Jakie są współrzędne rzutu wektorowego? Rzuty wektorów na osie współrzędnych

Niech dwa wektory i będą podane w przestrzeni. Odłóżmy z dowolnego punktu O wektory i . Kąt między wektorami nazywa się najmniejszym z kątów. Wyznaczony .

Rozważ oś l i narysuj na nim wektor jednostkowy (tj. wektor, którego długość jest równa jedności).

Pod kątem między wektorem a osią l zrozumieć kąt między wektorami i .

Więc pozwól l jest pewną osią i jest wektorem.

Oznaczmy przez 1 I B 1 rzuty na oś l odpowiednio punkty A I B. Udawajmy, że tak 1 ma współrzędną x 1, A B 1– współrzędna x 2 na osi l.

Następnie występ wektor na oś l zwana różnicą x 1 – x 2 pomiędzy współrzędnymi rzutów końca i początku wektora na tę oś.

Rzut wektora na oś l będziemy oznaczać.

Oczywiste jest, że jeśli kąt między wektorem a osią l wtedy pikantnie x 2> x 1 i projekcja x 2 – x 1> 0; jeśli ten kąt jest rozwarty, to x 2< x 1 i projekcja x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 I x 2– x 1=0.

Zatem rzut wektora na oś l jest długością odcinka A 1 B 1, podjęte z pewnym znakiem. Dlatego rzut wektora na oś jest liczbą lub skalarem.

W podobny sposób wyznacza się rzut jednego wektora na drugi. W tym przypadku znajdują się rzuty końców tego wektora na linię, na której leży drugi wektor.

Spójrzmy na podstawowe właściwości rzutów.

LINIOWO ZALEŻNE I LINIOWO NIEZALEŻNE UKŁADY WEKTOROWE

Rozważmy kilka wektorów.

Kombinacja liniowa z tych wektorów jest dowolnym wektorem postaci , gdzie są pewne liczby. Liczby nazywane są współczynnikami kombinacji liniowej. Mówią też, że w tym przypadku wyraża się to liniowo poprzez te wektory, tj. uzyskane z nich za pomocą działań liniowych.

Na przykład, jeśli podano trzy wektory, wówczas wektory można uznać za ich kombinację liniową:

Jeśli wektor jest reprezentowany jako liniowa kombinacja niektórych wektorów, to mówimy, że tak jest rozłożone wzdłuż tych wektorów.

Wektory nazywane są liniowo zależne, jeśli istnieją liczby, nie wszystkie równe zero, tak że . Jest oczywiste, że dane wektory będą liniowo zależne, jeśli którykolwiek z tych wektorów zostanie wyrażony liniowo przez inne.

W przeciwnym razie, tj. kiedy stosunek wykonywane tylko wtedy, gdy , wektory te nazywane są liniowo niezależny.

Twierdzenie 1. Każde dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Dowód:

W podobny sposób można udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Trzy wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współpłaszczyznowe.

Dowód.

PODSTAWA

Podstawa jest zbiorem niezerowych wektorów liniowo niezależnych. Elementy podstawy będziemy oznaczać przez .

W poprzednim akapicie widzieliśmy, że dwa niewspółliniowe wektory na płaszczyźnie są liniowo niezależne. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 z poprzedniego akapitu bazą na płaszczyźnie są dowolne dwa niewspółliniowe wektory na tej płaszczyźnie.

Podobnie dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są liniowo niezależne w przestrzeni. W związku z tym trzy wektory niewspółpłaszczyznowe nazywamy bazą w przestrzeni.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie. Niech baza będzie podana w przestrzeni. Wtedy dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową , Gdzie X, y, z- kilka liczb. To jedyny rozkład.

Dowód.

Zatem podstawa pozwala na jednoznaczne powiązanie każdego wektora z potrójną liczbą - współczynnikami rozwinięcia tego wektora na wektory bazowe: . Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa dla każdych trzech liczb x, y, z korzystając z podstawy, możesz porównać wektor, jeśli wykonasz kombinację liniową .

