GirişFaktorizasyon. Çoklu faktörler Bir polinom örneğinin birden çok faktörünü çözümle ayırın
Tanım 1. Bilinmeyen yerine c sayısı konulduğunda f(x) polinomu yok oluyorsa, c'ye f(x) polinomunun kökü denir (veya f(x)=0 denklemi).
Örnek 1.f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
1 sayısı f(x)'in köküdür ve 2 sayısı f(x)'in kökü değildir, çünkü f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 ve f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Bir polinomun köklerinin bölenleriyle ilişkili olduğu ortaya çıktı.
Bir c sayısı, ancak ve ancak f(x)'in x-c'ye bölünebilmesi durumunda f(x) polinomunun kökü olabilir.
Tanım 2. Eğer c, f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(x), x-c'ye bölünür. O halde, f(x)'in (x-c) k'ye bölünebildiği, ancak (x-c) k+1'e bölünemediği bir k doğal sayısı vardır. Bu k sayısına, f(x) polinomunun c kökünün çokluğu denir ve c kökünün kendisi, bu polinomun k-katlı köküdür. Eğer k=1 ise kök c'ye basit denir.
f(x) polinomunun kökündeki k çokluğunu bulmak için şu teoremi kullanın:
Eğer c sayısı f(x) polinomunun k-katlı kökü ise, o zaman k>1 için bu polinomun birinci türevinin (k-1)-katlı kökü olacaktır; eğer k=1 ise c, f "(x) için kök görevi görmeyecektir.
Sonuçlar.İlk defa, f(x) polinomunun k-katlı kökü, k'inci türev için bir kök görevi görmeyecektir.
Örnek 2. 2 sayısının f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 polinomunun kökü olduğundan emin olun. Çokluğunu belirleyin.
Çözüm. 2 sayısı f(x)'in köküdür, çünkü 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
2 sayısı ilk kez f"""(x)'in kökü değildir, dolayısıyla 2 sayısı f(x) polinomunun üçlü köküdür.
Derecesi n≥1 olan ve baş katsayısı 1 olan bir f(x) polinomu verilsin: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n ve α 1 ,... ,α n kökleridir. Bir polinomun kökleri ve katsayıları Vieta formülleri adı verilen formüllerle ilişkilendirilir:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Vieta'nın formülleri, kökleri verilen bir polinomun yazılmasını kolaylaştırır.
Örnek 3. Basit kökleri 2 olan bir polinom bulun; 3 ve çift kök –1.
Çözüm. Polinomun katsayılarını bulalım:
ve 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
ve 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Gerekli polinom x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6'dır.
Tanım 3. Derecesi n olan bir f(x)ÌP[x] polinomu, eğer dereceleri şu değerden küçük olan P[x]'ten iki φ(x) ve ψ(x) faktörünün çarpımına ayrıştırılabiliyorsa, bir P alanı üzerinde indirgenebilirdir. N:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x], eğer P[x]'ten çarpanlara ayırma işlemlerinden herhangi birinde faktörlerden biri 0 derecesine, diğeri n derecesine sahipse, P alanı üzerinde indirgenemez olarak adlandırılır.
Aşağıdaki teoremler geçerlidir:
P[x] halkasından sıfır olmayan f(x) dereceli herhangi bir polinom, benzersiz bir şekilde P[x]'ten sıfır dereceli faktörlere kadar indirgenemez faktörlerin bir çarpımına ayrıştırılabilir.
Bundan kolayca, n, n≥1 dereceli herhangi bir f(х)ОР[x] polinomu için indirgenemez faktörlere aşağıdaki ayrıştırmanın olduğu sonucu çıkar:
P[x]'de baş katsayıları bire eşit olan indirgenemez polinomlar nerede? Bir polinom için bu genişleme benzersizdir.
Böyle bir genişlemenin içerdiği indirgenemez faktörlerin tamamen farklı olması gerekmez. İndirgenemez bir polinom (2) genişletmesinde tam olarak k kez ortaya çıkıyorsa, buna f(x) polinomunun k-kat faktörü denir.P(x) faktörü bu genişletmede yalnızca bir kez görünüyorsa buna a denir. f(x) için basit çarpan.
(2) numaralı genişletmede aynı faktörler bir araya getirilirse bu genişletme aşağıdaki biçimde yazılabilir:
, (3)
burada Р 1 (x),…, Р r (x) faktörlerinin hepsi zaten farklıdır. Buradaki k 1 ,…,k r göstergeleri karşılık gelen faktörlerin çokluğuna eşittir. Genişletme (3) şu şekilde yazılabilir:
burada F 1(x) tüm basit indirgenemez faktörlerin ürünüdür, tüm çift indirgenemez faktörlerin vb. ürünüdür. genişlemede (3). Genişlemede (3) m-katlama faktörü yoksa, faktörün bire eşit olduğu kabul edilir.
