dom / Przeszklenie Funkcja / Zdefiniuj zestaw wyświetla zestaw. Wyświetla

Funkcja Zdefiniuj zestaw wyświetla zestaw. Wyświetla

Przeanalizujmy teraz pewne zagadnienia związane z relacjami pomiędzy zbiorami.

Powiemy, że pomiędzy zbiorami jest podane postawa(są w relacji), jeśli niektóre (być może wszystkie) elementy z odpowiadają niektórym elementom z. Jeśli zbiór jest w relacji ze zbiorem, to napiszemy:

Jeśli jednocześnie element jest powiązany z elementem, wówczas to oznaczymy

Definicja 1.1.2. Relacja między zbiorami nazywa się wyświetlacz, jeżeli każdemu z nich przypisany jest jeden i tylko jeden element (patrz rys. 1.1.2. i 1.1.3). Wraz ze specjalizacją natury zbiorów powstają specjalne typy odwzorowań, które mają specjalną nazwę „funkcja”, " funkcja wektorowa”, „operator”, „miara”, „funkcjonalny” itp. Spotkamy się z nimi później.

Aby oznaczyć funkcję (odwzorowanie) z v, skorzystamy z notacji

Ryc.1.1.2. Wyświetl rys. 1.1.3. Relacja, której nie ma

wyświetlacz

Definicja 1.1.3. Jeśli jest elementem, to odpowiadająca mu elementiza nazywana jest jego obrazem (kiedy jest wyświetlana), a zbiór wszystkich, dla których nazywany jest prototypem i jest oznaczony (patrz rys. 1.1.4).

Ryc.1.1.4. PrototypB

Definicja 1.1.4. Mapowanie nazywa się mapowanie jeden do jednego, jeśli każdy element ma unikalny obraz w ramach mapowania i każdy element ma unikalny obraz odwrotny w ramach tego mapowania.

Ryc.1.1.5. Mapowanie jeden do jednego

W dalszej części rozważymy tylko odwzorowania, ponieważ istnieją techniki redukujące odwzorowania wielowartościowe do odwzorowań jednowartościowych, które nazywamy po prostu odwzorowaniami.

Pojęcie mapowania odgrywa kluczową rolę w matematyce, w szczególności w analizie matematycznej centralne miejsce zajmuje to pojęcie Funkcje, czyli odwzorowanie jednego zbioru liczbowego na inny.

1.7. Moc zestawu

Badając relacje między zbiorami, duże zainteresowanie budzi „objętość” zbiorów, czyli liczba zawartych w nich elementów. Ale mówienie o liczbie elementów jest zrozumiałe i uzasadnione, jeśli liczba ta jest skończona. Zostaną wywołane zbiory składające się ze skończonej liczby elementów finał . Jednak wiele zbiorów rozpatrywanych w matematyce nie jest skończonych, na przykład zbiór liczb rzeczywistych, zbiór punktów na płaszczyźnie, zbiór funkcji ciągłych zdefiniowanych na pewnym odcinku itp. Aby ilościowo scharakteryzować nieskończone (a nawet skończone) zbiory, teoria mnogości używa tego pojęcia moc zestawu .

Powiemy, że zestawy mają ta sama moc , jeśli istnieje odwzorowanie jeden do jednego ze zbioru na zbiór (należy pamiętać, że w tym przypadku istnieje również odwzorowanie jeden do jednego ze zbioru B na zbiór A).

Jeśli zbiory mają tę samą liczność, to powiemy, że tak równowartość , jest to oznaczone: .

Niech będą zatem dowolnymi zbiorami

te. każdy zbiór jest sobie równoważny; jeśli zbiór jest równoważny zbiorowi, to równoważny; jeśli w końcu zbiór jest równoważny zbiorowi, który jest równoważny zbiorowi, to jest równoważny.

Zbiór równoważny pewnemu własnemu podzbiorze nazywa się nieskończony .

Jeśli zbiory skończone mają różną liczbę elementów, to jasne jest, że jeden z nich zawiera mniej elementów niż drugi. Jak możemy porównywać zbiory nieskończone w tym sensie? Powiemy, że liczność zbioru jest mniejsza niż liczność zbioru, jeśli istnieje podzbiór zbioru równoważny zbiorowi, ale same zbiory nie są równoważne.

Liczność zbioru skończonego równa liczbie jego elementów. W przypadku zbiorów nieskończonych pojęcie „liczności” jest uogólnieniem pojęcia „liczby elementów”.

Wskażmy kilka klas zbiorów, które są przydatne w dalszym ciągu.

Zbiór nazywa się przeliczalnym , jeśli ma tę samą liczność, co jakiś podzbiór zbioru (zbiór liczb naturalnych). Zbiór przeliczalny może być skończony lub nieskończony.

