Acasă / Vitrare Funcția / Define Set afișează un set. Afișări

Funcția Definire set afișează un set. Afișări

Să studiem acum câteva aspecte legate de relațiile dintre mulțimi.

Vom spune că între seturi este dat atitudine(sunt într-o relație) dacă unele (eventual toate) elementele din corespund unor elemente din. Dacă o mulțime este în relație cu o mulțime, atunci vom scrie:

Dacă în același timp un element este asociat cu un element, atunci vom nota acest lucru

Definiție 1.1.2. Relația dintre mulțimi se numește afişa, dacă fiecăruia dintre ele i se atribuie un singur element (vezi Fig. 1.1.2. și 1.1.3). Odată cu specializarea naturii mulțimilor, apar tipuri speciale de mapări, care au denumirea specială de „funcție”, " funcție vectorială”, „operator”, „măsură”, „funcțională”, etc. Le vom întâlni mai târziu.

Pentru a desemna o funcție (mapping) din v, vom folosi notația

Fig.1.1.2. Afișare Fig. 1.1.3 Relația care nu este

afişa

Definiție 1.1.3. Dacă este un element din, atunci elementiza corespunzătoare acestuia se numește imaginea sa (când este afișată), iar setul tuturor celor pentru care se numește prototip și este desemnat (vezi Fig. 1.1.4).

Fig.1.1.4. Prototipb

Definiție 1.1.4. Maparea este numită cartografiere unu-la-unu, dacă fiecare element al are o imagine unică sub mapare și fiecare element are o imagine inversă unică sub această mapare.

Fig.1.1.5. Harta unu-la-unu

În cele ce urmează vom lua în considerare doar mapările, deoarece există tehnici care reduc mapările cu mai multe valori la cele cu o singură valoare, pe care le numim pur și simplu mapări.

Conceptul de cartografiere joacă un rol crucial în matematică, în special în analiza matematică, locul central este ocupat de concept funcții, care este maparea unui set numeric cu altul.

1.7. Puterea setului

Când se studiază relațiile dintre mulțimi, „volumul” mulțimilor, numărul de elemente din ele, prezintă un mare interes. Dar vorbirea despre numărul de elemente este de înțeles și justificată dacă acest număr este finit. Vor fi numite mulțimi formate dintr-un număr finit de elemente final . Cu toate acestea, multe dintre mulțimile considerate în matematică nu sunt finite, de exemplu, mulțimea numerelor reale, mulțimea punctelor din plan, mulțimea funcțiilor continue definite pe un anumit segment etc. Pentru a caracteriza cantitativ mulțimi infinite (și chiar finite), teoria mulțimilor folosește conceptul puterea setului .

Vom spune că seturile au aceeași putere , dacă există o mapare unu-la-unu de la un set la un set (rețineți că în acest caz există și o mapare unu-la-unu de la setul B la setul A).

Dacă mulțimile au aceeași cardinalitate, atunci vom spune că ele echivalent , aceasta este desemnată: .

Fie mulțimi arbitrare, atunci

acestea. orice multime este echivalenta cu sine; dacă o mulțime este echivalentă cu o mulțime, atunci echivalent; dacă, în sfârșit, o mulțime este echivalentă cu o mulțime care este echivalentă cu o mulțime, atunci echivalentă.

Se numește o mulțime echivalentă cu o submulțime proprie proprie fără sfârşit .

Dacă mulțimile finite au un număr diferit de elemente, atunci este clar că una dintre ele conține mai puține elemente decât cealaltă. Cum putem compara mulțimi infinite în acest sens? Vom spune că cardinalitatea unei mulțimi este mai mică decât cardinalitatea unei mulțimi dacă există o submulțime a mulțimii care este echivalentă cu mulțimea, dar mulțimile în sine nu sunt echivalente.

Cardinalitatea unei multimi finite egal cu numărul elementelor sale. Pentru mulțimi infinite, conceptul de „cardinalitate” este o generalizare a conceptului de „număr de elemente”.

Să indicăm câteva clase de seturi care sunt utile pentru ceea ce urmează.

Setul se numește numărabil , dacă are aceeași cardinalitate ca o submulțime a mulțimii (mulțimea numerelor naturale). Un set numărabil poate fi finit sau infinit.

