Oblicz rzuty wektora na osie współrzędnych. Rzut siły na oś

Wprowadzenie……………………………………………………………………………3

1. Wartość wektora i skalara………………………………….4

2. Definicja rzutu, osi i współrzędnej punktu............5

3. Rzut wektora na oś………………………………………………………...6

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej……………………………..8

5. Obliczanie modułu wektora z jego rzutów…………………...9

Zakończenie……………………………………………………………………………...11

Literatura……………………………………………………………………………...12

Wstęp:

Fizyka jest nierozerwalnie związana z matematyką. Matematyka dostarcza fizyce środków i technik służących do ogólnego i precyzyjnego wyrażania zależności między wielkościami fizycznymi odkrywanymi w wyniku eksperymentów lub badań teoretycznych.Wszak główną metodą badań w fizyce jest eksperyment. Oznacza to, że naukowiec ujawnia obliczenia za pomocą pomiarów. Oznacza związek między różnymi wielkościami fizycznymi. Następnie wszystko zostaje przetłumaczone na język matematyki. Tworzy się model matematyczny. Fizyka jest nauką badającą najprostsze i jednocześnie najbardziej ogólne prawa. Zadaniem fizyki jest stworzenie w naszym umyśle obrazu świata fizycznego, który najpełniej odzwierciedla jego właściwości i zapewnia takie zależności pomiędzy elementami modelu, jakie istnieją pomiędzy elementami.

Fizyka tworzy więc model otaczającego nas świata i bada jego właściwości. Ale każdy model jest ograniczony. Tworząc modele konkretnego zjawiska, uwzględnia się jedynie właściwości i powiązania, które są istotne dla danego zakresu zjawisk. Na tym polega sztuka naukowca – wybrać to, co najważniejsze z całej różnorodności.

Modele fizyczne są matematyczne, ale matematyka nie jest ich podstawą. Ilościowe zależności pomiędzy wielkościami fizycznymi wyznaczane są w wyniku pomiarów, obserwacji i badań eksperymentalnych i wyrażane są wyłącznie w języku matematyki. Jednakże nie ma innego języka do konstruowania teorii fizycznych.

1. Znaczenie wektora i skalara.

W fizyce i matematyce wektor jest wielkością charakteryzującą się wartością liczbową i kierunkiem. W fizyce istnieje wiele ważnych wielkości będących wektorami, na przykład siła, położenie, prędkość, przyspieszenie, moment obrotowy, pęd, natężenie pola elektrycznego i magnetycznego. Można je skontrastować z innymi wielkościami, takimi jak masa, objętość, ciśnienie, temperatura i gęstość, które można opisać zwykłą liczbą i nazywane są „ skalary”.

Są one pisane zwykłą czcionką lub cyframi (a, b, t, G, 5, -7….). Wielkości skalarne mogą być dodatnie lub ujemne. Jednocześnie niektóre obiekty badań mogą posiadać takie właściwości, dla których pełnego opisu nie wystarczy znajomość jedynie miary numerycznej, konieczne jest także scharakteryzowanie tych właściwości za pomocą kierunku w przestrzeni. Właściwości takie charakteryzują się wielkościami wektorowymi (wektorami). Wektory w odróżnieniu od skalarów oznaczane są pogrubionymi literami: a, b, g, F, C....
Często wektor jest oznaczony literą napisaną zwykłą (nie pogrubioną) czcionką, ale ze strzałką nad nią:

Ponadto wektor jest często oznaczony parą liter (zwykle wielką literą), przy czym pierwsza litera wskazuje początek wektora, a druga jego koniec.

Moduł wektora, czyli długość skierowanego odcinka prostej, oznacza się tymi samymi literami, co sam wektor, ale pismem normalnym (nie pogrubionym) i bez strzałki nad nimi lub dokładnie w ten sam sposób jako wektor (czyli pogrubiony lub zwykły, ale ze strzałką), ale wtedy oznaczenie wektora jest ujęte w pionowe kreski.
Wektor to złożony obiekt, który charakteryzuje się jednocześnie wielkością i kierunkiem.