Jeśli podstawa i , a następnie liczby x, y, z są nazywane współrzędne wektor w danej bazie. Współrzędne wektora są oznaczone przez .

KARTEZJAŃSKI UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH

Niech będzie dany punkt w przestrzeni O i trzy wektory niewspółpłaszczyznowe.

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni (na płaszczyźnie) jest zbiorem punktu i podstawy, tj. zbiór punktu i trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych (2 wektory niewspółliniowe) wychodzących z tego punktu.

Kropka O zwane pochodzeniem; linie proste przechodzące przez początek współrzędnych w kierunku wektorów bazowych nazywane są osiami współrzędnych - osią odciętych, rzędnych i osią zastosowania. Płaszczyzny przechodzące przez osie współrzędnych nazywane są płaszczyznami współrzędnych.

Rozważ dowolny punkt w wybranym układzie współrzędnych M. Wprowadźmy pojęcie współrzędnych punktu M. Wektor łączący początek z punktem M. zwany wektor promienia zwrotnica M.

Wektor w wybranej bazie można powiązać z trójką liczb – jej współrzędnymi: .

Współrzędne wektora promienia punktu M. są nazywane współrzędne punktu M. w rozważanym układzie współrzędnych. M(x,y,z). Pierwsza współrzędna nazywa się odciętą, druga rzędną, a trzecia aplikacją.

W podobny sposób wyznacza się współrzędne kartezjańskie na płaszczyźnie. Tutaj punkt ma tylko dwie współrzędne - odciętą i rzędną.

Łatwo zauważyć, że dla danego układu współrzędnych każdy punkt ma określone współrzędne. Z drugiej strony dla każdej trójki liczb istnieje unikalny punkt, którego współrzędne stanowią te liczby.

Jeżeli wektory przyjęte za podstawę w wybranym układzie współrzędnych mają długość jednostkową i są parami prostopadłe, wówczas układ współrzędnych nazywa się Kartezjański prostokątny.

Łatwo to pokazać.

Cosinusy kierunkowe wektora całkowicie określają jego kierunek, ale nie mówią nic o jego długości.

§ 3. Rzuty wektora na osie współrzędnych

1. Znajdowanie rzutów geometrycznych.

Wektor
- rzut wektora na oś WÓŁ
- rzut wektora na oś OJ

Definicja 1. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczba prowadzona ze znakiem plus lub minus, odpowiadająca długości odcinka znajdującego się pomiędzy podstawami prostopadłych opuszczonych z początku i końca wektora na oś współrzędnych.

Znak projekcji definiuje się w następujący sposób. Jeżeli podczas poruszania się wzdłuż osi współrzędnych nastąpi ruch od punktu rzutu początku wektora do punktu rzutu końca wektora w dodatnim kierunku osi, wówczas rzut wektora uważa się za dodatni . Jeśli jest przeciwny do osi, wówczas rzut uważa się za ujemny.

Z rysunku wynika, że ​​jeśli wektor jest zorientowany w jakiś sposób przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest ujemny. Jeżeli wektor jest w jakiś sposób zorientowany w dodatnim kierunku osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest dodatni.

Jeżeli wektor jest prostopadły do ​​osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś wynosi zero.
Jeżeli wektor jest współkierunkowy z osią, to jego rzut na tę oś jest równy wartości bezwzględnej wektora.
Jeżeli wektor jest skierowany przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest w wartości bezwzględnej równy wartości bezwzględnej wektora wziętego ze znakiem minus.

2. Najbardziej ogólna definicja projekcji.

Z trójkąta prostokątnego ABD: .

Definicja 2. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczbą równą iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi współrzędnych.

Znak rzutu wyznacza znak cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi.
Jeśli kąt jest ostry, wówczas cosinus ma znak dodatni, a rzuty są dodatnie. Dla kątów rozwartych cosinus ma znak ujemny, więc w takich przypadkach rzuty na oś są ujemne.
- dlatego dla wektorów prostopadłych do osi rzut wynosi zero.