Zbiór nieskończony jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoważny zbiorowi liczb naturalnych.

Zauważ, że każdy zbiór, którego liczność jest mniejsza niż liczność nieskończonego, przeliczalnego zbioru, jest skończony.

Zbiór liczb rzeczywistych na przedziale od zera do jeden ma kontinuum władzy , i sam jest często nazywany kontinuum . Liczność tego zbioru jest większa niż liczność nieskończonego, przeliczalnego zbioru. Powstaje pytanie: czy istnieje zbiór, którego liczność jest większa niż liczność nieskończonego zbioru przeliczalnego, ale mniejsza niż liczność kontinuum? Problem ten sformułował w 1900 roku jeden z najwybitniejszych matematyków świata, David Hilbert. Okazało się, że ten problem ma dość nieoczekiwaną odpowiedź: możemy założyć, że taki zbiór istnieje, lub możemy założyć, że go nie ma. Powstałe teorie matematyczne będą spójne. Dowód na ten fakt przedstawił amerykański naukowiec Cohen w 1965 roku na Światowym Kongresie Matematyków w Moskwie. Należy zauważyć, że sytuacja z tym problemem przypomina sytuację z piątym postulatem Euklidesa: przez punkt leżący poza daną prostą można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej. Jak pokazał Łobaczewski, odrzucenie tego postulatu nie prowadzi do sprzeczności. Możemy konstruować geometrie, dla których ten postulat jest spełniony, i geometrie, dla których nie jest on prawdziwy.

Podsumowując, podajemy kilka przykładów demonstrujących metodologię dowodzenia równoważności zbiorów.

Przykład 1.11. Zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny.

Wiadomo, że rozpatrywany zbiór jest nieskończony (zbiór liczb naturalnych jest jego podzbiorem).

Aby udowodnić przeliczalność zbioru liczb całkowitych, konieczne jest skonstruowanie odwzorowania jeden do jednego między zbiorem liczb naturalnych a danym zbiorem. Wymagane odwzorowanie określa reguła: liczby całkowite układamy w następujący sposób:

i ponumeruj je liczbami naturalnymi, przypisując im liczby (są one wskazane obok danych liczb całkowitych). Oczywiście każda liczba całkowita otrzyma inną liczbę, przy czym różne liczby otrzymają różne liczby. Dzieje się tak również na odwrót: dla każdej liczby naturalnej (dla każdej liczby) pod tą liczbą stoi także pojedyncza liczba całkowita. W ten sposób konstruowane jest wymagane mapowanie jeden do jednego.

Przykład 1.12. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

Wiadomo, że dowolną liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka nieredukowalnego p/q, wykorzystując to przedstawienie uporządkujemy liczby wymierne według schematu:

. . . . . .

Przenumerujmy te liczby w przybliżeniu w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie (liczby są wskazane u góry w nawiasach obok liczb). Łatwo sprawdzić, że sformułowana reguła numerowania liczb wymiernych daje wymagane odwzorowanie jeden do jednego ze zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb wymiernych.

Przykład 1.13. Suma przeliczalnego zbioru przeliczalnych zbiorów jest przeliczalnym zbiorem.

Dowód tego faktu jest podobny do dowodu twierdzenia z poprzedniego przykładu.

Podsumowując, przedstawiamy ważne oświadczenie do dalszej dyskusji. Ale do tego potrzebujemy jeszcze jednej operacji na zbiorach.

Bezpośredni produkt zestawów I( Produkt kartezjański ) jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par , gdzie i. Zestaw ten jest oznaczony. Zatem:

Oznaczmy iloczyn czynników.

Twierdzenie 1.1. dla dowolnego nieskończonego zbioru Co więcej.

W szczególności, tj. zbiór punktów na linii prostej ma taką samą liczebność jak zbiór punktów na płaszczyźnie. Co więcej, punktów w przestrzeni jest tyle, ile jest na linii prostej.

Na tym kończy się nasza znajomość podstawowych pojęć logiki matematycznej i teorii mnogości - podstaw współczesnej matematyki. Zauważmy, że wiele aspektów tych teorii pozostało niestety poza zakresem tego rozdziału, można się z nimi zapoznać np. poprzez i.

Surjekcja, iniekcja i bijekcja

Regułę definiującą odwzorowanie f:X (lub funkcję /) można umownie przedstawić za pomocą strzałek (rys. 2.1). Jeżeli w zbiorze Y istnieje chociaż jeden element, na który nie wskazuje żadna ze strzałek, to oznacza to, że zakres wartości funkcji f nie wypełnia całego zbioru Y, tj. f(X) C Y.

