Conversia sistemelor de coordonate dreptunghiulare carteziene. Transformarea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan

Tema 5. Transformări liniare.

Sistem de coordonateeste o metodă care permite să se stabilească fără ambiguitate poziția unui punct față de o figură geometrică folosind numere. Exemplele includ un sistem de coordonate pe o linie dreaptă - o axă de coordonate și, respectiv, sisteme de coordonate carteziene dreptunghiulare, pe un plan și în spațiu.

Să trecem de la un sistem de coordonate xy din plan la un alt sistem, de exemplu. Să aflăm cum sunt legate între ele coordonatele carteziene ale aceluiași punct din aceste două sisteme.

Să luăm în considerare mai întâi transfer paralel Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare xy, adică cazul în care axele și noul sistem sunt paralele cu axele corespunzătoare x și y ale vechiului sistem și au aceleași direcții cu ele.

Dacă sunt cunoscute coordonatele punctelor M (x; y) și (a; b) din sistemul xy, atunci (Fig. 15) din sistem punctul M are coordonatele: .

Fie segmentul OM de lungime ρ să formeze un unghi cu axa și. Apoi (Fig. 16) segmentul OM formează un unghi cu axa x și coordonatele punctului M din sistemul xy sunt egale , .

Considerând că în sistem coordonatele punctului M sunt egale cu și , obținem

La întoarcerea cu un unghi „în sensul acelor de ceasornic”, obținem respectiv:

Problema 0.54. Determinați coordonatele punctului M(-3; 7) în noul sistem de coordonate x / y /, a cărui origine 0 / este situată în punctul (3; -4), iar axele sunt paralele cu axele vechiului sistem de coordonate și au aceleași direcții ca și ei.

Soluţie. Să substituim coordonatele cunoscute ale punctelor M și O / în formulele: x / = x-a, y / = y-b.
Se obține: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Răspuns: M/(-6; 11).

§2. Conceptul de transformare liniară, matricea sa.

Dacă fiecărui element x al mulțimii X, după o regulă f, îi corespunde unuia și numai unui element y al mulțimii Y, atunci spunem că dat afişa f din mulțimea X în mulțimea Y ​​și se numește mulțimea X domeniul definirii afișaj f . Dacă, în special, elementului x 0 Î X corespunde elementului y 0 Î Y, atunci scrieți y 0 = f (x 0). În acest caz, elementul y 0 este numit cale elementul x 0 și elementul x 0 - prototip element la 0. Se numește submulțimea Y ​​0 a mulțimii Y, constând din toate imaginile set de sensuri afișaj f.

Dacă, într-o mapare f, diferite elemente ale mulțimii X corespund diferitelor elemente ale mulțimii Y, atunci maparea f se numește reversibil.

Dacă Y 0 = Y, atunci maparea f se numește o mapare a mulțimii X pe setY.

Se numește o mapare inversabilă a unei mulțimi X pe o mulțime Y unu la unu.

Cazurile speciale ale conceptului de mapare a unei mulțimi într-o mulțime sunt conceptul functie numericași concept cartografiere geometrică.

Dacă o mapare f la fiecare element al unei mulțimi X asociază un singur element din aceeași mulțime X, atunci o astfel de mapare se numește transformare seturi X.

Fie dat o mulțime de vectori n-dimensionali ai spațiului liniar L n.

O transformare f a unui spațiu liniar n-dimensional L n se numește liniar transformare dacă

pentru orice vector din L n și orice numere reale α și β. Cu alte cuvinte, o transformare se numește liniară dacă o combinație liniară de vectori se transformă într-o combinație liniară a imaginilor lor. cu acelasi coeficienți.

Dacă un vector este dat într-o anumită bază și transformarea f este liniară, atunci, prin definiție, unde sunt imaginile vectorilor de bază.

Prin urmare, transformarea liniară este completă definit, dacă sunt date imaginile vectorilor de bază ai spațiului liniar luat în considerare:

(12)

Matrice în care k-a coloană este coloana de coordonate a vectorului in baza, numit matrice liniar transformare f în această bază.

Determinantul det L se numește determinantul transformării f și Rg L se numește rangul transformării liniare f.