O mulțime infinită este numărabilă dacă și numai dacă este echivalentă cu mulțimea numerelor naturale.

Rețineți că orice mulțime a cărei cardinalitate este mai mică decât cardinalitatea unei mulțimi numărabile infinite este finită.

Mulțimea numerelor reale de pe intervalul de la zero la unu are continuum de putere , și însuși este adesea numit continuum . Cardinalitatea acestui set este mai mare decât cardinalitatea unui set infinit numărabil. Se pune întrebarea: există o mulțime a cărei cardinalitate este mai mare decât cardinalitatea unei mulțimi numărabile infinite, dar mai mică decât cardinalitatea continuumului? Această problemă a fost formulată în 1900 de unul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii, David Hilbert. S-a dovedit că această problemă are un răspuns oarecum neașteptat: putem presupune că o astfel de mulțime există, sau putem presupune că nu există. Teoriile matematice rezultate vor fi consistente. Dovada acestui fapt a fost raportată de omul de știință american Cohen în 1965 la Congresul Mondial al Matematicienilor de la Moscova. Rețineți că situația cu această problemă amintește de situația cu postulat al cincilea al lui Euclid: printr-un punct situat în afara unei drepte date, poate fi trasă o singură dreaptă paralelă cu cea dată. După cum a arătat Lobaciovski, respingerea acestui postulat nu duce la contradicții. Putem construi geometrii pentru care acest postulat este valabil și geometrii pentru care nu este adevărat.

În concluzie, dăm câteva exemple care demonstrează metodologia de demonstrare a echivalenței mulțimilor.

Exemplul 1.11. Mulțimea numerelor întregi este numărabilă.

Este clar că mulțimea în cauză este infinită (mulțimea numerelor naturale este submulțimea ei).

Pentru a demonstra numărabilitatea unei mulțimi de numere întregi, este necesar să se construiască o mapare unu-la-unu între mulțimea numerelor naturale și mulțimea în cauză. Maparea necesară este dată de regula: aranjați numerele întregi după cum urmează:

și renumerotați-le cu numere naturale, atribuindu-le numere (sunt indicate în dreptul numerelor întregi în cauză). Evident, fiecare număr întreg va primi un număr diferit, numere diferite primind numere diferite. Reversul este de asemenea adevărat: pentru fiecare număr natural (pentru fiecare număr) există și un singur întreg care stă sub acest număr. Astfel, se construiește maparea unu-la-unu necesară.

Exemplul 1.12. Mulțimea numerelor raționale este numărabilă.

Se știe că orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă p/q, folosind această reprezentare vom aranja numerele raționale în conformitate cu schema:

. . . . . .

Să renumerăm aceste numere aproximativ în același mod ca în exemplul anterior (numerele sunt indicate în partea de sus în paranteze lângă numere). Este ușor de verificat că regula formulată pentru numerotarea numerelor raționale oferă maparea unu-la-unu necesară de la mulțimea numerelor naturale la mulțimea numerelor raționale.

Exemplul 1.13. Unirea unui set numărabil de mulțimi numărabile este un set numărabil.

Dovada acestui fapt este similară cu proba afirmației din exemplul anterior.

În concluzie, prezentăm o declarație importantă pentru discuții ulterioare. Dar pentru asta avem nevoie de încă o operație pe platouri.

Produs direct de seturi Și( produs cartezian ) este mulțimea tuturor perechilor ordonate, unde și. Acest set este desemnat. Prin urmare:

Să notăm produsul factorilor.

Teorema 1.1. pentru orice set infinit Mai mult.

În special, adică multimea de puncte de pe o dreapta are aceeasi cardinalitate ca multimea de puncte de pe un plan. Mai mult, există atâtea puncte în spațiu câte sunt pe o linie dreaptă.

Aceasta încheie cunoștințele noastre cu conceptele de bază ale logicii matematice și ale teoriei mulțimilor - bazele matematicii moderne. Să remarcăm că multe aspecte ale acestor teorii au rămas, din păcate, în afara domeniului de aplicare al acestui capitol; vă puteți familiariza cu ele, de exemplu, prin și.

