IeejaKā atrisināt dubultnevienādību ar moduli. Nevienādības ar moduli
Ir vairāki veidi, kā atrisināt nevienādības, kas satur moduli. Apskatīsim dažus no tiem.
1) Nevienādības atrisināšana, izmantojot moduļa ģeometrisko īpašību.
Atgādināšu, kāda ir moduļa ģeometriskā īpašība: skaitļa x modulis ir attālums no sākuma līdz punktam ar koordinātu x.
Risinot nevienlīdzības ar šo metodi, var rasties divi gadījumi:
1. |x| ≤ b, 
Un nevienādība ar moduli acīmredzami reducējas līdz divu nevienādību sistēmai. Šeit zīme var būt stingra, tādā gadījumā attēlā redzamie punkti tiks “pārdurti”.
2. |x| ≥ b, tad risinājuma attēls izskatās šādi:
Un nevienlīdzība ar moduli acīmredzami samazinās līdz divu nevienādību kombinācijai. Šeit zīme var būt stingra, tādā gadījumā attēlā redzamie punkti tiks “pārdurti”.
1. piemērs.
Atrisiniet nevienādību |4 – |x|| ≥ 3.
Risinājums.
Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga šādai kopai:
U [-1;1] U
2. piemērs.
Atrisiniet nevienādību ||x+2| – 3| ≤ 2.
Risinājums.
Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga šādai sistēmai.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Atrisināsim atsevišķi sistēmas pirmo nevienādību. Tas ir līdzvērtīgs šādam komplektam:
U[-1; 3].
2) Nevienādību risināšana, izmantojot moduļa definīciju.
Vispirms ļaujiet man jums atgādināt moduļa definīcija.
|a| = a ja a ≥ 0 un |a| = -a ja a< 0.
Piemēram, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
1. piemērs.
Atrisiniet nevienādību 3|x – 1| ≤ x+3.
Risinājums.
Izmantojot moduļa definīciju, mēs iegūstam divas sistēmas:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Atrisinot pirmo un otro sistēmu atsevišķi, mēs iegūstam:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
Sākotnējās nevienlīdzības risinājums būs visi pirmās sistēmas risinājumi un visi otrās sistēmas risinājumi.
Atbilde: x € .
3) Nevienādību risināšana kvadrātā.
1. piemērs.
Atrisiniet nevienādību |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Risinājums.
Nolīdzināsim abas nevienlīdzības puses kvadrātā. Ļaujiet man atzīmēt, ka abas nevienlīdzības puses ir iespējams kvadrātā tikai tad, ja tās abas ir pozitīvas. IN šajā gadījumā Mums ir moduļi gan kreisajā, gan labajā pusē, tāpēc mēs varam to izdarīt.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Tagad izmantosim šādu moduļa īpašību: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2–1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1) (x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x–2) (2 x 2–x)< 0,
x(x – 2) (2x – 1)< 0.
Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi.
Atbilde: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Nevienādību risināšana, mainot mainīgos.
Piemērs.
Atrisiniet nevienādību (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Risinājums.
Ņemiet vērā, ka (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Tad mēs iegūstam nevienlīdzību
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Veiksim izmaiņas y = |2x + 3|.
Pārrakstīsim savu nevienlīdzību, ņemot vērā aizstāšanu.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Faktorizēsim kvadrātisko trinomu kreisajā pusē.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1–11) / 2,
(y – 6) (y + 5) ≤ 0.
Atrisināsim, izmantojot intervāla metodi, un iegūsim:
Atgriezīsimies pie nomaiņas:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Šī dubultā nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzību sistēmai:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Atrisināsim katru no nevienādībām atsevišķi.
Pirmais ir līdzvērtīgs sistēmai
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Atrisināsim.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Otrā nevienādība acīmredzami attiecas uz visiem x, jo modulis pēc definīcijas ir pozitīvs skaitlis. Tā kā sistēmas risinājums ir visi x, kas vienlaikus apmierina gan pirmo, gan otro sistēmas nevienādību, tad sākotnējās sistēmas risinājums būs tās pirmās dubultās nevienādības risinājums (galu galā otrais ir taisnība visiem x) .
Atbilde: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Šodien, draugi, nebūs ne puņķu, ne sentimentalitātes. Tā vietā es jūs nosūtīšu bez jautājumiem cīņā ar vienu no visbriesmīgākajiem pretiniekiem 8.-9.klases algebras kursā.
