Ev / Cam/ Define Set işlevi bir seti görüntüler. Gösterimler

Seti Tanımla işlevi bir seti görüntüler. Gösterimler

Şimdi kümeler arasındaki ilişkilerle ilgili bazı konuları inceleyelim.

Kümeler arasında verildiğini söyleyeceğiz davranış(bir ilişki içindedirler) eğer bazı (muhtemelen hepsi) öğeler bazı öğelere karşılık geliyorsa. Bir kümenin bir kümeyle ilişkisi varsa şunu yazacağız:

Aynı zamanda bir öğe bir öğeyle ilişkilendirilirse, bunu göstereceğiz.

Tanım 1.1.2. Kümeler arasındaki ilişkiye denir görüntülemek, eğer her birine bir ve yalnızca bir eleman atanırsa (bkz. Şekil 1.1.2. ve 1.1.3). Kümelerin doğasının uzmanlaşmasıyla birlikte, “fonksiyon” özel ismine sahip özel türde eşlemeler ortaya çıkar. " vektör fonksiyonu", "operatör", "ölçme", "işlevsel" vb. Bunlarla daha sonra karşılaşacağız.

V'den bir işlevi (eşleme) belirtmek için gösterimi kullanacağız

Şekil 1.1.2. Ekran Şekil 1.1.3. Olmayan İlişki

görüntülemek

Tanım 1.1.3. Eğer bir element ise, o zaman ona karşılık gelen elementiza onun görüntüsü olarak adlandırılır (görüntülendiğinde) ve prototip olarak adlandırılan ve atananların kümesine denir (bkz. Şekil 1.1.4).

Şekil 1.1.4. PrototipB

Tanım 1.1.4. Haritalama denir bire bir haritalama, eğer her elemanın eşleme altında benzersiz bir görüntüsü varsa ve her öğe bu eşleme altında benzersiz bir ters resme sahipse.

Şekil 1.1.5. Bire bir haritalama

Aşağıda sadece eşlemeleri ele alacağız, çünkü çok değerli eşlemeleri tek değerli eşlemelere indirgeyen teknikler vardır, buna basitçe eşleme adını veriyoruz.

Haritalama kavramı matematikte çok önemli bir rol oynar, özellikle matematiksel analizde merkezi yer kavram tarafından işgal edilir. işlevler Bu, bir sayısal kümenin diğerine eşlenmesidir.

1.7. Setin gücü

Kümeler arasındaki ilişkileri incelerken kümelerin "hacimi", içlerindeki eleman sayısı büyük ilgi çeker. Ancak elementlerin sayısından bahsetmek, eğer bu sayı sonlu ise anlaşılabilir ve haklıdır. Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere denir son . Ancak matematikte dikkate alınan kümelerin çoğu sonlu değildir; örneğin gerçek sayılar kümesi, düzlemdeki noktalar kümesi, belirli bir doğru parçası üzerinde tanımlanan sürekli fonksiyonlar kümesi vb. Sonsuz (ve hatta sonlu) kümeleri niceliksel olarak karakterize etmek için küme teorisi şu kavramı kullanır: setin gücü .

Setlerin olduğunu söyleyeceğiz aynı güç , eğer bir kümeden bir kümeye bire bir eşleme varsa (bu durumda aynı zamanda B kümesinden A kümesine bire bir eşlemenin de bulunduğunu unutmayın).

Eğer kümeler aynı önem derecesine sahipse, o zaman şunu söyleyeceğiz: eş değer , bu şu şekilde belirlenmiştir: .

O halde keyfi kümeler olsun

onlar. herhangi bir küme kendisine eşdeğerdir; bir küme bir kümeye eşdeğerse eşdeğerdir; son olarak, bir küme, bir kümeye eşdeğer olan bir kümeye eşdeğerse, o zaman eşdeğerdir.

Kendine ait bazı uygun alt kümelere eşdeğer olan kümelere denir. sonsuz .

Sonlu kümelerin farklı sayıda elemanı varsa, bunlardan birinin diğerinden daha az eleman içerdiği açıktır. Bu anlamda sonsuz kümeleri nasıl karşılaştırabiliriz? Kümeye eşdeğer bir alt kümesi varsa, ancak kümelerin kendisi eşdeğer değilse, bir kümenin önem derecesinin bir kümenin önem derecesinden daha az olduğunu söyleyeceğiz.

Sonlu bir kümenin önem derecesi elementlerinin sayısına eşittir. Sonsuz kümeler için "önem derecesi" kavramı, "eleman sayısı" kavramının bir genellemesidir.

Aşağıdakiler için yararlı olan bazı küme sınıflarını belirtelim.

kümeye sayılabilir denir , kümenin bazı alt kümeleriyle (doğal sayılar kümesi) aynı önem derecesine sahipse. Sayılabilir bir küme sonlu veya sonsuz olabilir.

Sonsuz bir küme ancak ve ancak doğal sayılar kümesine eşdeğerse sayılabilir.

