WejścieZadania teoretyczne i zadania z algebry liniowej. Różnica liniowa
Ogólny widok systemu
, ja = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - współczynniki systemowe; - wolni członkowie; - zmienne;
Jeśli wszystko = 0, układ nazywa się jednorodnym.
Ogólne rozwiązanie układu równań liniowych
Definicja 1. System jednorodny M liniowe równania algebraiczne dla N niewiadomych nazywa się układem równań
typ (1) lub w formie macierzowej (2)
gdzie A jest daną macierzą współczynników wielkości mxn,
Kolumna n niewiadomych to kolumna zerowa o wysokości m.
Układ jednorodny jest zawsze spójny (rozszerzona macierz pokrywa się z A) i ma oczywiste rozwiązania: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
To rozwiązanie nazywa się zerem lub trywialny. Każde inne rozwiązanie, jeśli takie istnieje, nazywa się nietrywialne.
Twierdzenie 1. Jeżeli rząd macierzy A jest równy liczbie niewiadomych, to układ (1) ma jednoznaczne (trywialne) rozwiązanie.
Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Cramera, r=n i rozwiązanie jest unikalne.
Twierdzenie 2. Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy układu był mniejszy od liczby niewiadomych ( wynika z twierdzenia o liczbie rozwiązań).
Þ jeśli istnieją rozwiązania niezerowe, to rozwiązanie nie jest jednoznaczne, wówczas wyznacznik układu jest równy zeru, wtedy r Ü jeśli r Twierdzenie 3. Jednorodny układ n równań z n niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy detA = 0. Þ jeśli istnieją rozwiązania niezerowe, to rozwiązań jest nieskończenie wiele, to zgodnie z twierdzeniem o liczbie rozwiązań r Ü jeśli detA = 0, to r Twierdzenie 4. Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, konieczne jest, aby liczba równań układu była mniejsza niż liczba niewiadomych. Ponieważ ranga macierzy współczynników nie może być większa niż liczba jej wierszy (a także liczba kolumn), to r Definicja 2. Nazywa się zmienne systemowe znajdujące się na podstawie kolumn oryginalnej macierzy współczynników podstawowe zmienne, a pozostałe zmienne systemu są wywoływane bezpłatny. Definicja 4. Prywatna decyzja układ niejednorodny AX = B nazywany jest wektorem kolumnowym X uzyskanym przez zero wartości bezpłatny zmienne. Twierdzenie 6. Ogólne rozwiązanie układu niejednorodnego równania liniowe AX = B mają postać , gdzie jest rozwiązaniem szczególnym układu równań AX = B, a jest FSR układu jednorodnego AX = 0. Niejednorodny układ równań liniowych to układ postaci: Jego rozszerzona matryca. Twierdzenie (o ogólnym rozwiązaniu układów niejednorodnych). · jeżeli , gdzie jest liczba zmiennych układu (2), to rozwiązanie (2) istnieje i jest unikalne; · jeżeli , to rozwiązanie ogólne układu (2) ma postać , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym układu (1), zwanym ogólnie jednorodny roztwór, jest szczególnym rozwiązaniem układu (2), tzw rozwiązanie prywatne niejednorodne. Jednorodny układ równań liniowych to układ postaci: Nazywa się rozwiązanie zerowe układu (1). trywialne rozwiązanie. Homogeniczne systemy są zawsze kompatybilne, ponieważ zawsze istnieje banalne rozwiązanie. Jeśli układ ma rozwiązanie niezerowe, nazywa się je nietrywialne. Rozwiązania układu jednorodnego mają właściwość liniowości: Twierdzenie (o rozwiązaniu liniowym układów jednorodnych). Twierdzenie (o strukturze rozwiązania ogólnego). · jeśli , gdzie jest liczba zmiennych systemowych, to istnieje tylko trywialne rozwiązanie; · jeżeli , to istnieją liniowo niezależne rozwiązania rozważanego układu: , oraz jego wspólna decyzja ma postać: , gdzie są pewne stałe. 2. Permutacje i podstawienia. Wyznacznik n-tego rzędu. Właściwości wyznaczników. Definicja wyznacznika - rzędu. Niech będzie dana macierz kwadratowa pierwszego rzędu: Definicja. Iloczyn elementów macierzy A, wziętych po jednym z każdego wiersza i każdej kolumny, nazywany jest członkiem wyznacznika macierzy A.3 Jeżeli w wyznaczniku zamienimy dowolne dwa wiersze lub dwie kolumny, to wyznacznik zmienia swój znak na przeciwieństwo. 