Jā, jūs visu sapratāt pareizi: mēs runājam par nevienādībām ar moduli. Apskatīsim četrus pamata paņēmienus, ar kuriem jūs iemācīsities atrisināt aptuveni 90% šādu problēmu. Kā ar atlikušajiem 10%? Nu par tiem parunāsim atsevišķā nodarbībā :)
Tomēr, pirms analizēt kādu no metodēm, es vēlētos jums atgādināt divus faktus, kas jums jau ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs riskējat vispār nesaprast šodienas nodarbības materiālu.
Kas jums jau ir jāzina
Šķiet, ka Captain Obviousness norāda, ka, lai atrisinātu nevienlīdzības ar moduli, jums jāzina divas lietas:
- Kā tiek atrisinātas nevienlīdzības;
- Kas ir modulis?
Sāksim ar otro punktu.
Moduļa definīcija
Šeit viss ir vienkārši. Ir divas definīcijas: algebriskā un grafiskā. Sākumā - algebriskā:
Definīcija. Skaitļa $x$ modulis ir vai nu pats skaitlis, ja tas nav negatīvs, vai tam pretējs skaitlis, ja sākotnējais $x$ joprojām ir negatīvs.
Tas ir rakstīts šādi:
\[\pa kreisi| x \right|=\left\( \begin (līdzināt) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]
Runājot vienkāršā valodā, modulis ir “skaitlis bez mīnusa”. Un tieši šajā dualitātē (dažās vietās ar sākotnējo numuru nekas nav jādara, bet citās ir jānoņem kaut kāds mīnuss) ir visas grūtības iesācējiem.
Ir arī ģeometriskā definīcija. To arī ir noderīgi zināt, bet mēs tam pievērsīsimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kur ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).
Definīcija. Ciparu rindā atzīmēsim punktu $a$. Pēc tam modulis $\left| x-a \right|$ ir attālums no punkta $x$ līdz punktam $a$ šajā taisnē.
Ja jūs uzzīmējat attēlu, jūs iegūsit kaut ko līdzīgu:
Grafiskā moduļa definīcija Vienā vai otrā veidā no moduļa definīcijas uzreiz izriet tā galvenā īpašība: skaitļa modulis vienmēr ir nenegatīvs lielums. Šis fakts būs sarkans pavediens, kas iet cauri visam mūsu šodienas stāstījumam.
Nevienlīdzību risināšana. Intervāla metode
Tagad apskatīsim nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums tagad ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas reducē uz lineārām nevienādībām, kā arī uz intervāla metodi.
Man ir divas lielas nodarbības par šo tēmu (starp citu, ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku tās izpētīt):
- Intervāla metode nevienādībām (īpaši skatieties video);
- Frakcionālās racionālās nevienlīdzības ir ļoti plaša mācība, bet pēc tās jums vairs nebūs nekādu jautājumu.
Ja jūs to visu zināt, ja frāze "pāriesim no nevienlīdzības uz vienādojumu" nerada neskaidru vēlmi atsist pret sienu, tad esat gatavs: laipni lūdzam ellē nodarbības galvenajā tēmā :)
1. Formas “Moduls ir mazāks par funkciju” nevienādības
Šī ir viena no visbiežāk sastopamajām moduļu problēmām. Ir jāatrisina formas nevienlīdzība:
\[\pa kreisi| f\right| \ltg\]
Funkcijas $f$ un $g$ var būt jebkas, taču parasti tie ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:
\[\begin(līdzināt) & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(līdzināt)\]
Tos visus var atrisināt burtiski vienā rindā saskaņā ar šādu shēmu:
\[\pa kreisi| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(līdzināt) \pa labi.\pa labi)\]
Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet pretī mēs iegūstam dubultu nevienādību (vai, kas ir tas pats, divu nevienādību sistēmu). Bet šī pāreja ņem vērā pilnīgi visu iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja tas ir negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneadekvātāko funkciju $f$ vai $g$ vietā, metode joprojām darbosies.
Protams, rodas jautājums: vai tas nevarētu būt vienkāršāk? Diemžēl tas nav iespējams. Šī ir visa moduļa būtība.
