En quels points la primitive est-elle égale à zéro ?

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(9)-F(5), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x).

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Solution

D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(9)-F(5), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire du trapèze curviligne limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0 , x=9 et x=5. À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

Sa superficie est égale \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

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Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=F(x) - l'une des primitives d'une fonction f(x) définie sur l'intervalle (-5 ; 5). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur le segment [-3; 4].

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Solution

Selon la définition d'une primitive, l'égalité est vraie : F"(x)=f(x). Par conséquent, l'équation f(x)=0 peut s'écrire sous la forme F"(x)=0. Puisque la figure montre le graphique de la fonction y=F(x), nous devons trouver ces points dans l'intervalle [-3; 4], dans laquelle la dérivée de la fonction F(x) est égale à zéro. Il ressort clairement de la figure qu'il s'agira des abscisses des points extrêmes (maximum ou minimum) du graphe F(x). Il y en a exactement 7 dans l'intervalle indiqué (quatre points minimum et trois points maximum).

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(5)-F(0), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x).

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Solution

D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(5)-F(0), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire du trapèze curviligne limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0 , x=5 et x=0. À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 5 et 3 et de hauteur 3.

Sa superficie est égale \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=F(x) - l'une des primitives d'une fonction f(x), définie sur l'intervalle (-5 ; 4). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions de l'équation f (x) = 0 sur le segment (-3 ; 3].

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Solution

Selon la définition d'une primitive, l'égalité est vraie : F"(x)=f(x). Par conséquent, l'équation f(x)=0 peut s'écrire sous la forme F"(x)=0. Puisque la figure montre le graphique de la fonction y=F(x), nous devons trouver ces points dans l'intervalle [-3; 3], dans laquelle la dérivée de la fonction F(x) est égale à zéro.

Il ressort clairement de la figure qu'il s'agira des abscisses des points extrêmes (maximum ou minimum) du graphe F(x). Il y en a exactement 5 dans l'intervalle indiqué (deux points minimum et trois points maximum).

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction F(x)=-x^3+4.5x^2-7 est l'une des primitives de la fonction f(x).

Trouvez l'aire de la figure ombrée.

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Solution

La figure ombrée est un trapèze curviligne délimité par le haut par le graphique de la fonction y=f(x), les droites y=0, x=1 et x=3. Selon la formule de Newton-Leibniz, son aire S est égale à la différence F(3)-F(1), où F(x) est la primitive de la fonction f(x) spécifiée dans la condition. C'est pourquoi S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Primitive de fonction

Condition

La figure montre un graphique d'une fonction y=f(x). La fonction F(x)=x^3+6x^2+13x-5 est l'une des primitives de la fonction f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée.

Bonjour les amis! Dans cet article, nous examinerons les tâches pour les primitives. Ces tâches sont incluses dans l'examen d'État unifié en mathématiques. Malgré le fait que les sections elles-mêmes - différenciation et intégration - sont assez volumineuses dans le cours d'algèbre et nécessitent une approche responsable de la compréhension, les tâches elles-mêmes, qui sont incluses dans la banque ouverte de tâches en mathématiques et seront extrêmement simples sur le Unified Examen d'État et peut être résolu en une ou deux étapes.

Il est important de comprendre exactement l’essence de la primitive et, en particulier, la signification géométrique de l’intégrale. Examinons brièvement les fondements théoriques.

Signification géométrique de l'intégrale

En bref à propos de l'intégrale, nous pouvons dire ceci : l'intégrale est l'aire.

Définition : Soit un graphique d'une fonction positive f définie sur le segment sur le plan de coordonnées. Un sous-graphe (ou trapèze curviligne) est une figure délimitée par le graphe d'une fonction f, les droites x = a et x = b et l'axe des x.

Définition : Soit une fonction positive f, définie sur un segment fini. L'intégrale d'une fonction f sur un segment est l'aire de son sous-graphe.