Surjecție, injecție și bijecție

Regula care definește maparea f: X (sau funcția /) poate fi reprezentată convențional prin săgeți (Fig. 2.1). Dacă există cel puțin un element în mulțimea Y către care niciuna dintre săgeți nu indică, atunci acest lucru indică faptul că intervalul de valori al funcției f nu umple întregul set Y, adică. f(X) C Y.

Dacă intervalul de valori / coincide cu Y, adică f(X) = Y, atunci o astfel de funcție se numește surjectivă) sau, pe scurt, surjecție, și se spune că funcția / mapează mulțimea X pe mulțimea Y (spre deosebire de cazul general de mapare a mulțimii X în multimea Y conform Definitiei 2.1). Deci, / : X este o suprajecție dacă Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. În acest caz, în figură, cel puțin o săgeată duce la fiecare element al mulțimii Y (Fig. 2.2). În acest caz, mai multe săgeți pot duce la unele elemente din Y. Dacă nu mai mult de o săgeată duce la orice element y € Y, atunci / se numește funcție injectivă sau injecție. Această funcție nu este neapărat surjectivă, adică săgeţile nu duc la toate elementele setului Y (fig. 2.3).

Deci, funcția /: X -Y Y este o injecție dacă oricare două elemente diferite din X au ca imagini la mapare / două elemente diferite din Y, sau Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjecție, injecție și bijecție. Maparea inversă. Compoziția mapărilor este un produs de mulțimi. Afișează programul. Maparea /: X->Y se numește bijectivă, sau bi-jecție, dacă fiecare element al lui y 6 Y este imaginea unora și singurul element din X, adică. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

De fapt, funcția / în acest caz stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimile X și Y și, prin urmare, este adesea numită funcție unu-la-unu. Evident, o funcție / este bijectivă dacă și numai dacă este atât injectivă, cât și surjectivă. În acest caz, săgețile (Fig. 2.4) leagă în perechi fiecare element din X cu fiecare element din Y. Mai mult, două elemente din X nu pot fi conectate printr-o săgeată de același element din Y, deoarece / este injectiv și nu două elemente din Y nu pot fi conectate prin săgeți la același element din X din cauza cerinței de unicitate a imaginii din Definiția 2.1 a mapării. Fiecare element al lui X participă la o conexiune perechi, deoarece X este domeniul funcției /. În sfârșit, fiecare element din Y participă și la una dintre perechi, deoarece / este surjectiv. Rolurile lui X și Y în acest caz par a fi complet identice, iar dacă întoarcem toate săgețile înapoi (Fig. 2.5), obținem o mapare diferită sau o funcție diferită d), care este de asemenea injectivă și surjectivă. Mapările (funcțiile) care permit o astfel de inversare vor juca un rol important în cele ce urmează.

Într-un caz particular, mulțimile X și Y pot coincide (X = Y). Apoi funcția bijectivă va mapa setul X pe sine. Bijecția unui set asupra ei însuși se mai numește și transformare. 2.3. Mapare inversă Fie /: X -? Y este o anumită bijecție și fie y € Y. Să notăm cu /_1(y) singurul element x € X astfel încât /(r) = y. Astfel definim o mapare 9: Y Xу care este din nou o bijecție. Se numește mapare inversă sau bijecție inversă la /. Adesea se mai numește pur și simplu funcție inversă și se notează /"*. În Fig. 2.5, funcția d este exact inversul lui /, adică d = f"1.

Exemple de soluții în probleme

Mapările (funcțiile) / și sunt reciproc inverse. Este clar că dacă o funcție nu este o bijecție, atunci funcția ei inversă nu există. Într-adevăr, dacă / nu este injectiv, atunci un element y € Y poate corespunde mai multor elemente x din mulțimea X, ceea ce contrazice definiția unei funcții. Dacă / nu este surjectiv, atunci există elemente în Y pentru care nu există preimagini în X, adică. pentru aceste elemente nu este definită funcţia inversă. Exemplul 2.1. A. Fie X = Y = R - o mulțime de numere reale. Funcția /, definită prin formula y = For - 2, i,y € R, este o bijecție. Funcția inversă este x = (y + 2)/3. b. Funcția reală f(x) = x2 a unei variabile reale x nu este surjectivă, deoarece numerele negative din Y = R nu sunt imagini ale elementelor din X = K ca /: Γ -> Y. Exemplul 2.2. Fie A" = R și Y = R+ mulțimea numerelor reale pozitive. Funcția f(x) = ax, a > 0, af 1, este o bijecție. Funcția inversă va fi Z"1 (Y) = 1°8a Y