Sayı alanları üzerinde f(x) polinomu için F 1 (x),…, F s (x) polinomları, daha önce formüle edilen teoremden (türev ile bağlantı hakkında) türev kavramı, Öklid algoritması kullanılarak bulunabilir. aşağıdaki gibi:
Bu nedenle alıyoruz
Böylece f(x) polinomu için çarpanları bulabiliriz: 
.
Bir f(x) polinomu için açılımının (4) F 1 (x),...,F s (x) çarpanlarını bulmak gerekiyorsa, o zaman onun çoklu çarpanlarını ayırmanın gerekli olduğunu söylüyorlar.
Örnek 4. Birden fazla faktörü ayırın f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.
Çözüm. gcd f(x) ve f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8'i bulun.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Şimdi d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x))'i buluyoruz.
v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x)'i ifade ediyoruz.
(bölüm yapıyoruz).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(bölüm yapıyoruz).
Dolayısıyla F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 elde ederiz, 
Dolayısıyla, f(x) polinomu f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 açılımına sahiptir. f(x) polinomunun açılımında (3) asal faktör yoktur, çift faktör x-2 ve üçlü faktör x+1'dir.
Not 1. f(x) polinomunun indirgenemez faktörlerinin tümü basitse bu yöntem hiçbir şey vermez (f(x)=F 1 (x) özdeşliğini elde ederiz).
Not 2. Bu yöntem, rastgele bir polinomun tüm köklerinin çokluklarını belirlemenize olanak tanır.
LABORATUVAR ÇALIŞMA SEÇENEKLERİ
seçenek 1
1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 polinomunun 1+i köküne sahip olduğundan emin olun. Polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108'in katlarını ayırın.
3. Kökleri 5, i, i+3 olan en küçük derecenin polinomunu bulun.
seçenek 2
1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 polinomunun kökü x 0 = 2'nin çokluğu nedir? Köklerinin geri kalanını bulun.
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8'in katlarını ayırın.
3. Eğer kökleri x 1, x 2, x 3 ilişkiyi sağlıyorsa, x 3 +px+q=0 denkleminin katsayıları arasındaki ilişkiyi belirleyin.
Seçenek 3
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 polinomunun kökü x 0 = 4'ün çokluğu nedir? Kalan kökleri bulun.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4'ün katlarını ayırın.
3. Denklemin köklerinden biri diğerinin iki katına eşit olacak şekilde λ'yı belirleyin: x 3 -7x+λ=0.
Seçenek 4
1. x=3'ün f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu belirleyin ve kalan kökleri bulun.
2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 denkleminin iki kökünün toplamı 1'e eşittir. λ'yı bulun.
Seçenek 5
1. x 0 = -2'nin, x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu belirleyin ve kalan kökleri bulun.
2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. 1, 2, 3, 1+i köklerine göre en küçük derecenin polinomunu bulun.
Seçenek 6
1. x 5 + ax 4 + b polinomunun sıfırdan farklı bir çift köke sahip olduğu koşulu bulun.
2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n polinomunun kökleri x 1, x 2,…, x n'dir. Polinomların kökleri nelerdir: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Seçenek 7
1. x=-2'nin 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Kökün çokluğunu bulun ve polinomun kalan köklerini bulun.
3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 denkleminin köklerinin karelerinin toplamını bulun.
Seçenek 8
1. x=1'in x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 polinomunun kökü olduğunu kanıtlayın. Çokluğunu belirleyin. Polinomun kalan köklerini bulun.
3. Polinomun köklerinden biri diğerinin iki katı kadar büyüktür. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ polinomunun köklerini bulun.
Seçenek 9
1. x 5 +10ax 3 +5bx+c polinomunun sıfırdan farklı üçlü köke sahip olduğu koşulu bulun.
2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. Köklerinin aritmetik bir ilerleme oluşturduğu biliniyorsa, x 3 -6x 2 +qx+2=0 denklemini çözün.
Seçenek 10
1. x=3'ün f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Kökün çokluğunu belirleyin, polinomun diğer köklerini bulun.
2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 polinomunun çoklu çarpanlarını ayırın.
3. 1, 2+i, 3 köklerine göre gerçek katsayıları en küçük dereceye sahip bir polinom bulun.
Seçenek 11
1. x=2'nin x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Onun çokluğunu ve diğer köklerini bulun.
2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. Kökleri x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 biliniyorsa en küçük dereceden bir polinom oluşturun.