4Jeżeli macierz zawiera wiersz (kolumnę) zerowy, to wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.5 Jeżeli dwa wiersze (kolumny) macierzy są sobie równe, to wyznacznik tej macierzy jest równy do zera.6 Jeżeli dwa wiersze (kolumny) macierzy są do siebie proporcjonalne, to wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.7 Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów główna przekątna.8 Jeśli wszystkie elementy k wiersz (kolumna) wyznacznika przedstawiany jest jako suma a k j + b k j, wówczas wyznacznik można przedstawić jako sumę odpowiednich wyznaczników9. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów dowolnego z jego wierszy (lub odpowiedniej kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (lub odpowiedniej kolumny) , pomnożone przez tę samą liczbę.10. Pozwalać A I B są macierzami kwadratowymi tego samego rzędu. Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: Gdzie C 1 i C 2 są nieznane. Wszystkie y są znanymi liczbami, obliczonymi przy x = x 0. Aby układ miał rozwiązanie dla dowolnej prawej strony, konieczne i wystarczające jest, aby wyznacznik główny był różny od 0. Jeżeli , to wyznacznik Wrońskiego nie jest równy 0, dla dowolnych wartości x 0. Dowód. Niech wyznacznik będzie równy 0, ale wybierzmy warunki początkowe niezerowe y=0, y’=0. Otrzymujemy wtedy następujący układ: Układ ten ma nieskończoną liczbę rozwiązań, gdy wyznacznik wynosi 0. C 11 i C 12 są rozwiązaniami tego układu. Jest to sprzeczne z pierwszym przypadkiem, co oznacza, że wyznacznik Wrońskiego nie jest równy 0 dla dowolnego x 0, jeśli . Zawsze istnieje możliwość wybrania konkretnego rozwiązania z rozwiązania ogólnego dla . Bilet nr 33 Twierdzenie o strukturze rozwiązania ogólnego liniowego równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu wraz z dowodem. Twierdzenie o ogólnym rozwiązaniu równania różniczkowego: rozwiązania tego równania, a następnie funkcja Dowód: Bilet nr 34 Twierdzenie o strukturze rozwiązania ogólnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego II rzędu wraz z dowodem. Niech będzie dane równanie z prawą stroną: . Równanie bez prawej strony Twierdzenie o strukturze rozwiązania ogólnego równania z prawą stroną. T.1 Rozwiązanie ogólne równania z prawą stroną można złożyć jako sumę rozwiązania ogólnego równania bez prawej strony i jakiegoś szczególnego rozwiązania tego równania. Dowód. Oznaczmy przez rozwiązanie ogólne i jakieś szczególne rozwiązanie tego równania. Weźmy funkcję Podstawiając wyrażenia y, y', y'' po lewej stronie równania, otrzymujemy: Wyrażenie w pierwszym nawiasie kwadratowym jest równe 0. A wyrażenie w drugim nawiasie jest równe funkcji f(x ). Dlatego funkcja Bilet nr 35 Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, F.S.R. i rozwiązanie ogólne w przypadku różnych pierwiastków rzeczywistych, równania charakterystyczne z dowodem. Weźmy jednorodne równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach: gdzie a to liczby. Spróbujmy spełnić równanie funkcją postaci . Stąd mamy: Z tego możemy zobaczyć, jakie będzie rozwiązanie tego równania, jeśli r jest pierwiastkiem równania kwadratowego. To równanie nazywa się charakterystyką. Aby utworzyć równanie charakterystyczne, należy zamienić y na jeden, a każdą pochodną na r do potęgi rzędu pochodnej. 1) Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i różne. W tym przypadku oba pierwiastki można uznać za wskaźniki funkcji r. Tutaj możesz od razu uzyskać dwa równania. Oczywiste jest, że ich stosunek nie jest równy wartości stałej. Ogólne rozwiązanie w przypadku pierwiastków rzeczywistych i różnych podaje wzór: Bilet nr 36 Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, F.S.R. i rozwiązanie ogólne w przypadku pierwiastków wielokrotnych, równania charakterystyczne z dowodem. Pierwiastki równania rzeczywistego są rzeczywiste i równe. Cykl – taka sekwencja komórek w tablicy transportowej (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), w której znajdują się dwie i tylko dwie sąsiednie komórki umieszczone w jednym wierszu lub kolumnie, przy czym pierwsza i ostatnia komórka również znajdują się w tym samym wierszu lub kolumnie. (?)Permutacja wzdłuż cyklu - (przesunięcie wzdłuż cyklu o wartość t)- wzrost wolumenów we wszystkich nieparzystych komórkach cyklu oznaczonych znakiem „+” przez t i spadek wolumenów transportu we wszystkich parzystych komórkach oznaczonych znakiem „-” przez t. Optymalny plan transportu odpowiada minimum liniowej funkcji celu f(X)= min przy ograniczeniach konsumpcji i podaży Równanie w postaci F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, gdzie k jest liczbą stałą, a n jest dowolną liczbą naturalną, x n ; x n +1 ;…; x n + k są wyrazami pewnego nieznanego ciągu liczbowego, zwanego równaniem różnicowym rzędu k. Rozwiązanie równania różnicowego polega na znalezieniu wszystkich ciągów (x n) spełniających równanie. Ogólnym rozwiązaniem równania k-tego rzędu jest jego rozwiązanie x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), zależne od k niezależnych dowolnych stałych C 1 , C 2 , …, C k . Liczba k stałych jest równa rządowi równania różnicowego, a niezależność oznacza, że żadnej ze stałych nie można wyrazić w kategoriach pozostałych. Rozważmy liniowe równanie różnicowe rzędu k ze stałymi współczynnikami: a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + za 0 x n = fa n , gdzie a ja R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) i (f n ) – podane liczby i kolejność. ^
Twierdzenie o ogólnym rozwiązaniu równania niejednorodnego.
Rozwiązanie ogólne x n liniowego niejednorodnego równania różnicowego jest sumą rozwiązania szczególnego x n * tego równania i rozwiązania ogólnego n odpowiedniego równania jednorodnego. ^
Twierdzenie o ogólnym rozwiązaniu równania jednorodnego.
Niech x n 1 ,…, x n k będzie układem składającym się z k liniowo niezależnych rozwiązań liniowego równania różnicowego jednorodnego. Następnie ogólne rozwiązanie tego równania podaje wzór: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k. Znajomość pierwiastków równania charakterystycznego pozwala na skonstruowanie ogólnego rozwiązania jednorodnego równania różnicowego. Rozważmy to na przykładzie równania drugiego rzędu: Otrzymane rozwiązania można łatwo przenieść na przypadek równań wyższego rzędu. W zależności od wartości dyskryminatora D=b 2 -4ac równania charakterystycznego możliwe są następujące przypadki: Zbiór rozwiązań liniowego jednorodnego równania różnicowego k-tego rzędu tworzy k-wymiarową przestrzeń liniową, a jej podstawą jest dowolny zbiór k liniowo niezależnych rozwiązań (zwany zbiorem podstawowym). Znakiem liniowej niezależności rozwiązań równania jednorodnego jest to, że wyznacznik Casorattiego nie jest równy zero: Równanie nazywa się równaniem charakterystycznym jednorodnego równania liniowego. ^
W jakiej formie należy szukać jego konkretnego rozwiązania? Wyjaśnij odpowiedź.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n W jakiej formie należy szukać jego konkretnego rozwiązania? Odpowiedź musi zostać wyjaśniona. X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n X n +2 -4x n +1 +3x n =0 X n = do 1 3 n + do 2 1 n X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1)2 n X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n X n = do 1 3 n + do 2 1 n + X 1 n + X 2 n x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n 1) x n +2 -4x n +1 +3x=0 λ 1 =3, λ 2 =1 x n o = do 1 (3) n + do 2 (1) n = do 1 (3) n + do 2 2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2 Ponieważ podstawa potęgi wykładniczej f(n)=2 n, równa 2, nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego, szukamy odpowiedniego rozwiązania szczegółowego w postaci Y n =C(2) n . Ponieważ podstawa funkcji wykładniczej g(n)=3 n, równa 3, pokrywa się z jednym z pierwiastków równania charakterystycznego, szukamy odpowiedniego rozwiązania szczegółowego w postaci X n = Bn(3) n. Ponieważ z(n)=n 2 jest wielomianem, konkretnego rozwiązania będziemy szukać w postaci wielomianu: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 . x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2 1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i Ponieważ podstawa potęgi wykładniczej f(n)=3 n, równa 3, nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego, szukamy odpowiedniego rozwiązania szczegółowego w postaci Y n =B(3) n . Ponieważ g(n)=n 2 jest wielomianem, konkretnego rozwiązania będziemy szukać w postaci wielomianu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 λ 1 =-1+i, λ 2 =-1-i X n 0 =(2) n (C 1 sałata + C 2 grzech ) 2) f(n)=3 n , g(n)=n 2 , z(n)=cos Ponieważ podstawa potęgi wykładniczej f(n)=3 n, równa 3, nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego, szukamy odpowiedniego rozwiązania szczegółowego w postaci Y n =B(3) n . Ponieważ g(n)=n 2 jest wielomianem, konkretnego rozwiązania będziemy szukać w postaci wielomianu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos Model cyklu koniunkturalnego Samuelsona-Hicksa zakłada bezpośrednią proporcjonalność wolumenu inwestycji do wzrostu dochodu narodowego (zasada akceleracji), tj. gdzie współczynnik V>0 jest współczynnikiem przyspieszenia, I t – kwota inwestycji w okresie t, X t -1 , X t -2 - wartość dochodu narodowego odpowiednio w okresach (t-1) i (t-2). Zakłada się również, że popyt na tym etapie gdzie a, b są współczynnikami liniowego wyrażenia popytu na tym etapie: Sekwencja stacjonarna 40. Sformułuj problem ustalenia wartości bieżącej obligacji kuponowej. Na czym polega problem Cauchy'ego dla równania różnicowego? Znajdź rozwiązanie równowagi problemu Cauchy'ego dotyczącego wyznaczania bieżącej wartości obligacji kuponowej. Sprawdź, czy znaleziona wartość odpowiada kwocie, jaką należy w danej chwili zapłacić, aby otrzymać kwotę kuponu w każdym okresie kuponowym przez nieskończenie długi czas przy danej stopie procentowej w jednym okresie kuponowym. Pozwalać F
– wartość nominalna obligacji kuponowej (tj. kwota pieniędzy zapłacona przez emitenta w momencie wykupu przypadającym na koniec ostatniego okresu kuponowego), K
– wartość kuponu (czyli kwota pieniędzy wypłacona na koniec każdego okresu kuponowego), X Te. P Liniowe układy różniczkowe równania. Nazywa się układ równań różniczkowych liniowy, jeśli jest liniowy względem nieznanych funkcji i ich pochodnych. system N-równania liniowe I rzędu zapisuje się w postaci: Współczynniki systemu są stałe. Wygodnie jest zapisać ten układ w postaci macierzowej: , gdzie jest wektorem kolumnowym nieznanych funkcji zależnych od jednego argumentu. Wektor kolumnowy pochodnych tych funkcji. Wektor kolumnowy wolnych terminów. Macierz współczynników. Twierdzenie 1: Jeśli wszystkie współczynniki macierzy A są ciągłe w pewnym przedziale, a następnie w pewnym sąsiedztwie każdego m. Rzeczywiście, w tym przypadku prawe strony układu są ciągłe pod względem zbioru argumentów, a ich pochodne cząstkowe względem (równego współczynnikom macierzy A) są ograniczone ze względu na ciągłość na przedziale domkniętym. Metody rozwiązywania SLD 1.
Układ równań różniczkowych można sprowadzić do jednego równania poprzez wyeliminowanie niewiadomych. Przykład: Rozwiąż układ równań: Rozwiązanie: wykluczać z z tych równań. Z pierwszego równania mamy . Podstawiając do drugiego równania, Ten układ równań (1)
zredukowane do jednego równania drugiego rzędu. Po znalezieniu z tego równania y, powinien się znaleźć z, stosując równość. 2.