Surjecție, injecție și bijecție. Maparea inversă. Compoziția mapărilor este un produs de mulțimi. Afișează programul. 2.4. Compoziția mapărilor Dacă f:X-*Y și g:Y-*Zy atunci maparea (p:X -+Z, definită pentru fiecare a: 6 A" prin formula =, se numește compoziție (suprapunere) a mapărilor (funcții) / și d> sau o funcție complexă și este desemnată rho/ (Fig. 2.6).
Astfel, o funcție complexă înainte de f implementează regula: i Apply / mai întâi și apoi di, i.e. în alcătuirea operațiunilor „înainte / trebuie să începeți cu operația / situată în dreapta. Rețineți că compoziția Fig. Mapările 2.6 sunt asociative, adică dacă /: X -+Y, d: Y Z și h: Z-*H> atunci (hog)of = = ho(gof)i care este mai ușor de scris în forma ho la /. Să verificăm acest lucru după cum urmează: Pe orice wK „oaicecmee X este definită o mapare 1x -X X, numită identică, adesea notată și cu idx și dată prin formula Ix(x) = x Vx € A". Acțiunea sa este aceea că lasă totul la locul lor.

Astfel, dacă este o bijecție inversă bijecției /: X - + Y, atunci /"1o/ = /x și /o/-1 = /y, unde și /y sunt hărți identice ale mulțimilor X și Y, Dimpotrivă, dacă mapările f: X ->Y și p: Y A" sunt astfel încât gof = Ix și fog = /y, atunci funcția / este o bijecție, iar y este bijecția sa inversă. Evident, dacă / este o bijecție a lui A" pe Y și $ este o bijecție a lui Y pe Z, atunci gof este o bijecție a lui X pe Z și va fi bijecția inversă față de acesta. 2.5. Produsul mulțimilor. Graficul de cartografiere Reamintim că două axe de coordonate reciproc perpendiculare cu o scară care este aceeași pentru ambele axe definesc un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan (Fig. 2.7). Punctul O al intersecției axelor de coordonate se numește originea* a coordonate.

Fiecare punct M poate fi asociat cu o pereche (i, y) de numere reale unde x este coordonata punctului Mx pe axa de coordonate Ox, iar y este coordonata punctului Mu pe axa de coordonate Oy. Punctele Mx și Mu sunt bazele perpendicularelor căzute din punctul M pe axele Ox și, respectiv, Oy. Numerele x și y se numesc coordonatele punctului M (în sistemul de coordonate selectat), iar x se numește abscisa punctului M și y este ordonata acestui punct. Este evident că fiecare pereche (a, b) de numere reale a, 6 6R corespunde unui punct M din plan, care are aceste numere drept coordonate. Și invers, fiecărui punct M al planului îi corespunde o pereche (a, 6) de numere reale a și 6. În cazul general, perechile (a, b) și (6, a) definesc puncte diferite, adică. Este important care dintre cele două numere a și b este primul în desemnarea perechii. Astfel, vorbim de o pereche comandată. În acest sens, perechile (a, 6) și (6, a) sunt considerate egale între ele și definesc același punct pe plan, dacă doar a = 6. Supraiecție, injecție și bijecție. Maparea inversă.

Compoziția mapărilor este un produs de mulțimi. Afișează programul. Mulțimea tuturor perechilor de numere reale, precum și mulțimea punctelor din plan, se notează cu R2. Această desemnare este asociată cu conceptul important în teoria mulțimilor a unui produs direct (sau dek-artov) al mulțimilor (deseori se vorbește pur și simplu despre un produs al mulțimilor). Definiție 2.2. Produsul mulțimilor A și B este mulțimea Ax B a posibilelor perechi ordonate (x, y), unde primul element este luat din A și al doilea din B, astfel încât egalitatea a două perechi (x, y) și (&", y") este determinată de condițiile x = x" și y = y7. Perechile (i, y) și (y, x) sunt considerate diferite dacă xy. Acest lucru este deosebit de important de reținut atunci când mulțimile A și coincid B. Prin urmare, în cazul general A x B f B x A, adică produsul mulțimilor arbitrare nu este comutativ, ci este distributiv în raport cu uniunea, intersecția și diferența de mulțimi: unde denotă unul dintre cele trei numite operatii.Produsul multimilor difera semnificativ de operatiile indicate pe doua multimi.Rezultatul efectuarii acestor operatii este o multime ale carei elemente (daca nu este goala) apartin uneia sau ambelor multimi originale.Elementele produsului de multimile apartin noii multimi si reprezinta obiecte de alt fel in comparatie cu elementele multimilor originale.Asemanator cu Definitia 2.2.

Putem introduce conceptul de produs de mai mult de două seturi. Mulțimile (A x B) x C și A*x (B x C) sunt identificate și notate simplu A x B x C, deci. Funcționează Ah Au Ah Ah Ah Ah etc. notat, de regulă, cu A2, A3 etc. În mod evident, planul R2 poate fi considerat ca produsul R x R a două copii ale mulțimii de numere reale (de unde desemnarea mulțimii de puncte a planului ca produsul a două seturi de puncte de pe dreapta numerelor). Mulțimea punctelor din spațiul geometric (tridimensional) corespunde produsului R x R x R a trei copii ale mulțimii de puncte de pe dreapta numerică, notat R3.

Produsul a n seturi de numere reale se notează cu Rn. Această mulțime reprezintă toate colecțiile posibile (xj, X2, xn) de n numere reale X2) xn £ R și orice punct x* din Rn este o astfel de colecție (xj, x, x*) de numere reale xn £ K*
Produsul a n mulțimi arbitrare este o mulțime de colecții ordonate de n elemente (în general eterogene). Pentru astfel de mulțimi se folosesc denumirile de tuplu sau n-ka (pronunțat „enka”). Exemplul 2.3. Fie A = (1, 2) și B = (1, 2). Apoi mulțimea A x B poate fi identificată cu patru puncte ale planului R2 ale căror coordonate sunt indicate la enumerarea elementelor acestei mulțimi Dacă C = ( 1,2) și D = (3,4), atunci Exemplul 2.4 Fie Atunci Interpretarea geometrică a mulțimilor E x F și F x E sunt prezentate în Fig. 2.8 # Pentru maparea /: X, putem crea un set de perechi ordonate (r, y), care este o submulțime a produsului direct X x Y.
O astfel de mulțime se numește graficul mapării f (sau graficul funcției i*" - Exemplul 2.5. În cazul XCR și Y = K, fiecare pereche ordonată specifică coordonatele unui punct de pe planul R2. Dacă X este un interval al dreptei numerice R, atunci graficul funcției poate reprezenta o dreaptă (Fig. 2.9) Exemplul 2.6 Este clar că cu XCR2 și Y = R graficul funcției este un anumit set de puncte din R3 , care poate reprezenta o anumită suprafață (Fig. 2.10).

Dacă X C R, și Y = R2, atunci graficul funcției este și o mulțime de puncte din R3, care poate reprezenta o anumită dreaptă intersectată de planul x = const doar la un punct M cu trei coordonate x) yi, y2 ( Fig. 2.11) . # Toate exemplele menționate de grafice de funcții sunt cele mai importante obiecte de analiză matematică, iar în viitor vor fi discutate în detaliu.

Este apelat afișajul %%f%% injectiv,

dacă pentru orice elemente %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, rezultă că %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Cu alte cuvinte, maparea %%f%% este injectivă dacă imaginile diferitelor elemente din %%X%% sunt și ele diferite.

Exemplu

Funcția %%f(x) = x^2%%, definită pe mulțimea %%\mathbb(R)%%, nu este injectivă, deoarece cu %%x_1 = -1, x_2 = 1%% obținem aceeași valoare a funcției %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Cartografierea surjectivă

Este apelat afișajul %%f%% surjectiv, dacă pentru fiecare element %%y \in Y%% există un element %%x \in X%% cu condiția ca %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Cu alte cuvinte, maparea %%f%% este surjectivă dacă fiecare element %%y \in Y%% este imaginea a cel puțin unui element %%x \in X%%.