Jeśli zakres wartości / pokrywa się z Y, tj. f(X) = Y, wtedy taką funkcję nazywamy surjektywną) lub w skrócie surjekcją, a funkcja / mówi się, że odwzorowuje zbiór X na zbiór Y (w przeciwieństwie do ogólnego przypadku odwzorowywania zbioru X na zbiór Y zgodnie z definicją 2.1). Zatem / : X jest surjekcją, jeśli Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. W tym przypadku na rysunku co najmniej jedna strzałka prowadzi do każdego elementu zbioru Y (ryc. 2.2). W tym przypadku kilka strzałek może prowadzić do niektórych elementów z Y. Jeśli nie więcej niż jedna strzałka prowadzi do dowolnego elementu y € Y, wówczas / nazywa się funkcją iniekcyjną lub iniekcją. Funkcja ta niekoniecznie jest surjektywna, tj. strzałki nie prowadzą do wszystkich elementów zbioru Y (ryc. 2.3).

Zatem funkcja /: X -Y Y jest wstrzykiwaniem, jeśli dowolne dwa różne elementy z X mają jako swoje obrazy podczas mapowania / dwa różne elementy z Y, czyli Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjekcja, iniekcja i bijekcja. Odwrotne mapowanie. Skład odwzorowań jest produktem zbiorów. Harmonogram wyświetlania. Odwzorowanie /: X->Y nazywa się bijektywnym, czyli bijekcją, jeśli każdy element y 6 Y jest obrazem jakiegoś i jedynego elementu z X, tj. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

W rzeczywistości funkcja / w tym przypadku ustanawia zgodność jeden do jednego między zbiorami X i Y i dlatego często nazywa się ją funkcją jeden do jednego. Oczywiście funkcja / jest bijektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno injektywna, jak i surjektywna. W tym przypadku strzałki (ryc. 2.4) łączą parami każdy element z X z każdym elementem z Y. Co więcej, żadne dwa elementy z X nie mogą być połączone strzałką z tym samym elementem z Y, ponieważ / jest iniekcyjne i żadne dwa elementy z Y nie mogą być połączone strzałkami z tym samym elementem z X ze względu na wymóg niepowtarzalności obrazu w definicji 2.1 mapowania. Każdy element X uczestniczy w połączeniu parami, ponieważ X jest dziedziną funkcji /. Wreszcie każdy element z Y również należy do jednej z par, ponieważ / jest suriektywne. Role X i Y w tym przypadku wydają się całkowicie identyczne, a jeśli odwrócimy wszystkie strzałki (ryc. 2.5), otrzymamy inne odwzorowanie lub inną funkcję d), która jest jednocześnie iniekcyjna i surjektywna. Odwzorowania (funkcje), które umożliwiają taką inwersję, będą odgrywać ważną rolę w dalszej części.

W szczególnym przypadku zbiory X i Y mogą się pokrywać (X = Y). Następnie funkcja bijektywna odwzoruje zbiór X na siebie. Bijekcja zbioru na siebie nazywana jest także transformacją. 2.3. Odwrotne mapowanie Niech /: X -? Y jest pewną bijekcją i niech y € Y. Oznaczmy przez /_1(y) jedyny element x € X taki, że /(r) = y. W ten sposób definiujemy pewne odwzorowanie 9: Y Xу, które znów jest bijekcją. Nazywa się to odwrotnym odwzorowaniem lub odwrotną bijekcją do /. Często nazywa się to również po prostu funkcją odwrotną i oznacza się /"*. Na ryc. 2.5 funkcja d jest dokładnie odwrotnością /, tj. d = f"1.

Przykłady rozwiązań problemów

Odwzorowania (funkcje) / i są wzajemnie odwrotne. Wiadomo, że jeśli funkcja nie jest bijekcją, to jej funkcja odwrotna nie istnieje. Rzeczywiście, jeśli / nie jest iniektywne, to jakiś element y € Y może odpowiadać kilku elementom x ze zbioru X, co jest sprzeczne z definicją funkcji. Jeśli / nie jest suriektywne, to w Y istnieją elementy, dla których w X nie ma przedobrazów, tj. dla tych elementów funkcja odwrotna nie jest zdefiniowana. Przykład 2.1. A. Niech X = Y = R - zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja /, określona wzorem y = For - 2, i,y € R, jest bijekcją. Funkcja odwrotna to x = (y + 2)/3. B. Funkcja rzeczywista f(x) = x2 zmiennej rzeczywistej x nie jest surjektywna, gdyż liczby ujemne z Y = R nie są obrazami elementów z X = K jako /: Γ -> Y. Przykład 2.2. Niech A" = R i Y = R+ będą zbiorem dodatnich liczb rzeczywistych. Funkcja f(x) = ax, a > 0, af 1 jest bijekcją. Funkcją odwrotną będzie Z"1 (Y) = 1°8a Y