Rozwiązując układ równań poprzez eliminację niewiadomych, zwykle otrzymuje się równanie wyższego rzędu, dlatego w wielu przypadkach wygodniej jest rozwiązać układ poprzez znalezienie zintegrowane kombinacje. Ciąg dalszy 27b Przykład: Rozwiąż system Rozwiązanie: Rozwiążmy ten układ metodą Eulera. Zapiszmy wyznacznik do znalezienia cechy równanie: , (ponieważ układ jest jednorodny, aby miał rozwiązanie nietrywialne, wyznacznik ten musi być równy zeru). Otrzymujemy równanie charakterystyczne i znajdujemy jego pierwiastki: Ogólne rozwiązanie to: Zapisujemy rozwiązanie dla: Zapisujemy rozwiązanie dla: Otrzymujemy rozwiązanie ogólne: Sprawdźmy: znajdźmy : i podstawmy do pierwszego równania tego układu, tj. . Otrzymujemy: Różnica liniowa równania n-tego rzędu. Twierdzenie o ogólnym rozwiązaniu niejednorodnego równania liniowego n-tego rzędu. Liniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu jest równaniem postaci: (1)
Jeśli to równanie ma współczynnik, to dzieląc przez niego, otrzymujemy równanie: (2)
. Zwykle równania typu (2).
Załóżmy, że w ur-i (2)
wszystkie szanse, jak również k(x) ciągły w pewnym przedziale (a, b). Następnie, zgodnie z TS&E, równanie (2)
ma unikalne rozwiązanie spełniające warunki początkowe: , , …, dla . Tutaj - dowolny punkt z przedziału (a, b), i wszystko - dowolne podane liczby. Równanie (2)
spełnia wymagania TC&E ,
dlatego nie ma specjalne rozwiązania. def.: specjalny punkty to te, w których =0. Właściwości równania liniowego: def: jeśli w równaniu (2)
umieścić f(x)=0, wówczas otrzymujemy równanie postaci: (3)
, który jest nazywany równanie jednorodne względem równania niejednorodnego (2).
Przedstawmy liniowy operator różniczkowy: (4).
Za pomocą tego operatora można w skrócie przepisać równanie (2)
I (3):
L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4)
ma następujące proste właściwości: Z tych dwóch właściwości można wywnioskować wniosek: . Funkcjonować y=y(x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (2),
Jeśli L(y(x))=f(x), Następnie k(x) zwane rozwiązaniem równania. Zatem rozwiązanie równania (3)
nazywaną funkcją y(x), Jeśli L(y(x))=0 w rozważanych przedziałach. Rozważać niejednorodne równanie liniowe: , L(y)=f(x). Załóżmy, że w jakiś sposób znaleźliśmy konkretne rozwiązanie. Wprowadźmy nową nieznaną funkcję z według wzoru: , gdzie jest rozwiązaniem szczególnym. Podstawiamy to do równania: , otwieramy nawiasy i otrzymujemy: . Otrzymane równanie można przepisać jako: Ponieważ jest szczególnym rozwiązaniem pierwotnego równania, to . W ten sposób otrzymaliśmy jednorodne równanie ze względu na z. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jednorodnego jest kombinacja liniowa: , gdzie funkcje - stanowią podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego. Zastępowanie z do wzoru zastępczego otrzymujemy: Zatem ogólne rozwiązanie linii niejednorodnej. równanie jest reprezentowane jako suma ogólnego rozwiązania jednorodnego równania liniowego i pewnego szczególnego rozwiązania niejednorodnego równania. (ciąg dalszy po drugiej stronie) 30. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczki. równania Twierdzenie: Jeśli prawa strona równania jest ciągła w prostokącie Dowód: Rozważmy całą przestrzeń metryczną Z, którego punkty są wszystkimi możliwymi funkcjami ciągłymi y(x) określonymi na przedziale Wymieńmy mechanizm różnicowy. równanie z podanymi warunkami początkowymi do równoważnego równania całkowego: Korzystając z nierówności Lipschitza możemy zapisać, że odległość . Wybierzmy teraz taki, dla którego zachodziłaby nierówność: . Powinieneś więc wybrać tak . W ten sposób to pokazaliśmy. Zgodnie z zasadą odwzorowań skróconych istnieje jeden punkt, czyli jedna funkcja - rozwiązanie równania różniczkowego spełniające zadane warunki początkowe. Rozważmy niejednorodny liniowy układ równań różniczkowych zwyczajnych n-tego rzędu Tutaj Poniższe informacje są prawdziwe ogólne twierdzenie o strukturze rozwiązania tego niejednorodnego liniowego układu ODE. Jeśli macierz A(x) i funkcja wektorowa B
(x) są ciągłe w [ A,
B], Odpuść sobie Φ
(x) jest podstawową macierzą rozwiązań jednorodnego układu liniowego, następnie ogólnym rozwiązaniem układu niejednorodnego Y”
= A(X) Y
+ B(x) ma postać: Gdzie C- dowolny stały wektor kolumnowy, x 0 - dowolny punkt stały z odcinka. Z powyższego wzoru łatwo jest otrzymać wzór na rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla liniowego niejednorodnego układu ODE - wzór Cauchy'ego. Rozwiązanie problemu Cauchy'ego, Y(x 0) = Y 0 jest funkcją wektorową Definicja układu niejednorodnych liniowych ODE. systemu ODU typ: zwany liniowy
heterogeniczny
. Pozwalać Układ (*) w postaci wektorowo-macierzowej: .- układ jest jednorodny, w przeciwnym razie jest niejednorodny. Sama metoda.
Niech będzie liniowy układ niejednorodny (dowolny wektor stały uzyskany w wyniku całkowania można uznać za równy 0). Tutaj punkty x 0 są dowolne. Widzimy zatem, że jeśli w (3) przyjmiemy jako C(t) Ogólne rozwiązanie liniowego układu niejednorodnego (1) można zapisać w postaci Normalny liniowy układ jednorodnyNporządek ze stałymi współczynnikami
-
Podstawowy system rozwiązań NLOS jest zbiorem dowolnych n liniowo niezależnych rozwiązań
Podstawowy układ rozwiązań układu normalnego jednorodnych liniowych ODE o stałych współczynnikach w przypadku, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są proste, ale występują pierwiastki złożone. Pytanie zostało usunięte.
Niech (tj. układ (2) będzie spójny), wówczas:
Niech będą rozwiązaniami układu jednorodnego (1) i niech będą dowolnymi stałymi. Następnie rozważane jest rozwiązanie dla rozważanego systemu.
Niech zatem:
1
| | | | | | | | | | |
Wyznacznik Wrońskiego. Jeśli wyznacznik wynosi 0, to układ ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy istnieje proporcja warunków początkowych. Wynika zatem z tego, że wybór warunków początkowych podlega prawu, zatem nie można przyjąć żadnych warunków początkowych, co stanowi naruszenie warunków problemu Cauchy'ego.
także rozwiązanie. Na podstawie tego twierdzenia możemy wnioskować o strukturze ogólnego rozwiązania równania jednorodnego: jeśli 1 i 2 mają rozwiązania równania różniczkowego takie, że ich stosunki nie są równe stałej, to kombinacja liniowa tych funkcji jest równaniem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego. Rozwiązanie trywialne (lub rozwiązanie zerowe) nie może służyć jako rozwiązanie tego równania.
jeśli zamiast funkcji umieścimy 0, nazywamy ją charakterystyką.
. Mamy
, 
.
istnieje rozwiązanie tego równania.,
.
Bezpłatna ocena komórek– (patrz potencjalna metoda)
Optymalny plan powinien określać minimalny całkowity koszt transportu, nie przekraczający wielkości produkcji każdego z dostawców i w pełni pokrywający potrzeby każdego z konsumentów.
^
Warunek optymalności planu odniesienia.
Nr 32. Sformułuj definicję równania różnicowego rzędu k i jego rozwiązanie ogólne. Podaj definicję liniowego równania różnicowego rzędu k o stałych współczynnikach. Formułować twierdzenia o ogólnym rozwiązaniu jednorodnych i niejednorodnych liniowych równań różnicowych (bez dowodu).
Nr 33. Opisać algorytm rozwiązywania jednorodnego liniowego równania różnicowego o stałych współczynnikach. Formułować definicje następujących pojęć: podstawowy zbiór rozwiązań liniowego równania różnicowego, równanie charakterystyczne, wyznacznik Casorattiego.
C1, C2 są dowolnymi stałymi.
№ 34. Biorąc pod uwagę liniowe równanie różnicowe ze stałymi współczynnikami X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
Nr 35. Biorąc pod uwagę liniowe równanie różnicowe ze stałymi współczynnikami x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. W jakiej formie należy szukać jego konkretnego rozwiązania?
Nr 36. Dane jest liniowe równanie różnicowe ze stałymi współczynnikami x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. W jakiej formie należy szukać jego konkretnego rozwiązania?
Nr 37. Biorąc pod uwagę liniowe równanie różnicowe ze stałymi współczynnikami x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . W jakiej formie należy szukać jego konkretnego rozwiązania?