Tomēr pietiks ar filozofēšanu. Atrisināsim pāris problēmas:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\]
Risinājums. Tātad mūsu priekšā ir klasiska formas nevienlīdzība “modulis ir mazāks” - nav pat ko pārveidot. Mēs strādājam pēc algoritma:
\[\begin(līdzināt) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\Labā bultiņa -\pa kreisi (x+7 \pa labi) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(līdzināt)\]
Nesteidzieties atvērt iekavas, kurām priekšā ir “mīnuss”: ir pilnīgi iespējams, ka steigas dēļ jūs pieļausit aizvainojošu kļūdu.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(līdzināt) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left\( \begin (līdzināt) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]
Problēma tika samazināta līdz divām elementārām nevienlīdzībām. Atzīmēsim to risinājumus paralēlās skaitļu taisnēs:
Daudzu krustojums
Atbilde būs šo kopu krustpunkts.
Atbilde: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Risinājums. Šis uzdevums ir nedaudz grūtāks. Pirmkārt, izolēsim moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Acīmredzot mums atkal ir nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks”, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa, izmantojot jau zināmo algoritmu:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Tagad uzmanību: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Bet ļaujiet man vēlreiz atgādināt, ka mūsu galvenais mērķis ir pareizi atrisināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad būsi lieliski apguvis visu, kas šajā nodarbībā aprakstīts, vari pats to sagrozīt kā gribi: atver iekavas, pievieno mīnusus utt.
Sākumā mēs vienkārši atbrīvosimies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]
Tagad atvērsim visas dubultās nevienlīdzības iekavas:
Pāriesim pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:
\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]
\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( līdzināt)\pa labi.\]
Abas nevienādības ir kvadrātiskas un tās var atrisināt ar intervālu metodi (tāpēc es saku: ja nezināt, kas tas ir, labāk moduļus vēl neņemt). Pārejam pie vienādojuma pirmajā nevienādībā:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\beigt(līdzināt)\]
Kā redzat, izvade bija nepilnīga kvadrātvienādojums, ko var atrisināt elementāri. Tagad aplūkosim sistēmas otro nevienlīdzību. Tur jums būs jāpiemēro Vietas teorēma:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\beigt(līdzināt)\]
Mēs atzīmējam iegūtos skaitļus uz divām paralēlām līnijām (atsevišķi pirmajai nevienādībai un atsevišķi otrajai):
Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustpunkts: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Šī ir atbilde.
Atbilde: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājuma shēma ir ārkārtīgi skaidra:
- Izolējiet moduli, pārvietojot visus pārējos terminus uz nevienlīdzības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $\left| nevienādību f\right| \ltg$.
- Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa saskaņā ar iepriekš aprakstīto shēmu. Kādā brīdī būs jāpāriet no dubultās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, no kurām katru jau var atrisināt atsevišķi.
- Visbeidzot, atliek tikai krustot šo divu neatkarīgo izteiksmju risinājumus - un tas ir viss, mēs saņemsim galīgo atbildi.
Līdzīgs algoritms pastāv arī šāda veida nevienādībām, ja modulis ir lielāks par funkciju. Tomēr ir daži nopietni “bet”. Mēs tagad runāsim par šiem "bet".
2. Formas “Modulis ir lielāks par funkciju” nevienādības
Tie izskatās šādi:
\[\pa kreisi| f\right| \gtg\]
Līdzīgs iepriekšējam? Liekas. Un tomēr šādas problēmas tiek risinātas pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:
\[\pa kreisi| f\right| \gt g\Labā bultiņa \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(līdzināt) \right.\]
Citiem vārdiem sakot, mēs aplūkojam divus gadījumus:
- Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli un atrisinām parasto nevienlīdzību;
- Pēc tam būtībā mēs paplašinām moduli ar mīnusa zīmi un pēc tam reizinim abas nevienādības puses ar −1, kamēr man ir zīme.
Šajā gadījumā opcijas tiek apvienotas ar kvadrātiekava, t.i. Mūsu priekšā ir divu prasību kombinācija.
Lūdzu, ņemiet vērā vēlreiz: tā nav sistēma, bet gan kopums atbildē kopas ir apvienotas, nevis krustojas. Šis principiāla atšķirība no iepriekšējā punkta!
Kopumā daudzi studenti ir pilnībā sajaukti ar arodbiedrībām un krustojumiem, tāpēc atrisināsim šo jautājumu uz visiem laikiem:
- "∪" ir arodbiedrības zīme. Būtībā tas ir stilizēts burts "U", kas mums nāca no angliski un ir “Savienības” saīsinājums, t.i. "Asociācijas".