Seçenek 12
1. x = -1'in x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu ve polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. Kökleri x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 biliniyorsa, en küçük dereceden bir polinom oluşturun.
Seçenek 13
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 polinomunun kökü x 0 = 4'ün çokluğu nedir? Polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. λ'yı, x 3 -7x+λ=0 denkleminin köklerinden biri diğerinin iki katına eşit olacak şekilde belirleyin.
İlgili bilgi.
Bu çevrimiçi hesap makinesi, bir işlevi çarpanlara ayırmak için tasarlanmıştır.
Örneğin, çarpanlara ayırın: x 2 /3-3x+12. x^2/3-3*x+12 şeklinde yazalım. Tüm hesaplamaların Word formatında kaydedildiği bu hizmeti de kullanabilirsiniz.
Örneğin terimlere ayrıştırın. (1-x^2)/(x^3+x) şeklinde yazalım. Çözümün ilerlemesini görmek için Adımları göster'e tıklayın. Sonucu Word formatında almanız gerekiyorsa bu hizmeti kullanın.
Not: "pi" (π) sayısı pi olarak yazılır; sqrt olarak karekök, örneğin sqrt(3) , tanjant tg tan olarak yazılır. Cevabı görüntülemek için bkz. Alternatif.
- Basit bir ifade verilirse, örneğin 8*d+12*c*d, ifadeyi çarpanlara ayırmak, ifadeyi çarpanlar biçiminde temsil etmek anlamına gelir. Bunu yapmak için ortak faktörleri bulmanız gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazalım: 4*d*(2+3*c) .
- Çarpımı iki binom biçiminde sunun: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Burada zaten birkaç ortak çarpan bulmanız gerekiyor: x(x+7z) + 3y(x + 7z). (x+7z)'yi çıkarırız ve şunu elde ederiz: (x+7z)(x + 3y) .
ayrıca bkz. Polinomların köşeyle bölünmesi (bir sütunla bölmenin tüm adımları gösterilmiştir)
Çarpanlara ayırma kurallarını incelerken faydalı olacaktır kısaltılmış çarpma formülleri, bunun yardımıyla parantezlerin bir kare ile nasıl açılacağı netleşecektir:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Faktorizasyon Yöntemleri
Birkaç püf noktası öğrendikten sonra çarpanlara ayırmaÇözümlerin aşağıdaki sınıflandırması yapılabilir:- Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması.
- Ortak bir faktör bulmak.
Tanım 1. Bilinmeyen yerine c sayısı konulduğunda f(x) polinomu yok oluyorsa, c'ye f(x) polinomunun kökü denir (veya f(x)=0 denklemi).
Örnek 1.f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
1 sayısı f(x)'in köküdür ve 2 sayısı f(x)'in kökü değildir, çünkü f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 ve f(2 )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Bir polinomun köklerinin bölenleriyle ilişkili olduğu ortaya çıktı.
Bir c sayısı, ancak ve ancak f(x)'in x-c'ye bölünebilmesi durumunda f(x) polinomunun kökü olabilir.
Tanım 2. Eğer c, f(x) polinomunun kökü ise, o zaman f(x), x-c'ye bölünür. O halde, f(x)'in (x-c) k'ye bölünebildiği, ancak (x-c) k+1'e bölünemediği bir k doğal sayısı vardır. Bu k sayısına, f(x) polinomunun c kökünün çokluğu denir ve c kökünün kendisi, bu polinomun k-katlı köküdür. Eğer k=1 ise kök c'ye basit denir.
f(x) polinomunun kökündeki k çokluğunu bulmak için şu teoremi kullanın:
Eğer c sayısı f(x) polinomunun k-katlı kökü ise, o zaman k>1 için bu polinomun birinci türevinin (k-1)-katlı kökü olacaktır; eğer k=1 ise c, f "(x) için kök görevi görmeyecektir.
Sonuçlar.İlk defa, f(x) polinomunun k-katlı kökü, k'inci türev için bir kök görevi görmeyecektir.
Örnek 2. 2 sayısının f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 polinomunun kökü olduğundan emin olun. Çokluğunu belirleyin.
Çözüm. 2 sayısı f(x)'in köküdür, çünkü 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
2 sayısı ilk kez f"""(x)'in kökü değildir, dolayısıyla 2 sayısı f(x) polinomunun üçlü köküdür.
Derecesi n≥1 olan ve baş katsayısı 1 olan bir f(x) polinomu verilsin: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n ve α 1 ,... ,α n kökleridir. Bir polinomun kökleri ve katsayıları Vieta formülleri adı verilen formüllerle ilişkilendirilir:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Vieta'nın formülleri, kökleri verilen bir polinomun yazılmasını kolaylaştırır.
Örnek 3. Basit kökleri 2 olan bir polinom bulun; 3 ve çift kök –1.
Çözüm. Polinomun katsayılarını bulalım:
ve 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
ve 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Gerekli polinom x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6'dır.
Tanım 3. Derecesi n olan bir f(x)ÌP[x] polinomu, eğer dereceleri şu değerden küçük olan P[x]'ten iki φ(x) ve ψ(x) faktörünün çarpımına ayrıştırılabiliyorsa, bir P alanı üzerinde indirgenebilirdir. N:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x], eğer P[x]'ten çarpanlara ayırma işlemlerinden herhangi birinde faktörlerden biri 0 derecesine, diğeri n derecesine sahipse, P alanı üzerinde indirgenemez olarak adlandırılır.
Aşağıdaki teoremler geçerlidir:
P[x] halkasından sıfır olmayan f(x) dereceli herhangi bir polinom, benzersiz bir şekilde P[x]'ten sıfır dereceli faktörlere kadar indirgenemez faktörlerin bir çarpımına ayrıştırılabilir.
Bundan kolayca, n, n≥1 dereceli herhangi bir f(х)ОР[x] polinomu için indirgenemez faktörlere aşağıdaki ayrıştırmanın olduğu sonucu çıkar:
P[x]'de baş katsayıları bire eşit olan indirgenemez polinomlar nerede? Bir polinom için bu genişleme benzersizdir.
Böyle bir genişlemenin içerdiği indirgenemez faktörlerin tamamen farklı olması gerekmez. İndirgenemez bir polinom (2) genişletmesinde tam olarak k kez ortaya çıkıyorsa, buna f(x) polinomunun k-kat faktörü denir.P(x) faktörü bu genişletmede yalnızca bir kez görünüyorsa buna a denir. f(x) için basit çarpan.
(2) numaralı genişletmede aynı faktörler bir araya getirilirse bu genişletme aşağıdaki biçimde yazılabilir:
, (3)
burada Р 1 (x),…, Р r (x) faktörlerinin hepsi zaten farklıdır. Buradaki k 1 ,…,k r göstergeleri karşılık gelen faktörlerin çokluğuna eşittir. Genişletme (3) şu şekilde yazılabilir:
burada F 1(x) tüm basit indirgenemez faktörlerin ürünüdür, tüm çift indirgenemez faktörlerin vb. ürünüdür. genişlemede (3). Genişlemede (3) m-katlama faktörü yoksa, faktörün bire eşit olduğu kabul edilir.
Sayı alanları üzerinde f(x) polinomu için F 1 (x),…, F s (x) polinomları, daha önce formüle edilen teoremden (türev ile bağlantı hakkında) türev kavramı, Öklid algoritması kullanılarak bulunabilir. aşağıdaki gibi:
Bu nedenle alıyoruz
Böylece f(x) polinomu için çarpanları bulabiliriz: 
.
Bir f(x) polinomu için açılımının (4) F 1 (x),...,F s (x) çarpanlarını bulmak gerekiyorsa, o zaman onun çoklu çarpanlarını ayırmanın gerekli olduğunu söylüyorlar.
Örnek 4. Birden fazla faktörü ayırın f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.
Çözüm. gcd f(x) ve f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8'i bulun.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Şimdi d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x))'i buluyoruz.
v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x)'i ifade ediyoruz.
(bölüm yapıyoruz).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(bölüm yapıyoruz).
Dolayısıyla F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 elde ederiz, 
Dolayısıyla, f(x) polinomu f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 açılımına sahiptir. f(x) polinomunun açılımında (3) asal faktör yoktur, çift faktör x-2 ve üçlü faktör x+1'dir.
Not 1. f(x) polinomunun indirgenemez faktörlerinin tümü basitse bu yöntem hiçbir şey vermez (f(x)=F 1 (x) özdeşliğini elde ederiz).
Not 2. Bu yöntem, rastgele bir polinomun tüm köklerinin çokluklarını belirlemenize olanak tanır.
LABORATUVAR ÇALIŞMA SEÇENEKLERİ
seçenek 1
1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 polinomunun 1+i köküne sahip olduğundan emin olun. Polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108'in katlarını ayırın.
3. Kökleri 5, i, i+3 olan en küçük derecenin polinomunu bulun.
seçenek 2
1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 polinomunun kökü x 0 = 2'nin çokluğu nedir? Köklerinin geri kalanını bulun.
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8'in katlarını ayırın.
3. Eğer kökleri x 1, x 2, x 3 ilişkiyi sağlıyorsa, x 3 +px+q=0 denkleminin katsayıları arasındaki ilişkiyi belirleyin.
Seçenek 3
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 polinomunun kökü x 0 = 4'ün çokluğu nedir? Kalan kökleri bulun.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4'ün katlarını ayırın.
3. Denklemin köklerinden biri diğerinin iki katına eşit olacak şekilde λ'yı belirleyin: x 3 -7x+λ=0.
Seçenek 4
1. x=3'ün f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu belirleyin ve kalan kökleri bulun.
2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 denkleminin iki kökünün toplamı 1'e eşittir. λ'yı bulun.
Seçenek 5
1. x 0 = -2'nin, x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu belirleyin ve kalan kökleri bulun.
2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. 1, 2, 3, 1+i köklerine göre en küçük derecenin polinomunu bulun.
Seçenek 6
1. x 5 + ax 4 + b polinomunun sıfırdan farklı bir çift köke sahip olduğu koşulu bulun.
2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n polinomunun kökleri x 1, x 2,…, x n'dir. Polinomların kökleri nelerdir: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
Seçenek 7
1. x=-2'nin 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Kökün çokluğunu bulun ve polinomun kalan köklerini bulun.
3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 denkleminin köklerinin karelerinin toplamını bulun.
Seçenek 8
1. x=1'in x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 polinomunun kökü olduğunu kanıtlayın. Çokluğunu belirleyin. Polinomun kalan köklerini bulun.
3. Polinomun köklerinden biri diğerinin iki katı kadar büyüktür. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ polinomunun köklerini bulun.
Seçenek 9
1. x 5 +10ax 3 +5bx+c polinomunun sıfırdan farklı üçlü köke sahip olduğu koşulu bulun.
2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. Köklerinin aritmetik bir ilerleme oluşturduğu biliniyorsa, x 3 -6x 2 +qx+2=0 denklemini çözün.
Seçenek 10
1. x=3'ün f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Kökün çokluğunu belirleyin, polinomun diğer köklerini bulun.
2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 polinomunun çoklu çarpanlarını ayırın.
3. 1, 2+i, 3 köklerine göre gerçek katsayıları en küçük dereceye sahip bir polinom bulun.
Seçenek 11
1. x=2'nin x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Onun çokluğunu ve diğer köklerini bulun.
2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 polinomunun birden fazla faktörünü ayırın.
3. Kökleri x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 biliniyorsa en küçük dereceden bir polinom oluşturun.
Seçenek 12
1. x = -1'in x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 polinomunun kökü olduğunu gösterin. Çokluğunu ve polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. Kökleri x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 biliniyorsa, en küçük dereceden bir polinom oluşturun.
Seçenek 13
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 polinomunun kökü x 0 = 4'ün çokluğu nedir? Polinomun kalan köklerini bulun.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 polinomunun birden çok faktörünü ayırın.
3. λ'yı, x 3 -7x+λ=0 denkleminin köklerinden biri diğerinin iki katına eşit olacak şekilde belirleyin.
Belirli bir polinomun birden fazla faktöre sahip olup olmadığını bulmanızı sağlayan yöntemler vardır ve eğer cevap pozitifse, bu polinomun çalışmasını artık birden fazla faktör içermeyen polinomların çalışmasına indirgemeyi mümkün kılarlar.
Teorem. Bir polinomun indirgenemez bir çarpanı ise, o zaman bu polinomun türevinin bir çoklu çarpanı olacaktır. Özellikle bir polinomun asal çarpanı. Türevsel genişlemeye girmez.
Aslında izin ver
ve artık bölünemez. Eşitliğin (5.1) farklılaştırılmasıyla şunu elde ederiz:
Parantez içindeki terimlerden ikincisi ile bölünemez. Aslında şartlara göre bölünmez, daha düşük bir dereceye sahiptir, yani. ile de bölünemez. Öte yandan, köşeli parantez içindeki toplamın ilk terimi şuna bölünür: çarpan aslında çarpanla birlikte devreye giriyor.
Bu teoremden ve iki polinomun en büyük ortak bölenini bulma yönteminden, bir polinomun indirgenemez faktörlere ayrıştırılması verilirse şu sonuç çıkar:
o zaman bir polinomun ve onun türevinin en büyük ortak böleni, indirgenemez faktörlere aşağıdaki şekilde ayrıştırılır:
çarpanın bir ile değiştirilmesi gerektiği yer. Özellikle bir polinom, ancak ve ancak türeviyle eş asal olması durumunda birden fazla faktör içermez.
Katların izolasyonu
(5.2) açılımlı bir polinom verilirse ve en büyük ortak böleni ve türevini belirtirsek (5.3) için bir açılım olacaktır. (5.2)'yi (5.3)'e bölerek şunu elde ederiz:
onlar. birden fazla faktör içermeyen ve genel olarak konuşursak, indirgenemez her faktörün daha düşük bir dereceye sahip olduğu ve her durumda yalnızca asal faktörleri içeren bir polinom elde ederiz. Bu problem çözülürse, geriye kalan tek şey, bölme algoritması kullanılarak elde edilen, bulunan indirgenemez faktörlerin çokluğunu belirlemektir.
Şimdi özetlenen yöntemi karmaşıklaştırarak, birden fazla çarpanı olmayan birkaç polinomu hemen ele almaya başlayabiliriz ve bu polinomların indirgenemez çarpanlarını bulduktan sonra, yalnızca indirgenemez tüm çarpanları bulmakla kalmayıp aynı zamanda onların çokluğunu da bileceğiz.
(5.2) indirgenemez faktörlere ayrışsın ve faktörlerin en yüksek çokluğu , olsun. Bir polinomun tüm tek faktörlerinin çarpımı ile, tüm çift faktörlerin çarpımı ile, ancak yalnızca bir kez alınmış olarak, vb., son olarak, yine yalnızca bir kez alınan çoklu faktörlerin çarpımı ile ifade edelim; Bazıları için birden fazla faktör yoksa, o zaman varsayıyoruz. Daha sonra polinomun derecesine bölünecek ve açılım (5.2) formunu alacaktır.
ve genişletme (5.3) şeklinde yeniden yazılacaktır.
bir polinomun ve onun türevinin en büyük ortak böleni aracılığıyla ve genel olarak polinomların en büyük ortak böleni yoluyla ifade edilir ve bu şekilde şunu elde ederiz:
……………………………
……………………………
Ve sonunda
Böylece, yalnızca polinomun indirgenemez faktörleri hakkında bilgi gerektirmeyen teknikleri kullanarak, yani türevi, Öklid algoritmasını ve bölme algoritmasını kullanarak, birden fazla faktörü olmayan polinomları bulabiliriz ve polinomun her indirgenemez faktörü - çoklu olacaktır. için.
Örnek. Bir polinomu katlarına ayırın.
Polinomun formda bir açılımı vardır.
Bir polinomu katlara ayıracak bir program yaptım.
Windows, Mesajlar, SysUtils, Varyantlar, Sınıflar, Grafikler, Kontroller, Formlar,
Diyaloglar, StdCtrl'ler, Izgaralar;
TForm1 = sınıf(TForm)
SGd1: TStringGrid;
Düğme1: TDüğme;
SGd2: TStringGrid;
SGd3: TStringGrid;
SGd4: TStringGrid;
prosedür Button1Click(Gönderen: TObject);
(Özel beyanlar)
(Kamuya yapılan açıklamalar)
c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;
kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:tamsayı dizisi;
izub,e,fx:tamsayı dizisi;
prosedür TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i,j,k_1,st3,l:tamsayı;
k2_2,k1_1:tamsayı dizisi;
st1:=StrToInt(Edit1.Text);
i:=0'dan st1'e başlayın
SGd4.Hücreler:=SGd1.Hücreler;
i:=0'dan st1'e başlayın
SGd1.Hücreler ise<>"" Daha sonra
kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)
else MesajDlg("Dikkat! Katsayı değerleri girilmemiştir!",mtWarning,,0);
i:=st1 için 0'a kadar başla
eğer kof1[i]<>0 sonra başla
eğer(kof1<0)or(i=0) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
kof2:=kof1[i]*i;
//Edit2.Text:=s;
i:=st2 için 0'a kadar başla
SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);
eğer kof2[i]<>0 sonra başla
eğer(kof2<0)or(i=1) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
//Edit3.Text:=s;
i:=0'dan st1'e başlayın
kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
i:=0'dan st2'ye başlar
kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
kof2 iken<>0 başla
//Edit4.Text:="";
eğer k1<>kof2 sonra başla
if (k1 mod kof2)=0 o zaman başla
j:=0'dan st2'ye yapmak için
k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];
eğer k2<>1 o zaman
j:=0'dan st1'e yapmak için
k1[j]:=kof2*k1[j];
eğer k_1<>1 sonra başla
j:=0'dan st2'ye yapmak için
k2[j]:=k_1*kof2[j];
i:=1'den st1'e kadar başlar
k1:=k1[i]-k2[i];
