можно считать, что такое множество существует, а можно считать, что его не существует. Получающиеся при этом математические теории будут непротиворечивыми. Доказательство этого факта было доложено американским ученым Коэном в 1965 году на всемирном конгрессе математиков в Москве. Отметим, что ситуация с этой задачей напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида: через точку, лежащую вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Как показал Лобачевский, отказ от этого постулата не приводит к противоречиям. Мы можем строить геометрию, для которой этот постулат имеет место, и геометрии, для которых он не верен.

В заключение приведем несколько примеров, демонстрирующих методику доказательства эквивалентности множеств.

Пример 1.11. Множество целых чисел счетное.

Понятно, что рассматриваемое множество бесконечное (множество натуральных чисел является его подмножеством).

Для доказательства счетности множества целых чисел надо построить взаимно однозначное отображение между множеством натуральных чисел и рассматриваемым множеством. Требуемое отображение задается правилом: расположим целые числа следующим образом:

и перенумеруем их натуральными числами, присвоив им номера (они указаны рядом с рассматриваемыми целыми числами). Очевидно, что каждое целое число получит свой номер, при этом разные числа получат разные номера. Верно и обратное: для каждого натурального числа (для каждого номера) найдется и при том единственное целое число, стоящее под этим номером. Таким образом, требуемое взаимно однозначное отображение построено.

Пример 1.12 . Множество рациональных чисел счетное.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби p/q, используя это представление расположим рациональные числа в соответствии со схемой:

. . . . . .

Перенумеруем эти числа примерно так же, как и в предыдущем примере (номера указаны сверху в скобках рядом с числами). Нетрудно убедиться в том, что сформулированное правило нумерации рациональных чисел дает требуемое взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел в множество рациональных чисел.

Пример 1.13 . Объединение счетного множества счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения предыдущего примера.

В заключение приведем важное для дальнейшего утверждение. Но для этого нам потребуется еще одна операция над множествами.

Прямым произведением множеств и(декартовым произведением ) называется множество всех упорядоченных пар , гдеи. Это множество обозначается. Таким образом:

Обозначим , произведениесомножителейбудем обозначать.

Теорема 1.1 . для любого бесконечного множестваБолее того.

В частности , т.е. множество точек на прямой имеет такую мощность, что и множество точек на плоскости. Более того, точек в пространстве столько, сколько и на прямой.

На этом мы заканчиваем знакомство с основными понятиями математической логики и теории множеств - основ современной математики. Отметим, что многие аспекты этих теорий остались, к сожалению, за рамками этой главы, познакомиться с ними можно, например, по и .

Сюръекция, инъекция и биекция

Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.

По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У. При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X - область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.

Примеры решения в задачах

Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У

Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Так, если является биекцией, обратной к биекции /: Х-+У, то /"1о/ = /х, а /о/-1 = /у, где и /у - тождественные отображения множеств X и У соответственно. Обратно, если отображения f: X ->Y и р: У Л" таковы, что gof = Ix и fog = /у, то функция / является биекцией, а у - ее обратной биекцией. Очевидно, что если / - биекция Л" на У, а $ - биекция У на Z, то gof является биекцией X на Z, а будет по отношению к ней обратной биекцией. 2.5. Произведение множеств. График отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные координатные оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.7). Точку О пересечения координатных осей называют начало* координат.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х} yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.

Отображение %%f%% называется инъективным ,

если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb{R}%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сюръективное отображение

Отображение %%f%% называется сюръективным , если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным , если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием .

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^{-1}(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением .

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией . Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным .

Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, %%f%% — инъекция.
Проверим сюръекцию . Пусть %%y \in Y = \mathbb{R}%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb{R}%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb{R}%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac{y-3}{3} \text{ и } x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac{y-3}{3}%%.

ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ §1. Основные определения

Определение. Пусть А и В – два множества. Говорят, что задано отображение f множества А в В, если указан закон, по которому любому элементу а из А ставится в соответствие единственный элементb из множества В:

Отображения также называют функциями .

Будем использовать следующие обозначения:

ƒ : А→ В. Отображение f множество А переводит в В;

А f В. Множество А отображается в В при отображении f.