Dacă matricea unei transformări liniare este nesingulară, atunci transformarea în sine este nesingulară. El transformă spațiul L n unu-la-unu în sine, adică. fiecare vector din L n este imaginea vectorului său unic.

Dacă matricea unei transformări liniare este singulară, atunci transformarea în sine este singulară. Transformă spațiul liniar L n într-o parte a acestuia.

Teorema.Ca rezultat al aplicării unei transformări liniare f cu matricea L la vector se dovedește a fi un vector astfel încât .

Numerele scrise între paranteze sunt coordonatele vectorului în funcție de baza:

(13)

Prin definirea operației de multiplicare a matricei, sistemul (13) poate fi înlocuit cu o matrice

egalitate , ceea ce trebuia dovedit.

Exempletransformări liniare.

1. Întinderea de-a lungul axei x de k 1 ori, și de-a lungul axei y de k 2 ori pe planul xy este determinată de matrice și formulele de transformare a coordonatelor au forma: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Reflexia în oglindă în raport cu axa y pe planul xy este determinată de matrice iar formulele de transformare a coordonatelor au forma: x / = -x, y / = y.

Capitolul I. Vectorii în plan și în spațiu

§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul

Vă sugerăm să luați în considerare acest subiect în două versiuni.

1) Pe baza manualului de I.I.Privalov „Geometrie analitică” (manual pentru instituțiile de învățământ tehnic superior, 1966)

I.I. Privalov „Geometrie analitică”

§ 1. Problema transformarii coordonatelor.

Poziția unui punct pe un plan este determinată de două coordonate relativ la un sistem de coordonate. Coordonatele punctului se vor schimba dacă selectăm un alt sistem de coordonate.

Sarcina de a transforma coordonatele este astfel încât, cunoscând coordonatele unui punct dintr-un sistem de coordonate, găsiți coordonatele acestuia într-un alt sistem.

Această problemă va fi rezolvată dacă stabilim formule care leagă coordonatele unui punct arbitrar din două sisteme, iar coeficienții acestor formule vor include cantități constante care determină poziția relativă a sistemelor.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene xOyȘi XO 1 Y(Fig. 68).

Poziția noului sistem XO 1 Y raportat la vechiul sistem xOy se va determina dacă coordonatele sunt cunoscute A Și b nou inceput O 1 conform vechiului sistem și unghi α între axe OhȘi O 1 X. Să notăm prin XȘi la coordonatele unui punct arbitrar M față de vechiul sistem, prin coordonatele X și Y ale aceluiași punct față de noul sistem. Sarcina noastră este să ne asigurăm că coordonatele vechi XȘi la exprimată în termeni de noi X și Y. Formulele de transformare rezultate ar trebui să includă în mod evident constante a, b Și α .

Vom obține o soluție la această problemă generală luând în considerare două cazuri speciale.

1. Originea coordonatelor se modifică, dar direcțiile axelor rămân neschimbate ( α = 0).

2. Direcțiile axelor se modifică, dar originea coordonatelor rămâne neschimbată ( a = b = 0).

§ 2. Transferul originii coordonatelor.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite OȘi O 1şi aceleaşi direcţii ale axelor (Fig. 69).

Să notăm prin A Și b coordonatele noului început O 1în vechiul sistem și prin X yȘi X, Y-coordonatele unui punct arbitrar M în sistemul vechi și respectiv în cel nou. Punctul de proiectare M pe axă O 1 XȘi Oh, precum și un punct O 1 pe axă Oh, ajungem pe ax Oh trei puncte Oh, ahȘi R. Dimensiunile segmentelor OA, ARȘi SAU sunt legate prin următoarea relație:

| OA| + | AR | = | SAU |. (1)

Observând că | OA| = A , | SAU | = X , | AR | = | O1R1 | = X, rescriem egalitatea (1) sub forma:

A + X = X sau X = X + A . (2)

În mod similar, proiectarea M și O 1 pe axa ordonatelor, obținem:

y = Y + b (3)

Asa de, coordonata veche este egală cu cea nouă plus coordonata noii origini conform vechiului sistem.

