Specjalne płaskie krzywizny. Parametryczne równanie cykloidy i równanie we współrzędnych kartezjańskich Wzór cykloidalny

Analizowane przykłady pomogły nam przyzwyczaić się do nowych koncepcji ewolucji i ewolwenty. Teraz jesteśmy wystarczająco przygotowani do badania rozwoju krzywych cykloidalnych.

Badając tę ​​lub inną krzywą, często budowaliśmy krzywą pomocniczą - „towarzysza” tej krzywej.

Ryż. 89. Cykloid i jego towarzyszący.

Zbudowaliśmy więc muszle linii prostej i koła, rozwinięcie koła, sinusoidę - towarzysza cykloidy. Teraz na bazie tej cykloidy zbudujemy cykloidę pomocniczą nierozerwalnie z nią związaną. Okazuje się, że wspólne badanie takiej pary cykloidów jest pod pewnymi względami prostsze niż badanie jednej pojedynczej cykloidy. Taką cykloidę pomocniczą nazwiemy cykloidą towarzyszącą.

Rozważmy połowę łuku cykloidy AMB (ryc. 89). Nie powinniśmy się wstydzić, że cykloida ta jest położona w nietypowy sposób („do góry nogami”).

Narysujmy 4 proste linie równoległe do linii prowadzącej AK w odległościach a, 2a, 3a i 4a. Skonstruujmy okrąg generujący w położeniu odpowiadającym punktowi M (na ryc. 89 środek tego okręgu oznaczony jest literą O). Oznaczmy kąt obrotu MON przez . Wtedy odcinek AN będzie równy (kąt wyrażany jest w radianach).

Kontynuujemy średnicę NT okręgu tworzącego poza punktem T do przecięcia (w punkcie E) z prostą PP. Używając TE jako średnicy, skonstruujemy okrąg (ze środkiem). Skonstruujmy styczną w punkcie M do cykloidy AMB. Aby to zrobić, punkt M musi, jak wiemy, połączyć się z punktem T (s. 23). Kontynuujmy styczną MT poza punktem T, aż przetnie się ona z okręgiem pomocniczym i punkt przecięcia nazwiemy . To jest kwestia, którą chcemy się teraz zająć.

Oznaczyliśmy kąt MON przez Zatem kąt MTN będzie równy (kąt wpisany oparty na tym samym łuku). Trójkąt jest oczywiście równoramienny. Zatem nie tylko kąt, ale i każdy kąt będzie równy, zatem dla ułamka kąta w trójkącie pozostaną dokładnie radiany (pamiętajcie, że kąt 180° równa się radianom). Zauważamy również, że odcinek NK jest oczywiście równy a ().

Rozważmy teraz okrąg o środku pokazany na ryc. 89 linia przerywana. Z rysunku jasno wynika, jaki to rodzaj koła. Jeśli potoczysz go bez przesuwania się po prostej CB, to jego punkt B będzie opisywał cykloidę BB. Kiedy przerywany okrąg obraca się o kąt , środek dojdzie do punktu, a promień przyjmie położenie. Zatem punkt, w którym się znajdujemy skonstruowany okazuje się być punktem cykloidy BB,

Opisana konstrukcja łączy każdy punkt M cykloidy AMB z punktem cykloidy na ryc. 90 korespondencja ta jest pokazana wyraźniej. Otrzymaną w ten sposób cykloidę nazywamy towarzyszącą. Na ryc. 89 i 90, cykloidy zaznaczone grubymi liniami przerywanymi towarzyszą cykloidom przedstawionym grubymi liniami ciągłymi.

Z ryc. 89 widać, że linia prosta jest normalna w punkcie do towarzyszącej jej cykloidy. Rzeczywiście, ta prosta przechodzi przez punkt cykloidy i przez punkt T styczności okręgu tworzącego z linią kierującą („najniższy” punkt okręgu tworzącego, jak powiedzieliśmy kiedyś; teraz okazało się, że jest to „najwyższy”, ponieważ rysunek jest obrócony).

Ale ta sama linia prosta, ze względu na konstrukcję, jest styczna do „głównej” cykloidy AMB. Zatem pierwotna cykloida styka się z każdą normalną towarzyszącej cykloidy. Jest to otoczka normalnych towarzyszącej cykloidy, czyli jej ewolucji. A „towarzysząca” cykloida okazuje się po prostu ewolwentą (rozwinięciem) pierwotnej cykloidy!