Comme déjà dit F′(x) = f (x).Que peut-on conclure ?

C'est simple. Nous devons déterminer combien de points il y a sur ce tableau, auquel F′(x) = 0. Nous savons qu'aux points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe des x. Montrons ces points sur l'intervalle [–2;4] :

Ce sont les points extrêmes d'une fonction F (x) donnée. Ils sont dix.

Réponse : 10

323078. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y = f (x) (deux rayons avec un point de départ commun). À l'aide de la figure, calculez F (8) – F (2), où F (x) est l'une des primitives de la fonction f (x).

Écrivons à nouveau le théorème de Newton-Leibniz :Soit f cette fonction, F est sa primitive arbitraire. Alors

Et ceci, comme déjà dit, est l'aire du sous-graphe de la fonction.

Ainsi, le problème se résume à trouver l'aire du trapèze (intervalle de 2 à 8) :

Il n'est pas difficile de le calculer par cellules. On obtient 7. Le signe est positif, puisque le chiffre est situé au dessus de l'axe des x (ou dans le demi-plan positif de l'axe des y).

Aussi dans dans ce cas on pourrait dire ceci : la différence des valeurs des primitives aux points est l'aire de la figure.

Réponse : 7

323079. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y = f (x). La fonction F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 est l'une des primitives de la fonction y = f (x). Trouvez l'aire de la figure ombrée.

Comme cela a déjà été dit à propos de la signification géométrique de l'intégrale, il s'agit de l'aire de la figure limitée par le graphique de la fonction f (x), les droites x = a et x = b et l'axe du bœuf.

Théorème (Newton – Leibniz) :

Ainsi, la tâche se résume à calculer l'intégrale définie d'une fonction donnée sur l'intervalle de –11 à –9, ou en d'autres termes, il faut trouver la différence des valeurs des primitives calculées aux points indiqués :

Réponse : 6

323080. La figure montre un graphique d'une fonction y = f (x).

La fonction F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 est l'une des primitives de la fonction f (x). Trouvez l'aire de la figure ombrée.

Théorème (Newton – Leibniz) :

Le problème se résume à calculer l’intégrale définie d’une fonction donnée sur l’intervalle de –10 à –8 :

Réponse : 4 Vous pouvez visualiser .

Les règles de dérivées et de différenciation sont également présentes dans . Il est nécessaire de les connaître, non seulement pour résoudre de telles tâches.

Vous pouvez également regarder Informations d'arrière-plan sur le site Internet et .

Regardez une courte vidéo, il s'agit d'un extrait du film « The Blind Side ». On peut dire que c'est un film sur l'éducation, sur la miséricorde, sur l'importance des rencontres soi-disant « aléatoires » dans nos vies... Mais ces mots ne suffiront pas, je recommande de regarder le film lui-même, je le recommande vivement.

Je te souhaite du succès!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

La droite y=3x+2 est tangente au graphique de la fonction y=-12x^2+bx-10. Trouver b, étant donné que l'abscisse du point tangent moins que zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point du graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point de tangence appartient simultanément au graphe du fonction et la tangente, c'est-à-dire -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Nous obtenons un système d'équations. \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1, soit x_0=1. D'après la condition d'abscisse, les points tangents sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, alors b=3+24x_0=-21.

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Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) (qui est une ligne brisée composée de trois segments droits). À l’aide de la figure, calculez F(9)-F(5), où F(x) est l’une des primitives de la fonction f(x).

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Solution

D'après la formule de Newton-Leibniz, la différence F(9)-F(5), où F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), est égale à l'aire du trapèze curviligne limité par le graphique de la fonction y=f(x), droites y=0 , x=9 et x=5. À partir du graphique, nous déterminons que le trapèze courbe indiqué est un trapèze de bases égales à 4 et 3 et de hauteur 3.

Sa superficie est égale \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

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Condition

La figure montre un graphique de y=f"(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-4 ; 10). Trouvez les intervalles de la fonction décroissante f(x). Dans votre réponse, indiquer la longueur du plus grand d'entre eux.

