IntrareFactorizarea. Factori multipli Separă factori multipli ai unui polinom exemple cu soluție
Definiția 1. Dacă polinomul f(x) dispare atunci când numărul c este înlocuit cu necunoscutul, atunci c se numește rădăcina polinomului f(x) (sau ecuația f(x)=0).
Exemplul 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
Numărul 1 este rădăcina lui f(x), iar numărul 2 nu este rădăcina lui f(x), deoarece f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 și f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Se dovedește că rădăcinile unui polinom sunt legate de divizorii săi.
Un număr c este o rădăcină a polinomului f(x) dacă și numai dacă f(x) este divizibil cu x-c.
Definiția 2. Dacă c este rădăcina polinomului f(x), atunci f(x) se împarte la x-c. Atunci există un număr natural k astfel încât f(x) este divizibil cu (x-c) k, dar nu este divizibil cu (x-c) k+1. Acest număr k se numește multiplicitatea rădăcinii c a polinomului f(x), iar rădăcina c însăși este rădăcina k-fold a acestui polinom. Dacă k=1, atunci rădăcina c se numește simplă.
Pentru a afla multiplicitatea k a rădăcinii polinomului f(x), folosiți teorema:
Dacă numărul c este rădăcina de k-ori a polinomului f(x), atunci pentru k>1 va fi rădăcina de (k-1)-ori a primei derivate a acestui polinom; dacă k=1, atunci c nu va servi ca rădăcină pentru f "(x).
Consecinţă. Pentru prima dată, rădăcina k-fold a polinomului f(x) nu va servi ca rădăcină pentru derivata k-a.
Exemplul 2. Asigurați-vă că numărul 2 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. Determinați multiplicitatea acestuia.
Soluţie. Numărul 2 este rădăcina lui f(x), deoarece 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
Numărul 2 nu este rădăcina lui f"""(x) pentru prima dată, deci numărul 2 este o rădăcină triplă a polinomului f(x).
Să fie dat un polinom f(x) de gradul n≥1 cu coeficientul de conducere 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n și α 1 ,... ,α n este rădăcinile sale. Rădăcinile unui polinom și coeficienții săi sunt legate prin formule numite formule Vieta:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Formulele lui Vieta facilitează scrierea unui polinom având în vedere rădăcinile sale.
Exemplul 3. Găsiți un polinom cu rădăcini simple 2; 3 și rădăcina dublă –1.
Soluţie. Să găsim coeficienții polinomului:
și 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
și 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Polinomul necesar este x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.
Definiția 3. Un polinom f(x)ÌP[x] de gradul n este reductibil asupra unui câmp P dacă poate fi descompus în produsul a doi factori φ(x) și ψ(x) din P[x], ale căror grade sunt mai mici decât n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x] se numește ireductibil asupra câmpului P dacă în oricare din factorizările sale din P[x] unul dintre factori are gradul 0, celălalt are gradul n.
Următoarele teoreme sunt valabile:
Orice polinom de grad diferit de zero f(x) din inelul P[x] poate fi descompus într-un produs de factori ireductibili de la P[x] unic până la factori de grad zero.
De aici rezultă cu ușurință că pentru orice polinom f(х)ОР[x] de grad n, n≥1, există următoarea descompunere în factori ireductibili:
unde sunt polinoame ireductibile în P[x] cu coeficienții conducători egali cu unu. Această expansiune pentru un polinom este unică.
Factorii ireductibili incluși într-o astfel de extindere nu trebuie să fie toți diferiți. Dacă un polinom ireductibil apare exact de k ori în expansiunea (2), atunci se numește factor de k-fold al polinomului f(x).Dacă factorul P(x) apare în această expansiune o singură dată, atunci se numește un factor simplu pentru f(x) .
Dacă în expansiunea (2) se pun împreună factori identici, atunci această expansiune poate fi scrisă în următoarea formă:
, (3)
unde factorii Р 1 (x),…, Р r (x) sunt deja toți diferiți. Indicatorii k 1 ,…,k r aici sunt egali cu multiplicitățile factorilor corespunzători. Extinderea (3) poate fi scrisă ca:
unde F 1 (x) este produsul tuturor factorilor ireductibili simpli, este produsul tuturor factorilor dubli ireductibili etc. în expansiune (3). Dacă nu există factori de m ori în expansiune (3), atunci factorul este considerat egal cu unu.