Ryż. 91 Zgodność pomiędzy punktami cykloidy i punktów jej towarzyszących.

Zajmując się tą uciążliwą, ale w istocie prostą konstrukcją, udowodniliśmy niezwykłe twierdzenie odkryte przez holenderskiego naukowca Huygensa. Oto twierdzenie: ewolucja cykloidy jest dokładnie tą samą cykloidą, tylko przesuniętą.

Po zbudowaniu ewoluty nie dla jednego łuku, ale dla całej cykloidy (co oczywiście można zrobić tylko mentalnie), następnie ewoluty dla tej ewoluty itp. Otrzymujemy rys. 91, przypominające płytki.

Zwróćmy uwagę, że dowodząc twierdzenia Huygensa nie posługiwaliśmy się ani nieskończenie małymi, niepodzielnymi, ani przybliżonymi szacunkami. Nie używaliśmy nawet mechaniki, czasami używaliśmy wyrażeń zapożyczonych z mechaniki. Dowód ten jest całkowicie w duchu rozumowania, jakim posługiwali się uczeni XVII w., chcąc ściśle uzasadnić otrzymane wyniki za pomocą różnych wiodących rozważań.

Z twierdzenia Huygensa wynika bezpośrednio ważny wniosek. Rozważmy odcinek AB na ryc. 89. Długość tego odcinka wynosi oczywiście 4a. Wyobraźmy sobie teraz, że wokół łuku AMB cykloidy nawinięta jest nić, ustalona w punkcie A i zaopatrzona w ołówek w punkcie B. Jeśli „nawiniemy” nić, ołówek będzie się przesuwał wzdłuż rozwoju cykloidy AMB , czyli wzdłuż cykloidy BMB.

Ryż. 91 Kolejne ewolucje cykloidy.

Długość nici, równa długości półłuku cykloidy, będzie oczywiście równa odcinku AB, tj., jak widzieliśmy, 4a. W rezultacie długość całego łuku cykloidy będzie równa 8a, a wzór można teraz uznać za dość ściśle sprawdzony.

Z ryc. 89 widać więcej: wzór nie tylko na długość całego łuku cykloidy, ale także na długość dowolnego z jej łuków. Rzeczywiście jest oczywiste, że długość łuku MB jest równa długości odcinka, czyli odcinka podwójnej stycznej w odpowiednim punkcie cykloidy, zawartego wewnątrz okręgu tworzącego.

Cyclomis (z greckiego khklpeidYut - okrągły) to płaska krzywa transcendentalna. Cykloidę definiuje się kinematycznie jako trajektorię stałego punktu tworzącego okręgu o promieniu r, toczącego się bez poślizgu po linii prostej.

Równania

Przyjmijmy poziomą oś współrzędnych jako linię prostą, po której toczy się tworzący okrąg o promieniu r.

· Cykloida jest opisana równaniami parametrycznymi

Równanie we współrzędnych kartezjańskich:

· Cykloidę można otrzymać jako rozwiązanie równania różniczkowego:

Nieruchomości

• · Cykloida -- funkcja okresowa wzdłuż osi x, z okresem 2рr. Za granice okresu wygodnie jest przyjąć punkty osobliwe (punkty powrotu) postaci t = 2рk, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
• · Aby narysować styczną do cykloidy w dowolnym punkcie A, wystarczy połączyć ten punkt z górnym punktem tworzącego okręgu. Łącząc A z dolnym punktem tworzącego okręgu, otrzymujemy normalną.
• · Długość łuku cykloidalnego wynosi 8r. Właściwość tę odkrył Christopher Wren (1658).
• · Pole pod każdym łukiem cykloidy jest trzy razy większe niż pole generującego koła. Torricelli twierdzi, że fakt ten odkrył Galileusz.
• · Promień krzywizny pierwszego łuku cykloidy jest równy.

• · „Odwrócona” cykloida to krzywa o najbardziej stromym spadku (brachistochrona). Ponadto ma również właściwość tautochrony: ciało ciężkie umieszczone w dowolnym punkcie łuku cykloidalnego osiąga w tym samym czasie poziom.
• · Okres drgań punktu materialnego ślizgającego się po odwróconej cykloidzie nie zależy od amplitudy, fakt ten Huygens wykorzystał do stworzenia precyzyjnych zegarków mechanicznych.
• · Ewoluta cykloidy jest cykloidą przystającą do pierwotnej, czyli przesuniętą równolegle tak, że wierzchołki zamieniają się w „punkty”.
• · Części maszyn wykonujące jednocześnie jednostajny ruch obrotowy i postępowy opisują krzywe cykloidalne (cykloida, epicykloida, hipocykloida, trochoida, astroida) (por. konstrukcja lemniskaty Bernoulliego).

Długość łuku cykloidy została po raz pierwszy obliczona przez angielskiego architekta i matematyka Wrena w 1658 roku. Wren wyszedł z rozważań mechanicznych przypominających pierwsze dzieła Torricellego i Robervala. Rozważał obrót toczącego się koła pod bardzo małym kątem w pobliżu „dolnego” punktu generującego koła. Aby sugestywne rozważania Wrena miały siłę dowodową, konieczne byłoby rozważenie całego szeregu twierdzeń pomocniczych, a zatem konieczne byłoby włożenie zbyt wiele pracy.

O wiele wygodniej jest skorzystać z dłuższej, ale łagodnej ścieżki. Aby to zrobić, należy wziąć pod uwagę specjalną krzywą, jaką ma każda płaska krzywa - jej rozwój.

Rozważmy wypukły łuk AB linii zakrzywionej (ryc. 4.1). Wyobraźmy sobie, że elastyczna, nierozciągliwa nić o tej samej długości co sam łuk AB jest przymocowana do łuku AB w punkcie A, a nić ta jest „owinięta” na krzywiznę i ściśle do niej przylega, tak że jej koniec pokrywa się z punktem B. Będziemy „rozwijać” – prostujemy nitkę, utrzymując ją napiętą, tak aby wolna część nitki CM była zawsze skierowana stycznie do łuku AB. W tych warunkach koniec nici będzie opisywał pewną krzywiznę. Krzywa ta nazywa się rozwojem lub po łacinie spiralny oryginalna krzywa.

Jeśli łuk krzywej nie jest wypukły wszędzie w jednym kierunku, jeśli jest podobny do krzywej AB na ryc. 4.2, ma punkt C, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony na drugą (taki punkt nazywa się punktem przegięcia), to w tym przypadku możemy mówić o rozwoju krzywej, ale rozumowanie będzie miało być trochę bardziej skomplikowane.

Wyobraźmy sobie, że nić jest zamocowana dokładnie w punkcie przegięcia C (ryc. 4.2). Nić rozwijająca się z łuku BC będzie opisywać krzywą BMR – skan.

Wyobraźmy sobie teraz nić owiniętą wokół łuku AC pierwotnej krzywej, ale nić ta jest już rozciągnięta: w punkcie C przywiązany jest do niej kawałek nitki CP. Nawijając wydłużoną nić ACP krzywą CA, otrzymujemy łuk RNA, który wraz z łukiem BMP tworzy pojedynczą ciągłą krzywą – ciągłą, ale nie wszędzie gładką: punkt odchylenia C pierwotnej krzywej będzie odpowiadał wierzchołek (punkt powrotu) krzywej BMRNA: krzywa BMRNA będzie ewolwentą (odchyleniem) krzywej BCA.

Te przykłady pomogły nam przyzwyczaić się do nowych koncepcji ewolucji i ewolwenty. Przyjrzyjmy się teraz rozwojowi krzywych cykloidalnych.

Badając tę ​​lub inną krzywą, często budowaliśmy krzywą pomocniczą - „towarzysza” tej krzywej. Kosztujemy więc sinusoidę - towarzysza cykloidy. Teraz na bazie tej cykloidy zbudujemy cykloidę pomocniczą nierozerwalnie z nią związaną. Okazuje się, że wspólne badanie takiej pary cykloidów jest pod pewnymi względami prostsze niż badanie jednej pojedynczej cykloidy. Taką cykloidę pomocniczą nazwiemy cykloidą towarzyszącą.

Rozważmy połowę łuku cykloidy AMB (ryc. 4.3). Nie powinniśmy się wstydzić, że cykloida ta jest położona w nietypowy sposób („do góry nogami”). Narysujmy 4 linie proste równoległe do linii prowadzącej AK w odległościach A, 2A, 3A i 4 A. Skonstruujmy okrąg generujący w położeniu odpowiadającym punktowi M (na ryc. 4.3 środek tego okręgu oznaczony jest literą O). Oznaczmy kąt obrotu MON przez c. Wtedy odcinek AN będzie równy bc (kąt c wyrażany jest w radianach).

Kontynuujemy średnicę NT okręgu tworzącego poza punktem T do przecięcia (w punkcie E) z prostą PP. Używając TE jako średnicy, skonstruujemy okrąg (o środku O 1). Skonstruujmy styczną w punkcie M do cykloidy AMB. Aby to zrobić, punkt M musi, jak wiemy, być połączony z punktem T. Przedłużamy styczną MT poza punkt T, aż przetnie się ona z okręgiem pomocniczym i punkt przecięcia nazwiemy M 1. To właśnie tym punktem M 1 chcemy się teraz zająć.

Oznaczyliśmy kąt MON przez c. Dlatego kąt MTN będzie równy (kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku). Trójkąt DO 1 M 1 jest oczywiście równoramienny. Dlatego nie tylko kąt O 1 TM 1, ale także kąt TM 1 O 1 będą równe. Zatem ułamek kąta DO 1 M 1 w trójkącie DO 1 M 1 pozostaje dokładnie p - q radianów (pamiętaj, że kąt 180? jest równy p radianom). Zauważmy też, że odcinek NK jest oczywiście równy b(p – q).

Rozważmy teraz okrąg ze środkiem O 2, pokazany na ryc. 4.3 linią przerywaną. Z rysunku jasno wynika, jaki to rodzaj koła. Jeśli potoczysz go bez przesuwania się po linii prostej NE, to jego punkt B będzie opisywał cykloidę BB. Kiedy przerywany okrąg obraca się o kąt p - c, środek O 2 dojdzie do punktu O 1, a promień O 2 B przyjmie położenie O 1 M 1. Zatem skonstruowany przez nas punkt M 1 okazuje się punktem cykloidy BB.

Opisana konstrukcja wiąże każdy punkt M cykloidy AMB z punktem M 1 cykloidy VM 1 B. Na ryc. 4.4 wyraźniej ukazuje tę zgodność. Otrzymaną w ten sposób cykloidę nazywamy towarzyszącą. Na ryc. 4.3 i 4.4 cykloidy zaznaczone grubymi liniami przerywanymi towarzyszą cykloidom przedstawionym grubymi liniami ciągłymi.

Z ryc. 4.3 jasne jest, że linia prosta MM 1 jest normalna w punkcie M 1 do towarzyszącej cykloidy. Rzeczywiście, ta linia prosta przechodzi przez punkt M 1 cykloidy oraz przez punkt T styczności okręgu tworzącego i linię kierującą („najniższy” punkt okręgu tworzącego, jak kiedyś powiedzieliśmy; teraz okazało się, że jest to „najwyższy”, ponieważ rysunek jest obrócony). Ale ta sama linia prosta, ze względu na konstrukcję, jest styczna do „podstawy” cykloidy AMB. Zatem pierwotna cykloida styka się z każdą normalną towarzyszącej cykloidy. Jest to obwiednia normalnych towarzyszącej cykloidy, tj. jego ewolucję. A „towarzysząca” cykloida okazuje się po prostu ewolwentą pierwotnej cykloidy!

Zajmując się tą uciążliwą, ale w istocie prostą konstrukcją, udowodniliśmy niezwykłe twierdzenie odkryte przez holenderskiego naukowca Huygensa. Oto twierdzenie: Ewolucja cykloidy jest dokładnie tą samą cykloidą, tylko przesuniętą.

Po zbudowaniu ewoluty nie dla jednego łuku, ale dla całej cykloidy (co oczywiście można zrobić tylko mentalnie), następnie ewoluty dla tej ewoluty itp. Otrzymujemy ryc. 4,5, przypominający płytki.

Zwróćmy uwagę, że dowodząc twierdzenia Huygensa nie posługiwaliśmy się ani nieskończenie małymi, niepodzielnymi, ani przybliżonymi szacunkami. Nie używaliśmy nawet mechaniki, chociaż czasami używaliśmy wyrażeń zapożyczonych z mechaniki. Dowód ten jest całkowicie w duchu rozumowania, jakim posługiwali się uczeni XVII w., chcąc ściśle uzasadnić otrzymane wyniki za pomocą różnych wiodących rozważań.

Z twierdzenia Huygensa wynika bezpośrednio ważny wniosek. Rozważmy odcinek AB na ryc. 4.4. Długość tego odcinka wynosi oczywiście 4 A. Wyobraźmy sobie teraz, że wokół łuku AMB cykloidy nawinięta jest nić, ustalona w punkcie A i zaopatrzona w ołówek w punkcie B. Jeśli „nawiniemy” nić, ołówek będzie się przesuwał wzdłuż rozwoju cykloidy AMB , tj. wzdłuż cykloidy BM 1 B. Długość nici równa długości półłuku cykloidy będzie oczywiście równa odcinku AB, tj., jak widzieliśmy, 4 A. Dlatego długość L całego łuku cykloidalnego będzie równa 8 A, oraz wzór L=8 A można obecnie uznać za dość ściśle udowodnione.

Obliczmy długość łuku, korzystając z geometrii różniczkowej. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie będzie znacznie krótsze i łatwiejsze:

Gdzie T?

| r(t)|===2grzech

5. Parametryczne równanie cykloidy i równanie we współrzędnych kartezjańskich

Załóżmy, że mamy cykloidę utworzoną z okręgu o promieniu a ze środkiem w punkcie A.

Jeśli jako parametr określający położenie punktu wybierzemy kąt t=∟NDM, o który udało się obrócić promień, który na początku walcowania miał położenie pionowe AO, wówczas współrzędne x i y punktu M będą wyrazić następująco:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a koszt t

Zatem równania parametryczne cykloidy mają postać:

Kiedy t zmieni się od -∞ do +∞, otrzymana zostanie krzywa składająca się z nieskończonej liczby gałęzi, takich jak pokazano na tym rysunku.

Ponadto, oprócz równania parametrycznego cykloidy, istnieje również jego równanie we współrzędnych kartezjańskich:

Gdzie r jest promieniem okręgu tworzącego cykloidę.

6. Zagadnienia wyszukiwania części cykloidy i figur cykloidy

Zadanie nr 1. Znajdź obszar figury ograniczony jednym łukiem cykloidy, której równanie podano parametrycznie

i oś Wołu.

Rozwiązanie. Do rozwiązania tego problemu wykorzystamy fakty znane z teorii całek, a mianowicie:

Obszar zakrzywionego sektora.

Rozważmy pewną funkcję r = r(ϕ) zdefiniowaną na [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] odpowiada r 0 = r(ϕ 0) i dlatego punktowi M 0 (ϕ 0 , r 0), gdzie ϕ 0,

r 0 - współrzędne biegunowe punktu. Jeśli ϕ się zmienia, „przebiegając” przez całe [α, β], to punkt zmienny M będzie opisywał jakąś krzywą AB, biorąc pod uwagę

równanie r = r(ϕ).

Definicja 7.4. Sektor krzywoliniowy to figura ograniczona dwoma promieniami ϕ = α, ϕ = β i krzywą AB zdefiniowaną w układzie biegunowym

współrzędne według równania r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Poniższe informacje są prawdziwe

Twierdzenie. Jeżeli funkcja r(ϕ) > 0 i jest ciągła na [α, β], to pole

sektor krzywoliniowy oblicza się według wzoru:

Twierdzenie to zostało udowodnione wcześniej w temacie całki oznaczonej.

Bazując na powyższym twierdzeniu, nasz problem znalezienia pola figury ograniczonej jednym łukiem cykloidy, której równanie wyznaczają parametry parametryczne x= a (t – sin t), y= a (1 – koszt t) i oś Wół sprowadza się do następującego rozwiązania.

Rozwiązanie. Z równania krzywej dx = a(1−cos t) dt. Pierwszy łuk cykloidy odpowiada zmianie parametru t z 0 na 2π. Stąd,

Zadanie nr 2. Znajdź długość jednego łuku cykloidy

Poniższe twierdzenie i jego następstwa były również badane w rachunku całkowym.

Twierdzenie. Jeśli krzywa AB jest dana równaniem y = f(x), gdzie f(x) i f’ (x) są ciągłe w , to AB jest prostowalna i

Konsekwencja. Niech AB będzie dane parametrycznie

LAB = (1)

Niech funkcje x(t), y(t) będą różniczkowalne w sposób ciągły na [α, β]. Następnie

wzór (1) można zapisać w następujący sposób

Dokonajmy zmiany zmiennych w tej całce x = x(t), to y’(x)= ;

dx= x’(t)dt i dlatego:

Wróćmy teraz do rozwiązania naszego problemu.