Exemplu

Maparea %%f(x) = \sin(x)%%, definită pe setul %%\mathbb R%%, cu setul %%Y = [-2,2]%% nu este surjectivă, deoarece pentru elementul %%y = 2 \in Y%% imaginea inversă a lui %%x \in X%% nu poate fi găsită.

Cartografierea bijectivă

Este apelat afișajul %%f%% bijectiv, dacă este injectiv și surjectiv. Se mai numește și maparea bijectivă unu la unu sau transformare.

De obicei, expresiile „mapping injectiv”, „mapping surjective” și „mapping bijectiv” sunt înlocuite cu „injecție”, „surjecție” și, respectiv, „bijecție”.

Maparea inversă

Fie %%f: X \la Y%% unele bijectieși fie %%y \în Y%%. Să notăm cu %%f^(-1)(y)%% singurul element %%x \în X%% astfel încât %%f(x) = y%%. Astfel vom defini unele noi afişa%%g: Y \to X%%, care din nou este o bijecție. Ei o sună cartografiere inversă.

Exemplu

Fie %%X, Y = \mathbb R%% mulțimea numerelor reale. Funcția %%f%% este dată de formula %%y = 3x + 3%%. Are această funcție inversă? Dacă da, care?

Pentru a afla dacă o funcție dată are inversul său, trebuie să verificați dacă este bijectie. Pentru a face acest lucru, să verificăm dacă această mapare este injectivȘi surjectiv.

Să verificăm injecția. Fie %%x_1 \neq x_2%%. Să verificăm că %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, adică %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Să presupunem opusul, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Apoi se dovedește că %%x_1 = x_2%%. Avem o contradicție, pentru că %%x_1 \neq x_2%%. Prin urmare, %%f%% este o injecție.
Sa verificam surjecție. Fie %%y \in Y = \mathbb(R)%%. Să găsim elementul %%x \in X = \mathbb(R)%% cu condiția ca %%f(x) = y%%, adică %%3x + 3 = y%%. În această egalitate este specificat elementul %%y \in \mathbb(R)%% și trebuie să găsim elementul %%x%%. Evident, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( and ) x \in \mathbb R $$ Prin urmare, maparea %%f%% este surjectivă.

Deoarece %%f%% este o injecție și o suprajecție, atunci %%f%% este o bijecție. Și, în consecință, maparea inversă este %%x = \frac(y-3)(3)%%.

SETURI DE HARTĂ §1. Definiții de bază

Definiție. Fie A și B două mulțimi. Ei spun că o mapare f a unei mulțimi A la B este dată dacă este specificată o lege conform căreia orice element a din A este asociat cu un singur element b din mulțimea B:

Mapările se mai numesc și funcții.

Vom folosi următoarea notație:

ƒ : A→ B. Maparea f duce mulţimea A la B;

A f B. Mulțimea A este mapată la B când f este mapată.

Dacă elementul a, când f este mapat, intră în elementul b, atunci scrieți f(a)=b (intrare din stânga) sau af=b (intrare din dreapta). Elementul b se numește imaginea elementului a sub maparea f; elementul a este imaginea inversă a lui b pentru

acest afișaj. Mulțimea ( f (a ) | a A ) = f (A ) este imaginea mulțimii A sub maparea f. Rețineți că

f(A)B.

A B

f f(A)

A - domeniu cartografiere f; IN - gamă maparea f (uneori – de exemplu, în matematica școlară – gama de valori este considerată a fi f(A), dar vom considera că este B).

Rețineți că luăm în considerare doar mapările cu o singură valoare.

Dintre toate afișajele, se disting în mod deosebit următoarele tipuri:

1. Surjecție (mapping „on”) este o mapare f : A → B astfel încât f (A ) = B . Sub surjecție, fiecare element din setul B are cel puțin o imagine inversă.

2. Injectare – o mapare în care diferite elemente sunt transformate în altele diferite, i.e. dacă a, a 1 A și a ≠ a 1, atunci f (a) ≠ f (a 1).





				f(a1)

3. Bijectie, sau cartografiere unu-la-unu este o mapare care este atât o injecție, cât și o suprajecție.

Exemple de afișaje:.

1. Fie A orice mulțime și B o mulțime formată dintr-un element, adică. B=(b).

A . b

Maparea f (a) = b, a A este o suprajecție, deoarece f(A)=B.