Polinoamele F 1 (x),…,F s (x) pentru polinomul f(x) peste câmpuri numerice pot fi găsite folosind conceptul de derivată, algoritmul euclidian din teorema formulată anterior (despre legătura cu derivata) după cum urmează:
Prin urmare primim
Astfel, pentru polinomul f(x) putem găsi factorii 
.
Dacă pentru un polinom f(x) este necesar să se găsească factorii F 1 (x),...,F s (x) ai expansiunii sale (4), atunci ei spun că este necesar să se separe factorii multiplii săi.
Exemplul 4. Separați factori multipli f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.
Soluţie. Aflați mcd f(x) și f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Acum găsim d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).
Exprimăm v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).
(facem împărțire).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(facem împărțire).
Prin urmare, obținem F 3 (x)=v 3 (x)=x+1, 
Astfel, polinomul f(x) are expansiunea f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. În expansiunea (3) a polinomului f(x) nu există factori primi, un factor dublu este x-2 și un factor triplu este x+1.
Nota 1. Această metodă nu dă nimic dacă toți factorii ireductibili ai polinomului f(x) sunt simpli (obținem identitatea f(x)=F 1 (x)).
Nota 2. Această metodă vă permite să determinați multiplicitățile tuturor rădăcinilor unui polinom arbitrar.
OPTIUNI DE LUCRARE LABORATOR
Opțiunea 1
1. Asigurați-vă că polinomul 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 are rădăcina 1+i. Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați multiplii lui x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.
3. Aflați polinomul de cel mai mic grad ale cărui rădăcini sunt: 5, i, i+3.
Opțiunea 2
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 2 pentru polinomul f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Găsiți restul rădăcinilor sale.
2. Separați multiplii lui x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.
3. Să se determine relația dintre coeficienții ecuației x 3 +px+q=0, dacă rădăcinile ei x 1, x 2, x 3 satisfac relația.
Opțiunea 3
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 4 pentru polinomul x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați multiplii x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.
3. Să se determine λ astfel încât una dintre rădăcinile ecuației să fie egală cu dublul celeilalte: x 3 -7x+λ=0.
Opțiunea 4
1. Să se arate că x=3 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. Determinați-i multiplicitatea și găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.
3. Suma a două rădăcini ale ecuației 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 este egală cu 1. Aflați λ.
Opțiunea 5
1. Să se arate că x 0 = -2 este rădăcina polinomului x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. Determinați-i multiplicitatea și găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați factorii multipli ai polinomului f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.
3. Aflați polinomul de cel mai mic grad având în vedere rădăcinile 1, 2, 3, 1+i.
Opțiunea 6
1. Aflați condiția în care polinomul x 5 + ax 4 + b are o rădăcină dublă diferită de zero.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.
3. Polinomul a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n are rădăcini x 1, x 2,…, x n. Ce rădăcini au polinoamele: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Opțiunea 7
1. Să se arate că x=-2 este rădăcina polinomului 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. Aflați multiplicitatea rădăcinii și găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
3. Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației 2x 3 -2x 2 -4x-1.
Opțiunea 8
1. Demonstrați că x=1 este rădăcina polinomului x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. Determinați multiplicitatea acestuia. Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
3. Una dintre rădăcinile polinomului este de două ori mai mare decât cealaltă. Aflați rădăcinile polinomului f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ.
Opțiunea 9
1. Aflați condiția în care polinomul x 5 +10ax 3 +5bx+c are o rădăcină triplă care este diferită de zero.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.
3. Rezolvați ecuația x 3 -6x 2 +qx+2=0, dacă se știe că rădăcinile ei formează o progresie aritmetică.
Opțiunea 10
1. Să se arate că x=3 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. Determinați multiplicitatea rădăcinii, găsiți alte rădăcini ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 -4x 4 -16x 2 +16.
3. Găsiți un polinom cu coeficienți reali de cel mai mic grad având în vedere rădăcinile 1, 2+i, 3.
Opțiunea 11
1. Să se arate că x=2 este rădăcina polinomului x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. Găsiți multiplicitatea și alte rădăcini.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.
3. Construiți un polinom de cel mai mic grad dacă rădăcinile lui x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 sunt cunoscute.
