فرمول های کاهش Tg ctg فرمول های کاهش

تعریف. فرمول‌های کاهش، فرمول‌هایی هستند که به شما امکان می‌دهند از آن خارج شوید توابع مثلثاتیتایپ به آرگومان توابع. با کمک آنها می توان سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه دلخواه را از بازه 0 تا 90 درجه (از 0 تا رادیان) به سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه کاهش داد. بنابراین، فرمول‌های کاهش به ما اجازه می‌دهند تا به سمت کار با زوایای 90 درجه برویم، که بدون شک بسیار راحت است.

فرمول های کاهش:

دو قانون برای استفاده از فرمول های کاهش وجود دارد.

1. اگر زاویه را بتوان به صورت (π/2 ±a) یا (3*π/2±a) نشان داد، نام تابع تغییر می کندگناه به cos، cos به گناه، tg به ctg، ctg به tg. اگر زاویه را بتوان به شکل (π ±a) یا (2*π ±a) نشان داد، پس نام تابع بدون تغییر باقی می ماند.

به تصویر زیر نگاه کنید، به صورت شماتیک نشان می دهد که چه زمانی باید علامت را تغییر دهید و چه زمانی را نه

2. علامت کاهش عملکرد به همان شکل باقی می ماند. اگر تابع اصلی علامت مثبت داشته باشد، تابع کاهش یافته نیز علامت مثبت دارد. اگر تابع اصلی علامت منفی داشت، تابع کاهش یافته نیز علامت منفی دارد.

شکل زیر نشانه های توابع مثلثاتی پایه را بسته به ربع نشان می دهد.

مثال:

محاسبه

بیایید از فرمول های کاهش استفاده کنیم:

Sin (150˚) در ربع دوم است. این بدان معنی است که تابع داده شده علامت "+" نیز خواهد داشت. قانون دوم را اعمال کردیم.

اکنون 150˚ = 90˚ +60˚. 90 درجه π/2 است. یعنی با حالت π/2+60 سر و کار داریم بنابراین طبق قانون اول تابع را از sin به cos تغییر می دهیم. در نتیجه، Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ را دریافت می کنیم.

درس و ارائه با موضوع: "کاربرد فرمول های کاهش در حل مسائل"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه دهم
1C: مدرسه. وظایف ساخت و ساز تعاملی برای کلاس های 7-10
1C: مدرسه. ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی در مورد ساخت و ساز در فضا برای کلاس های 10-11

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:
1. کمی تکرار کنیم.
2. قوانین برای فرمول های کاهش.
3. جدول تبدیل فرمول های کاهش.
4. مثال ها.

بررسی توابع مثلثاتی

بچه ها، شما قبلاً با فرمول های ارواح برخورد کرده اید، اما هنوز آنها را به این شکل صدا نکرده اید. نظر شما چیست: کجا؟

به نقاشی های ما نگاه کنید. به درستی، زمانی که تعاریف توابع مثلثاتی معرفی شد.

قانون برای فرمول های کاهش

بیایید قانون اساسی را معرفی کنیم: اگر در زیر علامت تابع مثلثاتی تعدادی از شکل π×n/2 + t وجود داشته باشد که n هر عدد صحیح باشد، تابع مثلثاتی ما را می توان به تعداد بیشتری کاهش داد. نمای ساده، که فقط حاوی آرگومان t خواهد بود. به این گونه فرمول ها فرمول های ارواح می گویند.

بیایید چند فرمول را به خاطر بسپاریم:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tan(t + π*k) = tan(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

فرمول های ارواح زیادی وجود دارد، بیایید یک قاعده ایجاد کنیم که با استفاده از آن، توابع مثلثاتی خود را تعیین کنیم. فرمول های ارواح:

• اگر علامت یک تابع مثلثاتی شامل اعدادی به شکل: π + t، π - t، 2π + t و 2π - t باشد، آنگاه تابع تغییر نخواهد کرد، به عنوان مثال، سینوس یک سینوس باقی می‌ماند، کوتانژانت یک کوتانژانت باقی خواهد ماند.
• اگر علامت تابع مثلثاتی شامل اعدادی به شکل: π/2 + t، π/2 - t باشد،
  3π/2 + t و 3π/2 - t، سپس تابع به یک مرتبط تغییر می کند، یعنی سینوس تبدیل به کسینوس می شود، کوتانژانت تبدیل به مماس می شود.
• قبل از تابع به دست آمده، باید علامتی را که تابع تبدیل شده در شرایط 0 خواهد داشت قرار دهید

این قوانین زمانی که آرگومان تابع به درجه داده می شود نیز اعمال می شود!