Din formulele (2) și (3), noile coordonate pot fi exprimate prin cele vechi:

X = x - a , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Rotirea axelor de coordonate.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu aceeași origine DESPREşi direcţii diferite ale axelor (Fig. 70).

Lăsa α există un unghi între axe OhȘi OH. Să notăm prin X y Și X Y coordonatele unui punct arbitrar M, respectiv, în sistemul vechi și cel nou:

X = | SAU | , la = | P.M | ,

X= | SAU 1 |, Y= | P 1 M |.

Luați în considerare o linie întreruptă SAU 1 MPși ia proiecția acesteia pe axă Oh. Observând că proiecția liniei întrerupte este egală cu proiecția segmentului de închidere (Capitolul I, § 8) avem:

SAU 1 MP = | SAU |. (4)

Pe de altă parte, proiecția unei linii întrerupte este egală cu suma proiecțiilor legăturilor sale (Capitolul I, § 8); prin urmare, egalitatea (4) se va scrie după cum urmează:

etc SAU 1+ pr P 1 M+ pr MP= | SAU | (4")

Deoarece proiecția unui segment direcționat este egală cu mărimea lui înmulțită cu cosinusul unghiului dintre axa proiecțiilor și axa pe care se află segmentul (Capitolul I, § 8), atunci

etc SAU 1 = X cos α

etc P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y păcat α ,

relatii cu publicul MP= 0.

Prin urmare, egalitatea (4") ne dă:

X = X cos α - Y păcat α . (5)

În mod similar, proiectând aceeași polilinie pe axă OU, obținem o expresie pentru la. De fapt, avem:

etc SAU 1+ pr P 1 M+ pr MP= pp SAU = 0.

Observând că

etc SAU 1 = X cos( α - 90°) = X păcat α ,

etc P 1 M = Y cos α ,

relatii cu publicul MP = - y ,

vom avea:

X păcat α + Y cos α - y = 0,

y = X păcat α + Y cos α . (6)

Din formulele (5) și (6) obținem coordonate noi XȘi Y exprimată prin vechi X Și la , dacă rezolvăm ecuațiile (5) și (6) în raport cu XȘi Y.

Cometariu. Formulele (5) și (6) pot fi obținute diferit.

Din fig. 71 avem:

X = SAU = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM sin α păcat φ ,

la = RM = OM sin ( α + φ ) = OM sin α cos φ + OM cos α păcat φ .

Întrucât (Capitolul I, § 11) OM cos φ = X, OM sin φ =Y, Acea

X = X cos α - Y păcat α , (5)

y = X păcat α + Y cos α . (6)

§ 4. Caz general.

Să fie date două sisteme de coordonate carteziene cu origini diferite și direcții diferite ale axelor (Fig. 72).

Să notăm prin A Și b coordonatele noului început DESPRE, conform vechiului sistem, prin α - unghiul de rotaţie al axelor de coordonate şi, în final, prin X y Și X Y- coordonatele unui punct arbitrar M conform sistemului vechi, respectiv noului.

A exprima X Și la prin XȘi Y, să introducem un sistem de coordonate auxiliar X 1 O 1 y 1, al cărui început va fi plasat într-un nou început DESPRE 1 și luați direcțiile axelor pentru a coincide cu direcțiile axelor vechi. Lăsa X 1 și y 1 indică coordonatele punctului M în raport cu acest sistem auxiliar. Trecând de la vechiul sistem de coordonate la cel auxiliar, avem (§ 2):

X = X 1 + a , y = y 1 + b .

X 1 = X cos α - Y păcat α , y 1 = X păcat α + Y cos α .

Înlocuirea X 1 și y 1 în formulele anterioare cu expresiile lor din ultimele formule, găsim în cele din urmă:

X = X cos α - Y păcat α + A

y = X păcat α + Y cos α + b (eu)

Formulele (I) conţin ca caz special formulele §§ 2 şi 3. Astfel, când α = 0 formule (I) se transformă în

X = X + A , y = Y + b ,

și atunci când a = b = 0 avem:

X = X cos α - Y păcat α , y = X păcat α + Y cos α .