st1'e kadar eğer k1<>0 sonra başla //Kısaltma i:=1'den st1'e yapmak için eğer k1[i]<>0 sonra başla if (k1[i] mod k1)<>0 sonra sokr:=false; eğer sokr=true ise o zaman i:=0'dan st1'e yapmak için k1[i]:=k1[i] div k_1; for i:=0'dan st2'ye do //Polinomların değiştirilmesi k2_2[i]:=kof2[i]; i:=0'dan st1'e yapmak için i:=0'dan 10'a kadar başlar SGd3.Hücreler: = ""; SGd1.Hücreler: = ""; izub:=0; izubst:=st2; i:=0'dan st2'ye başlar SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]); izub:=k1[i]; eğer k1[i]<>0 sonra başla //Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i); if (k2_2>0)ve(i) i:=0'dan st1'e başlayın kof2[i]:=k1_1[i]; d_st:=StrToInt(Edit1.Text); i:=d_st+1 için 1'e kadar başlar kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells); //E'yi bulma n_nod:=1 için n_iz'e başlayın m:=izubst; i:=n+1 için 1'e kadar başla i:=m+1 için 1'e kadar başlar b[i]:=izub; i:=n+1 için 1'e kadar başla eğer bir[i]<>0 sonra başla Eğer bir<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; i:=m+1 için 1'e kadar başlar eğer b[i]<>0 sonra başla eğer(b)<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; j:=n+1 için 1'e kadar başla j:=m+1'den 1'e kadar başlar b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f için 1'e kadar başlayın a2[j]:=a2[j]*b; j:=f için 1'e kadar başlayın a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 için 1'e kadar başlar e:=buf[i]; eğer buf[i]<>0 sonra başla eğer(buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; i:=n için 0'a kadar başla eğer a2[i]<>0 sonra başla eğer(a2)<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; n_nod:=1 için n_iz-1'e başlayın m:=tahmini; i:=n+1 için 1'e kadar başla a[i]:=e; i:=m+1 için 1'e kadar başlar b[i]:=e; eğer n_nod=n_iz-1 ise fx:=b[i]; i:=n+1 için 1'e kadar başla eğer bir[i]<>0 sonra başla if(a<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; i:=m+1 için 1'e kadar başlar eğer b[i]<>0 sonra if(b) ile başlayın<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; j:=n+1 için 1'e kadar başla i:=adım+1 için 1'e doğru başlayın j:=m+1'den 1'e kadar başlar b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f için 1'e kadar başlayın a2[j]:=a2[j]*b; j:=f için 1'e kadar başlayın a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 için 1'e kadar başlar fx:=buf[i]; eğer buf[i]<>0 sonra if(buf) ile başlayın<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; i:=n için 0'a kadar başla eğer a2[i]<>0 sonra başla if(a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; fxst:=tahmini+1; for i:=1'den n_iz'e başlayın j:=fxst[i] için 0'a kadar başlayın eğer fx<>0 sonra başla eğer(fx<0)or(j=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; s:=s+")^"+IntToStr(i)+" "; Edit6.Text:=Düzenle6.Text+s; i:=0'dan 10'a kadar başlar SGd1.Hücreler:=SGd4.Hücreler; Teorem 14.1. (Polinomlarla ilgili temel teorem). Bir F alanı üzerinde pozitif dereceli herhangi bir polinom, F üzerindeki indirgenemez polinomların bir ürünü olarak temsil edilebilir ve böyle bir temsil, faktörlerin ve ilişkinin sırasına göre benzersizdir. Kanıt. 1) Varoluş. İzin vermek f(x) F(x) Ve derece f(x)=n> 0. Parametre üzerinde matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak ispatı gerçekleştiriyoruz N. 1. İzin ver N=1 f(x) indirgenemez F => f(x)=f(x)– gerekli temsil. 2. Bu ifadenin pozitif dereceli herhangi bir polinom için doğru olduğunu varsayalım.< N alanın üzerinde F. 3. Polinomun ifadesini kanıtlayalım f(x). Eğer f(x) indirgenemez F, O f(x)=f(x) gerekli temsildir. İzin vermek f(x) yukarıda veriyoruz F f(x)=f 1 (X) , Nerede F 1 (x),f 2 (x)F[X] ve 0 < deg f i < n, i=
F 1 (x) = p 1 (x)·p 2 (x) · …·p r (x) Ve F 2 (x)=q 1 (x) ·…·q s (x)– indirgenemez polinomların çarpımı şeklinde ve temsili f=f 1 F 2 = p 1 · … ·p r · q 1 · … ·q s– gerekli temsil. Matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak 1'den 3'e kadar ifade her şey için doğrudur. N N.