Если элемент а при отображении f переходит в элемент b, то пишут f(a)=b (левая запись) или af=b (правая запись). Элемент b называется образом элемента а при отображении f; элемент а – прообразом b при

этом отображении. Множество { f (a ) | a A } = f (A ) – образ множества А при отображении f. Отметим, что

f (A ) B .

А B

f f(A)

А – область определения отображения f; В – область значений отображения f (иногда –например, в школьной математике – областью значений считается f(A), но мы будем ею считать В).

Отметим, что мы рассматриваем только однозначные отображения.

Из всех отображений особо выделяют следующие виды :

1. Сюръекция (отображение «на») – это отображение f : A → B такое, что f (A ) = B . При сюръекции у каждого элемента из множества В существует хотя бы один прообраз.

2. Инъекция – отображение, при котором разные элементы переходят в разные, т.е. если a , a 1 A и a ≠ a 1 , то f (a ) ≠ f (a 1 ) .





				f(a1 )

3. Биекция, или взаимно однозначное отображение – это отображение, которое одновременно является инъекцией и сюръекцией.

Примеры отображений:.

1. Пусть А – любое множество и В – множество, состоящее из одного элемента, т.е. B={b}.

А . b

Отображение f (a ) = b , a A является сюръекцией, т.к. f(A)=B.

2. Пусть множество А – некоторый отрезок на плоскости, множество В – прямая. Из каждой точки отрезка А опустим перпендикуляр на прямую В и основания этих перпендикуляров поставим в соответствие точкам отрезка А.

А а

φ(а) В

Обозначим это отображение через φ. Очевидно,

ϕ (a ) ≠ ϕ (a 1 ), a , a 1 A , a ≠ a 1 .

Следовательно, отображение φ – инъекция (но не является сюръекцией).

3. Пусть множество А – гипотенуза прямоугольного треугольника, а В – его катет. Любой точке гипотенузы поставим в соответствие её проекцию на катет. Получим взаимно однозначное отображение А на В:

т.е. f – биекция.

Отметим, что именно так в математике доказывается, что «количество» точек на гипотенузе и катете одинаково (точнее, эти множества имеют одинаковую мощность).

Замечание. Нетрудно придумать отображение, которое не является ни сюръекцией, ни инъекцией, ни биекцией.

4. Если f – любая функция действительного переменного, то f – отображение R в R.

§2. Умножение отображений

Пусть А, В, С – три множества и заданы два отображения f : A → B и ϕ : B → C .

Определение 1. Произведением этих отображений называется отображение, которое получается в результате последовательного их выполнения.

ϕ f

Возможны два варианта записи.

1. Левая запись.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		обозначить ϕ f :
Тогда произведение f и φ будет	переводить а в с, его следует	обозначить ϕ f :
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (см. выше рисунок).
По определению (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) ,	т.е. произведение отображений –	это сложная функция,
заданная на А.

2. Правая запись.

aƒ =b, bϕ =c. Тогда a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

Мы будем пользоваться левой записью (отметим, что в книге используется правая). Произведение отображений ниже мы будем обозначать через f ϕ .

Замечание 1 . Из определения умножения отображений следует, что перемножать можно не любые отображения, а только те, у которых «средние» множества одинаковые. Например, если f : A → B ,ϕ : D → C , то при В=D можно перемножать отображения f и φ, а при В≠D нельзя.

Свойства умножения отображений

Определение 2 . Отображения f и g называются равными , если у них совпадают области определения и области значений, т.е. f : A → B , g : A → B и выполняется условие: a A справедливо

равенство f (a ) = g (a ) .

1. Умножение отображений некоммутативно. Другими словами, если fφ и φf существуют, то они не обязательно равны.

Пусть, например, множества A=B=C=R, f (x ) = sin x ,ϕ (x ) Рассмотрим произведения:

(ϕ f ) (x ) = ϕ (f (x )) = ϕ (sin x ) = e sin x ,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Следовательно, функции fφ и φf различны.

2. Умножение отображений ассоциативно.

Пусть f : A → B , ϕ : B → C , ψ : C → D . Докажем, что (ψϕ ) f

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

и ψ (ϕ f ) существуют и равны,т.е.(ψϕ ) f =

ψ (ϕ f ) . (1)

Очевидно, что (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .

Для доказательства равенства (1) в силу определения равенства отображений требуется проверить, чтоa A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Пользуясь определением умножения отображений (в левой записи)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Т.к. в равенствах (3) и (4) равны правые части, то равны и левые, т.е. справедливо равенство (2), а тогда выполняется и (1).

Замечание 2. Ассоциативность умножения позволяет однозначно определить произведение трех, а затем и любого конечного числа множителей.

несколько прообразов в А, либо вообще не быть прообразов. Однако для биективного отображения f обратное определить можно.

Пусть f : A → B – биекция, f (a ) = b , a A , b B . Тогда для любого элемента b B по определению биекции существует единственный прообраз при отображении f – это элемент а. Теперь можно определить f − 1 : B → A , полагая f − 1 (b ) = a (b B ) . Нетрудно видеть, что f − 1 – биекция.

Итак, у всякого биективного отображения имеется обратное.

§3. Преобразования множеств

Всякое отображение f : A → A называется преобразованием множества А. В частности, любая

функция действительной переменной является преобразованием множества R.

Примерами преобразований множества точек плоскости служат поворот плоскости, симметрия относительно оси и т.д.

Так как преобразования – это частный случай отображений, то для них справедливо всё сказанное выше об отображениях. Но умножение преобразований множества А имеет и специфические свойства:

1. для любых преобразований f и φ множества А произведения fφ и φf существуют;

2. существует тождественное преобразование множества А ε : ε (a ) = a , a A .

Нетрудно видеть, что для любого преобразования f этого множества f ε = ε f = f , так как, например, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Значит, преобразование ε играет роль единичного элемента при умножении преобразований.

равенства легко проверяются. Тем самым обратное преобразование играет роль обратного элемента при умножении преобразований.

Отображения (функции)

Функции играют центральную роль в математике, где они используются для описания любых процессов, при которых элементы одного множества каким-то образом переходят в элементы другого. Такие преобразования элементов - фундаментальная идея, имеющая первостепенное значение для всех вычислительных процессов.

Определение. Отношение f на AB называется отображением (функцией) из A в B, если для каждого xA существует один и только один yB. множество бинарный отношение эквивалентность

f: AB или y=f(x)

Множество A называется областью определения. Множество B - областью значений.

Если y=f(x), то x называют аргументом , а y - значением функции.

Пусть f: AB, тогда

множество определения функции:

множество значений функции:

Множество определения функции является подмножеством области определения, т.е. Dom f A, а множество значений функции является подмножеством области значений функции, т.е. Im f B. Если, то функция называется тотальной, а если частичной функцией. Так диаграмма Венна служит удобной иллюстрацией функции, определенной на множестве A со значениями в множестве B.

Способы задания функции:

1) Словесный.
2) Аналитический.
3) С помощью графика, рисунка.
4) С помощью таблиц.

Определение. Если MA, то множество f(M)=y f(x)=y для некоторого x из M называется образом множества M.

Если KB, то множество f -1 (K)=x f(x)K называется прообразом множества K.

Определение Функция называется функцией n аргументов, или n-местной функцией. Такая функция отображает кортеж в элемент bB, .

Свойства отображений (функций).

1) Отображение f: AB называется инъективным , если оно различные элементы из A отображает в различные элементы из B: .

Это свойство можно показать с помощью диаграмм Венна.

2) Отображение f: AB называется сюръективным или отображением на все мно-жество B, если в каждый элемент множества B отображается хотя бы один элемент из A: .

Это свойство тоже можно показать с помощью диаграмм Венна.

3) Отображение f: AB, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или взаимно однозначным отображением множества A на множество B.

Пример. Пусть дано отображение f: RR, которое определено таким образом, что. Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение. Функция f не является инъективной, т.к. f (2)=f (2), но 2 2.

Функция f не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа x, для которого f (x)= 1.

Определение. Пусть f биективное отображение множества A в множество B. Если поставить в соответствие каждому элементу из B связанный с ним элемент из A, то такое соответствие является отображением B в A. Это отображение обозначается и называется отображением, обратным отображению f.

Обратное отображение обладает некоторыми свойствами, которые сформулируем в следующей теореме.

Теорема 3. Если f: AB - биекция, то