Din formulele (I) obținem coordonate noi XȘi Y exprimată prin vechi X Și la , dacă ecuațiile (I) sunt rezolvabile în raport cu XȘi Y.

Să notăm o proprietate foarte importantă a formulelor (I): sunt liniare în raport cu XȘi Y, adică de forma:

X = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .

Este ușor să verificați dacă noile coordonate sunt XȘi Y va fi exprimat prin vechi X Și la tot prin formule de gradul I privind X Și u.

G.N. Yakovlev „Geometrie”

§ 13. Trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare la altul

Prin alegerea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele din plan și perechi ordonate de numere reale. Aceasta înseamnă că fiecare punct din plan corespunde unei singure perechi de numere, iar fiecare pereche ordonată de numere reale corespunde unui singur punct.

Alegerea unuia sau altui sistem de coordonate nu este limitată în niciun fel și este determinată în fiecare caz specific doar de considerente de comoditate. Adesea, aceeași mulțime trebuie luată în considerare în sisteme de coordonate diferite. Același punct în sisteme diferite are, evident, coordonate diferite. Un set de puncte (în special, un cerc, o parabolă, o linie dreaptă) în diferite sisteme de coordonate este dat de ecuații diferite.

Să aflăm cum sunt transformate coordonatele punctelor de pe plan atunci când trecem de la un sistem de coordonate la altul.

Să fie date două sisteme de coordonate dreptunghiulare pe plan: O, eu, j și despre", i", j" (Fig. 41).

Primul sistem cu un început în punctul O și vectori de bază i Și j să fim de acord să-l numim cel vechi, al doilea - cu începutul în punctul O" și vectorii de bază eu" Și j" - nou.

Vom lua în considerare poziția noului sistem față de cel vechi cunoscută: fie punctul O" din vechiul sistem să aibă coordonate ( a;b ), un vector eu" forme cu vector i colţ α . Colţ α Numărăm în direcția opusă mișcării în sensul acelor de ceasornic.

Să considerăm un punct arbitrar M. Să notăm coordonatele acestuia în vechiul sistem prin ( X y ), în cel nou - prin ( X y" ). Sarcina noastră este să stabilim relația dintre coordonatele vechi și noi ale punctului M.

Să conectăm în perechi punctele O și O", O" și M, O și M. Folosind regula triunghiului obținem

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Să extindem vectorii OM> și OO"> prin vectori de bază i Și j , și vectorul O"M> prin vectori de bază eu" Și j" :

OM > = X i+ y j , OO" > = A i+ b j , O"M > = X" i„+ y” j "

Acum egalitatea (1) poate fi scrisă după cum urmează:

X i+ y j = (A i+ b j ) + (X" i„+ y” j "). (2)

Noi vectori de bază eu" Și j" sunt extinse conform vechilor vectori de bază i Și j in felul urmator:

eu" =cos α i + păcat α j ,

j" =cos( π / 2 + α ) i +păcat( π / 2 + α ) j = - păcat α i +cos α j .

Înlocuind expresiile găsite pentru eu" Și j" în formula (2), obținem egalitatea vectorială

X i+ y j = A i+ b j + X"(cos α i + păcat α j ) + y"(-păcat α i +cos α j )

echivalent cu două egalități numerice:

x = a + X" cos α - y" păcat α , la = b+ X" păcat α + y" cos α

Formulele (3) dau expresiile necesare pentru coordonatele vechi XȘi la puncte prin noile sale coordonate X"Și y". Pentru a găsi expresii pentru coordonatele noi în termenii celor vechi, este suficient să rezolvăm sistemul de ecuație (3) în raport cu necunoscutele. X"Și y".

Deci, coordonatele punctelor când originea coordonatelor este transferată în punctul ( A; b ) și rotirea axelor cu un unghi α sunt transformate după formulele (3).

Dacă se schimbă doar originea coordonatelor, iar direcțiile axelor rămân aceleași, atunci, presupunând în formulele (3) α = 0, obținem

Formulele (5) se numesc formule de rotație.

Sarcina 1. Fie coordonatele noului început în vechiul sistem (2; 3), iar coordonatele punctului A în vechiul sistem (4; -1). Găsiți coordonatele punctului A în noul sistem dacă direcțiile axelor rămân aceleași.

Conform formulelor (4) avem

Răspuns. A(2;-4)

Sarcina 2. Fie coordonatele punctului P în vechiul sistem (-2; 1), iar în noul sistem, ale cărui direcții ale axelor sunt aceleași, coordonatele acestui punct (5; 3). Găsiți coordonatele noului început în vechiul sistem.

A Din formulele (4) obținem

- 2= a + 5 1 = b + 3

Unde A = - 7, b = - 2.

Răspuns. (-7; -2).

Sarcina 3. Coordonatele punctului A în noul sistem (4; 2). Găsiți coordonatele acestui punct în vechiul sistem dacă originea rămâne aceeași și axele de coordonate ale vechiului sistem sunt rotite cu un unghi α = 45°.

Folosind formulele (5) găsim

Sarcina 4. Coordonatele punctului A în vechiul sistem (2 √3 ; - √3 ). Găsiți coordonatele acestui punct în noul sistem dacă originea vechiului sistem este mutată în punctul (-1;-2) și axele sunt rotite cu un unghi α = 30°.

Conform formulelor (3) avem

După ce am rezolvat acest sistem de ecuații pentru X"Și y", găsim: X" = 4, y" = -2.

Răspuns. A (4; -2).

Sarcina 5. Este dată ecuația dreptei la = 2X - 6. Aflați ecuația aceleiași drepte în noul sistem de coordonate, care se obține din vechiul sistem prin rotirea axelor cu un unghi α = 45°.

Formulele de rotație în acest caz au forma

Înlocuirea dreptei în ecuație la = 2X - 6 variabile vechi X Și la nou, obținem ecuația

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (X y") - 6 ,

care după simplificări ia forma y" = X" / 3 - 2√2

Să fie date în plan două sisteme de coordonate dreptunghiulare carteziene arbitrare. Primul este determinat de începutul lui O și de vectorii de bază i j , al doilea – centrul DESPRE'și vectori de bază i ’ j ’ .

Să stabilim scopul de a exprima coordonatele x y ale unui punct M relativ la primul sistem de coordonate prin X’ Și y’ – coordonatele aceluiași punct relativ la al doilea sistem.

observa asta

Să notăm coordonatele punctului O’ relativ la primul sistem cu a și b:

Să extindem vectorii i ’ Și j ’ pe baza i j :

(*)

În plus, avem:
. Să introducem aici expansiunea vectorilor în raport cu baza i ’ j ’ :

de aici

Putem concluziona: oricare ar fi două sisteme carteziene arbitrare de pe plan, coordonatele oricărui punct din plan relativ la primul sistem sunt funcții liniare ale coordonatelor aceluiași punct față de cel de-al doilea sistem.

Să înmulțim mai întâi ecuațiile (*) scalar cu i , apoi j :

Să notăm cu  unghiul dintre vectori i Și i ’ . Sistem de coordonate i j poate fi combinat cu sistemul i ’ j ’ prin translație paralelă și rotire ulterioară printr-un unghi . Dar aici este posibilă și o opțiune de arc: unghiul dintre vectorii de bază i i ’ de asemenea , și unghiul dintre vectorii de bază j ’ j ’ egal cu  - . Aceste sisteme nu pot fi combinate cu translația și rotația paralelă. De asemenea, este necesar să schimbați direcția axei la spre opus.

Din formula (**) obținem în primul caz:

În al doilea caz

Formulele de conversie sunt:

Nu vom lua în considerare al doilea caz. Să fim de acord să considerăm că ambele sisteme sunt corecte.

Acestea. concluzie: oricare ar fi cele două sisteme de coordonate drepte, primul dintre ele poate fi combinat cu al doilea prin translație paralelă și rotire ulterioară în jurul originii cu un anumit unghi .

Formule de transfer paralel:

Formule de rotație a axelor:

Conversii inverse:

Transformarea coordonatelor dreptunghiulare carteziene în spațiu.