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Solution

Comme on le sait, la fonction f(x) décroît sur les intervalles en chaque point dont la dérivée f"(x) est inférieure à zéro. Considérant qu'il est nécessaire de trouver la longueur du plus grand d'entre eux, trois de ces intervalles sont se distingue naturellement de la figure : (-4 ; -2) ; (0 ; 3) ;

La longueur du plus grand d'entre eux - (5 ; 9) est de 4.

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Condition

La figure montre un graphique de y=f"(x) - la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-8 ; 7). Trouvez le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant à l'intervalle [-6; -2].

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Solution

Le graphique montre que la dérivée f"(x) de la fonction f(x) change de signe de plus à moins (à ces points il y aura un maximum) en exactement un point (entre -5 et -4) de l'intervalle [ -6; -2 ] Il y a donc exactement un point maximum dans l'intervalle [-6; -2].

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Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x), définie sur l'intervalle (-2 ; 8). Déterminer le nombre de points auxquels la dérivée de la fonction f(x) est égale à 0.

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Solution

L'égalité de la dérivée en un point à zéro signifie que la tangente au graphique de la fonction tracée en ce point est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons des points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extremum (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le constater, il y a 5 points extrêmes.

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Condition

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y=-x^2+5x-7. Trouvez l'abscisse du point tangent.

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Solution

Le coefficient angulaire de la droite du graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est égal à y"(x_0). Mais y"=-2x+5, ce qui signifie y" (x_0)=-2x_0+5. Angulaire le coefficient de la ligne y=-3x+4 spécifié dans la condition est égal à -3. Les lignes parallèles ont donc les mêmes coefficients angulaires. -2x_0 +5=-3.

On obtient : x_0 = 4.

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Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) et les points -6, -1, 1, 4 sont marqués en abscisse. En quel point la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

51. La figure montre un graphique y=f "(x)- dérivée d'une fonction f(x), défini sur l’intervalle (− 4; 6). Trouver l'abscisse du point auquel la tangente au graphique de la fonction y=f(x) parallèle à la droite y=3x ou coïncide avec lui.

Réponse : 5

52. La figure montre un graphique y=F(x) f(x) f(x) positif?

Réponse : 7

53. La figure montre un graphique y=F(x) une des primitives d'une fonction f(x) et huit points sont marqués sur l'axe des x : x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. En combien de ces points se trouve la fonction f(x) négatif?

Réponse : 3

54. La figure montre un graphique y=F(x) une des primitives d'une fonction f(x) et dix points sont marqués sur l'axe des x : x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. En combien de ces points se trouve la fonction f(x) positif?

Réponse : 6

55. La figure montre un graphique y=F(x f(x), défini sur l’intervalle (− 7; 5). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation f(x)=0 sur le segment [− 5 ;  2].

Réponse : 3

56. La figure montre un graphique y=F(x) une des primitives d'une fonction f (X), défini sur l’intervalle (− 8; 7). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation f(x)= 0 sur l'intervalle [− 5 ;  5].

Réponse : 4

57. La figure montre un graphique y = F(X) une des primitives d'une fonction F(X), défini sur l'intervalle (1;13). À l'aide de la figure, déterminez le nombre de solutions à l'équation F (X)=0 sur le segment .

Réponse : 4

58. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x)(deux rayons avec un point de départ commun). À l’aide de la figure, calculez F(−1)−F(−8), Où F(x) f(x).

Réponse : 20

59. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x) (deux rayons avec un point de départ commun). À l’aide de la figure, calculez F(−1)−F(−9), Où F(x)- une des fonctions primitives f(x).

Réponse : 24

60. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x). Fonction

-une des fonctions primitives f(x). Trouver l'aire de la figure ombrée.

Réponse : 6

61. La figure montre un graphique d'une certaine fonction y=f(x). Fonction

Une des fonctions primitives f(x). Trouvez l'aire de la figure ombrée.