Surjekcja, iniekcja i bijekcja. Odwrotne mapowanie. Skład odwzorowań jest produktem zbiorów. Harmonogram wyświetlania. 2.4. Złożenie odwzorowań Jeżeli f:X-*Y i g:Y-*Zy to odwzorowanie (p:X -+Z, określone dla każdego a: 6 A" wzorem =, nazywa się kompozycją (superpozycją) odwzorowań (funkcje) / i d> lub funkcja złożona i jest oznaczona rho/ (ryc. 2.6).
Zatem złożona funkcja przed f realizuje regułę: i Apply / najpierw, a potem di, tj. w składzie operacji „przed / musisz zacząć od operacji / znajdującej się po prawej stronie. Należy pamiętać, że skład Rys. 2.6 odwzorowania są asocjacyjne, tj. jeśli /: X -+Y, d: Y Z i h: Z-*H> to (hog)of = = ho(gof)i, co łatwiej zapisać w postaci ho do /. Sprawdźmy to w następujący sposób: Na dowolnym wK „oaicecmee X jest zdefiniowane odwzorowanie 1x -X X, zwane identycznym, często oznaczane także przez idx i dane wzorem Ix(x) = x Vx € A”. pozostawia wszystko na swoim miejscu.

Zatem jeśli jest bijekcją odwrotną do bijekcji /: X - + Y, to /"1o/ = /x, oraz /o/-1 = /y, gdzie i /y są identycznymi odwzorowaniami zbiorów X i Y, I odwrotnie, jeśli odwzorowania f: X ->Y i p: Y A" są takie, że gof = Ix i mgła = /y, to funkcja / jest bijekcją, a y jest jej odwrotną bijekcją. Oczywiście, jeśli / jest bijekcją A" na Y, a $ jest bijekcją Y na Z, to gof jest bijekcją X na Z i będzie względem niego bijekcją odwrotną. 2.5. Iloczyn zbiorów. Mapowanie wykresu Przypomnijmy, że dwie wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych o takiej samej skali dla obu osi wyznaczają na płaszczyźnie prostokątny kartezjański układ współrzędnych (rys. 2.7). Punkt O przecięcia osi współrzędnych nazywany jest początkiem* współrzędne.

Każdy punkt M można powiązać z parą (i, y) liczb rzeczywistych, gdzie x jest współrzędną punktu Mx na osi współrzędnych Ox, a y jest współrzędną punktu Mu na osi współrzędnych Oy. Punkty Mx i Mu są podstawami prostopadłych wyrzuconych z punktu M odpowiednio na osie Ox i Oy. Liczby x i y nazywane są współrzędnymi punktu M (w wybranym układzie współrzędnych), x nazywa się odciętą punktu M, a y jest rzędną tego punktu. Jest oczywiste, że każdej parze (a, b) liczb rzeczywistych a, 6 6R odpowiada punkt M na płaszczyźnie, którego współrzędne stanowią te liczby. I odwrotnie, każdemu punktowi M płaszczyzny odpowiada para (a, 6) liczb rzeczywistych a i 6. W ogólnym przypadku pary (a, b) i (6, a) definiują różne punkty, tj. Ważne jest, która z dwóch liczb a i b jest pierwsza w oznaczeniu pary. Mówimy zatem o parze uporządkowanej. Pod tym względem pary (a, 6) i (6, a) uważa się za sobie równe i definiują ten sam punkt na płaszczyźnie, jeśli tylko a = 6. Surjekcja, iniekcja i bijekcja. Odwrotne mapowanie.

Skład odwzorowań jest produktem zbiorów. Harmonogram wyświetlania. Zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych, a także zbiór punktów na płaszczyźnie, oznaczamy przez R2. Oznaczenie to wiąże się z ważnym w teorii mnogości pojęciem bezpośredniego (lub dek-artova) iloczynu zbiorów (często mówi się po prostu o iloczynie zbiorów). Definicja 2.2. Iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem Ax B możliwych par uporządkowanych (x, y), gdzie pierwszy element jest pobierany z A, a drugi z B, tak że równość dwóch par (x, y) i (&”, y”) jest określonymi warunkami x = x” i y = y7. Pary (i, y) i (y, x) uważa się za różne, jeśli xy. Jest to szczególnie ważne, aby o tym pamiętać, gdy zbiory A i B pokrywają się Dlatego w ogólnym przypadku A x B f In x A, tj. iloczyn dowolnych zbiorów nie jest przemienny, ale jest rozdzielny ze względu na sumę, przecięcie i różnicę zbiorów: gdzie oznacza jeden z trzech wymienionych operacji. Iloczyn zbiorów różni się istotnie od wskazanych operacji na dwóch zbiorach. Jest to zbiór, którego elementy (jeśli nie są puste) należą do jednego lub obu zbiorów pierwotnych, natomiast elementy iloczynu zbiorów należą do nowego. zestawu i są obiektami innego rodzaju niż elementy oryginalnych zestawów.