Oś jest kierunkiem. Oznacza to, że rzut na oś lub na linię skierowaną jest uważany za taki sam. Rzutowanie może być algebraiczne lub geometryczne. W ujęciu geometrycznym rzut wektora na oś rozumiany jest jako wektor, a w ujęciu algebraicznym – jako liczba. Oznacza to, że stosuje się koncepcje rzutowania wektora na oś i numerycznego rzutowania wektora na oś.

Jeśli mamy oś L i niezerowy wektor A B →, to możemy skonstruować wektor A 1 B 1 ⇀, oznaczający rzuty jego punktów A 1 i B 1.

A 1 B → 1 będzie rzutem wektora A B → na L.

Definicja 1

Rzut wektora na oś jest wektorem, którego początek i koniec są rzutami początku i końca danego wektora. n p L A B → → zwyczajowo oznacza się rzut A B → na L. Aby skonstruować rzut na L, prostopadłe są upuszczane na L.

Przykład 1

Przykład rzutu wektorowego na oś.

Na płaszczyźnie współrzędnych O x y określony jest punkt M 1 (x 1, y 1). Aby zobrazować wektor promienia punktu M 1, należy skonstruować rzuty na O x i O y. Otrzymujemy współrzędne wektorów (x 1, 0) i (0, y 1).

Jeśli mówimy o rzucie a → na niezerowe b → lub rzucie a → na kierunek b → , to mamy na myśli rzut a → na oś, z którą kierunek b → pokrywa się. Rzut a → na linię określoną przez b → oznaczamy n p b → a → → . Wiadomo, że gdy kąt pomiędzy a → i b → , n p b → a → → i b → można uznać za współkierunkowy. W przypadku, gdy kąt jest rozwarty, n p b → a → → i b → są w przeciwnych kierunkach. W sytuacji prostopadłości a → i b → oraz a → wynosi zero, rzut a → w kierunku b → jest wektorem zerowym.

Numeryczną charakterystyką rzutowania wektora na oś jest numeryczny rzut wektora na daną oś.

Definicja 2

Numeryczne odwzorowanie wektora na oś to liczba równa iloczynowi długości danego wektora i cosinusa kąta między danym wektorem a wektorem wyznaczającym kierunek osi.

Rzut numeryczny A B → na L oznaczamy n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na podstawie wzoru otrzymujemy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , skąd a → jest długością wektora a → , a ⇀ , b → ^ jest kątem pomiędzy wektorami a → i b → .

Otrzymujemy wzór na obliczenie rzutu numerycznego: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ma to zastosowanie dla znanych długości a → i b → oraz kąta między nimi. Wzór ma zastosowanie dla znanych współrzędnych a → i b →, ale istnieje uproszczona forma.

Przykład 2

Znajdź rzut numeryczny a → na linię prostą w kierunku b → o długości a → równej 8 i kącie między nimi 60 stopni. Według warunku mamy a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Oznacza to, że podstawiamy wartości liczbowe do wzoru n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Odpowiedź: 4.

Przy znanym cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mamy a → , b → jako iloczyn skalarny a → i b → . Korzystając ze wzoru n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , możemy znaleźć rzut liczbowy a → skierowany wzdłuż wektora b → i otrzymać n p b → a → = a → , b → b → . Wzór jest równoważny definicji podanej na początku akapitu.

Definicja 3

Rzut numeryczny wektora a → na oś pokrywającą się w kierunku z b → jest stosunkiem iloczynu skalarnego wektorów a → i b → do długości b → . Wzór n p b → a → = a → , b → b → można zastosować do znalezienia rzutu numerycznego a → na linię zbieżną w kierunku z b → , o znanych współrzędnych a → i b →.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę b → = (- 3 , 4) . Znajdź rzut liczbowy a → = (1, 7) na L.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie współrzędnych n p b → a → = a → , b → b → ma postać n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , gdzie a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Aby znaleźć rzut numeryczny wektora a → na oś L, potrzebujemy: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Odpowiedź: 5.

Przykład 4

Znajdź rzut a → na L, pokrywający się z kierunkiem b →, gdzie znajduje się a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Określona jest przestrzeń trójwymiarowa.