Rozwiązanie. Mamy i dlatego

Zadanie nr 3. Musimy znaleźć pole powierzchni S powstałe w wyniku obrotu jednego łuku cykloidy

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – koszt), 0≤ t ≤ 2π)

W rachunku całkowym istnieje następujący wzór na obliczenie pola powierzchni ciała obrotowego wokół osi x krzywej określonej parametrycznie na odcinku: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Stosując ten wzór do naszego równania cykloidy otrzymujemy:

Zadanie nr 4. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót łuku cykloidalnego

Wzdłuż osi Wołu.

W rachunku całkowym przy badaniu objętości mamy następującą uwagę:

Jeżeli krzywą ograniczającą trapez krzywoliniowy wyznaczają równania parametryczne i funkcje w tych równaniach spełniają warunki twierdzenia o zmianie zmiennej w pewnej całce, to objętość ciała obrotowego trapezu wokół osi Wół będzie wynosić obliczyć według wzoru

Użyjmy tego wzoru, aby znaleźć potrzebną objętość.

Problem jest rozwiązany.

Wniosek

W trakcie tej pracy wyjaśniono podstawowe właściwości cykloidy. Dowiedzieliśmy się także, jak zbudować cykloidę i poznaliśmy geometryczne znaczenie cykloidy. Jak się okazało, cykloida ma ogromne zastosowania praktyczne nie tylko w matematyce, ale także w obliczeniach technologicznych i fizyce. Ale cykloida ma inne zalety. Był używany przez naukowców z XVII wieku przy opracowywaniu technik badania linii zakrzywionych - technik, które ostatecznie doprowadziły do ​​wynalezienia rachunku różniczkowego i całkowego. Był to także jeden z „kamień probierczych”, na którym Newton, Leibniz i ich pierwsi badacze testowali siłę nowych, potężnych metod matematycznych. Wreszcie problem brachistochrony doprowadził do wynalezienia rachunku wariacyjnego, tak potrzebnego dzisiejszym fizykom. Tym samym cykloida okazała się nierozerwalnie związana z jednym z najciekawszych okresów w historii matematyki.

Literatura

1. Berman G.N. Cykloida. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrona, czyli kolejna tajemnica cykloidy // Quantum. – 1975. – nr 5

3. Verov S.G. Sekrety cykloidy // Kwant. – 1975. – nr 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Zastosowania całki oznaczonej. Instrukcja metodyczna i zadania indywidualne dla studentów I roku Wydziału Fizyki. - Rostów n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Gwiezdny wiek cykloidy // Quantum. – 1985 r. – nr 6.

6. Fikhtengolts G.M. Przebieg rachunku różniczkowego i całkowego. T.1. – M., 1969

Ta linia nazywa się „kopertą”. Każda linia zakrzywiona jest obwiednią swoich stycznych.

Materia i ruch oraz metoda, jaką tworzą, pozwalają każdemu zrealizować swój potencjał w poznaniu prawdy. Opracowanie metodologii rozwoju dialektyczno-materialistycznej formy myślenia i opanowanie podobnego sposobu poznania jest drugim krokiem w kierunku rozwiązania problemu rozwoju i realizacji możliwości człowieka. Fragment XX Możliwości...

W tej sytuacji u ludzi może rozwinąć się neurastenia - nerwica, której podstawą obrazu klinicznego jest stan asteniczny. Zarówno w przypadku neurastenii, jak i w przypadku dekompensacji psychopatii neurastenicznej, istota obrony psychicznej (psychologicznej) odzwierciedla się w wycofaniu się z trudności w osłabienie drażliwości z dysfunkcjami wegetatywnymi: albo osoba nieświadomie „odpiera” atak. ..

Różne rodzaje zajęć; rozwój wyobraźni przestrzennej i koncepcji przestrzennych, myślenie figuratywne, przestrzenne, logiczne, abstrakcyjne uczniów; rozwijanie umiejętności stosowania wiedzy i umiejętności geometrycznych i graficznych do rozwiązywania różnych problemów stosowanych; zapoznanie się z treścią i kolejnością etapów działań projektowych z zakresu aspektów technicznych i...

Łuki. Spirale są także ewolwentami zamkniętych krzywych, na przykład ewolwentą koła. Nazwy niektórych spiral wynikają z podobieństwa ich równań biegunowych do równań krzywych we współrzędnych kartezjańskich, np.: · spirala paraboliczna (a - r)2 = bj, · spirala hiperboliczna: r = a/j. · Pręt: r2 = a/j · si-ci-spirala, której równania parametryczne mają postać: , )