În spațiu, raționând într-un mod similar, putem scrie:

(***)

Și pentru coordonate obțineți:

(****)

Deci, oricare ar fi două sisteme de coordonate arbitrare în spațiu, coordonatele x y z ale unui punct relativ la primul sistem sunt funcții liniare ale coordonatelor X’ y’ z’ același punct în raport cu al doilea sistem de coordonate.

Înmulțind scalar fiecare dintre egalitățile (***) cu i ’ j ’ k ’ primim:

ÎN Să lămurim sensul geometric al formulelor de transformare (****). Pentru a face acest lucru, presupunem că ambele sisteme au un început comun: A = b = c = 0 .

Să introducem în considerare trei unghiuri care caracterizează pe deplin amplasarea axelor celui de-al doilea sistem în raport cu primul.

Primul unghi este format din axa x și axa u, care este intersecția planelor xOy și x’Oy’. Direcția unghiului este cea mai scurtă viraj de la axa x la y. Să notăm unghiul cu . Al doilea unghi  este unghiul care nu depășește  între axele Oz și Oz’. În cele din urmă, al treilea unghi  este unghiul dintre axa u și Ox’, măsurat de la axa u în direcția celei mai scurte viraj de la Ox’ la Oy’. Aceste unghiuri se numesc unghiuri Euler.

Transformarea primului sistem în al doilea poate fi reprezentată ca o succesiune de trei rotații: printr-un unghi  față de axa Oz; prin unghiul  față de axa Ox’; și printr-un unghi  față de axa Oz’.

Numerele  ij pot fi exprimate în termeni de unghiuri Euler. Nu vom nota aceste formule pentru că sunt greoaie.

Transformarea în sine este o suprapunere a translației paralele și a trei rotații succesive prin unghiuri Euler.

Toate aceste argumente pot fi efectuate pentru cazul în care ambele sisteme sunt de stânga sau au orientări diferite.

Dacă avem două sisteme arbitrare, atunci, în general, le putem combina prin translație paralelă și o rotație în spațiu în jurul unei anumite axe. Nu o vom căuta.

1) Tranziția de la un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular pe un plan la un alt sistem cartezian dreptunghiular cu aceeași orientare și aceeași origine.

Să presupunem că două sisteme de coordonate dreptunghiulare carteziene sunt introduse în plan xOyşi cu o origine comună DESPRE, având aceeaşi orientare (Fig. 145). Să notăm vectorii unitari ai axelor OhȘi OU respectiv, prin și , și vectorii unitari ai axelor și prin și . În cele din urmă, să fie unghiul de la axă Oh la axa. Lăsa XȘi la– coordonatele unui punct arbitrar Mîn sistem xOy, și și sunt coordonatele aceluiași punct Mîn sistem.

Deoarece unghiul de la axă Oh la vector este egal cu , apoi coordonatele vectorului

Unghi față de axă Oh to vector este egal cu ; prin urmare coordonatele vectorului sunt egale.

Formulele (3) § 97 iau forma

Matrice de tranziție de la un cartezian xOy sistem de coordonate dreptunghiular la un alt sistem dreptunghiular cu aceeași orientare are forma

O matrice se numește ortogonală dacă suma pătratelor elementelor situate în fiecare coloană este egală cu 1, iar suma produselor elementelor corespunzătoare ale diferitelor coloane este egală cu zero, adică. Dacă

Astfel, matricea de tranziție (2) de la un sistem de coordonate dreptunghiular la un alt sistem dreptunghiular cu aceeași orientare este ortogonală. Rețineți, de asemenea, că determinantul acestei matrice este +1:

În schimb, dacă se dă o matrice ortogonală (3) cu un determinant egal cu +1, iar pe plan se introduce un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, atunci în virtutea relațiilor (4) vectorii sunt atât unitar, cât și reciproc perpendiculari, prin urmare, coordonatele vectorului din sistem xOy sunt egale cu și , unde este unghiul de la vector la vector și, deoarece vectorul este unitate și obținem din vector rotind cu , atunci fie , fie .

Este exclusă a doua posibilitate, deoarece dacă am avea , atunci ni se dă că .