Rozwiązanie

Mając a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , obliczamy iloczyn skalarny: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Długość b → znajdujemy ze wzoru b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Wynika z tego, że wzór na określenie rzutu numerycznego a → będzie następujący: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zastąp wartości liczbowe: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpowiedź: - 6 7.

Przyjrzyjmy się powiązaniu pomiędzy a → na L i długością rzutu a → na L. Narysujmy oś L, dodając a → i b → z punktu na L, po czym rysujemy linię prostopadłą od końca a → do L i rysujemy rzut na L. Istnieje 5 odmian obrazu:

Pierwszy przypadek z a → = n p b → a → → oznacza a → = n p b → a → → , stąd n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → za → → .

Drugi przypadek implikuje użycie n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , co oznacza n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trzeci przypadek wyjaśnia, że ​​gdy n p b → a → → = 0 → otrzymujemy n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , wtedy n p b → a → → = 0 i n p b → za → = 0 = n p b → za → → .

Czwarty przypadek pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , następuje n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piąty przypadek pokazuje a → = n p b → a → →, co oznacza a → = n p b → a → →, stąd mamy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - za → = - n p b → za → .

Definicja 4

Rzut numeryczny wektora a → na oś L, która jest skierowana tak samo jak b →, ma następującą wartość:

• długość rzutu wektora a → na L, pod warunkiem, że kąt pomiędzy a → i b → jest mniejszy niż 90 stopni lub równy 0: n p b → a → = n p b → a → → z warunkiem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero pod warunkiem, że a → i b → są prostopadłe: n p b → a → = 0, gdy (a → , b → ^) = 90 °;
• długość rzutu a → na L, pomnożona przez -1, gdy wektory a → i b → mają kąt rozwarty lub prosty: n p b → a → = - n p b → a → → z warunkiem 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Przykład 5

Biorąc pod uwagę długość rzutu a → na L, równą 2. Znajdź rzut liczbowy a → pod warunkiem, że kąt wynosi 5 π 6 radianów.

Rozwiązanie

Z warunku jasno wynika, że ​​kąt ten jest rozwarty: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odpowiedź: - 2.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaszczyznę O x y z o długości wektora a → równej 6 3, b → (- 2, 1, 2) o kącie 30 stopni. Znajdź współrzędne rzutu a → na oś L.

Rozwiązanie

Najpierw obliczamy odwzorowanie numeryczne wektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pod warunkiem, że kąt jest ostry, wówczas rzut numeryczny a → = długość rzutu wektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ten przypadek pokazuje, że wektory n p L a → → i b → są współkierunkowe, co oznacza, że ​​istnieje liczba t, dla której zachodzi równość: n p L a → → = t · b → . Widzimy stąd, że n p L a → → = t · b → , co oznacza, że ​​możemy znaleźć wartość parametru t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Następnie n p L a → → = 3 · b → ze współrzędnymi rzutu wektora a → na oś L równymi b → = (- 2 , 1 , 2) , gdzie należy pomnożyć wartości przez 3. Mamy n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odpowiedź: (- 6 , 3 , 6) .

Należy powtórzyć poznane wcześniej informacje o warunku kolinearności wektorów.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Odpowiedź:

Właściwości projekcji:

Właściwości projekcji wektora

Właściwość 1.

Rzut sumy dwóch wektorów na oś jest równy sumie rzutów wektorów na tę samą oś:

Ta właściwość pozwala zastąpić rzut sumy wektorów sumą ich rzutów i odwrotnie.

Własność 2. Jeśli wektor zostanie pomnożony przez liczbę λ, to jego rzut na oś zostanie również pomnożony przez tę liczbę:

Własność 3.

Rzut wektora na oś l jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:

Oś Orth. Rozkład wektora na wektory jednostkowe współrzędnych. Współrzędne wektora. Właściwości współrzędnych

Odpowiedź:

Wektory jednostkowe osi.

Prostokątny układ współrzędnych (o dowolnym wymiarze) opisuje się także zbiorem wektorów jednostkowych ustawionych zgodnie z osiami współrzędnych. Liczba wektorów jednostkowych jest równa wymiarowi układu współrzędnych i wszystkie są do siebie prostopadłe.