- "∩" ir krustojuma zīme. Šīs muļķības nenāca ne no kurienes, bet vienkārši parādījās kā pretpunkts “∪”.
Lai to būtu vēl vieglāk atcerēties, vienkārši pievelciet kājas šīm zīmēm, lai izgatavotu brilles (tikai tagad nepārmetiet man narkomānijas un alkoholisma veicināšanu: ja jūs nopietni mācāties šo stundu, tad jūs jau esat narkomāns):
Atšķirība starp krustojumu un kopu savienību Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienība (kopumā) ietver elementus no abām kopām, tāpēc tas nekādā ziņā nav mazāks par katru no tiem; bet krustpunktā (sistēmā) ietilpst tikai tie elementi, kas vienlaikus atrodas gan pirmajā kopā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustpunkts nekad nav lielāks par avota kopām.
Tātad kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\]
Risinājums. Mēs rīkojamies saskaņā ar shēmu:
\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\Labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(līdzināt) \ pa labi.\]
Mēs atrisinām katru iedzīvotāju nevienlīdzību:
\[\left[ \begin(līdzināt) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left[ \begin(līdzināt) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(līdzināt) \right.\]
\[\left[ \begin (līdzināt) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(līdzināt) \right.\]
Mēs atzīmējam katru iegūto kopu uz skaitļu līnijas un pēc tam apvienojam:
Komplektu savienība
Ir pilnīgi skaidrs, ka atbilde būs $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Atbilde: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\]
Risinājums. Nu? Nekas - viss ir vienāds. Mēs pārejam no nevienādības ar moduli uz divu nevienādību kopu:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]
Mēs atrisinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs īpaši labas:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\beigt(līdzināt)\]
Arī otrā nevienlīdzība ir nedaudz mežonīga:
\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\beigt(līdzināt)\]
Tagad šie skaitļi jāatzīmē uz divām asīm - katrai nevienādībai viena ass. Tomēr punkti ir jāatzīmē pareizā secībā: kā lielāks skaits, jo tālāk mēs pārvietojam punktu pa labi.
Un šeit mūs sagaida iestatījums. Ja viss ir skaidrs ar cipariem $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termiņi pirmā skaitītājā daļskaitlis ir mazāks par otrās skaitītāja vārdiem, tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ arī nebūs nekādu grūtību (pozitīvs skaitlis acīmredzot vairāk negatīvs), tad ar pēdējo pāris viss nav tik skaidrs. Kurš ir lielāks: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Punktu izvietojums uz skaitļu līnijām un faktiski atbilde būs atkarīgs no atbildes uz šo jautājumu.
Tātad salīdzināsim:
\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]
Mēs izolējām sakni, saņēmām nenegatīvus skaitļus abās nevienlīdzības pusēs, tāpēc mums ir tiesības kvadrātā abas puses:
\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]
Manuprāt, nav prāta, ka $4\sqrt(13) \gt 3$, tātad $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, pēdējie punkti uz asīm tiks izvietoti šādi:
Neglītu sakņu gadījums
Atgādināšu, ka mēs risinām kolekciju, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnotu kopu krustojums.
Atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas gan vienkāršām, gan ļoti sarežģītām problēmām. Vienīgais “vājais punkts” šajā pieejā ir tas, ka jums ir pareizi jāsalīdzina neracionālie skaitļi (un ticiet man: tās nav tikai saknes). Bet atsevišķa (un ļoti nopietna) nodarbība tiks veltīta salīdzināšanas jautājumiem. Un mēs ejam tālāk.
3. Nevienlīdzība ar nenegatīvām “astēm”
Tagad mēs nonākam pie visinteresantākās daļas. Šīs ir formas nevienlīdzības:
\[\pa kreisi| f\right| \gt\left| g\right|\]
Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs tagad runāsim, ir pareizs tikai modulim. Tas darbojas visās nevienlīdzībās, kur ir garantētas nenegatīvas izteiksmes kreisajā un labajā pusē:
Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceries:
Nevienlīdzībās ar nenegatīvām “astēm” abas puses var pacelt uz jebkuru dabisko spēku. Papildu ierobežojumu nebūs.