2. Fie multimea A un segment din plan, multimea B o dreapta. Din fiecare punct al segmentului A coborâm o perpendiculară pe dreapta B și punem bazele acestor perpendiculare în corespondență cu punctele segmentului A.

A a

φ(a) V

Să notăm această mapare cu φ. Evident,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Prin urmare, maparea φ este o injecție (dar nu este o suprajecție).

3. Fie mulţimea A ipotenuza unui triunghi dreptunghic, iar B catetul acestuia. Să asociem orice punct al ipotenuzei cu proiecția sa pe catete. Obținem o mapare unu-la-unu de la A la B:

acestea. f este o bijecție.

Rețineți că așa demonstrează matematica că „numărul” de puncte de pe ipotenuză și catete sunt aceleași (mai precis, aceste mulțimi au aceeași cardinalitate).

Cometariu. Nu este greu să vii cu o mapare care să nu fie nici o surjecție, nici o injecție, nici o bijecție.

4. Dacă f este orice funcție a unei variabile reale, atunci f este o mapare de la R la R.

§2. Înmulțirea hărților

Fie A, B, C trei mulțimi și să fie date două hărți f : A → B și ϕ : B → C.

Definiție 1. Produsul acestor mapări este maparea care se obține ca urmare a executării lor secvențiale.

ϕf

Există două opțiuni de înregistrare.

1. Intrare din stânga.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		notăm ϕ f:
Atunci produsul dintre f și φ va fi	traduce de la a la c, ar trebui să fie	notăm ϕ f:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (vezi figura de mai sus).
Prin definiție (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) ,	acestea. produsul cartografiilor –	aceasta este o funcție complexă
setată la A.

2. Intrare dreapta.

aƒ =b, bϕ =c. Atunci a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

Vom folosi notația din stânga (rețineți că cartea folosește notația din dreapta). Mai jos vom nota produsul mapărilor cu f ϕ.

Nota 1. Din definiția înmulțirii mapărilor rezultă că nu orice mapări pot fi multiplicate, ci doar cele ale căror seturi „medie” sunt aceleași. De exemplu, dacă f : A → B ,ϕ : D → C , atunci pentru B=D mapările f și φ pot fi multiplicate, dar pentru B≠D nu este posibil.

Proprietățile înmulțirii cartografice

Definiția 2. Hărțile f și g sunt numite egale dacă domeniile lor de definiție și intervalele de valori coincid, de exemplu. f : A → B , g : A → B și condiția este îndeplinită: a A este adevărată

egalitatea f (a) = g (a).

1. Înmulțirea hărților este necomutativă. Cu alte cuvinte, dacă fφ și φf există, atunci ele nu sunt neapărat egale.

Fie, de exemplu, mulțimile A=B=C=R, f (x) = sin x,ϕ (x) Se consideră produsele:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Prin urmare, funcțiile fφ și φf sunt diferite.

2. Înmulțirea mapărilor este asociativă.

Fie f: A → B, ϕ: B → C, ψ: C → D. Să demonstrăm că (ψϕ ) f

E x , f : R → R, ϕ : R → R .

și ψ (ϕ f ) există și sunt egale, adică (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

Este evident că (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .

Pentru a demonstra egalitatea (1), în virtutea definiției egalității mapărilor, este necesar să se verifice că a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Folosind definiția înmulțirii cartografice (în intrarea din stânga)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Deoarece în egalitățile (3) și (4) dacă laturile din dreapta sunt egale, atunci și laturile din stânga sunt egale, i.e. egalitatea (2) este adevărată, iar apoi (1) este adevărată.

Observația 2. Asociativitatea înmulțirii ne permite să determinăm în mod unic produsul a trei și apoi orice număr finit de factori.

mai multe preimagini în A sau nicio preimagini. Cu toate acestea, pentru o hartă bijectivă f poate fi definit invers.

Fie f : A → B o bijecție, f (a) = b, a A, b B. Apoi, pentru orice element b B, prin definiția unei bijecții, există o imagine inversă unică sub maparea f - acesta este elementul a. Acum putem defini f − 1 : B → A stabilind f − 1 (b ) = a (b B ) . Este ușor de observat că f − 1 este o bijecție.