Önem derecesi sonsuz sayılabilir bir kümenin önem derecesinden küçük olan herhangi bir kümenin sonlu olduğunu unutmayın.

Sıfırdan bire kadar olan aralıktaki gerçek sayılar kümesi güç sürekliliği ve kendisine sıklıkla denir süreklilik . Bu kümenin önem derecesi sonsuz sayılabilir bir kümenin önem derecesinden daha büyüktür. Şu soru ortaya çıkıyor: Önem derecesi sonsuz sayılabilir bir kümenin önem derecesinden büyük, fakat sürekliliğin önem derecesinden daha küçük olan bir küme var mıdır? Bu problem 1900 yılında dünyanın en büyük matematikçilerinden biri olan David Hilbert tarafından formüle edildi. Bu problemin biraz beklenmedik bir cevabı olduğu ortaya çıktı: Böyle bir kümenin var olduğunu veya var olmadığını varsayabiliriz. Ortaya çıkan matematiksel teoriler tutarlı olacaktır. Bu gerçeğin kanıtı Amerikalı bilim adamı Cohen tarafından 1965 yılında Moskova'daki Dünya Matematikçiler Kongresi'nde bildirildi. Bu problemdeki durumun Öklid'in beşinci postulatındaki durumu anımsattığına dikkat edin: belirli bir çizginin dışında kalan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir çizgi çizilebilir. Lobaçevski'nin gösterdiği gibi, bu varsayımın reddedilmesi çelişkilere yol açmaz. Bu varsayımın geçerli olduğu geometriler ve bunun doğru olmadığı geometriler oluşturabiliriz.

Sonuç olarak, kümelerin denkliğini kanıtlamaya yönelik metodolojiyi gösteren birkaç örnek vereceğiz.

Örnek 1.11. Tam sayılar kümesi sayılabilir.

Söz konusu kümenin sonsuz olduğu açıktır (doğal sayılar kümesi onun alt kümesidir).

Bir tamsayılar kümesinin sayılabilirliğini kanıtlamak için, doğal sayılar kümesi ile söz konusu küme arasında bire bir eşleme oluşturmak gerekir. Gerekli eşleme kuralla verilir: tamsayıları aşağıdaki gibi düzenleyin:

ve bunları doğal sayılarla yeniden numaralandırın, onlara sayılar atayın (söz konusu tam sayıların yanında gösterilirler). Açıkçası, her tam sayı farklı bir sayı alacaktır ve farklı sayılar farklı sayılar alacaktır. Bunun tersi de doğrudur: Her doğal sayı için (her sayı için), bu sayının altında da tek bir tam sayı vardır. Böylece gerekli bire bir haritalama oluşturulur.

Örnek 1.12. Rasyonel sayılar kümesi sayılabilir.

Herhangi bir rasyonel sayının indirgenemez bir p/q kesri olarak temsil edilebileceği bilinmektedir; bu gösterimi kullanarak rasyonel sayıları şemaya göre düzenleyeceğiz:

. . . . . .

Bu sayıları yaklaşık olarak önceki örnekte olduğu gibi yeniden numaralandıralım (sayılar üstte, sayıların yanında parantez içinde belirtilmiştir). Rasyonel sayıları numaralandırmak için formüle edilen kuralın, doğal sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesine gerekli bire bir eşlemeyi verdiğini doğrulamak kolaydır.

Örnek 1.13. Sayılabilir bir sayılabilir kümeler kümesinin birleşimi sayılabilir bir kümedir.

Bu gerçeğin ispatı önceki örnekteki ifadenin ispatına benzer.

Sonuç olarak, daha fazla tartışma için önemli bir açıklama sunuyoruz. Ancak bunun için setlerde bir operasyona daha ihtiyacımız var.

Kümelerin doğrudan çarpımı Ve( Kartezyen ürün ) tüm sıralı çiftlerin kümesidir ve burada ve. Bu set belirlendi. Böylece:

Faktörlerin çarpımını gösterelim.

Teorem 1.1. Üstelik herhangi bir sonsuz küme için.

Özellikle, yani. Düz bir çizgi üzerindeki noktalar kümesi, bir düzlem üzerindeki noktalar kümesiyle aynı önem derecesine sahiptir. Üstelik uzayda düz bir çizgideki nokta sayısı kadar nokta vardır.

Bu, modern matematiğin temelleri olan matematiksel mantık ve küme teorisinin temel kavramlarıyla tanışmamızı sonuçlandırıyor. Bu teorilerin pek çok yönünün ne yazık ki bu bölümün kapsamı dışında kaldığını belirtelim; örneğin ve yoluyla onları tanıyabilirsiniz.

Sürjeksiyon, enjeksiyon ve bijeksiyon

F: X eşlemesini tanımlayan kural (veya / işlevi) geleneksel olarak oklarla temsil edilebilir (Şekil 2.1). Y kümesinde oklardan hiçbirinin işaret etmediği en az bir öğe varsa, bu, f fonksiyonunun değer aralığının Y kümesinin tamamını doldurmadığını gösterir; f(X)C Y.

Değer aralığı / Y ile çakışıyorsa, yani. f(X) = Y ise, bu tür bir fonksiyona örten) veya kısaca örtüşme adı verilir ve / fonksiyonunun, X kümesini Y kümesine eşlediği söylenir (X kümesini Y kümesine eşlemenin genel durumunun aksine). Tanım 2.1'e göre Y kümesi). Yani, Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y ise, / : X bir surjection'dur. Bu durumda şekilde en az bir ok Y kümesinin her bir elemanına gitmektedir (Şekil 2.2). Bu durumda, birkaç ok Y'den bazı elemanlara yol açabilir. Herhangi bir y € Y elemanına birden fazla ok yol açmıyorsa, o zaman /'ye birebir fonksiyon veya enjeksiyon adı verilir. Bu işlevin mutlaka örtücü olması gerekmez, yani. oklar Y kümesinin tüm elemanlarına götürmez (Şekil 2.3).

Dolayısıyla, /: X -Y Y fonksiyonu, eşleme sırasında X'ten herhangi iki farklı öğenin görüntüleri olarak / Y'den iki farklı öğeye sahipse veya Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y ise bir enjeksiyondur. Surjeksiyon, enjeksiyon ve bijeksiyon. Ters haritalama. Eşlemelerin bileşimi kümelerin bir ürünüdür. Programı görüntüle. /: X->Y eşlemesi, eğer y 6 Y'nin her bir öğesi bazılarının görüntüsüyse ve X'ten gelen tek öğe ise, çift yansıtma veya iki yansıtma olarak adlandırılır; Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Aslında / fonksiyonu bu durumda X ve Y kümeleri arasında bire bir yazışma kurar ve bu nedenle buna genellikle bire bir fonksiyon denir. Açıkçası, bir / işlevi ancak ve ancak hem birebir hem de örten ise sıfattır. Bu durumda, oklar (Şekil 2.4) çiftler halinde X'ten gelen her elemanı Y'den gelen her elemana bağlar. Ayrıca, X'ten gelen iki eleman Y'den gelen aynı elemana bir okla bağlanamaz, çünkü / birebirdir ve Eşlemenin Tanım 2.1'indeki görüntünün benzersizlik gereksinimi nedeniyle, Y'den gelen iki öğe X'ten gelen aynı öğeye oklarla bağlanamaz. X, / fonksiyonunun tanım kümesi olduğundan, X'in her elemanı ikili bir bağlantıya katılır. Son olarak, Y'nin her elemanı çiftlerden birine de katılır çünkü / örtücüdür. Bu durumda X ve Y'nin rolleri tamamen aynı gibi görünmektedir ve eğer tüm okları geri çevirirsek (Şekil 2.5), farklı bir eşleme veya aynı zamanda sıfat ve örtücü olan farklı bir d) fonksiyonu elde ederiz. Bu tür tersine çevirmeye izin veren eşlemeler (işlevler) aşağıda önemli bir rol oynayacaktır.

Özel bir durumda X ve Y kümeleri çakışabilir (X = Y). Daha sonra bijektif fonksiyon X kümesini kendi üzerine eşleyecektir. Bir kümenin kendisine yansıtılmasına da dönüşüm denir. 2.3. Ters eşleme Let /: X -? Y belirli bir eşleştirmedir ve y € Y olsun. /(r) = y olacak şekilde tek x € X öğesini /_1(y) ile gösterelim. Böylece yine bir eşleştirme olan 9: Y Xу eşlemesini tanımlıyoruz. Buna ters eşleme veya /'ye ters eşleştirme denir. Genellikle basitçe ters fonksiyon olarak da adlandırılır ve /"* ile gösterilir. Şekil 2.5'te d fonksiyonu tam olarak /'nin tersidir, yani d = f"1.

Sorunlardaki çözüm örnekleri

Eşlemeler (fonksiyonlar) / ve karşılıklı olarak terstir. Eğer bir fonksiyon bir eşleştirme değilse, o zaman ters fonksiyonunun da olmayacağı açıktır. Aslında, eğer / birebir değilse, o zaman bazı y € Y elemanları X kümesindeki birkaç x elemanına karşılık gelebilir, bu da bir fonksiyonun tanımıyla çelişir. Eğer / örtücü değilse, o zaman Y'de X'te ön görüntüleri olmayan öğeler vardır, yani. bu elemanlar için ters fonksiyon tanımlanmamıştır. Örnek 2.1. A. X = Y = R olsun - bir dizi gerçek sayı. y = For - 2, i,y € R formülüyle tanımlanan / fonksiyonu bir eşleştirmedir. Ters fonksiyon x = (y + 2)/3'tür. B. Gerçek bir x değişkeninin f(x) = x2 gerçek fonksiyonu örten değildir, çünkü Y = R'den gelen negatif sayılar /: Γ -> Y olarak X = K'den gelen elemanların görüntüleri değildir. Örnek 2.2. A" = R ve Y = R+ pozitif reel sayılar kümesi olsun. f(x) = ax, a > 0, af 1 fonksiyonu bir eşleştirmedir. Ters fonksiyon Z"1 (Y) = olacaktır. 1°8a Y

Surjeksiyon, enjeksiyon ve bijeksiyon. Ters haritalama. Eşlemelerin bileşimi kümelerin bir ürünüdür. Programı görüntüle. 2.4. Eşlemelerin bileşimi Eğer f:X-*Y ve g:Y-*Zy ise eşleme (p:X -+Z, her a: 6 A" için = formülüyle tanımlanır), eşlemelerin bileşimi (süperpozisyon) olarak adlandırılır (fonksiyonlar) / ve d> veya karmaşık bir fonksiyondur ve rho/ olarak adlandırılır (Şekil 2.6).
Böylece, f'den önceki karmaşık bir fonksiyon şu kuralı uygular: Önce /'yi uygula, sonra di, yani. Operasyonların bileşiminde “öncesi/sağda yer alan operasyonla başlamalısınız. Şekil 2'deki kompozisyona dikkat edin. 2.6 eşlemeler ilişkiseldir, yani eğer /: X -+Y, d: Y Z ve h: Z-*H> ise (hog)of = = ho(gof)i ki bunu ho'dan /'ye yazmak daha kolaydır. Bunu şu şekilde kontrol edelim: Herhangi bir wK "oaicecmee X üzerinde, özdeş olarak adlandırılan, genellikle idx ile gösterilen ve Ix(x) = x Vx € A" formülüyle verilen bir 1x -X X eşlemesi tanımlanır. Onun -eylemesi şudur: her şeyi yerli yerine bırakır.

Dolayısıyla, eğer bir eşleştirme /: X - + Y'nin tersiyse, o zaman /"1o/ = /x ve /o/-1 = /y, burada ve /y, X ve Y kümelerinin özdeş haritalarıdır, Tersine, eğer f: X ->Y ve p: Y A" eşlemeleri gof = Ix ve sis = /y olacak şekilde ise, o zaman / fonksiyonu bir eşleştirmedir ve y de onun ters eşleştirmesidir. Açıkçası, eğer /, A"'nın Y'ye bir yansıtmasıysa ve $, Y'nin Z'ye bir eşleştirmesiyse, o zaman gof, X'in Z'ye bir eşleştirmesidir ve buna göre ters bir eşleştirme olacaktır. 2.5. Kümelerin çarpımı. Haritalama grafiği Her iki eksen için de aynı ölçeğe sahip karşılıklı dik iki koordinat ekseninin düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi tanımladığını hatırlayın (Şekil 2.7). Koordinat eksenlerinin kesişimindeki O noktasına orijini* denir. koordinatlar.

Her M noktası bir (i, y) gerçek sayı çiftiyle ilişkilendirilebilir; burada x, Ox koordinat ekseni üzerindeki Mx noktasının koordinatıdır ve y, Oy koordinat ekseni üzerindeki Mu noktasının koordinatıdır. Mx ve Mu noktaları sırasıyla Ox ve Oy eksenleri üzerinde M noktasından bırakılan dikmelerin tabanlarıdır. X ve y sayılarına M noktasının koordinatları (seçilen koordinat sisteminde) denir ve x, M noktasının apsisi olarak adlandırılır ve y, bu noktanın ordinatıdır. A, 6 6R gerçel sayılarının her bir (a, b) çiftinin koordinatları bu sayılara sahip olan düzlem üzerinde bir M noktasına karşılık geldiği açıktır. Ve bunun tersine, düzlemin her bir M noktası, a ve 6 gerçek sayılarından oluşan bir (a, 6) çiftine karşılık gelir. Genel durumda, (a, b) ve (6, a) çiftleri farklı noktaları tanımlar, yani. Çiftin belirlenmesinde a ve b sayılarından hangisinin önce geldiği önemlidir. Yani sıralı bir çiftten bahsediyoruz. Bu bakımdan (a, 6) ve (6, a) çiftleri birbirine eşit kabul edilir ve a = 6 olsa bile düzlemde aynı noktayı tanımlarlar. Sürjeksiyon, enjeksiyon ve bijeksiyon. Ters haritalama.

Eşlemelerin bileşimi kümelerin bir ürünüdür. Programı görüntüle. Tüm reel sayı çiftlerinin kümesi ve düzlemdeki noktaların kümesi R2 ile gösterilir. Bu atama, küme teorisindeki önemli bir kavramla ilişkilidir: kümelerin doğrudan (veya dek-artov) çarpımı (genellikle sadece kümelerin çarpımından söz ederler). Tanım 2.2. A ve B kümelerinin çarpımı, olası sıralı çiftlerin (x, y) Ax B kümesidir; burada ilk eleman A'dan ve ikincisi B'den alınır, böylece iki çiftin (x, y) eşitliği sağlanır ve (&", y"), x = x" ve y = y7 koşulları altında belirlenir. (i, y) ve (y, x) çiftleri, xy ise farklı kabul edilir. Bunu akılda tutmak özellikle önemlidir. B çakışır.Bu nedenle, genel durumda A x B f B x A, yani keyfi kümelerin çarpımı değişmeli değildir, ancak kümelerin birliğine, kesişimine ve farkına göre dağılımlıdır: burada adı geçen üç kümeden birini belirtir işlemler.Kümelerin çarpımı, iki küme üzerinde belirtilen işlemlerden önemli ölçüde farklıdır.Bu işlemlerin gerçekleştirilmesinin sonucu, elemanları (boş değilse) orijinal kümelerden birine veya her ikisine ait olan bir kümedir. Kümeler yeni kümeye aittir ve orijinal kümelerin elemanlarına kıyasla farklı türden nesneleri temsil eder.Tanım 2.2'ye Benzer