Nie ma również wektorów dodatnich i ujemnych. Ale wektory mogą być sobie równe. Dzieje się tak, gdy na przykład a i b mają te same moduły i są skierowane w tym samym kierunku. W tym przypadku zapis jest prawdziwy A= b. Należy również pamiętać, że symbol wektora może być poprzedzony znakiem minus, na przykład - c, jednak znak ten symbolicznie wskazuje, że wektor -c ma ten sam moduł co wektor c, ale jest skierowany w przeciwną stronę kierunek.

Wektor -c nazywany jest przeciwieństwem (lub odwrotnością) wektora c.
W fizyce każdy wektor jest wypełniony określoną treścią, a przy porównywaniu wektorów tego samego typu (na przykład sił) istotne mogą być również punkty ich zastosowania.

2. Wyznaczanie rzutu, osi i współrzędnych punktu.

Oś- To jest linia prosta, która ma określony kierunek.
Oś oznaczona jest jakąś literą: X, Y, Z, s, t... Zwykle wybierany jest (dowolny) punkt na osi, który nazywa się początkiem i z reguły jest oznaczony literą O. Od tego miejsca mierzone są odległości do innych interesujących nas miejsc.

Rzut punktu na osi jest podstawa prostopadłej poprowadzonej z tego punktu na daną oś. Oznacza to, że rzut punktu na oś jest punktem.

Współrzędna punktu na danej osi to liczba, której wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy początkiem osi a rzutem punktu na tę oś. Liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli rzut punktu znajduje się w kierunku osi od jego początku, i ze znakiem minus, jeśli w kierunku przeciwnym.

3. Rzut wektora na oś.

Rzut wektora na oś to wektor, który uzyskuje się poprzez pomnożenie rzutu skalarnego wektora na tę oś przez wektor jednostkowy tej osi. Na przykład, jeśli a x jest rzutem skalarnym wektora a na oś X, to a x·i jest jego rzutem wektorowym na tę oś.

Oznaczmy rzut wektora w taki sam sposób, jak sam wektor, ale z indeksem osi, na którą wektor jest rzutowany. Zatem rzut wektorowy wektora a na oś X oznaczamy jako a x (pogrubiona litera oznaczająca wektor i indeks dolny nazwy osi) lub

(niska pogrubiona litera oznaczająca wektor, ale ze strzałką u góry (!) i indeksem dolnym nazwy osi).

Projekcja skalarna wektor na oś nazywa się numer, którego wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy rzutami punktu początkowego i punktu końcowego wektora. Zwykle zamiast wyrażenia projekcja skalarna po prostu mówią - występ. Rzut jest oznaczony tą samą literą, co wektor rzutowany (normalnym, niepogrubionym pismem), z niższym indeksem (zwykle) nazwy osi, na którą rzutowany jest ten wektor. Na przykład, jeśli wektor jest rzutowany na oś X A, wówczas jego rzut jest oznaczony przez x. Podczas rzutowania tego samego wektora na inną oś, jeśli osią jest Y, jego rzut zostanie oznaczony jako y.

Aby obliczyć projekcję wektor na osi (na przykład osi X) należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jego punktu końcowego, czyli

za x = x k - x n.

Rzut wektora na oś jest liczbą. Co więcej, rzut może być dodatni, jeżeli wartość x k jest większa od wartości x n,

ujemna, jeśli wartość x k jest mniejsza niż wartość x n

i równe zeru, jeśli x k równa się x n.

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku jasno wynika, że ​​a x = a Cos α

Oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między kierunkiem osi i kierunek wektora. Jeśli kąt jest ostry, to
Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli jest rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Kąty mierzone od osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uważa się za dodatnie, a kąty mierzone wzdłuż osi za ujemne. Ponieważ jednak cosinus jest funkcją parzystą, to znaczy Cos α = Cos (− α), przy obliczaniu rzutów kąty można liczyć zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora należy pomnożyć przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej.

Rzutujmy wektor a na osie X i Y prostokątnego układu współrzędnych. Znajdźmy rzuty wektora a na te osie:

a x = a x ·i i y = a y ·j.

Ale zgodnie z zasadą dodawania wektorów

a = a x + a y.

a = za x ja + za y j.

W ten sposób wyraziliśmy wektor w kategoriach jego rzutów i wektorów prostokątnego układu współrzędnych (lub w kategoriach jego rzutów wektorowych).

Rzuty wektorów a x i y nazywane są składnikami lub składnikami wektora a. Operacja, którą wykonaliśmy, nazywa się rozkładem wektora wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych.

Jeżeli wektor jest dany w przestrzeni, to

a = za x ja + za y jot + za z k.

Wzór ten nazywany jest podstawowym wzorem algebry wektorowej. Oczywiście, że można to zapisać w ten sposób.

PODSTAWOWE POJĘCIA ALGEBRA WEKTORÓW

Wielkości skalarne i wektorowe

Z przebiegu fizyki elementarnej wiadomo, że niektóre wielkości fizyczne, takie jak temperatura, objętość, masa ciała, gęstość itp., są określone wyłącznie wartością liczbową. Takie ilości nazywane są wielkości skalarne lub skalary.

Aby wyznaczyć inne wielkości, takie jak siła, prędkość, przyspieszenie i tym podobne, oprócz wartości liczbowych konieczne jest również określenie ich kierunku w przestrzeni. Nazywa się wielkości, które oprócz wartości bezwzględnej charakteryzują się także kierunkiem wektor.

Definicja Wektor to skierowany odcinek, który jest zdefiniowany przez dwa punkty: pierwszy punkt określa początek wektora, a drugi określa jego koniec. Dlatego też mówią, że wektor to uporządkowana para punktów.

Na rysunku wektor jest reprezentowany przez odcinek prosty, na którym strzałka wskazuje kierunek od początku wektora do jego końca. Na przykład rys. 2.1.

Jeśli początek wektora pokrywa się z punktem , a na końcu kropką , następnie oznacza się wektor
. Ponadto wektory są często oznaczone jedną małą literą ze strzałką nad nią . W książkach czasami pomija się strzałkę, wówczas do oznaczenia wektora stosuje się pogrubioną czcionkę.

Wektory obejmują wektor zerowy, którego początek i koniec pokrywają się. Jest wyznaczony lub po prostu .

Odległość między początkiem i końcem wektora nazywa się jego długość lub moduł. Moduł wektorowy jest oznaczony dwoma pionowymi paskami po lewej stronie:
lub bez strzałek
Lub .

Nazywa się wektory równoległe do jednej linii współliniowy.

Nazywa się wektory leżące w tej samej płaszczyźnie lub równoległe do tej samej płaszczyzny współpłaszczyznowy.

Uważa się, że wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem. Jego długość wynosi 0.

Definicja Dwa wektory
I
nazywane są równymi (ryc. 2.2), jeśli:
1)współliniowy; 2) współkierunkowe 3) równej długości.

Jest napisane tak:
(2.1)

Z definicji równości wektorów wynika, że ​​przy równoległym przenoszeniu wektora otrzymujemy wektor równy początkowemu, zatem początek wektora można umieścić w dowolnym punkcie przestrzeni. Takie wektory (w mechanice teoretycznej, geometrii), których początek można zlokalizować w dowolnym punkcie przestrzeni, nazywane są bezpłatny. I właśnie te wektory rozważymy.

Definicja System wektorowy
nazywa się liniowo zależnym, jeśli istnieją takie stałe
, wśród których jest co najmniej jeden różny od zera i dla którego zachodzi równość.

Definicja Baza w przestrzeni nazywana jest dowolnymi trzema niewspółpłaszczyznowymi wektorami, które są wybierane w określonej kolejności.

Definicja Jeśli
- podstawa i wektor, następnie liczby
nazywane są współrzędnymi wektorowymi na tej podstawie.

Współrzędne wektora zapiszemy w nawiasach klamrowych po oznaczeniu wektora. Na przykład,
oznacza, że ​​wektor w jakiejś wybranej bazie ma rozwinięcie:
.

Z właściwości mnożenia wektora przez liczbę i dodawania wektorów wynika stwierdzenie dotyczące liniowych działań na wektorach określonych przez współrzędne.

Aby znaleźć współrzędne wektora, jeśli znane są współrzędne jego początku i końca, należy odjąć współrzędną początku od odpowiedniej współrzędnej jego końca.

Operacje liniowe na wektorach

Operacje liniowe na wektorach to operacje dodawania (odejmowania) wektorów i mnożenia wektora przez liczbę. Przyjrzyjmy się im.

Definicja Iloczyn wektora na numer
nazywa się wektor zgodny z kierunkiem wektora , Jeśli
, mając przeciwny kierunek, jeśli
negatywny. Długość tego wektora jest równa iloczynowi długości wektora na moduł liczby
.

P przykład . Zbuduj wektor
, Jeśli
I
(ryc. 2.3).

Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę.

Rzeczywiście, jeśli , to

Iloczyn wektora NA
zwany wektorem
;
– skierowany przeciwnie .

Zauważ, że nazywa się wektor, którego długość wynosi 1 pojedynczy(lub orto).

Korzystając z operacji mnożenia wektora przez liczbę, dowolny wektor można wyrazić poprzez wektor jednostkowy o tym samym kierunku. Rzeczywiście, dzieląc wektor do jego długości (tj. mnożenie NA ), otrzymujemy wektor jednostkowy w tym samym kierunku co wektor . Będziemy to oznaczać
. Wynika, że
.

Definicja Suma dwóch wektorów I zwany wektorem , co wynika z ich wspólnego pochodzenia i jest przekątną równoległoboku, którego boki są wektorami I (ryc. 2.4).

.

Z definicji równych wektorów
Dlatego
-reguła trójkąta. Regułę trójkąta można rozszerzyć na dowolną liczbę wektorów i w ten sposób otrzymać regułę wielokąta:
jest wektorem łączącym początek pierwszego wektora z końcem ostatniego wektora (ryc. 2.5).

Aby więc skonstruować wektor sumaryczny, należy dołączyć początek drugiego do końca pierwszego wektora, początek trzeciego do końca drugiego i tak dalej. Wtedy wektorem sumy będzie wektor łączący początek pierwszego z wektorów z końcem ostatniego.

Podczas dodawania wektorów dodawane są również odpowiadające im współrzędne

Rzeczywiście, jeśli
,

Jeśli wektory
I nie są współpłaszczyznowe, to ich suma jest przekątną
równoległościan zbudowany na tych wektorach (ryc. 2.6)

,

Gdzie

Nieruchomości:

- przemienność;

- skojarzenie;

- rozdzielność w odniesieniu do mnożenia przez liczbę

.

Te. sumę wektorową można przekształcić według tych samych zasad, co sumę algebraiczną.

DefinicjaRóżnica dwóch wektorów I taki wektor nazywa się , które po dodaniu do wektora daje wektor . Te.
Jeśli
. Geometrycznie reprezentuje drugą przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach I ze wspólnym początkiem i skierowane od końca wektora do końca wektora (ryc. 2.7).

Rzut wektora na oś. Właściwości rzutów

Przypomnijmy sobie koncepcję osi liczbowej. Oś liczbowa to linia, na której jest zdefiniowana:

kierunek (→);

początek (punkt O);

segment traktowany jako jednostka skali.

Niech będzie wektor
i oś . Z punktów I obniżyć prostopadłe do osi . Zdobądźmy punkty I - rzuty punktów I (Rys. 2.8 a).

Definicja Projekcja wektorowa
na oś nazywana długością odcinka
ta oś, która znajduje się pomiędzy podstawami rzutów początku i końca wektora
na oś . Przyjmuje się go ze znakiem plus, jeśli kierunek odcinka
pokrywa się z kierunkiem osi projekcji oraz ze znakiem minus, jeśli te kierunki są przeciwne. Przeznaczenie:
.

O determinacja Kąt między wektorem
i oś zwany kątem , do którego należy skręcić oś w możliwie najkrótszy sposób tak aby pokrywał się z kierunkiem wektora
.

Znajdziemy
:

Rysunek 2.8a pokazuje:
.

Na ryc. 2.8b): .

Rzut wektora na oś jest równy iloczynowi długości tego wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią rzutów:
.

Właściwości rzutów:

Jeśli
, wówczas wektory nazywane są ortogonalnymi

Przykład . Podano wektory
,
.Następnie

.

Przykład. Jeśli początek wektora
jest w punkcie
, a koniec jest w punkcie
, następnie wektor
ma współrzędne:

O determinacja Kąt między dwoma wektorami I zwany najmniejszym kątem
(ryc. 2.13) pomiędzy tymi wektorami, zredukowanymi do wspólnego początku .

Kąt między wektorami I symbolicznie zapisane w ten sposób: .

Z definicji wynika, że ​​kąt między wektorami mogą się różnić w obrębie
.

Jeśli
, wówczas wektory nazywane są ortogonalnymi.

.

Definicja. Cosinusy kątów wektora z osiami współrzędnych nazywane są cosinusami kierunku wektora. Jeśli wektor
tworzy kąty z osiami współrzędnych

.

Rozwiązywanie problemów dotyczących równowagi zbieżnych sił poprzez konstruowanie wielokątów sił zamkniętych wymaga uciążliwych konstrukcji. Uniwersalną metodą rozwiązania tego typu problemów jest przejście do wyznaczania rzutów danych sił na osie współrzędnych i operowanie tymi rzutami. Oś to linia prosta, której przypisano określony kierunek.

Rzut wektora na oś jest wielkością skalarną, którą wyznacza odcinek osi odcięty przez prostopadłe narzucone na nią z początku i końca wektora.

Rzut wektorowy uważa się za dodatni, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi. Rzut wektorowy uważa się za ujemny, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca jest przeciwny do dodatniego kierunku osi.

Zatem rzut siły na oś współrzędnych jest równy iloczynowi modułu siły i cosinusa kąta między wektorem siły a dodatnim kierunkiem osi.

Rozważmy kilka przypadków rzutowania sił na oś:

Wektor siły F(Rys. 15) tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x.

Aby znaleźć rzut, od początku i końca wektora siły obniżamy prostopadłe do osi Oh; dostajemy

1. Fx = F ponieważ α

Rzut wektora w tym przypadku jest dodatni

Siła F(Rys. 16) jest z dodatnim kierunkiem osi X kąt rozwarty α.

Następnie F x = F cos α, ale ponieważ α = 180 0 - φ,

F x = F sałata α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Projekcja siły F na oś Oh w tym przypadku jest negatywny.

Siła F(Rys. 17) prostopadle do osi Oh.

Rzut siły F na oś X równy zeru

F x = F cos 90° = 0.

Siła zlokalizowana na płaszczyźnie jak(Rys. 18), można rzutować na dwie osie współrzędnych Oh I Jednostka organizacyjna.

Wytrzymałość F można podzielić na elementy: F x i F y. Moduł wektorowy F x jest równe rzutowi wektora F na oś wół i moduł wektorowy F y jest równe rzutowi wektora F na oś Oh.

Od Δ OAV: F x = F cos α, F x = F grzech α.

Od Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F grzech φ.

Wielkość siły można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Rzut sumy wektorów lub wypadkowej na dowolną oś jest równy sumie algebraicznej rzutów sum wektorów na tę samą oś.

Rozważ zbieżne siły F 1 , F 2 , F 3 i F 4, (ryc. 19, a). Suma geometryczna lub wypadkowa tych sił F określona przez zamykającą stronę wielokąta sił

Spuśćmy się z wierzchołków wielokąta sił na oś X prostopadłe.

Uwzględniając otrzymane rzuty sił bezpośrednio z ukończonej konstrukcji, mamy

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

gdzie n jest liczbą terminów wektorowych. Ich rzuty wchodzą do powyższego równania z odpowiednim znakiem.

Na płaszczyźnie geometryczną sumę sił można rzutować na dwie osie współrzędnych, a w przestrzeni odpowiednio na trzy.

Oś jest kierunkiem. Oznacza to, że rzut na oś lub na linię skierowaną jest uważany za taki sam. Rzutowanie może być algebraiczne lub geometryczne. W ujęciu geometrycznym rzut wektora na oś rozumiany jest jako wektor, a w ujęciu algebraicznym jako liczba. Oznacza to, że stosuje się koncepcje rzutowania wektora na oś i numerycznego rzutowania wektora na oś.

Jeśli mamy oś L i niezerowy wektor A B →, to możemy skonstruować wektor A 1 B 1 ⇀, oznaczający rzuty jego punktów A 1 i B 1.

A 1 B → 1 będzie rzutem wektora A B → na L.

Definicja 1

Rzut wektora na oś jest wektorem, którego początek i koniec są rzutami początku i końca danego wektora. n p L A B → → zwyczajowo oznacza się rzut A B → na L. Aby skonstruować rzut na L, prostopadłe są upuszczane na L.

Przykład 1

Przykład rzutu wektorowego na oś.

Na płaszczyźnie współrzędnych O x y określony jest punkt M 1 (x 1, y 1). Aby zobrazować wektor promienia punktu M 1, należy skonstruować rzuty na O x i O y. Otrzymujemy współrzędne wektorów (x 1, 0) i (0, y 1).

Jeśli mówimy o rzucie a → na niezerowy b → lub rzucie a → na kierunek b → , to mamy na myśli rzut a → na oś, z którą kierunek b → pokrywa się. Rzut a → na linię określoną przez b → oznaczono n p b → a → → . Wiadomo, że gdy kąt pomiędzy a → i b → , n p b → a → → i b → można uznać za współkierunkowy. W przypadku, gdy kąt jest rozwarty, n p b → a → → i b → są w przeciwnych kierunkach. W sytuacji prostopadłości a → i b → oraz a → wynosi zero, rzut a → w kierunku b → jest wektorem zerowym.

Numeryczną charakterystyką rzutowania wektora na oś jest numeryczny rzut wektora na daną oś.

Definicja 2

Numeryczne odwzorowanie wektora na oś to liczba równa iloczynowi długości danego wektora i cosinusa kąta między danym wektorem a wektorem wyznaczającym kierunek osi.

Rzut numeryczny A B → na L oznaczamy n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na podstawie wzoru otrzymujemy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , skąd a → jest długością wektora a → , a ⇀ , b → ^ jest kątem pomiędzy wektorami a → i b → .

Otrzymujemy wzór na obliczenie rzutu numerycznego: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ma to zastosowanie dla znanych długości a → i b → oraz kąta między nimi. Wzór ma zastosowanie dla znanych współrzędnych a → i b →, ale istnieje uproszczona forma.

Przykład 2

Znajdź rzut numeryczny a → na linię prostą w kierunku b → o długości a → równej 8 i kącie między nimi 60 stopni. Według warunku mamy a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Oznacza to, że podstawiamy wartości liczbowe do wzoru n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Odpowiedź: 4.

Przy znanym cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mamy a → , b → jako iloczyn skalarny a → i b → . Korzystając ze wzoru n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , możemy znaleźć rzut liczbowy a → skierowany wzdłuż wektora b → i otrzymać n p b → a → = a → , b → b → . Wzór jest równoważny definicji podanej na początku akapitu.

Definicja 3

Rzut numeryczny wektora a → na oś pokrywającą się w kierunku z b → jest stosunkiem iloczynu skalarnego wektorów a → i b → do długości b → . Wzór n p b → a → = a → , b → b → można zastosować do znalezienia rzutu numerycznego a → na linię zbieżną w kierunku z b → , o znanych współrzędnych a → i b →.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę b → = (- 3 , 4) . Znajdź projekcję numeryczną a → = (1, 7) na L.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie współrzędnych n p b → a → = a → , b → b → ma postać n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , gdzie a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Aby znaleźć rzut numeryczny wektora a → na oś L, potrzebujemy: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Odpowiedź: 5.

Przykład 4

Znajdź rzut a → na L, pokrywający się z kierunkiem b →, gdzie znajduje się a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Określona jest przestrzeń trójwymiarowa.

Rozwiązanie

Mając dane a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , obliczamy iloczyn skalarny: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Długość b → oblicza się ze wzoru b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Wynika z tego, że wzór na określenie rzutu numerycznego a → będzie następujący: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zastąp wartości liczbowe: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpowiedź: - 6 7.

Przyjrzyjmy się powiązaniu pomiędzy a → na L i długością rzutu a → na L. Narysujmy oś L, dodając a → i b → z punktu na L, po czym rysujemy linię prostopadłą od końca a → do L i rysujemy rzut na L. Istnieje 5 odmian obrazu:

Pierwszy przypadek z a → = n p b → a → → oznacza a → = n p b → a → → , stąd n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → za → → .

Drugi przypadek implikuje użycie n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , co oznacza n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trzeci przypadek wyjaśnia, że ​​gdy n p b → a → → = 0 → otrzymujemy n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , wtedy n p b → a → → = 0 i n p b → za → = 0 = n p b → za → → .