Réponse : 14,5

parallèle à la tangente au graphique de la fonction

Réponse : 0,5

Trouvez l'abscisse du point tangent.

Réponse 1

est tangente au graphe de la fonction

Trouver c.

Réponse : 20

est tangente au graphe de la fonction

Trouver un.

Réponse : 0,125

est tangente au graphe de la fonction

Trouver b, en tenant compte du fait que l'abscisse du point tangent est supérieure à 0.

Réponse : -33

67. Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

Où X t- temps en secondes, mesuré à partir du début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 96 m/s ?

Réponse : 18

68. Un point matériel se déplace rectiligne selon la loi

Où X- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes, mesuré à partir du début du mouvement. À quel moment (en secondes) sa vitesse était-elle égale à 48 m/s ?

Réponse : 9

69. Un point matériel se déplace rectiligne selon la loi

Où X t t=6 Avec.

Réponse : 20

70. Un point matériel se déplace de manière rectiligne selon la loi

Où X- distance du point de référence en mètres, t- temps en secondes mesuré depuis le début du mouvement. Trouver sa vitesse (en m/s) à un instant donné t=3 Avec.

Réponse : 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Contenu

Éléments de contenu

Dérivée, tangente, primitive, graphiques de fonctions et dérivées.

Dérivé Soit la fonction \(f(x)\) définie dans un certain voisinage du point \(x_0\).

Dérivée de la fonction \(f\) au point \(x_0\) appelée limite

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

si cette limite existe.

La dérivée d'une fonction en un point caractérise le taux de variation de cette fonction en un point donné.

Tableau des dérivés

Fonction	Dérivé
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\péché x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\péché x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Règles de différenciation\(f\) et \(g\) sont des fonctions dépendant de la variable \(x\) ; \(c\) est un nombre.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - dérivée d'une fonction complexe

Signification géométrique de la dérivée Équation d'une droite- non parallèle à l'axe \(Oy\) peut s'écrire sous la forme \(y=kx+b\). Le coefficient \(k\) dans cette équation est appelé pente d'une droite. C'est égal à la tangente angle d'inclinaison cette ligne droite.

Angle droit- l'angle entre la direction positive de l'axe \(Ox\) et cette droite, mesuré dans le sens des angles positifs (c'est-à-dire dans le sens de la plus petite rotation de l'axe \(Ox\) vers le \ (Oy\) axe).

La dérivée de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point : \(f"(x_0)=\tg\ alpha.\)

Si \(f"(x_0)=0\), alors la tangente au graphe de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) est parallèle à l'axe \(Ox\).

Équation tangente

Équation de la tangente au graphe de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) :

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonie de la fonction Si la dérivée d'une fonction est positive en tous points de l'intervalle, alors la fonction augmente sur cet intervalle.

Si la dérivée d'une fonction est négative en tous points de l'intervalle, alors la fonction décroît sur cet intervalle.

Points minimum, maximum et d'inflexion positif sur négatifà ce stade, alors \(x_0\) est le point maximum de la fonction \(f\).

Si la fonction \(f\) est continue au point \(x_0\), et que la valeur de la dérivée de cette fonction \(f"\) change avec négatif sur positifà ce stade, alors \(x_0\) est le point minimum de la fonction \(f\).

Les points auxquels la dérivée \(f"\) est égale à zéro ou n'existe pas sont appelés points critiques fonctions \(f\).

Points internes du domaine de définition de la fonction \(f(x)\), dans lequel \(f"(x)=0\) peut être des points minimum, maximum ou d'inflexion.

Signification physique du dérivé Si un point matériel se déplace rectiligne et que sa coordonnée change en fonction du temps selon la loi \(x=x(t)\), alors la vitesse de ce point est égale à la dérivée de la coordonnée par rapport au temps :

L'accélération d'un point matériel est égale à la dérivée de la vitesse de ce point par rapport au temps :

\(a(t)=v"(t).\)