Aceasta înseamnă , și matricea A se pare ca

acestea. este matricea de tranziție dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular xOy la un alt sistem dreptunghiular având aceeași orientare și unghiul .

2. Tranziția de la un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular pe un plan la un alt sistem cartezian dreptunghiular cu orientare opusă și aceeași origine.

Să fie introduse în plan două sisteme de coordonate dreptunghiulare carteziene xOyşi cu o origine comună DESPRE, dar având orientarea opusă, să notăm unghiul din axă Oh la axa prin (orientarea planului este stabilită de sistem xOy).

Deoarece unghiul de la axă Oh cu vectorul este egal cu , atunci coordonatele vectorului sunt egale:

Acum unghiul de la vector la vector este egal (Fig. 146), deci unghiul de la axă Oh cu vectorul este egal (după teorema lui Chasles pentru unghiuri) și, prin urmare, coordonatele vectorului sunt egale:

Iar formulele (3) § 97 iau forma

Matricea de tranziție

ortogonală, dar determinantul său este –1. (7)

În schimb, orice matrice ortogonală cu un determinant egal cu –1 specifică transformarea unui sistem de coordonate dreptunghiular pe plan într-un alt sistem dreptunghiular cu aceeași origine, dar orientare opusă. Deci, dacă două sisteme de coordonate dreptunghiulare carteziene xOyși să aibă un început comun, atunci

Unde X, la– coordonatele oricărui punct din sistem xOy; și sunt coordonatele aceluiași punct din sistem și

matrice ortogonală.

Înapoi dacă

matrice ortogonală arbitrară, apoi relațiile

exprimă transformarea unui sistem de coordonate cartezian dreptunghiular într-un sistem cartezian dreptunghiular sistem cu aceeași origine; - coordonatele din sistem xOy un vector unitar care dă direcția pozitivă a axei; - coordonatele din sistem xOy vector unitar care dă direcția pozitivă a axei.

sisteme de coordonate xOyși au aceeași orientare, iar în acest caz, invers.

3. Transformarea generală a unui sistem de coordonate dreptunghiular carteziene pe un plan într-un alt sistem dreptunghiular.

Pe baza punctelor 1) și 2) din acest paragraf, precum și pe baza § 96, concluzionăm că dacă în plan se introduc sisteme de coordonate dreptunghiulare xOyși , apoi coordonatele XȘi la punct arbitrar M avioane din sistem xOy cu coordonatele aceluiasi punct Mîn sistem sunt legate prin relații - coordonatele originii sistemului de coordonate în sistem xOy.

Rețineți că coordonatele vechi și noi X, lași , vectorii sub transformarea generală a sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt legați prin relații

în cazul în care sistemele xOyși au aceeași orientare și relații

în cazul în care aceste sisteme au orientarea opusă, sau în formă

matrice ortogonală. Transformările (10) și (11) se numesc ortogonale.

Capitolul 1. Adăugarea. Transformarea coordonatelor dreptunghiulare carteziene în plan și în spațiu. Sisteme speciale de coordonate în plan și în spațiu.

Regulile pentru construirea sistemelor de coordonate pe un plan și în spațiu sunt discutate în partea principală a capitolului 1. A fost remarcată comoditatea utilizării sistemelor de coordonate dreptunghiulare. În utilizarea practică a instrumentelor de geometrie analitică, este adesea nevoie de a transforma sistemul de coordonate adoptat. Acest lucru este de obicei dictat de considerente de comoditate: imaginile geometrice sunt simplificate, modelele analitice și expresiile algebrice utilizate în calcule devin mai clare.

Construirea și utilizarea sistemelor de coordonate speciale: polare, cilindrice și sferice este dictată de sensul geometric al problemei care se rezolvă. Modelarea folosind sisteme speciale de coordonate facilitează adesea dezvoltarea și utilizarea modelelor analitice în rezolvarea problemelor practice.

Rezultatele obținute în Anexa Capitolului 1 vor fi folosite în algebra liniară, majoritatea în calcul și fizică.

Transformarea coordonatelor dreptunghiulare carteziene în plan și în spațiu.