Możemy wprowadzić koncepcję produktu składającego się z więcej niż dwóch zestawów. Zbiory (A x B) x C i A*x (B x C) są identyfikowane i po prostu oznaczane jako A x B x C, tzw. Działa Ah Au Ah Ah Ah Ah itp. oznaczane z reguły przez A2, A3 itd. Oczywiście płaszczyznę R2 można uznać za iloczyn R x R dwóch kopii zbioru liczb rzeczywistych (stąd oznaczenie zbioru punktów płaszczyzny jako iloczyn dwóch zbiorów punktów na osi liczbowej). Zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej (trójwymiarowej) odpowiada iloczynowi R x R x R trzech kopii zbioru punktów na osi liczbowej, oznaczonych jako R3.

Iloczyn n zbiorów liczb rzeczywistych oznacza się przez Rn. Zbiór ten reprezentuje wszystkie możliwe zbiory (xj, X2, xn) n liczb rzeczywistych X2) xn £ R, a dowolny punkt x* z Rn jest takim zbiorem (xj, x, x*) liczb rzeczywistych xn £ K*
Iloczyn n dowolnych zbiorów to zbiór uporządkowanych zbiorów n (zazwyczaj heterogenicznych) elementów. Dla takich zbiorów używa się nazw krotka lub n-ka (wymawiane „enka”). Przykład 2.3. Niech A = (1, 2) i B = (1, 2). Wtedy można utożsamić zbiór A x B cztery punkty płaszczyzny R2, których współrzędne są wskazane przy wymienianiu elementów tego zbioru. Jeśli C = (1,2) i D = (3,4), to Przykład 2.4. Następnie interpretacja geometryczna zbiorów E x F i F x E przedstawiono na rys. 2.8. # Dla odwzorowania /: X możemy utworzyć zbiór uporządkowanych par (z, y), który jest podzbiorem iloczynu bezpośredniego X x Y.
Zbiór taki nazywany jest wykresem odwzorowania f (lub wykresem funkcji i*” – przykład 2.5. W przypadku XCR i Y = K każda para uporządkowana określa współrzędne punktu na płaszczyźnie R2. Jeżeli X jest przedziałem osi liczbowej R, wówczas wykres funkcji może przedstawiać pewną linię (ryc. 2.9). Jest oczywiste, że przy XCR2 i Y = R wykresem funkcji jest pewien zbiór punktów w R3, który może reprezentować pewną powierzchnię (ryc. 2.10).

Jeżeli X C R i Y = R2, to wykresem funkcji jest także zbiór punktów w R3, które mogą reprezentować pewną prostą przeciętą płaszczyzną x = const tylko w jednym punkcie M o trzech współrzędnych x) yi, y2 ( Ryc. 2.11) . # Wszystkie wymienione przykłady wykresów funkcyjnych są najważniejszymi obiektami analizy matematycznej i w przyszłości zostaną szczegółowo omówione.

Wywoływany jest wyświetlacz %%f%%. iniekcyjny,

jeśli dla dowolnych elementów %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, wynika, że %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Innymi słowy, mapowanie %%f%% jest iniekcyjne, jeśli obrazy różnych elementów z %%X%% również się różnią.

Przykład

Funkcja %%f(x) = x^2%%, zdefiniowana na zbiorze %%\mathbb(R)%%, nie jest iniektywna, gdyż przy %%x_1 = -1, x_2 = 1%% otrzymujemy to samo wartość funkcji %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Mapowanie surjektywne

Wywoływany jest wyświetlacz %%f%%. surjektywny, jeśli dla każdego elementu %%y \in Y%% istnieje element %%x \in X%% z warunkiem, że %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\istnieje x \in X: f(x) = y. $$

Innymi słowy, mapowanie %%f%% jest surjektywne, jeśli każdy element %%y \in Y%% jest obrazem co najmniej jednego elementu %%x \in X%%.

Przykład

Odwzorowanie %%f(x) = \sin(x)%%, zdefiniowane na zbiorze %%\mathbb R%%, przy zbiorze %%Y = [-2,2]%% nie jest suriektywne, ponieważ dla elementu %%y = 2 \in Y%% nie można znaleźć odwrotnego obrazu %%x \in X%%.