2) Benzersizlik. İzin vermek f(x)=p 1 (x)· … ·p r (x) Ve f(x)=q 1 (x)· … ·q s (x)– gerekli gösterimler (1). Çünkü r,s N, herhangi biri r s, veya r.s.Örneğin, r.s.(1)'in sol tarafı bölünebildiğinden P 1 ,
O (Q 1 · … ·q s) p 1 Lemma 13.4'e göre faktörlerden en az biri şuna bölünebilir: P 1 .
Faktörler değiştirilebildiğinden, şunu varsayacağız: Q 1 P 1 Lemma 13.2 tarafından Q 1 ~q 2 ve yoruma göre 3 Q 1 =p 1 ·A 0 , nerede A 0 F# => p 1 · … ·p r =a 0 · P 1 · Q 2 · … ·q s, (2). (2)'nin sol tarafı bölünebildiğinden R 2 , o zaman yukarıdaki gibi elde ederiz R 2 ~q 2 ve R 2 =q 2 B 0 , nerede B 0 F#, ve (3), vb., sonlu sayıda adımdan sonra 1 elde ederiz =a 0 ·
0 · … ·qr + 1 · … ·q s(4). Diyelim ki R Tanım 14.1. İzin vermek F- alan. Polinom f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +…+bir n - 1 x+a n F[X] denir normalleştirilmiş veya verilmiş, Eğer A 0 =
1. Sonuç 14.1.1. Bir F alanı üzerinde pozitif dereceli herhangi bir f polinomu şu şekilde temsil edilebilir: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), burada a 0 F #, p 1,…,p r normalleştirilmiş polinomlardır F üzerinde indirgenemez. Açıklama 14.1.İzin vermek f(x) F[x], F - alan, derece(x)>0. Daha sonra Sonuç 14.1.1'e göre f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x)(1), nerede a 0 F #, p 1 (x),…,p r (x) - indirgenemez F normalleştirilmiş polinomlar. Polinomlar arasında olması mümkündür p 1 ,…,p r eşitler var .
(1)'deki eşit faktörleri çarparak, formun eşitliğini elde ederiz f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s . Tanım 14.2.İzin vermek f(x) F[X], F- alan, derece f(x)>0. Polinom gösterimi f(x) gibi f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2), Nerede a 0 F # , p 1, …, p s- bir alan üzerinde ikili olarak farklı indirgenemezler F normalleştirilmiş polinomlar, k ben ≥1, i=,isminde kanonik gösterim polinom F, sayı ben isminde p faktörünün çokluğu i , i=. Eğer k ben = 1, o zaman ben polinomun basit indirgenemez faktörü olarak adlandırılır F. Sonuç 14.2.f(x), g(x) F olsun[X], F - alanı, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , burada a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – F, ki üzerinde indirgenemeyen ikili farklı normalleştirilmiş polinomlar 0ben ben 0, ben= . O halde (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s, burada γ i =min{ki ben, ben} , ben= ,[f,g]= p 1 δ 1 ·p 2 δ 2 · … ·p s δ s, burada δ ben =max(k i,l i), i=. Tanım 14.3.İzin vermek f(x)F[X], F- özdeşliğe sahip çağrışımsal-değişmeli halka, İle- kök f(x). Sayı k isminde çokluk kök C polinom f(x), Eğer f(x-s)k, Ancak f(x-c)k + 1 . Bu durumda yazıyorlar (x-c) k ┬ f(x) - bu giriş şu anlama geliyor (x-c)k- bu en yüksek derecedir (x-s), hangi böler f(x). Açıklama 14.2. Eğer k = 1, o zaman İle bir polinomun basit kökü denir f(x). İzin vermek f(x) F[X], F- alan. Kendimize polinomun indirgenemez tüm çarpanlarını ayırma görevini belirleyelim. f(x). Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi kanıtlıyoruz. Polinom f(x) F[X]F bir alan olmak üzere, k > indirgenemez çokluk çarpanlarına sahip değildir. 1(f,f ")= 1.
Sonuç 14.2.3.f F polinomunun birden fazla indirgenemez faktörü[X] tam olarak d(x)=(f,f ") polinomunun indirgenemez faktörleridir. Çözüm: Bu nedenle, bir polinomun birden fazla indirgenemez faktörünü ayırma sorunu f(x) bulmaya geliyor d=(f,f ") ve polinomun genişletilmesi Dçarpanlara göre. Sırasıyla polinomun birden fazla indirgenemez faktörünü ayırın d(x) bulmakla mümkün d 1 =(d,d ") vesaire.
1 q r + 1 => derece q r + 1 =0 =>
çelişki => r=s. Böylece polinomun temsili f(x)İstenilen ürünün şekli, faktörlerin ve birlikteliklerin sırasına göre benzersiz olarak belirlenir. Teorem kanıtlandı.