W przypadku trójwymiarowym zwykle oznacza się wektory jednostkowe

Można również użyć symboli strzałek i.

W takim przypadku w przypadku prawidłowego układu współrzędnych obowiązują następujące wzory z iloczynami wektorowymi wektorów jednostkowych:

Rozkład wektora na wektory jednostkowe współrzędnych.

Jednostkowy wektor osi współrzędnych oznaczamy , osie przez , osie przez (rys. 1)

Dla dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie następuje rozwinięcie:

Jeśli wektor znajdujących się w przestrzeni, to rozwinięcie w wektory jednostkowe osi współrzędnych ma postać:

Współrzędne wektora:

Aby obliczyć współrzędne wektora, znając współrzędne (x1; y1) jego początku A i współrzędne (x2; y2) jego końca B, należy odjąć współrzędne początku od współrzędnych końca: ( x2 – x1; y2 – y1).

Właściwości współrzędnych.

Rozważmy linię współrzędnych z początkiem w punkcie O i wektorem jednostkowym i. Następnie dla dowolnego wektora a na tej linii: a = axi.

Oś liczbowa nazywana jest współrzędną wektora a na osi współrzędnych.

Właściwość 1. Podczas dodawania wektorów na osi dodawane są ich współrzędne.

Własność 2. Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędna jest mnożona przez tę liczbę.

Iloczyn skalarny wektorów. Nieruchomości.

Odpowiedź:

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą

równy iloczynowi tych wektorów i cosinusowi kąta między nimi.

Nieruchomości:

1. Iloczyn skalarny ma właściwość przemienności: ab=ba

Iloczyn skalarny wektorów jednostek współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów określonych przez ich współrzędne.

Odpowiedź:

Iloczyn skalarny (×) wektorów jednostkowych

(X)	I	J	K
I
J
K

Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów określonych przez ich współrzędne.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów i podany przez ich współrzędne można obliczyć za pomocą wzoru

Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów. Właściwości produktu wektorowego.

Odpowiedź:

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory tworzą prawoskrętną trójkę, jeśli od końca trzeciego obrót od pierwszego wektora do drugiego odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to w lewo. Jeśli nie, to w przeciwnym kierunku (. pokaż jak pokazał z „uchwytami”)

Iloczyn krzyżowy wektora A do wektora B zwany wektorem z którego:

1. Prostopadłe do wektorów A I B

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni utworzonego równoległoboku A I B wektory

3. Wektory, a, b, I C tworzą prawą trójkę wektorów

Nieruchomości:

1.

3.

4.

Iloczyn wektorowy wektorów jednostek współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu wektorów określonych przez ich współrzędne.

Odpowiedź:

Iloczyn wektorowy wektorów jednostek współrzędnych.

Wyznaczanie iloczynu wektorów określonych przez ich współrzędne.

Niech wektory a = (x1; y1; z1) i b = (x2; y2; z2) będą dane przez ich współrzędne w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych O, i, j, k, a potrójna i, j, k wynosi praworęczny.

Rozwińmy a i b na wektory bazowe:

za = x 1 ja + y 1 jot + z 1 k, b = x 2 ja + y 2 jot + z 2 k.

Korzystając z właściwości produktu wektorowego, otrzymujemy

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ r 1 x 2 + r 1 r 2 + r 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Z definicji iloczynu wektorowego znajdujemy

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - ja. = 0.

Uwzględniając te równości, wzór (1) można zapisać następująco:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 jot - y 1 x 2 k + y 1 z 2 ja + z 1 x 2 jot - z 1 y 2 ja

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) ja + (z 1 x 2 - x 1 z 2) jot + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Wzór (2) podaje wyrażenie na iloczyn wektorowy dwóch wektorów określonych przez ich współrzędne.

Otrzymana formuła jest uciążliwa, korzystając z zapisu wyznaczników, można zapisać ją w innej formie, wygodniejszej do zapamiętania:

Zwykle wzór (3) zapisuje się jeszcze krócej: