Преобразование декартовых прямоугольных систем координат. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости

Тема 5. Линейные преобразования.

Системой координат называют способ, позволяющий с помощью чисел однозначно установить положение точки относительно некоторой геометрической фигуры. Примерами могут служить система координат на прямой – координатная ось и прямоугольные декартовы системы координат соответственно на плоскости и в пространстве.

Выполним переход от одной системы координат xy на плоскости к другой системе , т.е. выясним, как связаны между собой декартовы координаты одной и той же точки в этих двух системах.

Рассмотрим сначала параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат xy, т. е. случай, когда оси и новой системы параллельны соответствующим осям x и y старой системы и имеют с ними одинаковые направления.

Если известны координаты точек M (x; y) и (a; b) в системе xy, то (рис.15) в системе точка М имеет координаты: .

Пусть отрезок ОМ длины ρ образует угол с осью и . Тогда (рис.16) с осью х отрезок ОМ образует угол и координаты точки M в системе хy равны , .

Учитывая, что в системе координаты точки М равны и , получаем

При повороте же на угол «по часовой стрелке» соответственно получим:

Задача 0.54 . Определить координаты точки М(-3; 7) в новой системе координат x / y / , начало 0 / которой находится в точке (3; -4), а оси параллельны осям старой системы координат и одинаково с ними направлены.

Решение . Подставим известные координаты точек М и О / в формулы: x / = x-a, y / = y-b.
Получим: x / = -3-3=-6, y / = 7-(-4)=11. Ответ : М / (-6; 11).

§2. Понятие линейного преобразования, его матрица.

Если каждому элементу х множества Х по некоторому правилу f соответствует один и только один элемент y множества Y, то говорят, что задано отображение f множества Х в множество Y, а множество Х называют областью определения отображения f. Если, в частности, элементу х 0 Î Х соответствует элемент у 0 Î Y, то пишут у 0 = f (х 0). В этом случае элемент у 0 называют образом элемента х 0 , а элемент х 0 - прообразом элемента у 0 . Подмножество Y 0 множества Y, состоящее из всех образов, называют множеством значений отображения f.

Если при отображении f различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества Y, то отображение f называют обратимым .

Если У 0 =У, то отображение f называют отображением множества Х на множествоY.

Обратимое отображение множества Х на множество Y называют взаимно однозначным .

Частными случаями понятия отображения множества в множество являются понятие числовой функции и понятие геометрического отображения .

Если отображение f каждому элементу множества Х сопоставляет единственный элемент этого же множества Х, то такое отображение называют преобразованием множества Х.

Пусть задано множество n-мерных векторов линейного пространства L n .

Преобразование f n-мерного линейного пространства L n называют линейным преобразованием, если

для любых векторов из L n и любых действительных чисел α и β. Иначе говоря, преобразование называется линейным, если линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.

Если в некотором базисе задан вектор и преобразование f линейное, то по определению , где -образы базисных векторов.

Следовательно, линейное преобразование вполне определено , если заданы образы базисных векторов рассматриваемого линейного пространства:

(12)

Матрицу в которой k-тый столбец является координатным столбцом вектора в базисе , называют матрицей линейногопреобразования f в этом базисе.

Определитель det L называют определителем преобразования f и Rg L называют рангом линейного преобразования f.

Если матрица линейного преобразования невырожденная, то и само преобразование невырожденное. Оно преобразует взаимно однозначно пространство L n в себя самого, т.е. каждый вектор из L n является образом его некоторого единственного вектора.

Если матрица линейного преобразования вырожденная, то и само преобразование вырожденное. Оно преобразует линейное пространство L n в некоторую его часть.

Теорема. В результате применения линейного преобразования f с матрицей L к вектору получается вектор такой, что .

Числа, записанные в скобках, являются координатами вектора по базису :

(13)

По определению операции умножения матриц систему (13) можно заменить матричным

равенством , что и требовалось доказать.

Примеры линейных преобразований.

1. Растяжение вдоль оси х в к 1 раз, а вдоль оси у в к 2 раз на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: х / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Зеркальное отражение относительно оси у на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: x / = -x, y / = y.

Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Данную тему мы предлагаем Вам рассмотреть в двух вариантах.

1) По учебнику И.И.Привалов "Аналитическая геометрия" (учебник для высших технических учебных заведений 1966 г.)

И.И.Привалов "Аналитическая геометрия"

§ 1. Задача преобразования координат.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.

Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе .

Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.

Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO 1 Y (рис. 68).

Положение новой системы XO 1 Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O 1 по старой системе и угол α между осями Ох и О 1 Х . Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y-координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α .

Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.

1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α = 0).

2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).

§ 2. Перенос начала координат.

Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами O и O 1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).

Обозначим через а и b координаты нового начала О 1 в старой системе и через х, у и X , Y -координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М на оси О 1 Х и Ох , а также точку О 1 на ось Ох , получим на оси Ох три точки О, А и Р . Величины отрезков ОА , АР и ОР связаны следующим соотношением:

| ОА | + | АР | = | ОР |. (1)

Заметив, что | ОА | = а , | ОР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х , перепишем равенство (1) в виде:

а + X = x или x = X + а . (2)

Аналогично, проектируя М и О 1 на ось ординат, получим:

y = Y + b (3)

Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе.

Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через старые:

Х = х - а , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Поворот осей координат.

Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).

Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ . Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:

х = | ОР | , у = | РM | ,

X = | ОР 1 |, Y = | Р 1 M |.

Рассмотрим ломаную линию ОР 1 MP и возьмем ее проекцию на ось Ох . Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8) имеем:

ОР 1 MP = | ОР |. (4)

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:

пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = | ОР | (4")

Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то

пр ОР 1 = X cos α

пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,

пp MP = 0.

Отсюда равенство (4") нам дает:

x = X cos α - Y sin α . (5)

Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу , получим выражение для у . В самом деле, имеем:

пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = пp ОР = 0.

Заметив, что

пр ОР 1 = X cos (α - 90°) = X sin α ,

пр Р 1 M = Y cos α ,

пp MP = - y ,

будем иметь:

X sin α + Y cos α - y = 0,

y = X sin α + Y cos α . (6)

Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y .

Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе.

Из рис. 71 имеем:

х = ОР = ОМ cos (α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,

у = РМ = ОМ sin (α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .

Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X , ОМ sin φ =Y , то

x = X cos α - Y sin α , (5)

y = X sin α + Y cos α . (6)

§ 4. Общий случай.

Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).

Обозначим через а и b координаты нового начала О , по старой системе, через α -угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, Y - координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.

Чтобы выразить х и у через X и Y , введем вспомогательную систему координат x 1 O 1 y 1 , начало которой поместим в новом начале О 1 , а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть x 1 и y 1 , обозначают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):

х = х 1 + а , у = у 1 + b .

х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .

Заменяя х 1 и y 1 в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:

x = X cos α - Y sin α + a

y = X sin α + Y cos α + b (I)

Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при α = 0 формулы (I) обращаются в

x = X + а , y = Y + b ,

а при а = b = 0 имеем:

x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .

Из формул (I) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если уравнения (I) разрешим относительно X и Y .

Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и Y , т. е. вида:

x = AX + BY + C , y = A 1 X + B 1 Y + C 1 .

Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у.

Г.Н.Яковлев "Геометрия"

§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.

Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О", i", j" (рис. 41).

Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую - с началом в точке О" и базисными векторами i" и j" - новой.

Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О" в старой системе имеет координаты (a;b ), a вектор i" образует с вектором i угол α . Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у ), в новой - через (х";у" ). Наша задача - установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.

Соединим попарно точки О и О", О" и М, О и М. По правилу треугольника получаем

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Разложим векторы OM > и OO" > по базисным векторам i и j , а вектор O"M > по базисным векторам i" и j" :

OM > = xi + yj , OO" > = ai + bj , O"M > = x"i "+ y"j "

Теперь равенство (1) можно записать так:

xi + yj = (ai + bj ) + (x"i "+ y"j "). (2)

Новые базисные векторы i" и j" раскладываются по старым базисным векторам i и j следующим образом:

i" = cos α i + sin α j ,

j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .

Подставив найденные выражения для i" и j" в формулу (2), получим векторное равенство

xi + yj = ai + bj + х" (cos α i + sin α j ) + у" (- sin α i + cos α j )

равносильное двум числовым равенствам:

х = а + х" cos α - у" sin α , у = b + х" sin α + у" cos α

Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х" и у" . Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х" и у" .

Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b ) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).

Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем

Формулы (5) называют формулами поворота .

Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; -1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.

По формулам (4) имеем

Ответ. A (2; -4)

Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (-2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.

А По формулам (4) получаем

- 2 = а + 5 1 = b + 3

откуда а = - 7, b = - 2.

Ответ. (-7; -2).

Задача 3. Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.

По формулам (5) находим

Задача 4. Координаты точки A в старой системе (2 √3 ; - √3 ). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (-1;-2), а оси повернуты на угол α = 30°.

По формулам (3) имеем

Решив эту систему уравнений относительно х" и у" , найдем: х" = 4, у" = -2.

Ответ. A (4; -2).

Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2х - 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.

Формулы поворота в данном случае имеют вид

Заменив в уравнении прямой у = 2х - 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение

√ 2 / 2 (x" + y" ) = 2 √ 2 / 2 (x" - y" ) - 6 ,

которое после упрощений принимает вид y" = x" / 3 - 2√2

Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат. Первая определяется началом О и базисными векторамиi j , вторая – центром О’ и базисными векторами i ’ j ’ .

Поставим цель выразить координаты x y некоторой точки М относительно первой системы координат через x ’ и y ’ – координаты той же точки относительно второй системы.

Заметим, что

Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:

Разложим векторы i ’ и j ’ по базису i j :

(*)

Кроме того, имеем:
. Введем сюда разложения векторов по базисуi ’ j ’ :

отсюда

Можно сделать вывод: каковы бы ни были две произвольных декартовы системы на плоскости, координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.

Умножим скалярно уравнения (*) сначала на i , затем на j :

Обозначим через угол между векторами i и i ’ . Система координат i j может быть совмещена с системой i ’ j ’ путем параллельного переноса и последующего поворота на угол . Но здесь возможен и дугой вариант: угол между базисными векторами i i ’ также , а угол между базисными векторами j ’ j ’ равен  - . Эти системы нельзя совместить параллельным переносом и поворотом. Необходимо еще и изменить направление оси у на противоположное.

Из формулы (**) получаем в первом случае:

Во втором случае

Формулы преобразования имеют вид:

Второй случай мы рассматривать не будем. Условимся считать обе системы правыми.

Т.е. вывод: каковы бы ни были две правые системы координат, первая из них может быть совмещена со второй путем параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол .

Формулы параллельного переноса:

Формулы поворота осей:

Обратные преобразования:

Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве.

В пространстве, рассуждая аналогичным образом, можно записать:

(***)

И для координат получить:

(****)

Итак, каковы бы ни были две произвольные системы координат в пространстве, координаты x y z некоторой точки относительно первой системы являются линейными функциями координат x ’ y ’ z ’ этой же точки относительно второй системы координат.

Умножая каждое из равенств (***) скалярно на i ’ j ’ k ’ получаем:

Выясним геометрический смысл формул преобразования (****). Для этого предположим, что обе системы имеют общее начало:a = b = c = 0 .

Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующих расположение осей второй системы относительно первой.

Первый угол – образован осью х и осью u, являющейся пересечением плоскостей xOy и x’Oy’. Направление угла – кратчайший поворот от оси x к y. Обозначим угол через . Второй угол  – это не превосходящий  угол между осями Oz и Oz’. Наконец, третий угол  – это угол между осью u и Ox’, отсчитываемый от оси u в направлении кратчайшего поворота от Ox’ к Oy’. Эти углы называются углами Эйлера.

Преобразование первой системы во вторую можно представить в виде последовательного проведения трех поворотов: на угол  относительно оси Oz; на угол  относительно оси Ox’; и на угол  относительно оси Oz’.

Числа  ij можно выразить через углы Эйлера. Эти формулы мы записывать не будем из-за громоздкости.

Само преобразование представляет собой суперпозицию параллельного переноса и трех проводимых последовательных поворотов на углы Эйлера.

Все эти рассуждения можно провести и для случая, когда обе системы левые, или разной ориентации.

Если имеем две произвольные системы, то, вообще говоря, можно их совместить путем параллельного переноса и одного поворота в пространстве вокруг некоторой оси. Искать ее не будем.

1) Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат.

Предположим, что на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим началом координат О , имеющие одинаковую ориентацию (рис. 145). Обозначим единичные векторы осей Ох и Оу соответственно через и , а единичные векторы осей и через и . Наконец пусть - угол от оси Ох до оси . Пусть х и у – координаты произвольной точки М в системе хОу , а и - координаты той же точки М в системе .

Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора

Угол от оси Ох до вектора равен ; поэтому координаты вектора равны .

Формулы (3) § 97 принимают вид

Матрица перехода от одной декартовой хОу прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией имеет вид

Матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю, т.е. если

Таким образом, матрица (2) перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией ортогональная. Отметим ещё, что определитель этой матрицы равен +1:

Обратно, если задана ортогональная матрица (3) с определителем, равным +1, и на плоскости введена декартова прямоугольная система координат хОу , то в силу соотношений (4) векторы и единичные и взаимно перпендикулярные, следовательно, координаты вектора в системе хОу равны и , где - угол от вектора до вектора , а так как вектор единичный и получим из вектора поворотом на , то либо , либо .

Вторая возможность исключается, так как если бы мы имели , то а нам дано, что .

Значит, , и матрица А имеет вид

т.е. является матрицей перехода от одной прямоугольной системы координат хОу к другой прямоугольной системе , имеющей ту же ориентацию, причем угол .

2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат.

Пусть на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим начало координат О , но имеющие противоположную ориентацию обозначим угол от оси Ох до оси через (ориентацию плоскости зададим системой хОу ).

Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора равны:

Теперь угол от вектора до вектора равен (рис. 146), поэтому угол от оси Ох до вектора равен (по теореме Шаля для углов) и поэтому координаты вектора равны:

И формулы (3) § 97 принимают вид

Матрица перехода

ортогональная, но ее определитель равен –1 . (7)

Обратно, любая ортогональная матрица с определителем, равным –1, задает преобразование одной прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему с тем же началом, но противоположной ориентации. Итак, если две декартовы прямоугольные системы координат хОу и имеют общее начало, то

где х , у – координаты любой точки в системе хОу ; и - координаты той же точки в системе , а

ортогональная матрица.

Обратно, если

произвольная ортогональная матрица, то соотношениями

выражается преобразование декартовой прямоугольной системы координат в декартовую прямоугольную систему с тем же началом координат; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси ; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси .

системы координат хОу и имеют одинаковую ориентацию, а в случае - противоположную.

3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему.

На основании пунктов 1) и 2) этого параграфа, а также на основании § 96 заключаем, что если на плоскости введены прямоугольные системы координат хОу и , то координаты х и у произвольной точки М плоскости в системе хОу с координатами и той же точки М в системе связаны соотношениями- координаты начала системы координат в системе хОу .

Заметим, что старые и новые координаты х , у и , вектора при общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат связаны соотношениями

в случае, если системы хОу и имеют одинаковую ориентацию и соотношениями

в случае, если эти системы имеют противоположную ориентацию, или же в виде

ортогональная матрица. Преобразования (10) и (11) называются ортогональными.

Глава 1. Дополнение. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Специальные системы координат на плоскости и в пространстве.

Правила построения систем координат на плоскости и в пространстве рассмотрены в основной части Главы 1. Были отмечены удобства применения прямоугольных систем координат. При практическом использовании средств аналитической геометрии часто возникает необходимость преобразовать принятую систему координат. Обычно это диктуется соображениями удобства: упрощаются геометрические образы, нагляднее становятся аналитические модели и используемые при вычислениях алгебраические выражения.

Построение и использование специальных систем координат: полярных, цилиндрических и сферических диктуется геометрическим смыслом решаемой задачи. Моделирование при помощи специальных систем координат часто облегчают разработку и использование аналитических моделей при решении практических задач.

Результаты, полученные в Дополнении Главы 1, будут использоваться в линейной алгебре, большая часть – в математическом анализе и в физике.

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве.

При рассмотрении задачи построения системы координат на плоскости и в пространстве отмечалось, что систему координат образуют пересекающиеся в одной точке числовые оси: на плоскости требуются две оси, в пространстве – три. В связи с построением аналитических моделей векторов, введением операции скалярного произведения векторов и решением задач геометрического содержания было показано, что применение прямоугольных систем координат наиболее предпочтительно.

Если рассматривать задачу преобразования конкретной системы координат абстрактно, то в общем случае можно было бы допускать произвольное перемещение в заданном пространстве осей координат с правом произвольного переименования осей.

Мы будем исходить из первичного понятия системы отсчета , принятого в физике. Наблюдая движение тел, было обнаружено, что движение изолированного тела не может быть определено само по себе. Нужно иметь ещё хотя бы одно тело, относительно которого наблюдается движение, то есть изменение его относительного положения. Для получения аналитических моделей, законов, движения с этим вторым телом, как с системой отсчёта, связали систему координат, причём так, что система координат представляла собой твёрдое тело !

Так как произвольное перемещение твёрдого тела из одной точки пространства в другую может быть представлено двумя независимыми движениями: поступательное и вращательное, то варианты преобразования системы координат ограничили двумя движениями:

1). Параллельный перенос: следим только за одной точкой – точкой .

2). Вращение осей системы координат относительно точки : как твёрдого тела.

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости .

Пусть имеем на плоскости системы координат: , и . Система координат получается параллельным переносом системы . Система координат по­лу­ча­ется вращением системы на угол , причём за положительное направление вращение принято вращение оси против часовой стрелки.

Определим для принятых систем координат базисные векторы. Так как система получена параллельным переносом системы , то для обеих этих систем примем базисные векторы: , причём единичные и совпадающие по направлению с осями координат , , соответственно. Для системы в качестве базисных векторов примем единичные векторы , совпадающие по направлению с осями , .

Пусть задана система координат и в ней определена точка = . Будем считать, что перед преобразованием имеем совпадающие системы координат и . Применим к системе координат параллельный перенос, определяемый вектором . Требуется определить преобразование координат точки . Воспользуемся векторным равенством: = + , или:

Проиллюстрируем преобразование параллельного переноса известным в элементарной алгебре примером.

Пример Д –1 : Задано уравнение параболы: = = . Привести уравнение этой параболы к простейшей форме.

Решение :

1). Воспользуемся приёмом выделения полного квадрата : = , которое легко представить в виде: –3 = .

2). Применим преобразование координат – параллельный перенос : = . После этого уравнение параболы принимает вид: . Это преобразование в алгебре определяют так: парабола = получена смещением простейшей параболы вправо на 2, и вверх на 3 единицы.

Ответ: простейшая форма параболы: .

Пусть задана система координат и в ней определена точка = . Будем считать, что перед преобразованием имеем совпадающие системы координат и . Применим к системе координат преобразование вращения так, что относительно исходного своего положения, то есть относительно системы оказывается повёрнутой на угол . Требуется определить преобразование координат точки = . Запишем вектор в системах координат и : = . (2) =1. Из теории линий второго порядка следует, что получено простейшее (каноническое!) уравнение эллипса.

Ответ: простейшая форма заданной линии: =1 – каноническое уравнение эллипса.