Opțiunea 12
1. Să se arate că x = -1 este rădăcina polinomului x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. Găsiți multiplicitatea acestuia și rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.
3. Construiți un polinom de cel mai mic grad dacă rădăcinile lui x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 sunt cunoscute.
Opțiunea 13
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 4 pentru polinomul x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.
3. Să se determine λ astfel încât una dintre rădăcinile ecuației x 3 -7x+λ=0 să fie egală cu dublul celeilalte.
Informații conexe.
Acest calculator online este conceput pentru a factoriza o funcție.
De exemplu, factorizați: x 2 /3-3x+12. Să-l scriem ca x^2/3-3*x+12. De asemenea, puteți utiliza acest serviciu, unde toate calculele sunt salvate în format Word.
De exemplu, descompuneți în termeni. Să-l scriem ca (1-x^2)/(x^3+x) . Pentru a vedea progresul soluției, faceți clic pe Afișare pași. Dacă trebuie să obțineți rezultatul în format Word, utilizați acest serviciu.
Notă: numărul „pi” (π) se scrie ca pi; rădăcină pătrată ca sqrt , de exemplu sqrt(3) , tangenta tg se scrie tan . Pentru a vedea răspunsul, consultați Alternativă.
- Dacă se dă o expresie simplă, de exemplu, 8*d+12*c*d, atunci factorizarea expresiei înseamnă reprezentarea expresiei sub formă de factori. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți factori comuni. Să scriem această expresie ca: 4*d*(2+3*c) .
- Prezentați produsul sub forma a două binoame: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Aici trebuie să găsiți deja mai mulți factori comuni: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Scoatem (x+7z) și obținem: (x+7z)(x + 3y) .
vezi și Împărțirea polinoamelor cu un colț (sunt afișați toți pașii divizării cu o coloană)
Util atunci când se studiază regulile de factorizare va fi formule de înmulțire prescurtate, cu ajutorul căruia va fi clar cum să deschideți paranteze cu un pătrat:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Metode de factorizare
După ce a învăţat câteva trucuri factorizarea Se poate face următoarea clasificare a soluțiilor:- Folosind formule de înmulțire prescurtate.
- Găsirea unui factor comun.
Definiția 1. Dacă polinomul f(x) dispare atunci când numărul c este înlocuit cu necunoscutul, atunci c se numește rădăcina polinomului f(x) (sau ecuația f(x)=0).
Exemplul 1. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
Numărul 1 este rădăcina lui f(x), iar numărul 2 nu este rădăcina lui f(x), deoarece f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 și f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Se dovedește că rădăcinile unui polinom sunt legate de divizorii săi.
Un număr c este o rădăcină a polinomului f(x) dacă și numai dacă f(x) este divizibil cu x-c.
Definiția 2. Dacă c este rădăcina polinomului f(x), atunci f(x) se împarte la x-c. Atunci există un număr natural k astfel încât f(x) este divizibil cu (x-c) k, dar nu este divizibil cu (x-c) k+1. Acest număr k se numește multiplicitatea rădăcinii c a polinomului f(x), iar rădăcina c însăși este rădăcina k-fold a acestui polinom. Dacă k=1, atunci rădăcina c se numește simplă.
Pentru a afla multiplicitatea k a rădăcinii polinomului f(x), folosiți teorema:
Dacă numărul c este rădăcina de k-ori a polinomului f(x), atunci pentru k>1 va fi rădăcina de (k-1)-ori a primei derivate a acestui polinom; dacă k=1, atunci c nu va servi ca rădăcină pentru f "(x).
Consecinţă. Pentru prima dată, rădăcina k-fold a polinomului f(x) nu va servi ca rădăcină pentru derivata k-a.
Exemplul 2. Asigurați-vă că numărul 2 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. Determinați multiplicitatea acestuia.
Soluţie. Numărul 2 este rădăcina lui f(x), deoarece 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
Numărul 2 nu este rădăcina lui f"""(x) pentru prima dată, deci numărul 2 este o rădăcină triplă a polinomului f(x).
Să fie dat un polinom f(x) de gradul n≥1 cu coeficientul de conducere 1: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n și α 1 ,... ,α n este rădăcinile sale. Rădăcinile unui polinom și coeficienții săi sunt legate prin formule numite formule Vieta:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Formulele lui Vieta facilitează scrierea unui polinom având în vedere rădăcinile sale.