İkiden fazla setten oluşan bir ürün konseptini ortaya koyabiliriz. (A x B) x C ve A*x (B x C) kümeleri tanımlanır ve basitçe A x B x C olarak gösterilir. Çalışıyor Ah Au Ah Ah Ah Ah, vb. kural olarak A2, A3 vb. ile gösterilir. Açıkçası, R2 düzlemi, gerçel sayılar kümesinin iki kopyasının R x R çarpımı olarak düşünülebilir (dolayısıyla düzlemin noktaları kümesinin sayı doğrusu üzerindeki iki nokta kümesinin çarpımı olarak belirlenmesi). Geometrik (üç boyutlu) uzaydaki noktalar kümesi, R3 ile gösterilen sayı doğrusu üzerindeki noktalar kümesinin üç kopyasının R x R x R çarpımına karşılık gelir.

N sayıda gerçek sayı kümesinin çarpımı Rn ile gösterilir. Bu küme, n adet gerçek sayı X2) xn £ R'nin tüm olası koleksiyonlarını (xj, X2, xn) temsil eder ve Rn'den itibaren herhangi bir x* noktası, böyle bir (xj, x, x*) gerçek sayı koleksiyonudur xn £ K*
N keyfi kümenin çarpımı, n (genellikle heterojen) öğelerin sıralı koleksiyonlarının bir kümesidir. Bu tür kümeler için tuple veya n-ka isimleri kullanılır ("enka" olarak telaffuz edilir). Örnek 2.3. A = (1, 2) ve B = (1, 2) olsun. O zaman A x B kümesi şu şekilde tanımlanabilir: Bu kümenin elemanları listelenirken koordinatları gösterilen R2 düzleminin dört noktası C = ( 1,2) ve D = (3,4) ise Örnek 2.4 O halde E kümelerinin geometrik yorumu x F ve F x E, Şekil 2.8'de gösterilmektedir. # /:X eşlemesi için, doğrudan X x Y çarpımının bir alt kümesi olan bir sıralı çiftler (r, y) kümesi oluşturabiliriz.
Böyle bir kümeye f eşlemesinin grafiği (veya i* fonksiyonunun grafiği) adı verilir - Örnek 2.5. XCR ve Y = K durumunda, her sıralı çift, R2 düzlemindeki bir noktanın koordinatlarını belirtir. X, R sayı doğrusunda bir aralıktır, bu durumda fonksiyonun grafiği bir doğruyu temsil edebilir (Şekil 2.9) Örnek 2.6 XCR2 ve Y = R olduğunda fonksiyonun grafiğinin R3'teki belirli bir nokta kümesi olduğu açıktır. belirli bir yüzeyi temsil edebilen (Şekil 2.10).

Eğer X C R ve Y = R2 ise, fonksiyonun grafiği aynı zamanda R3'teki bir noktalar kümesidir ve bu noktalar x = const düzleminin yalnızca bir M noktasında üç koordinat x ile kesiştiği belirli bir doğruyu temsil edebilir. yi, y2 ( Şekil 2.11) . # Bahsedilen tüm fonksiyon grafiği örnekleri matematiksel analizin en önemli nesneleridir ve gelecekte ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

%%f%% ekranı çağrılıyor enjekte edici,

herhangi bir %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%% öğesi içinse, bundan %%f(x_1) \neq f(x_2)%% sonucu çıkar. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Başka bir deyişle, %%X%% öğesindeki farklı öğelerin görüntüleri de farklıysa, %%f%% eşlemesi birebirdir.

Örnek

%%\mathbb(R)%% kümesinde tanımlanan %%f(x) = x^2%% fonksiyonu birebir değildir, çünkü %%x_1 = -1, x_2 = %1 ile şunu elde ederiz: aynı şey fonksiyon değeri %%f(x_1) = f(x_2) = %1.

Surjektif haritalama

%%f%% ekranı çağrılıyor sıfat, eğer her %%y \in Y%% öğesi için %%f(x) = y%% koşuluyla %%x \in X%% öğesi varsa. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Başka bir deyişle, %%f%% eşlemesi, eğer her %%y \in Y%% öğesi en az bir %%x \in X%% öğesinin görüntüsü ise örtülüdür.

Örnek

%%\mathbb R%% kümesinde tanımlanan %%Y = [-2,2]%% kümesiyle %%f(x) = \sin(x)%% eşlemesi örten değildir, çünkü %%y = 2 \in Y%% öğesi için %%x \in X%%'nin ters görüntüsü bulunamıyor.