Mapowanie bijektywne

Wywoływany jest wyświetlacz %%f%%. bijektywny, jeśli jest injektywny i suriektywny. Mapowanie bijektywne jest również nazywane Jeden na jednego Lub transformacja.

Zwykle wyrażenia „mapowanie iniekcyjne”, „mapowanie suriektywne” i „mapowanie bijektywne” zastępuje się odpowiednio słowami „wstrzyknięcie”, „surjekcja” i „bijekcja”.

Odwrotne mapowanie

Niech %%f: X \to Y%% będzie pewnym bijekcja i niech %%y \in Y%%. Oznaczmy przez %%f^(-1)(y)%% jedyny element %%x \in X%% taki, że %%f(x) = y%%. W ten sposób zdefiniujemy kilka nowych wyświetlacz%%g: Y \to X%%, co znowu jest bijekcją. Dzwonią do niej mapowanie odwrotne.

Przykład

Niech %%X, Y = \mathbb R%% będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Funkcję %%f%% wyraża się wzorem %%y = 3x + 3%%. Czy ta funkcja ma odwrotność? Jeśli tak, to który?

Aby dowiedzieć się, czy dana funkcja ma swoją odwrotność, należy sprawdzić, czy tak jest bijekcja. Aby to zrobić, sprawdźmy, czy to mapowanie jest iniekcyjny I surjektywny.

Sprawdźmy wtrysk. Niech %%x_1 \neq x_2%%. Sprawdźmy, że %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, czyli %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Załóżmy, że jest odwrotnie, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Następnie okazuje się, że %%x_1 = x_2%%. Mamy sprzeczność, ponieważ %%x_1 \neq x_2%%. Dlatego %%f%% jest zastrzykiem.
Sprawdźmy surjekcja. Niech %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Znajdźmy element %%x \in X = \mathbb(R)%% pod warunkiem, że %%f(x) = y%%, czyli %%3x + 3 = y%%. W tej równości określony jest element %%y \in \mathbb(R)%% i musimy znaleźć element %%x%%. Oczywiście $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Zatem odwzorowanie %%f%% jest surjektywne.

Ponieważ %%f%% jest iniekcją i surjekcją, wówczas %%f%% jest bijekcją. I odpowiednio, odwrotne odwzorowanie to %%x = \frac(y-3)(3)%%.

ZESTAWY MAPOWANIA §1. Podstawowe definicje

Definicja. Niech A i B będą dwoma zbiorami. Mówią, że odwzorowanie f zbioru A na B jest dane, jeśli zostanie określone prawo, zgodnie z którym dowolny element a ze zbioru A jest powiązany z pojedynczym elementem b ze zbioru B:

Odwzorowania nazywane są także funkcjami.

Będziemy stosować następującą notację:

ƒ : A → B. Odwzorowanie f przenosi zbiór A do B;

Af B. Zbiór A jest odwzorowywany na B, gdy f jest odwzorowywane.

Jeśli element a podczas mapowania f przechodzi do elementu b, to wpisz f(a)=b (lewy wpis) lub af=b (prawy wpis). Element b nazywany jest obrazem elementu a pod odwzorowaniem f; element a jest odwrotnym obrazem b dla

ten wyświetlacz. Zbiór ( f (a) | a A) = f (A) jest obrazem zbioru A pod odwzorowaniem f. Zauważ to

f(A)B.

A B

f f(A)

A - domena mapowanie f; W - zakres mapowanie f (czasami – na przykład w matematyce szkolnej – za zakres wartości uważa się f(A), ale my uznamy go za B).

Należy pamiętać, że bierzemy pod uwagę tylko mapowania jednowartościowe.

Spośród wszystkich wyświetlaczy szczególnie wyróżnia się następujące typy:

1. Surjekcja (mapowanie „włączone”) jest odwzorowaniem f : A → B takim, że f (A ) = B . Pod surjekcją każdy element ze zbioru B ma co najmniej jeden obraz odwrotny.

2. Wstrzykiwanie – odwzorowanie, w którym różne elementy zostają zamienione na inne, tj. jeśli a, a 1 A i a ≠ a 1, to f (a) ≠ f (a 1).





				f(a1)

3. Bijekcja, lub mapowanie jeden do jednego to odwzorowanie, które jest zarówno iniekcją, jak i surjekcją.

Przykłady wyświetlaczy:.

1. Niech A będzie dowolnym zbiorem, a B zbiorem składającym się z jednego elementu, tj. B=(b).

A . B

Odwzorowanie f (a) = b, a A jest surjekcją, ponieważ f(A)=B.