Exemplul 3. Găsiți un polinom cu rădăcini simple 2; 3 și rădăcina dublă –1.
Soluţie. Să găsim coeficienții polinomului:
și 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
și 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Polinomul necesar este x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.
Definiția 3. Un polinom f(x)ÌP[x] de gradul n este reductibil asupra unui câmp P dacă poate fi descompus în produsul a doi factori φ(x) și ψ(x) din P[x], ale căror grade sunt mai mici decât n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x] se numește ireductibil asupra câmpului P dacă în oricare din factorizările sale din P[x] unul dintre factori are gradul 0, celălalt are gradul n.
Următoarele teoreme sunt valabile:
Orice polinom de grad diferit de zero f(x) din inelul P[x] poate fi descompus într-un produs de factori ireductibili de la P[x] unic până la factori de grad zero.
De aici rezultă cu ușurință că pentru orice polinom f(х)ОР[x] de grad n, n≥1, există următoarea descompunere în factori ireductibili:
unde sunt polinoame ireductibile în P[x] cu coeficienții conducători egali cu unu. Această expansiune pentru un polinom este unică.
Factorii ireductibili incluși într-o astfel de extindere nu trebuie să fie toți diferiți. Dacă un polinom ireductibil apare exact de k ori în expansiunea (2), atunci se numește factor de k-fold al polinomului f(x).Dacă factorul P(x) apare în această expansiune o singură dată, atunci se numește un factor simplu pentru f(x) .
Dacă în expansiunea (2) se pun împreună factori identici, atunci această expansiune poate fi scrisă în următoarea formă:
, (3)
unde factorii Р 1 (x),…, Р r (x) sunt deja toți diferiți. Indicatorii k 1 ,…,k r aici sunt egali cu multiplicitățile factorilor corespunzători. Extinderea (3) poate fi scrisă ca:
unde F 1 (x) este produsul tuturor factorilor ireductibili simpli, este produsul tuturor factorilor dubli ireductibili etc. în expansiune (3). Dacă nu există factori de m ori în expansiune (3), atunci factorul este considerat egal cu unu.
Polinoamele F 1 (x),…,F s (x) pentru polinomul f(x) peste câmpuri numerice pot fi găsite folosind conceptul de derivată, algoritmul euclidian din teorema formulată anterior (despre legătura cu derivata) după cum urmează:
Prin urmare primim
Astfel, pentru polinomul f(x) putem găsi factorii 
.
Dacă pentru un polinom f(x) este necesar să se găsească factorii F 1 (x),...,F s (x) ai expansiunii sale (4), atunci ei spun că este necesar să se separe factorii multiplii săi.
Exemplul 4. Separați factori multipli f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.
Soluţie. Aflați mcd f(x) și f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Acum găsim d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).
Exprimăm v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).
(facem împărțire).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(facem împărțire).
Prin urmare, obținem F 3 (x)=v 3 (x)=x+1, 
Astfel, polinomul f(x) are expansiunea f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. În expansiunea (3) a polinomului f(x) nu există factori primi, un factor dublu este x-2 și un factor triplu este x+1.
Nota 1. Această metodă nu dă nimic dacă toți factorii ireductibili ai polinomului f(x) sunt simpli (obținem identitatea f(x)=F 1 (x)).
Nota 2. Această metodă vă permite să determinați multiplicitățile tuturor rădăcinilor unui polinom arbitrar.
OPTIUNI DE LUCRARE LABORATOR
Opțiunea 1
1. Asigurați-vă că polinomul 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 are rădăcina 1+i. Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați multiplii lui x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.
3. Aflați polinomul de cel mai mic grad ale cărui rădăcini sunt: 5, i, i+3.
Opțiunea 2
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 2 pentru polinomul f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Găsiți restul rădăcinilor sale.
2. Separați multiplii lui x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.
3. Să se determine relația dintre coeficienții ecuației x 3 +px+q=0, dacă rădăcinile ei x 1, x 2, x 3 satisfac relația.
Opțiunea 3
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 4 pentru polinomul x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați multiplii x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.
3. Să se determine λ astfel încât una dintre rădăcinile ecuației să fie egală cu dublul celeilalte: x 3 -7x+λ=0.
Opțiunea 4
1. Să se arate că x=3 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. Determinați-i multiplicitatea și găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.
