IntrareÎntrebări și sarcini teoretice în algebra liniară. Diferenţial liniar
Vedere generală a sistemului
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - coeficienții sistemului; - membri gratuiti; - variabile;
Dacă toate = 0, sistemul se numește omogen.
Rezolvarea generală a unui sistem de ecuații liniare
Definiția 1. Sistem omogen m ecuaţii algebrice liniare pentru n necunoscute se numește sistem de ecuații
tip (1) sau sub formă de matrice (2)
unde A este o matrice dată de coeficienți de dimensiunea mxn,
Coloana n de necunoscute este coloana zero cu înălțimea m.
Un sistem omogen este întotdeauna consistent (matricea extinsă coincide cu A) și are soluții evidente: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Această soluție se numește zero sau banal. Orice altă soluție, dacă există, se numește nebanală.
Teorema 1. Dacă rangul matricei A este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul (1) are o soluție unică (trivială).
Într-adevăr, conform teoremei lui Cramer, r=n și soluția este unică.
Teorema 2. Pentru ca un sistem omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca rangul matricei sistemului să fie mai mic decât numărul de necunoscute ( rezultă din teorema numărului de soluţii).
Þ dacă există soluții diferite de zero, atunci soluția nu este unică, atunci determinantul sistemului este egal cu zero, atunci r Ü dacă r Teorema 3. Un sistem omogen de n ecuații cu n necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă detA = 0. Þ dacă există soluții diferite de zero, atunci există infinit de soluții, atunci conform teoremei privind numărul de soluții r Ü dacă detA = 0, atunci r Teorema 4. Pentru ca un sistem omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar ca numărul de ecuații ale sistemului să fie mai mic decât numărul de necunoscute. Deoarece rangul unei matrice de coeficienți nu poate fi mai mare decât numărul de rânduri (precum și numărul de coloane), atunci r Definiția 2. Se numesc variabilele de sistem situate pe coloanele de bază ale matricei de coeficienți inițiale variabile de bază, iar variabilele rămase ale sistemului sunt numite gratuit. Definiția 4. Decizie privată sistemul neomogen AX = B se numeşte vectorul coloană X obţinut de zero valorile gratuit variabile. Teorema 6. Soluție generală a unui sistem neomogen ecuațiile liniare AX = B au forma , unde este o soluție particulară a sistemului de ecuații AX = B și este RSF al sistemului omogen AX = 0. Un sistem neomogen de ecuații liniare este un sistem de forma: Matricea sa extinsă. Teoremă (asupra soluției generale a sistemelor neomogene). · dacă , unde este numărul de variabile ale sistemului (2), atunci soluția (2) există și este unică; · dacă , atunci soluția generală a sistemului (2) are forma , unde este soluția generală a sistemului (1), numită soluție generală omogenă, este o soluție particulară a sistemului (2), numită soluție privată neomogenă. Un sistem omogen de ecuații liniare este un sistem de forma: Soluția zero a sistemului (1) se numește solutie triviala. Sistemele omogene sunt întotdeauna compatibile, deoarece întotdeauna există o soluție banală. Dacă există vreo soluție diferită de zero pentru sistem, atunci aceasta este numită nebanală. Soluțiile unui sistem omogen au proprietatea liniarității: Teoremă (asupra soluției liniare a sistemelor omogene). Teoremă (despre structura soluției generale). · dacă , unde este numărul de variabile de sistem, atunci există doar o soluție trivială; · dacă , atunci există soluții liniar independente ale sistemului luat în considerare: , și al acestuia decizie comună are forma: , unde sunt unele constante. 2. Permutări și substituții. Determinant de ordinul al n-lea. Proprietățile determinanților. Definiția determinantului - ordinul al-lea. Să fie dată o matrice pătrată de ordinul întâi: Definiție. Produsul elementelor matricei A, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, se numește membru al determinantului matricei A.3 Dacă oricare două rânduri sau două coloane sunt interschimbate în determinant, atunci determinantul își schimbă semnul în opusul. 4Dacă o matrice conține un rând (coloană) zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero.5 Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt egale între ele, atunci determinantul acestei matrice este egal la zero.6 Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice sunt proporționale între ele, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero.7 Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.8 Dacă toate elementele k al treilea rând (coloana) al determinantului sunt prezentate ca sume a k j + b k j, atunci determinantul poate fi reprezentat ca o sumă a determinanților corespunzători.9 Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare ale altui rând (sau coloanei corespunzătoare) sunt adăugate elementelor oricăruia dintre rândurile sale (sau coloanei corespunzătoare) , înmulțit cu același număr.10. Lăsa AȘi B sunt matrici pătrate de același ordin. Atunci determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților: Unde C 1 și C 2 sunt necunoscute. Toate y sunt numere cunoscute, calculate la x = x 0. Pentru ca sistemul să aibă o soluție pentru orice parte din dreapta, este necesar și suficient ca determinantul principal să fie diferit de 0. Dacă , atunci determinantul Wronski nu este egal cu 0, pentru orice valoare a lui x 0. Dovada. Fie determinantul egal cu 0, dar să alegem condițiile inițiale diferite de zero y=0, y’=0. Apoi obținem următorul sistem: Acest sistem are un număr infinit de soluții când determinantul este 0. C 11 și C 12 sunt soluții ale sistemului. Acest lucru contrazice primul caz, ceea ce înseamnă că determinantul Wronski nu este egal cu 0 pentru orice x 0 dacă . Este întotdeauna posibil să selectați o anumită soluție din soluția generală pentru . Biletul nr. 33 O teoremă asupra structurii soluției generale a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu demonstrație. Teorema solutiei generale a unei ecuatii diferentiale: soluții la această ecuație, apoi funcția Dovada: Biletul nr. 34 O teoremă asupra structurii soluției generale a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul 2 cu demonstrație. Să fie dată o ecuație cu partea dreaptă: . Ecuație fără partea dreaptă O teoremă asupra structurii soluției generale a unei ecuații cu partea dreaptă. T.1 Soluția generală a ecuației cu partea dreaptă poate fi compusă ca suma soluției generale a ecuației fără partea dreaptă și o soluție particulară a acestei ecuații. Dovada. Să notăm prin soluția generală și o soluție particulară a acestei ecuații. Să luăm funcția Înlocuind expresiile pentru y, y', y'' în partea stângă a ecuației, găsim: Expresia din prima paranteză pătrată este egală cu 0. Iar expresia din a doua paranteză este egală cu funcția f(x ). Prin urmare, funcția Biletul nr. 35 Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți, F.S.R. și soluție generală în cazul diferitelor rădăcini reale, ecuații caracteristice cu demonstrație. Să luăm o ecuație liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți: unde a sunt numere. Să încercăm să satisfacem ecuația cu o funcție de forma . De aici avem: Din aceasta putem vedea care va fi soluția acestei ecuații dacă r este rădăcina ecuației pătratice. Această ecuație se numește caracteristică. Pentru a crea o ecuație caracteristică, trebuie să înlocuiți y cu unul și fiecare derivată cu r la o putere de ordinul derivatei. 1) Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și diferite. În acest caz, ambele rădăcini pot fi luate ca indicatori ai funcției r. Aici puteți obține imediat două ecuații. Este clar că raportul lor nu este egal cu o valoare constantă. Soluția generală în cazul rădăcinilor reale și diferite este dată de formula: Biletul nr. 36 Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul 2 cu coeficienți constanți, F.S.R. și soluție generală în cazul rădăcinilor multiple, ecuații caracteristice cu demonstrație. Rădăcinile unei ecuații reale sunt reale și egale. ciclu – o astfel de secvență de celule din tabelul de transport (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), în care două și doar două celule adiacente sunt situate pe un rând sau coloană, prima și ultima celulă fiind, de asemenea, pe același rând sau coloană. (?)Permutarea de-a lungul ciclului - (deplasarea de-a lungul ciclului cu valoarea t)- o creștere a volumelor în toate celulele impare ale ciclului marcate cu semnul „+” cu t și o scădere a volumelor de transport în toate celulele pare marcate cu semnul „-” prin t. Planul optim de transport corespunde minimului funcției obiectiv liniar f(X)= min sub restricții de consum și aprovizionare O ecuație de forma F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, unde k este un număr fix și n este un număr natural arbitrar, x n ; x n +1;…; x n + k sunt termeni ai unei secvențe de numere necunoscute, numite ecuații de diferență de ordinul k. Rezolvarea unei ecuații de diferență înseamnă găsirea tuturor secvențelor (x n) care satisfac ecuația. Soluția generală a unei ecuații de ordinul k este soluția ei x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), în funcție de k constante arbitrare independente C 1 , C 2 , …, C k . Numărul de k constante este egal cu ordinea ecuației diferențelor, iar independența înseamnă că niciuna dintre constante nu poate fi exprimată în termenii celorlalte. Considerăm o ecuație liniară a diferențelor de ordinul k cu coeficienți constanți: a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , unde a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) și (f n ) – numere date și succesiune. ^
Teoremă privind soluția generală a unei ecuații neomogene.
Soluția generală x n a unei ecuații de diferență neomogenă liniară este suma soluției particulare x n * a acestei ecuații și soluția generală n a ecuației omogene corespunzătoare. ^
Teoremă privind soluția generală a unei ecuații omogene.
Fie x n 1 ,…, x n k un sistem alcătuit din k soluții liniar independente ale unei ecuații de diferență liniară omogenă. Atunci soluția generală a acestei ecuații este dată de formula: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k. Cunoașterea rădăcinilor ecuației caracteristice ne permite să construim o soluție generală a ecuației diferențelor omogene. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul unei ecuații de ordinul doi: soluțiile rezultate pot fi ușor transferate în cazul ecuațiilor de ordin superior. În funcție de valorile discriminantului D=b 2 -4ac al ecuației caracteristice, sunt posibile următoarele cazuri: Setul de soluții la o ecuație liniară omogenă a diferențelor de ordinul k formează un spațiu liniar k-dimensional și orice set de k soluții liniar independente (numită mulțime fundamentală) este baza sa. Un semn de independență liniară a soluțiilor unei ecuații omogene este că determinantul Casoratti nu este egal cu zero: Ecuația se numește ecuația caracteristică a unei ecuații liniare omogene. ^
În ce formă ar trebui să căutați soluția sa particulară? Explicați răspunsul.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n În ce formă ar trebui să se caute soluția sa particulară? Răspunsul trebuie explicat. X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n X n +2 -4x n +1 +3x n =0 Xn =C13n +C21n X1n =(a1n2+b1n+C1)2n X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2)n2 n Xn = C13n + C21n + X1n + X2n x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n 1) x n +2 -4x n +1 +3x=0 λ 1 =3, λ 2 =1 x n o =C 1 (3) n +C 2 (1) n = C 1 (3) n +C 2 2) f(n)=2 n , g(n)=3 n , z(n)=n 2 Deoarece baza puterii exponențiale f(n)=2 n, egală cu 2, nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice, căutăm soluția particulară corespunzătoare sub forma Y n =C(2) n . Deoarece baza funcției exponențiale g(n)=3 n, egală cu 3, coincide cu una dintre rădăcinile ecuației caracteristice, căutăm soluția particulară corespunzătoare sub forma X n =Bn(3) n. Deoarece z(n)=n 2 este un polinom, vom căuta o anumită soluție sub forma unui polinom: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 . x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2 1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0 λ1 =-1+i, λ2=-1-i Deoarece baza puterii exponențiale f(n)=3 n, egală cu 3, nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice, căutăm soluția particulară corespunzătoare sub forma Y n =B(3) n . Deoarece g(n)=n 2 este un polinom, vom căuta o anumită soluție sub forma unui polinom: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2 λ1 =-1+i, λ2=-1-i X n 0 =(2) n (C 1 cos +C 2 sin ) 2) f(n)=3 n, g(n)=n2, z(n)=cos Deoarece baza puterii exponențiale f(n)=3 n, egală cu 3, nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice, căutăm soluția particulară corespunzătoare sub forma Y n =B(3) n . Deoarece g(n)=n 2 este un polinom, vom căuta o anumită soluție sub forma unui polinom: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos Modelul ciclului de afaceri Samuelson-Hicks presupune proporționalitatea directă a volumelor de investiții cu creșterea venitului național (principiul accelerării), adică. unde coeficientul V>0 este factorul de accelerație, I t - valoarea investiției în perioada t, X t -1 ,X t -2 - valoarea venitului național în perioadele (t-1) și respectiv (t-2). De asemenea, se presupune că cererea în această etapă unde a, b sunt coeficienții expresiei liniare a cererii în această etapă: Secvență staționară 40. Formulați problema determinării valorii curente a unei obligațiuni cu cupon. Care este problema Cauchy pentru o ecuație de diferență? Găsiți o soluție de echilibru la problema Cauchy de determinare a valorii curente a unei obligațiuni cu cupon. Verificați dacă valoarea găsită se potrivește cu suma care trebuie plătită în acest moment pentru a primi suma cuponului în fiecare perioadă de cupon pentru o perioadă infinit de timp la o anumită rată a dobânzii pentru o perioadă de cupon. Lăsa F
– valoarea nominală a unei obligațiuni cu cupon (adică suma de bani plătită de emitent în momentul răscumpărării coincide cu sfârșitul ultimei perioade de cupon); K
– valoarea cuponului (adică suma de bani plătită la sfârșitul fiecărei perioade de cupon), X Acestea. p Sisteme diferențiale liniare ecuații. Sistemul de ecuații diferențiale se numește liniar, dacă este liniară în raport cu funcţiile necunoscute şi derivatele lor. sistem n-ecuatiile liniare de ordinul I se scriu sub forma: Coeficienții sistemului sunt const. Este convenabil să scrieți acest sistem sub formă de matrice: , unde este un vector coloană cu funcții necunoscute în funcție de un argument. Vector coloană de derivate ale acestor funcții. Vector coloană de termeni liberi. Matricea coeficientilor. Teorema 1: Dacă toți coeficienții matricei A sunt continue pe un anumit interval și , apoi într-o anumită vecinătate a fiecărui m. Într-adevăr, în acest caz, părțile din dreapta ale sistemului sunt continue în raport cu setul de argumente și derivatele lor parțiale față de (egale cu coeficienții matricei A) sunt limitate, datorită continuității pe un interval închis. Metode de rezolvare a SLD-urilor 1.
Un sistem de ecuații diferențiale poate fi redus la o singură ecuație prin eliminarea necunoscutelor. Exemplu: Rezolvați sistemul de ecuații: Soluţie: exclude z din aceste ecuații. Din prima ecuație avem . Inlocuind in a doua ecuatie, Acest sistem de ecuații (1)
redusă la o singură ecuație de ordinul doi. După aflarea din această ecuaţie y, ar trebui găsit z, folosind egalitatea. 2.
Când se rezolvă un sistem de ecuații prin eliminarea necunoscutelor, se obține de obicei o ecuație de ordin superior, așa că în multe cazuri este mai convenabil să se rezolve sistemul prin găsirea combinatii integrate. Continuare 27b Exemplu: Rezolvați sistemul Soluţie: Să rezolvăm acest sistem folosind metoda lui Euler. Să notăm determinantul pentru găsirea caracteristicii ecuația: , (întrucât sistemul este omogen, pentru ca acesta să aibă o soluție netrivială, acest determinant trebuie să fie egal cu zero). Obținem o ecuație caracteristică și găsim rădăcinile acesteia: Solutia generala este: Notăm soluția pentru: Notăm soluția pentru: Obținem soluția generală: Sa verificam: să găsim : și să-l înlocuim în prima ecuație a acestui sistem, adică . Primim: Diferența liniară ecuații de ordinul al n-lea. Teoremă privind soluția generală a unei ecuații liniare neomogene de ordinul n-lea. O ecuație diferențială liniară de ordinul al n-lea este o ecuație de forma: (1)
Dacă această ecuație are un coeficient, împărțind la acesta, ajungem la ecuația: (2)
. De obicei, ecuații de tip (2).
Să presupunem că în ur-i (2)
toate șansele, precum și f(x) continuu pe un anumit interval (a,b). Apoi, conform TS&E, ecuația (2)
are o soluție unică care îndeplinește condițiile inițiale: , , …, pentru . Aici - orice punct din interval (a,b),și toate - orice numere date. Ecuația (2)
satisface TC&E ,
prin urmare nu are solutii speciale. Def.: special punctele sunt cele la care =0. Proprietățile unei ecuații liniare: Def: dacă în ecuație (2)
a pune f(x)=0, atunci obținem o ecuație de forma: (3)
, Care e numit ecuație omogenă relativ la ecuaţia neomogenă (2).
Să introducem operatorul diferențial liniar: (4).
Folosind acest operator, puteți rescrie pe scurt ecuația (2)
Și (3):
L(y)=f(x), L(y)=0. Operator (4)
are următoarele proprietăți simple: Din aceste două proprietăţi se poate deduce un corolar: . Funcţie y=y(x) este o soluție a ecuației neomogene (2),
Dacă L(y(x))=f(x), Apoi f(x) numită soluție a ecuației. Deci soluția ecuației (3)
numita functie y(x), Dacă L(y(x))=0 pe intervalele considerate. Considera ecuație liniară neomogenă: , L(y)=f(x). Să presupunem că am găsit o anumită soluție într-un fel, atunci . Să introducem o nouă funcție necunoscută z conform formulei: , unde este o anumită soluție. Să o substituim în ecuația: , deschidem parantezele și obținem: . Ecuația rezultată poate fi rescrisă astfel: Deoarece este o soluție specială a ecuației inițiale, atunci . Astfel, am obținut o ecuație omogenă în raport cu z. Soluția generală a acestei ecuații omogene este o combinație liniară: , unde funcțiile - constituie sistemul fundamental de soluții ale ecuației omogene. Înlocuind zîn formula de înlocuire, obținem: Astfel, soluția generală a liniei neomogene. ecuația este reprezentată ca suma unei soluții generale a unei ecuații liniare omogene și a unei soluții particulare a unei ecuații neomogene. (continuare pe cealaltă parte) 30. Teorema existenței și unicității soluției diferențiale. ecuații Teorema: Dacă partea dreaptă a ecuației este continuă în dreptunghi Dovada: Luați în considerare spațiul metric complet CU, ale căror puncte sunt toate funcțiile continue posibile y(x) definite pe interval Să înlocuim diferența. ecuație cu condiții inițiale date la o ecuație integrală echivalentă: Folosind inegalitatea lui Lipschitz, putem scrie că distanța . Acum să alegem una pentru care ar fi valabilă următoarea inegalitate: . Ar trebui să alegi astfel încât , atunci . Astfel am arătat că. Conform principiului mapărilor de contracție, există un singur punct sau, ceea ce este același lucru, o singură funcție - o soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date. Să considerăm un sistem liniar neomogen de ecuații diferențiale ordinare de ordinul al n-lea Aici Următoarele sunt adevărate teorema generală a structurii soluției a acestui sistem liniar neomogen de EDO. Dacă matricea A(x) și funcție vectorială b
(x) sunt continue pe [ A,
b], lăsați-l să plece Φ
(x) este matricea fundamentală a soluțiilor unui sistem liniar omogen, apoi soluția generală a sistemului neomogen Y"
= A(X) Y
+ b(x) are forma: Unde C- un vector coloană constant arbitrar, x 0 - un punct fix arbitrar din segment. Din formula de mai sus este ușor de obținut o formulă pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru un sistem liniar neomogen EDO - formula Cauchy. Rezolvarea problemei Cauchy, Y(x 0) = Y 0 este o funcție vectorială Definirea unui sistem de EDO liniare neomogene. sistem ODU tip: numit liniar
eterogen
. Lăsa Sistem (*) sub formă de vector-matrice: .- sistemul este omogen, în caz contrar este neomogen. Metoda în sine.
Să existe un sistem liniar neomogen (un vector constant arbitrar, care se obține ca rezultat al integrării, poate fi considerat egal cu 0). Aici punctele x 0 , sunt oricare. Vedem, așadar, că dacă în (3) luăm ca C(t) Soluția generală a sistemului liniar neomogen (1) se poate scrie sub forma Sistem omogen liniar normalnordine cu coeficienți constanți
-
Sistem fundamental de soluții NLOS este o colecție de n soluții liniar independente arbitrare
Un sistem fundamental de soluții la un sistem normal de ODE-uri liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul în care toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt simple, dar există rădăcini complexe. Întrebarea a fost eliminată.
Fie (adică sistemul (2) să fie consecvent), atunci:
Fie soluțiile sistemului omogen (1), și fie constante arbitrare. Atunci este, de asemenea, o soluție pentru sistemul luat în considerare.
Lasă atunci:
1
| | | | | | | | | | |
determinantul lui Vronsky. Dacă determinantul este 0, atunci sistemul are o soluție numai dacă există o proporție din condițiile inițiale. Prin urmare, de aici rezultă că alegerea condițiilor inițiale este supusă legii, astfel că orice condiții inițiale nu pot fi luate, iar aceasta este o încălcare a condițiilor problemei Cauchy.
de asemenea o solutie. Pe baza acestei teoreme, putem concluziona despre structura soluției generale a unei ecuații omogene: dacă 1 și 2 au soluții la ecuația diferențială astfel încât rapoartele lor să nu fie egale cu o constantă, atunci combinația liniară a acestor funcții este soluție generală a ecuației diferențiale. O soluție trivială (sau una nulă) nu poate servi ca soluție pentru această ecuație.
dacă punem 0 în loc de funcție, o numim caracteristică.
. Avem
, 
.
există o soluție la această ecuație.,
.
Evaluare gratuită a celulelor– (vezi metoda potențială)
Planul optim ar trebui să determine costul total minim de transport, fără a depăși volumul de producție al fiecăruia dintre furnizori și acoperind în totalitate nevoile fiecăruia dintre consumatori.
^
Condiție pentru optimitatea planului de referință.
Nr. 32. Formulați definiția unei ecuații diferențiale de ordinul k și soluția generală a acesteia. Prezentați definiția unei ecuații cu diferențe liniare de ordinul k cu coeficienți constanți. Formulați teoreme privind soluția generală a ecuațiilor cu diferențe liniare omogene și neomogene (fără demonstrație).
Nr. 33. Descrieți un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații de diferență liniară omogenă cu coeficienți constanți. Formulați definiții ale următoarelor concepte: set fundamental de soluții ale unei ecuații cu diferențe liniare, ecuație caracteristică, determinant Casoratti.
C 1 , C 2 sunt constante arbitrare.
№ 34. Având în vedere o ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
nr. 35. Având în vedere o ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. În ce formă ar trebui să căutați soluția sa particulară?
nr. 36. Este dată o ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2. În ce formă ar trebui să căutați soluția sa particulară?
nr. 37. Având în vedere o ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . În ce formă ar trebui să căutați soluția sa particulară?
#38: Descrieți modelul Samuelson-Hicks. Ce ipoteze economice stau la baza acestuia? În ce caz este soluția ecuației Hicks o secvență staționară?
depinde de cuantumul venitului național din etapa anterioară 
liniar 
. Condiția pentru egalitatea cererii și ofertei are forma 
. Apoi ajungem la ecuația Hicks
este o soluție a ecuației Hicks numai pentru 
; factor 
se numește multiplicator Keynes (un analog unidimensional al matricei costului total).
№ ^
39. Descrieți modelul pieței de păianjen. Ce ipoteze economice stau la baza acestuia? Găsiți starea de echilibru a modelului pieței web.
- valoarea curentă a obligațiunii la sfârșitul celei de-a n-a perioade de cupon, 
coincide cu suma care trebuie plătită în acest moment pentru a primi suma cuponului în fiecare perioadă de cupon pentru o perioadă infinit de timp la o anumită rată a dobânzii pentru o perioadă de cupon.
Condițiile TS&E sunt îndeplinite. În consecință, o singură curbă integrală trece prin fiecare astfel de punct.
(1)
dupa simplificare obtinem: 
.
;
- vector propriu.
;
- vector propriu.
;
.
- egalitate adevărată.
(*) pentru funcție y– funcția necunoscută a ecuației originale. Toate soluțiile ecuației inițiale vor fi conținute în (*).
si este limitat, si de asemenea satisface conditia Lipschitz: , N=const, atunci exista o solutie unica care satisface conditiile initiale si este definita pe segment 
, Unde ., ale căror grafice se află în interiorul dreptunghiului, iar distanța este determinată de egalitatea: 
. Acest spațiu este adesea folosit în analiza matematică și se numește spațiu de convergență uniformă, deoarece convergența în metrica acestui spațiu este uniformă.
și luați în considerare operatorul Ay), egal cu partea dreaptă a acestei ecuații: 
. Acest operator atribuie fiecărei funcții continueTeoremă asupra soluției generale (a structurii soluției generale) a unui sistem normal de ode liniare neomogene.
A 
Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru găsirea soluțiilor parțiale ale unui sistem normal de ode liniare neomogene.
, atunci este un sistem liniar omogen corespunzător unui sistem liniar neomogen. Fie matricea fundamentală a sistemului de decizie, 
, unde C este un vector constant arbitrar, este soluția generală a sistemului. Să căutăm o soluție pentru sistemul (1) sub forma 
, unde C(x) este o funcție vectorială necunoscută (încă). Vrem ca funcția vectorială (3) să fie o soluție a sistemului (1). Atunci identitatea trebuie să fie adevărată:
, apoi funcția vectorială 
va fi o soluție pentru sistemul (1).
. Să fie necesar să se găsească o soluție la sistemul (1) care să satisfacă condiția inițială 
. Înlocuirea (4) cu datele inițiale (5) dă 
. Prin urmare, soluția problemei Cauchy (1)-(5) poate fi scrisă astfel: 
. În cazul special când ultima formulă ia forma: 
.Sistem fundamental de soluții la un sistem normal de ecuații liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor reale simple ale ecuației caracteristice.
sau 
,Coeficienții combinațiilor liniare ale funcțiilor căutate sunt constanți. Acest sistem este sub formă de matrice 
–forma matriceală, unde A este o matrice constantă. Metoda matricei: De la ecuație caracteristică 
vom găsi rădăcini diferite și pentru fiecare rădăcină (ținând cont de multiplicitatea ei) vom determina soluția particulară corespunzătoare. Solutia generala este: 
. În acest caz 1) dacă -
este o rădăcină reală a multiplului 1, atunci 
, unde este vectorul propriu al matricei A corespunzător valorii proprii, adică. 2)
–
rădăcină de multiplicitate, atunci se caută soluția de sistem corespunzătoare acestei rădăcini sub forma unui vector 
(**), ai cărui coeficienți 
sunt determinate dintr-un sistem de ecuații liniare obținute prin echivalarea coeficienților la aceleași puterix ca urmare a înlocuirii vectorului (**) în sistemul original.