Czwarty przypadek pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , następuje n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piąty przypadek pokazuje a → = n p b → a → → , co oznacza a → = n p b → a → → , stąd mamy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - za → = - n p b → za → .

Definicja 4

Rzut numeryczny wektora a → na oś L, która jest skierowana tak samo jak b →, ma następującą wartość:

• długość rzutu wektora a → na L, pod warunkiem, że kąt pomiędzy a → i b → jest mniejszy niż 90 stopni lub równy 0: n p b → a → = n p b → a → → z warunkiem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero pod warunkiem, że a → i b → są prostopadłe: n p b → a → = 0, gdy (a → , b → ^) = 90 °;
• długość rzutu a → na L, pomnożona przez -1, gdy wektory a → i b → mają kąt rozwarty lub prosty: n p b → a → = - n p b → a → → z warunkiem 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Przykład 5

Biorąc pod uwagę długość rzutu a → na L, równą 2. Znajdź rzut liczbowy a → pod warunkiem, że kąt wynosi 5 π 6 radianów.

Rozwiązanie

Z warunku jasno wynika, że ​​kąt ten jest rozwarty: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odpowiedź: - 2.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaszczyznę O x y z o długości wektora a → równej 6 3, b → (- 2, 1, 2) o kącie 30 stopni. Znajdź współrzędne rzutu a → na oś L.

Rozwiązanie

Najpierw obliczamy odwzorowanie numeryczne wektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pod warunkiem, że kąt jest ostry, wówczas rzut numeryczny a → = długość rzutu wektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ten przypadek pokazuje, że wektory n p L a → → i b → są współkierunkowe, co oznacza, że ​​istnieje liczba t, dla której zachodzi równość: n p L a → → = t · b → . Widzimy stąd, że n p L a → → = t · b → , co oznacza, że ​​możemy znaleźć wartość parametru t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Następnie n p L a → → = 3 · b → ze współrzędnymi rzutu wektora a → na oś L równymi b → = (- 2 , 1 , 2) , gdzie należy pomnożyć wartości przez 3. Mamy n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odpowiedź: (- 6, 3, 6).

Należy powtórzyć poznane wcześniej informacje o warunku kolinearności wektorów.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

§ 3. Rzuty wektora na osie współrzędnych

1. Znajdowanie rzutów geometrycznych.

Wektor
- rzut wektora na oś WÓŁ
- rzut wektora na oś OJ

Definicja 1. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczba prowadzona ze znakiem plus lub minus, odpowiadająca długości odcinka znajdującego się pomiędzy podstawami prostopadłych opuszczonych z początku i końca wektora na oś współrzędnych.

Znak projekcji definiuje się w następujący sposób. Jeżeli podczas poruszania się wzdłuż osi współrzędnych nastąpi ruch od punktu rzutu początku wektora do punktu rzutu końca wektora w dodatnim kierunku osi, wówczas rzut wektora uważa się za dodatni . Jeśli jest przeciwny do osi, wówczas rzut uważa się za ujemny.

Z rysunku wynika, że ​​jeśli wektor jest zorientowany w jakiś sposób przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest ujemny. Jeśli wektor jest zorientowany w jakiś sposób w dodatnim kierunku osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest dodatni.

Jeżeli wektor jest prostopadły do ​​osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś wynosi zero.
Jeżeli wektor jest współkierunkowy z osią, to jego rzut na tę oś jest równy wartości bezwzględnej wektora.
Jeżeli wektor jest skierowany przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest w wartości bezwzględnej równy wartości bezwzględnej wektora wziętego ze znakiem minus.

2. Najbardziej ogólna definicja projekcji.

Z trójkąta prostokątnego ABD: .

Definicja 2. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczbą równą iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi współrzędnych.

Znak rzutu wyznacza znak cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi.
Jeśli kąt jest ostry, wówczas cosinus ma znak dodatni, a rzuty są dodatnie. Dla kątów rozwartych cosinus ma znak ujemny, więc w takich przypadkach rzuty na oś są ujemne.
- dlatego dla wektorów prostopadłych do osi rzut wynosi zero.