همچنین می توانیم جدولی از تبدیل توابع مثلثاتی ایجاد کنیم:

نمونه هایی از استفاده از فرمول های کاهش

1. cos (π + t) را تبدیل کنید. نام تابع باقی می ماند، یعنی. ما هزینه (t) را دریافت می کنیم. اجازه دهید بیشتر فرض کنیم که π/2

2. تبدیل sin(π/2 + t). نام تابع تغییر می کند، یعنی. ما هزینه (t) را دریافت می کنیم. بعد، فرض کنید 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. تبدیل tg (π + t). نام تابع باقی می ماند، یعنی. ما برنزه می شویم (t). اجازه دهید بیشتر فرض کنیم که 0

4. ctg (270 0 + t) را تبدیل کنید. نام تابع تغییر می کند، یعنی tg(t) می گیریم. اجازه دهید بیشتر فرض کنیم که 0

مسائل مربوط به فرمول های کاهش برای حل مستقل

بچه ها، خودتان آن را با استفاده از قوانین ما تبدیل کنید:

1) tg (π + t)،
2) tg (2π - t)،
3) تخت نوزاد (π - t)،
4) tg (π/2 - t)،
5) cotg (3π + t)،
6) گناه (2π + t)،
7) گناه (π/2 + 5t)،
8) گناه (π/2 - t)،
9) گناه (2π - t)،
10) cos(2π - t)،
11) cos(3π/2 + 8t)،
12) cos(3π/2 - t)،
13) cos(π - t).

چگونه فرمول های کاهش توابع مثلثاتی را به خاطر بسپاریم؟ اگر از یک انجمن استفاده کنید آسان است. همانطور که قبلاً ذکر شد ، یک ارتباط خوب باید "گرفت" ، یعنی احساسات واضح را برانگیزد. من نمی توانم احساسات ناشی از این تداعی را مثبت بنامم. اما نتیجه می دهد - به شما امکان می دهد فرمول های کاهش را به خاطر بسپارید ، به این معنی که حق وجود دارد. به هر حال، اگر آن را دوست ندارید، مجبور نیستید از آن استفاده کنید، درست است؟

فرمول‌های کاهش دارای شکل هستند: sin(πn/2±α)، cos(πn/2±α)، tg(πn/2±α)، ctg(πn/2±α). به یاد داشته باشید که +α حرکت در جهت عقربه های ساعت می دهد، - α حرکت در جهت عقربه های ساعت می دهد.

برای کار با فرمول های کاهش به دو نکته نیاز دارید:

1) علامتی را که تابع اولیه دارد قرار دهید (در کتاب های درسی می نویسند: تقلیل پذیر. اما برای اینکه اشتباه نگیریم بهتر است آن را ابتدایی بنامیم) اگر α را زاویه ربع اول در نظر بگیریم یعنی ، کم اهمیت.

2) قطر افقی - π±α، 2π±α، 3π±α... - به طور کلی وقتی کسری وجود ندارد، نام تابع تغییر نمی کند. π/2±α عمودی، 3π/2±α، 5π/2±α... - وقتی کسری وجود دارد، نام تابع تغییر می کند: سینوس - به کسینوس، کسینوس - به سینوس، مماس - به کوتانژانت و کتانژانت - به مماس.

اکنون، در واقع، انجمن:

قطر عمودی (کسری وجود دارد) -

مست ایستاده اوایل چه اتفاقی برای او خواهد افتاد؟

یا الان خیلی دیر است؟ درست است، سقوط خواهد کرد.

نام تابع تغییر خواهد کرد.

اگر قطر افقی باشد، مست از قبل دراز کشیده است. او احتمالاً خواب است. هیچ اتفاقی برای او نخواهد افتاد. بر این اساس، نام تابع تغییر نمی کند.

یعنی sin(π/2±α)، sin(3π/2±α)، sin(5π/2±α) و غیره. دادن ±cosα،

و sin (π±α)، sin (2π±α)، sin (3π±α)، ... - ±sinα.

ما قبلاً می دانیم چگونه.

چگونه کار می کند؟ بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

1) cos(π/2+α)=؟

ما π/2 می شویم. از آنجایی که +α به این معنی است که در خلاف جهت عقربه های ساعت به جلو می رویم. ما خود را در ربع دوم می یابیم، جایی که کسینوس دارای علامت "-" است. نام تابع تغییر می کند ("یک فرد مست ایستاده است"، به این معنی که او سقوط می کند). بنابراین،

cos(π/2+α)=-sin α.

به 2π برسیم. از آنجایی که -α - به عقب می رویم، یعنی در جهت عقربه های ساعت. ما خود را در ربع چهارم می یابیم، جایی که مماس علامت "-" دارد. نام تابع تغییر نمی کند (قطر افقی است، "مست از قبل دراز کشیده است"). بنابراین، tan(2π-α)=- tanα.

3) ctg²(3π/2-α)=؟

حل مثال هایی که در آنها یک تابع به توان زوج می رسد، ساده تر است. درجه زوج "-" آن را حذف می کند، یعنی فقط باید دریابید که آیا نام تابع تغییر می کند یا باقی می ماند. قطر عمودی است (کسری وجود دارد، "مست ایستاده"، سقوط می کند)، نام تابع تغییر می کند. دریافت می کنیم: ctg²(3π/2-α)= tan²α.