#38: Opisz model Samuelsona-Hicksa. Jakie założenia ekonomiczne leżą u jego podstaw? W jakim przypadku rozwiązanie równania Hicksa jest ciągiem stacjonarnym?
zależy od wysokości dochodu narodowego na poprzednim etapie 
liniowo 
. Warunek równości podaży i popytu ma postać 
. Następnie dochodzimy do równania Hicksa
jest rozwiązaniem równania Hicksa tylko dla 
; czynnik 
nazywa się mnożnikiem Keynesa (jednowymiarowym odpowiednikiem macierzy kosztów całkowitych).
№ ^
39. Opisz model rynku pajęczego. Jakie założenia ekonomiczne leżą u jego podstaw? Znajdź stan równowagi modelu rynku internetowego.
- aktualna wartość obligacji na koniec n-tego okresu kuponowego, 
pokrywa się z kwotą, jaką należy w danej chwili zapłacić, aby otrzymać kwotę kuponu w każdym okresie kuponowym przez nieskończenie długi czas przy danej stopie procentowej za jeden okres kuponowy.
Warunki TS&E są spełnione. W rezultacie przez każdy taki punkt przechodzi pojedyncza krzywa całkowa.
(1)
po uproszczeniu otrzymujemy: 
.
;
- wektor własny.
;
- wektor własny.
;
.
- prawdziwa równość.
(*) dla funkcji y– nieznana funkcja pierwotnego równania. Wszystkie rozwiązania pierwotnego równania będą zawarte w (*).
i jest ograniczona, a także spełnia warunek Lipschitza: , N=const, wówczas istnieje jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunki początkowe i określone na odcinku 
, Gdzie ., których wykresy leżą wewnątrz prostokąta, a odległość wyznacza równość: 
. Przestrzeń ta jest często wykorzystywana w analizie matematycznej i nazywa się ją przestrzeń jednorodnej zbieżności, gdyż zbieżność metryki tej przestrzeni jest jednostajna.
i rozważ operatora A(y), równy prawej stronie tego równania: 
. Operator ten przypisuje każdej funkcji ciągłejTwierdzenie o rozwiązaniu ogólnym (o strukturze rozwiązania ogólnego) układu normalnego niejednorodnych odów liniowych.
A 
Metoda wariacji dowolnych stałych w celu znalezienia rozwiązań cząstkowych układu normalnego niejednorodnych odów liniowych.
, to jest liniowym układem jednorodnym odpowiadającym liniowemu niejednorodnemu. Niech będzie podstawową macierzą systemu decyzyjnego, 
, gdzie C jest dowolnym wektorem stałym, jest rozwiązaniem ogólnym układu. Poszukajmy rozwiązania układu (1) w postaci 
, gdzie C(x) jest nieznaną (jeszcze) funkcją wektorową. Chcemy, aby funkcja wektorowa (3) była rozwiązaniem układu (1). Wtedy tożsamość musi być prawdziwa:
, a następnie funkcja wektorowa 
będzie rozwiązaniem układu (1).
. Niech będzie konieczne znalezienie rozwiązania układu (1) spełniającego warunek początkowy 
. Podstawienie (4) danych początkowych (5) daje 
. Dlatego rozwiązanie problemu Cauchy'ego (1)-(5) można zapisać jako: 
. W szczególnym przypadku, gdy ostatnia formuła przyjmuje postać: 
.Podstawowy układ rozwiązań układu normalnego jednorodnych równań liniowych o stałych współczynnikach w przypadku prostych pierwiastków rzeczywistych równania charakterystycznego.
Lub 
,Współczynniki kombinacji liniowych poszukiwanych funkcji są stałe. Układ ten ma postać macierzową 
–postać macierzowa, gdzie A jest macierzą stałą. Metoda matrycowa: Z równanie charakterystyczne 
znajdziemy różne pierwiastki i dla każdego pierwiastka (biorąc pod uwagę jego wielokrotność) określimy odpowiednie konkretne rozwiązanie. Ogólne rozwiązanie to: 
. W tym przypadku 1) jeśli -
jest zatem prawdziwym pierwiastkiem wielokrotności 1 
, gdzie jest wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej, tj. 2)
–
pierwiastek krotności, wówczas poszukuje się rozwiązania systemowego odpowiadającego temu pierwiastkowi w postaci wektora 
(**), którego współczynniki 
wyznaczane są z układu równań liniowych otrzymanych przez zrównanie współczynników o tych samych potęgachx w wyniku podstawienia wektora (**) do układu pierwotnego.