3. Suma a două rădăcini ale ecuației 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 este egală cu 1. Aflați λ.
Opțiunea 5
1. Să se arate că x 0 = -2 este rădăcina polinomului x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. Determinați-i multiplicitatea și găsiți rădăcinile rămase.
2. Separați factorii multipli ai polinomului f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.
3. Aflați polinomul de cel mai mic grad având în vedere rădăcinile 1, 2, 3, 1+i.
Opțiunea 6
1. Aflați condiția în care polinomul x 5 + ax 4 + b are o rădăcină dublă diferită de zero.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.
3. Polinomul a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n are rădăcini x 1, x 2,…, x n. Ce rădăcini au polinoamele: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Opțiunea 7
1. Să se arate că x=-2 este rădăcina polinomului 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. Aflați multiplicitatea rădăcinii și găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
3. Aflați suma pătratelor rădăcinilor ecuației 2x 3 -2x 2 -4x-1.
Opțiunea 8
1. Demonstrați că x=1 este rădăcina polinomului x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. Determinați multiplicitatea acestuia. Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
3. Una dintre rădăcinile polinomului este de două ori mai mare decât cealaltă. Aflați rădăcinile polinomului f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ.
Opțiunea 9
1. Aflați condiția în care polinomul x 5 +10ax 3 +5bx+c are o rădăcină triplă care este diferită de zero.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.
3. Rezolvați ecuația x 3 -6x 2 +qx+2=0, dacă se știe că rădăcinile ei formează o progresie aritmetică.
Opțiunea 10
1. Să se arate că x=3 este rădăcina polinomului f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. Determinați multiplicitatea rădăcinii, găsiți alte rădăcini ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 -4x 4 -16x 2 +16.
3. Găsiți un polinom cu coeficienți reali de cel mai mic grad având în vedere rădăcinile 1, 2+i, 3.
Opțiunea 11
1. Să se arate că x=2 este rădăcina polinomului x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. Găsiți multiplicitatea și alte rădăcini.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.
3. Construiți un polinom de cel mai mic grad dacă rădăcinile lui x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 sunt cunoscute.
Opțiunea 12
1. Să se arate că x = -1 este rădăcina polinomului x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. Găsiți multiplicitatea acestuia și rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.
3. Construiți un polinom de cel mai mic grad dacă rădăcinile lui x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 sunt cunoscute.
Opțiunea 13
1. Care este multiplicitatea rădăcinii x 0 = 4 pentru polinomul x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Găsiți rădăcinile rămase ale polinomului.
2. Separați factorii multipli ai polinomului x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.
3. Să se determine λ astfel încât una dintre rădăcinile ecuației x 3 -7x+λ=0 să fie egală cu dublul celeilalte.
Există metode care vă permit să aflați dacă un anumit polinom are factori multipli, iar dacă răspunsul este pozitiv, ele fac posibilă reducerea studiului acestui polinom la studiul polinoamelor care nu mai conțin factori multipli.
Teorema. Dacă este un factor ireductibil multiplu al unui polinom, atunci va fi un factor multiplu al derivatei acestui polinom. În special, factorul prim al unui polinom. Nu intră în expansiune derivată.
De fapt, lasă
și nu mai este divizibil cu. Diferențiând egalitatea (5.1), obținem:
Al doilea dintre termenii din paranteze nu este divizibil cu. Într-adevăr, nu este divizibil după condiție, are un grad inferior, adică. de asemenea, nu este divizibil cu. Pe de altă parte, primul termen al sumei dintre paranteze pătrate este împărțit la, i.e. multiplicatorul intră de fapt în joc cu multiplu.
Din această teoremă și din metoda de mai sus de găsire a celui mai mare divizor comun a două polinoame rezultă că, dacă este dată descompunerea unui polinom în factori ireductibili:
atunci cel mai mare divizor comun al unui polinom și al derivatei sale are următoarea descompunere în factori ireductibili:
unde multiplicatorul trebuie înlocuit cu unul. În special, un polinom nu conține factori multipli dacă și numai dacă este coprim față de derivata sa.
Izolarea multiplilor
Dacă este dat un polinom cu expansiune (5.2) și dacă notăm cel mai mare divizor comun și derivata acestuia, atunci (5.3) va fi o expansiune pentru. Împărțind (5.2) la (5.3), obținem:
acestea. obţinem un polinom care nu conţine factori multipli, şi fiecare factor ireductibil pentru care, în general, are un grad mai mic şi, în orice caz, conţine doar factori primi. Dacă această problemă este rezolvată, atunci tot ce rămâne este să se determine multiplicitatea factorilor ireductibili găsiți în, care se realizează prin utilizarea algoritmului de împărțire.
Complicând metoda descrisă acum, putem trece imediat la luarea în considerare a mai multor polinoame fără factori multipli și, după găsirea factorilor ireductibili ai acestor polinoame, nu numai că vom găsi toți factorii ireductibili pentru, dar vom cunoaște și multiplicitatea acestora.
Fie (5.2) o descompunere în factori ireductibili, iar cea mai mare multiplicitate de factori este, . Să notăm prin produsul tuturor factorilor unici ai unui polinom, prin produsul tuturor factorilor dubli, dar luați o singură dată etc., în sfârșit, prin produsul tuturor factorilor multipli, luat și o singură dată; dacă pentru unii în nu există factori multipli, atunci presupunem. Apoi va fi împărțit la gradul polinomului și expansiunea (5.2) va lua forma
iar extinderea (5.3) pentru se va rescrie sub forma
notând prin cel mai mare divizor comun al unui polinom și derivata lui și în general prin cel mai mare divizor comun al polinoamelor și, în acest fel, obținem:
……………………………
……………………………
Și așa în sfârșit
Astfel, folosind doar tehnici care nu necesită cunoașterea factorilor ireductibili ai polinomului, și anume luând derivata, algoritmul euclidian și algoritmul de împărțire, putem găsi polinoame fără factori multipli, iar fiecare factor ireductibil al polinomului va fi - multiplu. pentru.
Exemplu. Factorizați un polinom în multipli.
Polinomul are o expansiune sub formă.
Am făcut un program pentru factorizarea unui polinom în multipli.
Windows, Mesaje, SysUtils, Variante, Clase, Grafică, Controale, Formulare,
Dialoguri, StdCtrls, Grile;
TForm1 = clasa (TForm)
SGd1: TStringGrid;
Buton1: TBbutton;
SGd2: TStringGrid;
SGd3: TStringGrid;
SGd4: TStringGrid;
procedură Button1Click(Expeditor: TObject);
(Declarații private)
(Declarații publice)
c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,pas,f:intger;
kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:matrice de întreg;
izub,e,fx:matrice de întregi;
procedura TForm1.Button1Click(Expeditor: TObject);
var i,j,k_1,st3,l:intger;
k2_2,k1_1:matrice de întregi;
st1:=StrToInt(Edit1.Text);
pentru i:=0 la st1 începe
SGd4.Cells:=SGd1.Cells;
pentru i:=0 la st1 începe
dacă SGd1.Celele<>"" apoi
kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)
else MessageDlg("Atenție! Valorile coeficientului nu au fost introduse!",mtWarning,,0);
pentru i:=st1 până la 0 începe
dacă kof1[i]<>0 apoi începe
dacă(kof1<0)or(i=0) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
kof2:=kof1[i]*i;
//Edit2.Text:=s;
pentru i:=st2 până la 0 începe
SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);
dacă kof2[i]<>0 apoi începe
dacă(kof2<0)or(i=1) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
//Edit3.Text:=s;
pentru i:=0 la st1 începe
kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
pentru i:=0 la st2 începe
kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
în timp ce kof2<>0 începe
//Edit4.Text:="";
dacă k1<>kof2 apoi începe
dacă (k1 mod kof2)=0 atunci începe
pentru j:=0 la st2 do
k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];
dacă k2<>1 atunci
pentru j:=0 la st1 do
k1[j]:=kof2*k1[j];
dacă k_1<>1 apoi începe
pentru j:=0 la st2 do
k2[j]:=k_1*kof2[j];
pentru i:=1 la st1 începe
k1:=k1[i]-k2[i];
pana la st1 dacă k1<>0 apoi începe //Abreviere pentru i:=1 la st1 do dacă k1[i]<>0 apoi începe dacă (k1[i] mod k1)<>0 atunci sokr:=false; dacă sokr=true atunci pentru i:=0 la st1 do k1[i]:=k1[i] div k_1; for i:=0 to st2 do //Înlocuirea polinoamelor k2_2[i]:=kof2[i]; pentru i:=0 la st1 do pentru i:=0 până la 10 începe SGd3.Cells:=""; SGd1.Cells:=""; izub:=0; izubst:=st2; pentru i:=0 la st2 începe SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]); izub:=k1[i]; dacă k1[i]<>0 apoi începe //Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i); dacă (k2_2>0) și (i pentru i:=0 la st1 începe kof2[i]:=k1_1[i]; d_st:=StrToInt(Edit1.Text); pentru i:=d_st+1 până la 1 începe kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells); //Găsirea lui E pentru n_nod:=1 la n_iz începe m:=izubst; pentru i:=n+1 până la 1 începe pentru i:=m+1 până la 1 începe b[i]:=izub; pentru i:=n+1 până la 1 începe dacă un[i]<>0 apoi începe în cazul în care o<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; pentru i:=m+1 până la 1 începe dacă b[i]<>0 apoi începe dacă (b<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; pentru j:=n+1 până la 1 începe pentru j:=m+1 până la 1 începe b2[j]:=buf[i]*b[j]; pentru j:=f până la 1 începe a2[j]:=a2[j]*b; pentru j:=f până la 1 începe a2[j]:=a2[j]-b2; pentru i:=f+1 până la 1 începe e:=buf[i]; dacă buf[i]<>0 apoi începe dacă (buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; pentru i:=n până la 0 începe dacă a2[i]<>0 apoi începe dacă (a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; pentru n_nod:=1 până la n_iz-1 începe m:=est; pentru i:=n+1 până la 1 începe a[i]:=e; pentru i:=m+1 până la 1 începe b[i]:=e; dacă n_nod=n_iz-1 atunci fx:=b[i]; pentru i:=n+1 până la 1 începe dacă un[i]<>0 apoi începe dacă (a<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; pentru i:=m+1 până la 1 începe dacă b[i]<>0 atunci începe dacă (b<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; pentru j:=n+1 până la 1 începe pentru i:=pasul+1 în jos până la 1 începe pentru j:=m+1 până la 1 începe b2[j]:=buf[i]*b[j]; pentru j:=f până la 1 începe a2[j]:=a2[j]*b; pentru j:=f până la 1 începe a2[j]:=a2[j]-b2; pentru i:=f+1 până la 1 începe fx:=buf[i]; dacă buf[i]<>0 apoi începe dacă (buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; pentru i:=n până la 0 începe dacă a2[i]<>0 atunci începe dacă (a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; fxst:=est+1; pentru i:=1 la n_iz începe pentru j:=fxst[i] până la 0 începe dacă fx<>0 apoi începe dacă(fx<0)or(j=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; s:=s+")^"+IntToStr(i)+" "; Edit6.Text:=Edit6.Text+s; pentru i:=0 până la 10 începe SGd1.Cells:=SGd4.Cells; Teorema 14.1. (Teoremă fundamentală despre polinoame). Orice polinom de grad pozitiv peste un câmp F poate fi reprezentat ca un produs de polinoame ireductibile peste F, iar o astfel de reprezentare este unică în ordinea factorilor și a asocierii. Dovada. 1) Existenta. Lăsa f(x) F(x)Și deg f(x)=n> 0. Efectuăm demonstrația folosind metoda inducției matematice asupra parametrului n. 1. Lasă n=1 f(x) ireductibil peste F => f(x)=f(x)– reprezentarea necesară. 2. Să presupunem că afirmația este adevărată pentru orice polinom de grad pozitiv< n peste câmp F. 3. Să demonstrăm afirmația pentru polinom f(x). Dacă f(x) ireductibil peste F, Acea f(x)=f(x) este reprezentarea necesară. Lăsa f(x) dăm mai sus F f(x)=f 1 (X) , Unde f 1 (x),f 2 (x)F[X] și 0 < deg f i < n, i=
f 1 (x) = p 1 (x)·p 2 (x) · …·p r (x)Și f 2 (x)=q 1 (x) ·…·q s (x)– reprezentare și sub formă de produs de polinoame ireductibile peste f=f 1 f 2 = p 1 · … ·p r · q 1 · … ·q s– reprezentarea necesară. De la 1 la 3, folosind metoda inducției matematice, afirmația este adevărată pentru oricare n N.