2. Niech zbiór A będzie pewnym odcinkiem na płaszczyźnie, zbiór B będzie linią. Z każdego punktu odcinka A opuszczamy prostopadłą do prostej B i umieszczamy podstawy tych prostopadłych w punktach odcinka A.

φ(a) V

Oznaczmy to odwzorowanie przez φ. Oczywiście,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Dlatego odwzorowanie φ jest iniekcją (ale nie jest surjekcją).

3. Niech zbiór A będzie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, a B jego nogą. Powiążmy dowolny punkt przeciwprostokątnej z jej rzutem na nogę. Otrzymujemy mapowanie jeden do jednego z A do B:

te. f jest bijekcją.

Zauważ, że w ten sposób matematyka dowodzi, że „liczba” punktów na przeciwprostokątnej i nodze jest taka sama (a dokładniej zbiory te mają tę samą liczność).

Komentarz. Nie jest trudno wymyślić odwzorowanie, które nie jest ani surjekcją, ani iniekcją, ani bijekcją.

4. Jeśli f jest dowolną funkcją zmiennej rzeczywistej, to f jest odwzorowaniem R na R.

§2. Mnożenie mapy

Niech A, B, C będą trzema zbiorami i niech dane będą dwa odwzorowania f: A → B i ϕ: B → C.

Definicja 1. Produktem tych odwzorowań jest odwzorowanie uzyskane w wyniku ich sekwencyjnego wykonania.

ϕf

Istnieją dwie opcje nagrywania.

1. Lewy wpis.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		oznacz ϕ f:
Wtedy iloczyn f i φ będzie	przetłumacz a na c, powinno być	oznacz ϕ f:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = do , ϕ f : A → C (patrz rysunek powyżej).
Z definicji (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ),	te. produkt mapowań –	jest to funkcja złożona
ustawiony na A.

2. Prawy wpis.

aƒ =b, bϕ =c. Wtedy a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = do ,

f ϕ : A → C.

Będziemy używać notacji lewej (zwróć uwagę, że w książce zastosowano notację prawą). Poniżej będziemy oznaczać iloczyn odwzorowań przez f ϕ.

Notatka 1. Z definicji mnożenia odwzorowań wynika, że nie można mnożyć żadnych odwzorowań, a jedynie te, których zbiory „średnie” są takie same. Przykładowo, jeśli f : A → B ,ϕ : D → C , to dla B=D odwzorowania f i φ można pomnożyć, natomiast dla B≠D nie jest to możliwe.

Własności mnożenia odwzorowań

Definicja 2. Mówi się, że mapy f i g są równe, jeśli ich dziedziny definicji i zakresy wartości pokrywają się, tj. f : A → B , g : A → B i warunek jest spełniony: a A jest prawdziwe

równość f (a) = g (a).

1. Mnożenie odwzorowań jest nieprzemienne. Innymi słowy, jeśli istnieją fφ i φf, to niekoniecznie są one równe.

Niech np. zbiory A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Rozważmy iloczyny:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e grzech x,

(f ϕ ) (x ) = fa (ϕ (x )) = fa (e x ) = sin(e x ).

Dlatego funkcje fφ i φf są różne.

2. Mnożenie map jest asocjacyjne.

Niech f : A → B, ϕ : B → C, ψ : C → D. Udowodnimy, że (ψϕ ) f

Np. x, f: R → R, ϕ: R → R.

i ψ (ϕ f ) istnieją i są równe, tj. (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

Jest oczywiste, że (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ): A → D .

Aby udowodnić równość (1), na mocy definicji równości odwzorowań należy sprawdzić, że a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Korzystając z definicji mnożenia odwzorowań (w lewym wpisie)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ)(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f )) (a ) = ψ ((ϕ f ) (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Ponieważ w równościach (3) i (4) jeśli prawe strony są równe, to i lewe strony też są równe, tj. równość (2) jest prawdziwa, a następnie (1) jest również prawdziwa.

Uwaga 2. Łączność mnożenia pozwala nam jednoznacznie określić iloczyn trzech, a następnie dowolnej skończonej liczby czynników.

kilka przedobrazów w A lub brak przedobrazów. Jednakże dla mapy bijektywnej f można zdefiniować sytuację odwrotną.

Niech f : A → B będzie bijekcją, f (a) = b, a A, b B. Wtedy dla dowolnego elementu b B, z definicji bijekcji, pod odwzorowaniem f istnieje jednoznaczny obraz odwrotny – jest to element a. Teraz możemy zdefiniować f − 1 : B → A poprzez ustawienie f − 1 (b ) = a (b B ) . Łatwo zobaczyć, że f − 1 jest bijekcją.

Zatem każde odwzorowanie bijektywne ma odwrotność.

§3. Ustaw transformacje

Wywoływane jest dowolne odwzorowanie f : A → A transformacja zestawu A. W szczególności dowolne

funkcją zmiennej rzeczywistej jest transformacja zbioru R.

Przykładami przekształceń zbioru punktów na płaszczyźnie jest obrót płaszczyzny, symetria względem osi itp.

Ponieważ transformacje są szczególnym przypadkiem odwzorowań, wszystko, co powiedziano powyżej na temat odwzorowań, jest dla nich prawdą. Ale mnożenie przekształceń zbioru A ma również specyficzne właściwości:

1. dla dowolnych transformacji f i φ zbioru A istnieją iloczyny fφ i φf;

2. następuje transformacja tożsamościowa zbioru Aε: ε (a) = a, a A.

Łatwo zauważyć, że dla dowolnej transformacji f tego zbioru f ε = ε f = f, gdyż np. (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Oznacza to, że transformacja ε pełni rolę elementu jednostkowego przy mnożeniu transformacji.

równości są łatwe do sprawdzenia. Zatem transformacja odwrotna pełni rolę elementu odwrotnego przy mnożeniu transformacji.

Wyświetlacze (funkcje)

Funkcje odgrywają kluczową rolę w matematyce, gdzie służą do opisu dowolnego procesu, w którym elementy jednego zbioru są w jakiś sposób przekształcane w elementy innego. Takie przekształcenia elementów są ideą podstawową, która ma ogromne znaczenie dla wszystkich procesów obliczeniowych.

Definicja. Nazywa się relację f na AB wyświetlacz (funkcjonować) z A do B, jeśli na każde xA przypada jeden i tylko jeden yB. ustawić równoważność relacji binarnej

f: AB lub y=f(x)

Zbiór A nazywa się dziedzina definicji. Zestaw B - Zakres wartości.

Jeśli y=f(x), to wywoływane jest x argument i y- wartość funkcji.

Niech f: AB, zatem

zestaw definicji Cechy:

wiele znaczeń Cechy:

Zbiór definicji funkcji jest podzbiorem dziedziny definicji, tj. Dom f A, a zbiór wartości funkcji jest podzbiorem zakresu funkcji, tj. Im f B. Jeśli, to funkcja nazywa się funkcją całkowitą, a jeśli jest funkcją częściową. Zatem diagram Venna służy jako wygodna ilustracja funkcji zdefiniowanej na zbiorze A z wartościami ze zbioru B.

Metody określania funkcji:

1) Werbalne.
2) Analityczny.
3) Korzystanie z wykresu lub rysunku.
4) Korzystanie z tabel.

Definicja. Jeżeli MA, to wywoływany jest zbiór f(M)=y f(x)=y dla pewnego x z M sposób ustawia M.

Jeżeli KB, to wywoływany jest zbiór f -1 (K)=x f(x)K prototyp zestawy K.

Definicja Funkcja ta nazywana jest funkcją n-argumentową lub funkcją n-argumentową. Ta funkcja odwzorowuje krotkę na bB, .

Właściwości odwzorowań (funkcji).

1) Nazywa się odwzorowanie f:AB iniekcyjny, jeśli odwzorowuje różne elementy z A na różne elementy z B: .

Właściwość tę można wykazać za pomocą diagramów Venna.

2) Nazywa się odwzorowanie f:AB surjektywny lub odwzorowanie na cały zbiór B, jeśli co najmniej jeden element z A jest odwzorowany na każdy element zbioru B: .

Właściwość tę można również wykazać za pomocą diagramów Venna.

3) Nazywa się odwzorowanie f: AB, które jest zarówno iniekcyjne, jak i surjektywne bijektywny lub mapowanie jeden do jednego ze zbioru A do zbioru B.

Przykład. Otrzymamy odwzorowanie f:RR, które definiujemy w ten sposób, że. Dowiedz się, jakie właściwości ma to mapowanie.

Rozwiązanie. Funkcja f nie jest iniekcyjna, ponieważ f (2)=f (2), ale 2 2.

Funkcja f również nie jest surjektywna, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej x, dla której f (x) = 1.

Definicja. Niech f będzie bijektywnym odwzorowaniem zbioru A na zbiór B. Jeśli kojarzymy każdy element z B z skojarzonym elementem z A, to taka zgodność jest odwzorowaniem B w A. To odwzorowanie oznaczamy i nazywamy odwrotne odwzorowanie na f .

Odwrotne odwzorowanie ma pewne właściwości, które sformułowamy w następnym twierdzeniu.

Twierdzenie 3. Jeżeli f: AB jest bijekcją, to