آنها به بخش مثلثات ریاضیات تعلق دارند. ماهیت آنها کاهش توابع مثلثاتی زوایا به شکل "ساده" است. در مورد اهمیت شناخت آنها می توان مطالب زیادی نوشت. در حال حاضر 32 مورد از این فرمول ها وجود دارد!

نگران نباشید، مانند بسیاری از فرمول های دیگر در یک دوره ریاضی، نیازی به یادگیری آنها ندارید. اطلاعات اضافینیازی به نگرانی نیست، باید "کلیدها" یا قوانین را به خاطر بسپارید و به خاطر سپردن یا استخراج فرمول مورد نیاز مشکلی نخواهد داشت. به هر حال، وقتی در مقالات می نویسم "... باید یاد بگیری!!!" - این بدان معنی است که واقعاً باید یاد گرفت.

اگر با فرمول های کاهش آشنا نیستید، سادگی اشتقاق آنها شما را شگفت زده می کند - "قانونی" وجود دارد که با کمک آن می توان این کار را به راحتی انجام داد. و شما می توانید هر یک از 32 فرمول را در 5 ثانیه بنویسید.

من فقط برخی از مشکلاتی را که در امتحان دولتی واحد ریاضی ظاهر می شود، لیست می کنم که بدون آگاهی از این فرمول ها، احتمال شکست در حل آنها زیاد است. مثلا:

- مسائل مربوط به حل مثلث قائم الزاویه، جایی که ما در مورد زاویه خارجی صحبت می کنیم، و همچنین مشکلات در مورد گوشه های داخلیبرخی از این فرمول ها نیز ضروری هستند.

- مشکلات برای محاسبه مقادیر عبارات مثلثاتی; تبدیل عبارات مثلثاتی عددی؛ تبدیل عبارات مثلثاتی تحت اللفظی

- مسائل مربوط به مماس و معنای هندسی مماس، فرمول کاهشی برای مماس مورد نیاز است و همچنین مسائل دیگر.

- مشکلات استریومتریک، در طول حل اغلب لازم است سینوس یا کسینوس زاویه ای که در محدوده 90 تا 180 درجه قرار دارد، تعیین شود.

و اینها فقط نکاتی است که به آزمون یکپارچه دولتی مربوط می شود. و در خود درس جبر مسائل زیادی وجود دارد که حل آنها را نمی توان بدون آگاهی از فرمول های کاهش انجام داد.

بنابراین این به چه چیزی منجر می شود و چگونه فرمول های مشخص شده حل مسائل را برای ما آسان می کند؟

به عنوان مثال، شما باید سینوس، کسینوس، مماس یا کوتانژانت هر زاویه را از 0 تا 450 درجه تعیین کنید:

زاویه آلفا بین 0 تا 90 درجه است

* * *

بنابراین، لازم است "قانون" را که در اینجا کار می کند درک کنید:

1. علامت تابع را در ربع مربوطه تعیین کنید.

بگذارید یادآوری کنم:

2. موارد زیر را به خاطر بسپارید:

تابع به توابع تغییر می کند

عملکرد به توابع تغییر نمی کند

مفهوم چیست - یک تابع به یک تابع تغییر می کند؟

پاسخ: تغییر سینوس به کسینوس یا بالعکس، مماس بر کوتانژانت یا بالعکس.

همین!

حال طبق قانون ارائه شده، خودمان چندین فرمول کاهش را یادداشت می کنیم:

این زاویه در ربع سوم قرار دارد، کسینوس در ربع سوم منفی است. ما تابع را به یک تابع تغییر نمی دهیم، زیرا 180 درجه داریم، به این معنی:

زاویه در یک چهارم اول قرار دارد، سینوس در یک چهارم اول مثبت است. ما تابع را به یک تابع تغییر نمی دهیم، زیرا ما 360 درجه داریم، به این معنی:

در اینجا تأیید دیگری وجود دارد که سینوس های زوایای مجاور برابر هستند:

زاویه در ربع دوم قرار دارد، سینوس در ربع دوم مثبت است. ما تابع را به یک تابع تغییر نمی دهیم، زیرا 180 درجه داریم، یعنی:

در آینده، با استفاده از ویژگی تناوب، یکنواختی (عجیب)، می توانید به راحتی مقدار هر زاویه را تعیین کنید: 1050 0، -750 0، 2370 0 و هر زاویه دیگری. قطعا در آینده مقاله ای در این مورد وجود خواهد داشت، آن را از دست ندهید!

هنگامی که از فرمول های کاهش برای حل مسائل استفاده می کنم، حتما به این مقاله مراجعه می کنم تا بتوانید همیشه خاطره خود را از نظریه ارائه شده در بالا تجدید کنید. همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

مطالب مقاله را در قالب PDF دریافت کنید

با احترام، اسکندر.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.