2) Unicitatea. Lăsa f(x)=p 1 (x)· … ·p r (x)Și f(x)=q 1 (x)· … ·q s (x)– reprezentări necesare (1). Deoarece r,s N, fie r s, sau r s. Să, de exemplu, r s. Deoarece partea stângă a lui (1) este divizibilă cu p 1 ,
Acea (q 1 · … ·q s) p 1 după Lema 13.4 cel puțin unul dintre factori este divizibil cu p 1 .
Deoarece factorii pot fi schimbați, vom presupune că q 1 p 1 prin Lema 13.2 q 1 ~q 2 și prin observația 3 q 1 =p 1 ·A 0, unde A 0 F# => p 1 · … ·p r =a 0 · p 1 · q 2 · … ·q s, (2). Deoarece partea stângă a lui (2) este divizibilă cu R 2, apoi ca mai sus, obținem R 2 ~q 2 și R 2 =q 2 b 0, unde b 0 F#,și (3), etc., după un număr finit de pași obținem 1 =a 0 ·
0 · … ·q r + 1 · … ·q s(4). Să presupunem că r Definiție 14.1. Lăsa F- camp. Polinom f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F[X]se numește normalizat sau dat, Dacă A 0 =
1. Corolarul 14.1.1. Orice polinom f de grad pozitiv peste un câmp F poate fi reprezentat sub forma: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), unde a 0 F #, p 1,…,p r sunt polinoame normalizate ireductibil peste F. Observația 14.1. Lăsa f(x) F[x], F - camp, degf(x)>0. Apoi, prin corolarul 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x)(1), unde a 0 F #, p 1 (x),…,p r (x) - ireductibil peste F polinoame normalizate. Este posibil ca printre polinoame p 1 ,…,p r sunt egali .
Înmulțind factori egali în (1), obținem o egalitate de formă f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s . Definiție 14.2. Lăsa f(x) F[X], F- camp, grade f(x)>0. Reprezentare polinomială f(x) la fel de f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2), Unde a 0 F # , p 1, …, p s- ireductibile distincte pe perechi pe un câmp F polinoame normalizate, k i ≥1, i=, chemat reprezentare canonică polinom f, număr k i numit multiplicitatea factorului p i , i=. Dacă k i = 1, atunci p i se numește factor simplu ireductibil al polinomului f. Corolarul 14.2.Fie f(x), g(x) F[X], F - câmp, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , unde a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – polinoame normalizate distincte în perechi ireductibile peste F, k i 0,l i 0, i= . Atunci (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s , unde γ i =min{k i ,l i} , i= ,[f,g]= p 1 δ 1 ·p 2 δ 2 · … ·p s δ s, unde δ i =max(k i,l i), i=. Definiție 14.3. Lăsa f(x) F[X], F- inel asociativ-comutativ cu identitate, Cu- rădăcină f(x). Număr k numit multiplicitate rădăcină c polinom f(x), Dacă f (x-s) k, Dar f (x-c) k + 1 . În acest caz ei scriu (x-c) k ┬ f(x) - această intrare înseamnă că (x-c) k- acesta este gradul cel mai înalt (x-s), care desparte f(x). Observația 14.2. Dacă k = 1, atunci Cu numită rădăcină simplă a unui polinom f(x). Lăsa f(x) F[X], F- camp. Să ne punem sarcina de a separa toți factorii multipli ireductibili ai polinomului f(x). Pentru a face acest lucru, demonstrăm următoarea teoremă. Polinomul f(x) F[X], unde F este un câmp, nu are factori multipli ireductibili de multiplicitate k > 1(f,f ")= 1.
Corolarul 14.2.3.Factori multipli ireductibili ai polinomului f F[X] sunt exact factorii ireductibili ai polinomului d(x)=(f,f "). Concluzie: Astfel, problema separării mai multor factori ireductibili ai unui polinom f(x) se rezumă la găsirea d=(f,f ")și extinderea polinomului d prin multiplicatori. La rândul său, separați multiplii factori ireductibili ai polinomului d(x) posibil prin constatare d 1 =(d,d ") etc.
1 q r + 1 => deg q r + 1 =0 =>
contradicţie => r=s. Astfel, reprezentarea polinomului f(x) sub forma produsului solicitat se determină unic până la ordinea factorilor și asocierea. Teorema a fost demonstrată.