Luând în considerare problema construirii unui sistem de coordonate pe un plan și în spațiu, s-a observat că sistemul de coordonate este format din axe numerice care se intersectează într-un punct: sunt necesare două axe pe plan, trei în spațiu. În legătură cu construirea modelelor analitice ale vectorilor, introducerea produsului scalar al operației vectorilor și soluționarea problemelor de conținut geometric, s-a arătat că utilizarea sistemelor de coordonate dreptunghiulare este cea mai preferabilă.

Dacă luăm în considerare problema transformării unui anumit sistem de coordonate în mod abstract, atunci în cazul general ar fi posibil să se permită mișcarea arbitrară a axelor de coordonate într-un spațiu dat cu dreptul de a redenumi arbitrar axele.

Vom pleca de la conceptul primar sisteme de referință , acceptat în fizică. Prin observarea mișcării corpurilor s-a descoperit că mișcarea unui corp izolat nu poate fi determinată de la sine. Trebuie să mai ai cel puțin un corp în raport cu care se observă mișcare, adică o schimbare în el relativ prevederi. Pentru a obține modele analitice, legi și mișcare, cu acest al doilea corp a fost asociat un sistem de coordonate, ca sistem de referință, și în așa fel încât sistemul de coordonate să fie solid !

Deoarece mișcarea arbitrară a unui corp rigid dintr-un punct în spațiu în altul poate fi reprezentată prin două mișcări independente: de translație și de rotație, opțiunile de transformare a sistemului de coordonate au fost limitate la două mișcări:

1). Transferul paralel: urmărim doar un punct - punctul.

2). Rotația axelor sistemului de coordonate față de un punct: ca un corp rigid.

Conversia coordonatelor dreptunghiulare carteziene pe un plan.

Să avem sisteme de coordonate pe plan: , și . Sistemul de coordonate se obține prin translația paralelă a sistemului. Sistemul de coordonate este obținut prin rotirea sistemului printr-un unghi , iar direcția pozitivă de rotație este considerată o rotație în sens invers acelor de ceasornic a axei.

Să determinăm vectorii de bază pentru sistemele de coordonate adoptate. Deoarece sistemul a fost obținut prin transfer paralel al sistemului, atunci pentru ambele sisteme acceptăm vectorii de bază: , și cei unitar și care coincid în direcția cu axele de coordonate , , respectiv. Pentru sistem, ca vectori de bază vom lua vectori unitari care coincid în direcția cu axele , .

Fie dat un sistem de coordonate și un punct = definit în el. Vom presupune că înainte de transformare avem sisteme de coordonate coincidente și . Să aplicăm translația paralelă sistemului de coordonate, definit de vector. Este necesar să se definească transformarea de coordonate a unui punct. Să folosim egalitatea vectorială: = + , sau:

Să ilustrăm transformarea translației paralele cu un exemplu cunoscut în algebra elementară.

Exemplul D–1 : Ecuația parabolei este dată: = = . Reduceți ecuația acestei parabole la forma sa cea mai simplă.

Soluţie:

1). Să folosim tehnica evidenţiind un pătrat complet : = , care poate fi ușor reprezentat ca: –3 = .

2). Să aplicăm transformarea de coordonate - transfer paralel := . După aceasta, ecuația parabolei ia forma: . Această transformare în algebră este definită după cum urmează: parabolă = obținută prin deplasarea celei mai simple parabole la dreapta cu 2 și în sus cu 3 unități.

Răspuns: Cea mai simplă formă a unei parabole este: .

Fie dat un sistem de coordonate și un punct = definit în el. Vom presupune că înainte de transformare avem sisteme de coordonate coincidente și . Să aplicăm o transformare de rotație sistemului de coordonate astfel încât în ​​raport cu poziția sa inițială, adică în raport cu sistemul, se dovedește a fi rotit cu un unghi . Este necesară definirea transformării de coordonate a punctului = . Să scriem vectorul în sistemele de coordonate și : = . (2) =1. Din teoria liniilor de ordinul doi rezultă că s-a obținut cea mai simplă (canonică!) ecuație a elipsei.

Răspuns: cea mai simplă formă a unei linii date: =1 este ecuația canonică a unei elipse.