Bijektif haritalama

%%f%% ekranı çağrılıyor önyargılı, eğer enjekte edici ve örtücü ise. Bijektif haritalamaya da denir bire bir veya dönüşüm.

Tipik olarak, "enjektif haritalama", "surjektif haritalama" ve "bijektif haritalama" ifadeleri sırasıyla "enjeksiyon", "surjection" ve "bijection" ile değiştirilmiştir.

Ters eşleme

%%f: X \ ila Y%% bir miktar olsun birebir örten ve %%y \in Y%% olsun. %%f^(-1)(y)%% ile %%x \in X%% öğesini %%f(x) = y%% olacak şekilde gösterelim. Böylece bazı yeni tanımlayacağız görüntülemek%%g: Y \to X%%, ki bu da yine bir eşleştirmedir. Onu aradılar ters haritalama.

Örnek

%%X, Y = \mathbb R%% gerçek sayılar kümesi olsun. %%f%% fonksiyonu %%y = 3x + %3 formülüyle verilir. Bu fonksiyonun tersi var mı? Evet ise hangisi?

Belirli bir fonksiyonun tersinin olup olmadığını bulmak için, bunun olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. birebir örten. Bunu yapmak için bu eşlemenin olup olmadığını kontrol edelim. enjekte edici Ve sıfat.

Enjeksiyonu kontrol edelim. %%x_1 \neq x_2%% olsun. %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, yani %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%% olduğunu kontrol edelim. Tam tersini varsayalım: %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + %3. Sonra %%x_1 = x_2%% olduğu ortaya çıktı. Bir çelişkimiz var çünkü %%x_1 \neq x_2%%. Bu nedenle %%f%% bir enjeksiyondur.
Hadi kontrol edelim surjeksiyon. %%y \in Y = \mathbb(R)%% olsun. %%x \in X = \mathbb(R)%% öğesini %%f(x) = y%%, yani %%3x + 3 = y%% koşuluyla bulalım. Bu eşitlikte %%y \in \mathbb(R)%% öğesi belirtilir ve %%x%% öğesini bulmamız gerekir. Açıkçası, $$ x = \frac(y-3)(3) \text( ve ) x \in \mathbb R $$ Bu nedenle, %%f%% eşlemesi örtendir.

%%f%% bir enjeksiyon ve bir surjeksiyon olduğundan, %%f%% bir bijeksiyondur. Buna göre ters eşleme %%x = \frac(y-3)(3)%% şeklindedir.

HARİTALAMA SETLERİ §1. Temel tanımlar

Tanım. A ve B iki küme olsun. A'dan B'ye bir kümenin f eşlemesinin, A'dan herhangi bir a elemanının B kümesinden tek bir b elemanı ile ilişkilendirilmesine göre bir yasa belirtilirse verildiğini söylüyorlar:

Eşlemelere aynı zamanda işlevler de denir.

Aşağıdaki gösterimi kullanacağız:

ƒ : A→ B. f eşlemesi A'dan B'ye kadar olan kümeyi alır;

A f B. f eşlendiğinde A kümesi B'ye eşlenir.

Eğer a öğesi, f eşlendiğinde b öğesine giderse, f(a)=b (sol giriş) veya af=b (sağ giriş) yazın. b öğesine, f eşlemesi altındaki a öğesinin görüntüsü denir; a elemanı b'nin ters görüntüsüdür

bu ekran. ( f (a ) | a A ) = f (A ) kümesi, A kümesinin f eşlemesi altındaki görüntüsüdür. Dikkat

f(A)B.

f f(A)

A - ihtisas f'nin eşleştirilmesi; İÇİNDE - menzil f haritalaması (bazen – örneğin okul matematiğinde – değer aralığı f(A) olarak kabul edilir, ancak biz onu B olarak kabul edeceğiz).

Yalnızca tek değerli eşlemeleri dikkate aldığımızı unutmayın.

Tüm ekranlar arasında aşağıdaki türler özellikle ayırt edilir:

1. Surjeksiyon ("açık" eşleme) f (A ) = B olacak şekilde bir f : A → B eşlemesidir. Örtüşme altında, B kümesindeki her öğe en az bir ters görüntüye sahiptir.

2. Enjeksiyon – farklı öğelerin farklı öğelere dönüştürüldüğü bir haritalama; a, a 1 A ve a ≠ a 1 ise f (a) ≠ f (a 1) olur.





				f(a1)

3. Bijeksiyon veya bire bir haritalama hem enjeksiyon hem de surjeksiyon olan bir haritalamadır.

Gösterim örnekleri:.

1. A herhangi bir küme ve B tek elemandan oluşan bir küme olsun. B=(b).

A . B

f(a) = b, a A eşlemesi bir çıkarmadır, çünkü f(A)=B.

2. A kümesinin düzlem üzerinde bir doğru parçası, B kümesinin ise bir doğru olduğunu varsayalım. A parçasının her bir noktasından B düz çizgisine bir dikme indiriyoruz ve bu dikmelerin tabanlarını A parçasının noktalarına uygun hale getiriyoruz.

bir bir

φ(a)V

Bu eşlemeyi φ ile gösterelim. Açıkça,

ϕ (a) ≠ ϕ (a 1), a, a 1 A, a ≠ a 1.

Bu nedenle, φ eşlemesi bir enjeksiyondur (fakat bir surjeksiyon değildir).

3. A kümesi bir dik üçgenin hipotenüsü ve B kümesi de onun kenarı olsun. Hipotenüsün herhangi bir noktasını bacağa izdüşümüne bağlayalım. A'dan B'ye bire bir eşleme elde ederiz:

onlar. f bir eşleştirmedir.

Hipotenüs ve kenar üzerindeki noktaların "sayısının" aynı olduğunu (daha doğrusu, bu kümeler aynı önem derecesine sahiptir) matematiğin bu şekilde kanıtladığını unutmayın.

Yorum. Ne sürjeksiyon, ne enjeksiyon, ne de bijeksiyon olmayan bir haritalama ortaya çıkarmak zor değil.

4. Eğer f, gerçel değişkenin herhangi bir fonksiyonu ise, o zaman f, R'den R'ye bir eşlemedir.

§2. Harita çarpımı

A, B, C üç küme olsun ve iki f : A → B ve ϕ : B → C haritası verilsin.

Tanım 1. Bu eşlemelerin ürünü, sıralı yürütmeleri sonucunda elde edilen eşlemedir.

İki kayıt seçeneği vardır.

1. Sol giriş.
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c.		ϕ f'yi belirtin:
O zaman f ve φ'nin çarpımı şöyle olacaktır:	a'yı c'ye çevir, öyle olmalı	ϕ f'yi belirtin:
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (yukarıdaki şekle bakın).
Tanım gereği (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) ,	onlar. eşlemelerin ürünü –	bu karmaşık bir fonksiyondur
A olarak ayarlayın.

2. Sağ giriş.

aƒ =b, bϕ =c. O halde a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,

f ϕ : A → C.

Sol notasyonu kullanacağız (kitabın sağ notasyonu kullandığını unutmayın). Aşağıda eşlemelerin çarpımını f ϕ ile göstereceğiz.

Not 1. Eşlemelerin çarpımının tanımından, herhangi bir eşlemenin çarpılamayacağı, yalnızca "ortalama" kümeleri aynı olanların çarpılabileceği sonucu çıkar. Örneğin, f : A → B ,ϕ : D → C ise, B=D için f ve φ eşlemeleri çarpılabilir, ancak B≠D için bu mümkün değildir.

Haritalama çarpımının özellikleri

Tanım 2. Tanım alanları ve değer aralıkları çakışıyorsa, f ve g haritalarına eşit denir; f : A → B , g : A → B ve koşul karşılanıyor: a A doğrudur

eşitlik f(a) = g(a).

1. Haritaların çarpımı değişmeli değildir. Başka bir deyişle, eğer fφ ve φf mevcutsa, o zaman bunların mutlaka eşit olması gerekmez.

Örneğin A=B=C=R kümeleri olsun, f (x) = sin x,ϕ (x) Şu çarpımları düşünün:

(ϕ f) (x) = ϕ (f (x)) = ϕ (sin x) = e sin x,

(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).

Bu nedenle fφ ve φf fonksiyonları farklıdır.

2. Eşlemelerin çarpımı ilişkiseldir.

f: A → B, ϕ: B → C, ψ: C → D olsun. (ψϕ ) f olduğunu kanıtlayalım.

E x , f : R → R, ϕ : R → R.

ve ψ (ϕ f ) mevcuttur ve eşittirler, yani (ψϕ ) f =

ψ (ϕ f) . (1)

(ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D olduğu açıktır.

Eşitlik (1)'i kanıtlamak için, eşlemelerin eşitliği tanımından dolayı, a A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2) olduğunu kontrol etmek gerekir. Eşleme çarpımının tanımını kullanma (sol girişte)


((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )),

(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)

Çünkü (3) ve (4) eşitliklerinde sağ taraflar eşitse, sol taraflar da eşittir, yani. eşitlik (2) doğrudur ve bu durumda (1) de doğrudur.

Açıklama 2. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği, üçün ve ardından herhangi bir sonlu sayıda faktörün çarpımını benzersiz bir şekilde belirlememize olanak tanır.

A'da birkaç ön görüntü var veya hiç ön görüntü yok. Bununla birlikte, bijektif bir harita için f'nin tersi tanımlanabilir.

f : A → B bir eşleşme olsun, f (a) = b, a A, b B. O halde, herhangi bir b B elemanı için, bir eşleşmenin tanımı gereği, f eşlemesinin altında benzersiz bir ters görüntü vardır - bu, a elemanıdır. Şimdi f − 1 (b ) = a (b B ) şeklinde ayarlayarak f − 1 : B → A'yı tanımlayabiliriz. f − 1'in bir eşleşme olduğunu görmek kolaydır.

Yani her bijektif eşlemenin tersi vardır.

§3. Dönüşümleri ayarlayın

Herhangi bir f : A → A eşlemesi denir setin dönüşümü A. Özellikle herhangi bir

Gerçek değişkenin bir fonksiyonu, R kümesinin bir dönüşümüdür.

Bir düzlem üzerindeki bir dizi noktanın dönüşümlerine örnek olarak düzlemin dönüşü, bir eksen etrafında simetri vb. verilebilir.

Dönüşümler eşlemelerin özel bir durumu olduğundan, yukarıda eşlemeler hakkında söylenen her şey onlar için de doğrudur. Ancak A kümesinin dönüşümlerinin çarpımı da belirli özelliklere sahiptir:

1. A kümesinin herhangi bir f ve φ dönüşümü için fφ ve φf ürünleri mevcuttur;

2. A kümesinin kimlik dönüşümü varε: ε (a) = a, a A.

Bu kümenin herhangi bir f dönüşümü için f ε = ε f = f olduğunu görmek kolaydır, çünkü örneğin, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Bu, ε dönüşümünün, dönüşümleri çarparken birim eleman rolünü oynadığı anlamına gelir.

eşitliklerin kontrol edilmesi kolaydır. Böylece ters dönüşüm, dönüşümleri çarparken ters eleman rolünü oynar.

Ekranlar (işlevler)

Fonksiyonlar matematikte merkezi bir rol oynar ve bir kümenin elemanlarının bir şekilde diğerinin elemanlarına dönüştüğü herhangi bir süreci tanımlamak için kullanılırlar. Öğelerin bu tür dönüşümleri, tüm hesaplama süreçleri için büyük önem taşıyan temel bir fikirdir.

Tanım. AB üzerindeki f ilişkisine denir görüntülemek (işlev) Her xA için yalnızca bir yB varsa A'dan B'ye. ikili ilişki denkliğini ayarla

f: AB veya y=f(x)

A kümesi denir tanım alanı. B'yi ayarla - değer aralığı.

Eğer y=f(x) ise x çağrılır argüman ve y - fonksiyon değeri.

F: AB olsun, o zaman

tanım setiÖzellikler:

çoklu anlamlarÖzellikler:

Bir fonksiyonun tanım kümesi, tanım alanının bir alt kümesidir; Dom f A ve fonksiyon değerleri kümesi, fonksiyon aralığının bir alt kümesidir, yani. Im f B. Eğer öyleyse, bu fonksiyona toplam fonksiyon denir ve eğer bu bir kısmi fonksiyondur. Böylece, bir Venn diyagramı, bir A kümesinde tanımlanan bir fonksiyonun, B kümesindeki değerlerle uygun bir gösterimi olarak hizmet eder.

Bir işlevi belirtme yöntemleri:

1) Sözlü.
2) Analitik.
3) Bir grafik veya çizim kullanmak.
4) Tabloları kullanmak.

Tanım. Eğer MA ise, M'den gelen bazı x'ler için f(M)=y f(x)=y kümesi denir yol M.'yi ayarlar.

Eğer KB ise f -1 (K)=x f(x)K kümesi çağrılır prototip K.'yi ayarlar.

Tanım Fonksiyona n-argüman fonksiyonu veya n-ary fonksiyonu denir. Bu fonksiyon bir tuple'ı bB, elemanına eşler.

Eşlemelerin özellikleri (fonksiyonlar).

1) f:AB eşlemesi çağrılır enjekte edici, eğer A'daki farklı öğeleri B:'deki farklı öğelerle eşleştiriyorsa.

Bu özellik Venn diyagramları kullanılarak gösterilebilir.

2) f:AB eşlemesi denir sıfat veya A'dan en az bir öğe B kümesinin her bir öğesiyle eşlenirse, B kümesinin tamamına bir eşleme:.

Bu özellik Venn diyagramları kullanılarak da gösterilebilir.

3) Hem sıfat hem de örtücü olan f: AB eşlemesine denir önyargılı veya A kümesinden B kümesine bire bir eşleme.

Örnek. Bize şu şekilde tanımlanan bir f: RR eşlemesi verilsin. Bu eşlemenin hangi özelliklere sahip olduğunu öğrenin.

Çözüm. f fonksiyonu birebir değildir, çünkü f(2)=f(2), fakat 2 2.

f fonksiyonu da örten değildir, çünkü f(x) = 1 olan bir x gerçek sayısı yoktur.

Tanım. F, bir A kümesinin bir B kümesine bijektif eşlemesi olsun. Eğer B'deki her bir öğeyi A'daki ilişkili bir öğeyle ilişkilendirirsek, bu tür bir yazışma B'nin A'ya eşlenmesi olur. Bu eşleme gösterilir ve denir. f ile ters eşleme.

Ters eşlemenin bir sonraki teoremde formüle edeceğimiz bazı özellikleri vardır.

Teorem 3. Eğer f: AB bir eşleştirme ise, o zaman