Deci, fiecare mapare bijectivă are un invers.

§3. Setați transformări

Orice mapare f : A → A este numită transformarea ansamblului A. În special, orice

o funcție a unei variabile reale este o transformare a mulțimii R.

Exemple de transformări ale unui set de puncte pe un plan sunt rotația planului, simetria în jurul unei axe etc.

Deoarece transformările sunt un caz special de mapări, atunci tot ceea ce s-a spus mai sus despre mapări este adevărat pentru ele. Dar multiplicarea transformărilor mulțimii A are și proprietăți specifice:

1. pentru orice transformări f și φ ale mulțimii A, produsele fφ și φf există;

2. există o transformare de identitate a mulțimii Aε: ε (a) = a, a A.

Este ușor de observat că pentru orice transformare f a acestei mulțimi f ε = ε f = f, deoarece, de exemplu, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Aceasta înseamnă că transformarea ε joacă rolul elementului unitar la înmulțirea transformărilor.

egalitățile sunt ușor de verificat. Astfel, transformarea inversă joacă rolul unui element invers la înmulțirea transformărilor.

Afișări (funcții)

Funcțiile joacă un rol central în matematică, unde sunt folosite pentru a descrie orice proces în care elementele unei mulțimi sunt într-un fel transformate în elemente ale alteia. Astfel de transformări ale elementelor sunt o idee fundamentală care este de o importanță capitală pentru toate procesele de calcul.

Definiție. Relația f pe AB se numește afişa (funcţie) de la A la B dacă pentru fiecare xA există unul și un singur yB. stabiliți echivalența relației binare

f: AB sau y=f(x)

Se numește mulțimea A domeniul definirii. Set B - intervalul de valori.

Dacă y=f(x), atunci x este numit argument, și y - valoarea functiei.

Fie f: AB, atunci

set de definiții Caracteristici:

sensuri multiple Caracteristici:

Mulțimea de definiții a unei funcții este o submulțime a domeniului definiției, adică. Dom f A, iar setul de valori ale funcției este un subset al intervalului de funcții, adică. Im f B. Dacă, atunci funcția se numește funcție totală, iar dacă este o funcție parțială. Astfel, o diagramă Venn servește ca o ilustrare convenabilă a unei funcții definite pe o mulțime A cu valori în mulțimea B.

Metode pentru specificarea unei funcții:

1) Verbal.
2) Analitice.
3) Folosind un grafic sau un desen.
4) Utilizarea tabelelor.

Definiție. Dacă MA, atunci mulțimea f(M)=y f(x)=y pentru unele x din M este numită cale seteaza M.

Dacă KB, atunci se numește mulțimea f -1 (K)=x f(x)K prototip seteaza K.

Definiție Funcția este numită funcție cu n argumente sau funcție n-ară. Această funcție mapează un tuplu la elementul bB, .

Proprietăți ale mapărilor (funcții).

1) Se numește maparea f: AB injectiv, dacă mapează diferite elemente din A la diferite elemente din B: .

Această proprietate poate fi afișată folosind diagramele Venn.

2) Se numește maparea f: AB surjectiv sau o mapare la întreaga mulțime B, dacă cel puțin un element din A este mapat la fiecare element al mulțimii B: .

Această proprietate poate fi prezentată și folosind diagramele Venn.

3) Se numește maparea f: AB, care este atât injectivă cât și surjectivă bijectiv sau o mapare unu-la-unu de la setul A la setul B.

Exemplu. Să ni se dea o mapare f: RR, care este definită în așa fel încât. Aflați ce proprietăți are această mapare.

Soluţie. Funcția f nu este injectivă, deoarece f (2)=f (2), dar 2 2.

Nici funcția f nu este surjectivă, deoarece nu există un număr real x pentru care f (x) = 1.

Definiție. Fie f o mapare bijectivă a unei mulțimi A într-o mulțime B. Dacă asociem fiecare element din B cu un element asociat din A, atunci o astfel de corespondență este o mapare a lui B în A. Această mapare este notă și numită maparea inversă la f.

Maparea inversă are câteva proprietăți, pe care le vom formula în următoarea teoremă.

Teorema 3. Dacă f: AB este o bijecție, atunci