Pirmkārt, mūs interesēs kvadrātošana - tas sadedzina moduļus un saknes:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\beigt(līdzināt)\]
Vienkārši nejauciet to ar kvadrāta saknes ņemšanu:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Tika pieļautas neskaitāmas kļūdas, kad students aizmirsa uzstādīt moduli! Bet tas ir pavisam cits stāsts (tie it kā iracionāli vienādojumi), tāpēc mēs par to tagad neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Risinājums. Uzreiz ievērosim divas lietas:
- Tā nav stingra nevienlīdzība. Punkti uz skaitļu līnijas tiks pārdurti.
- Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (tā ir moduļa īpašība: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Tāpēc mēs varam kvadrātēt abas nevienādības puses, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu, izmantojot parasto intervāla metodi:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\beigt(līdzināt)\]
Ieslēgts pēdējais solis Es nedaudz krāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa vienmērīgumu (patiesībā izteiksmi $1-2x$ reizināju ar −1).
\[\begin(līdzināt) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ pa labi)\labie)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]
Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi. Pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu:
\[\begin(līdzināt) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\beigt(līdzināt)\]
Atrastās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas. Vēlreiz: visi punkti ir noēnoti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!
Atbrīvošanās no moduļa zīmes
Atgādināšu tiem, kas ir īpaši spītīgi: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika pierakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un mēs krāsojam tajā pašā nevienlīdzībā nepieciešamās platības. Mūsu gadījumā tas ir $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Labi, tagad viss ir beidzies. Problēma ir atrisināta.
Atbilde: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Risinājums. Mēs visu darām tāpat. Es nekomentēšu - paskatieties uz darbību secību.
Kvadrātveida:
\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ pa labi))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]
Intervāla metode:
\[\begin(līdzināt) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Labā bultiņa x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]
Skaitļa rindā ir tikai viena sakne:
Atbilde ir vesels intervāls
Atbilde: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abas submodulārās izteiksmes šajā nevienlīdzībā ir acīmredzami pozitīvas, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.
Bet tas ir pavisam cits domāšanas līmenis un cita pieeja – to nosacīti var saukt par seku metodi. Par to - atsevišķā nodarbībā. Tagad pāriesim uz šodienas nodarbības pēdējo daļu un apskatīsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas :)
4. Opciju uzskaitīšanas metode
Ko darīt, ja visas šīs metodes nepalīdz? Ja nevienlīdzību nevar reducēt uz nenegatīvām astēm, ja nav iespējams izolēt moduli, ja kopumā ir sāpes, skumjas, melanholija?
Tad uz skatuves parādās visas matemātikas “smagā artilērija” — brutālā spēka metode. Attiecībā uz nevienādībām ar moduli tas izskatās šādi:
- Izrakstiet visas submodulārās izteiksmes un iestatiet tās vienādas ar nulli;
- Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes vienā skaitļa rindā;
- Taisne tiks sadalīta vairākās daļās, kurās katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc tā ir unikāli atklāta;
- Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (var atsevišķi apsvērt saknes-robežas, kas iegūtas 2. darbībā - uzticamībai). Apvienojiet rezultātus - šī būs atbilde.
Tā kā? Vāji? Viegli! Tikai uz ilgu laiku. Apskatīsim praksē:
Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:
\[\pa kreisi| x+2 \pa labi| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]
Risinājums. Šīs muļķības nav saistītas ar nevienlīdzību, piemēram, $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vai $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, tāpēc rīkojamies uz priekšu.
Mēs izrakstām submodulāras izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:
\[\begin(salīdzināt) & x+2=0\bultiņa pa labi x=-2; \\ & x-1=0\Labā bultiņa x=1. \\\beigt(līdzināt)\]
Kopumā mums ir divas saknes, kas skaitļu līniju sadala trīs daļās, kurās katrs modulis tiek atklāts unikāli:
Skaitļu līnijas sadalīšana ar submodulāru funkciju nullēm
Apskatīsim katru sadaļu atsevišķi.
1. Ļaujiet $x \lt -2 $. Tad abas submodulārās izteiksmes ir negatīvas, un sākotnējā nevienādība tiks pārrakstīta šādi:
\[\begin(līdzināt) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt)\]
Mums ir diezgan vienkāršs ierobežojums. Krustosim to ar sākotnējo pieņēmumu, ka $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt) \right.\Rightrow x\in \varnothing \]
Acīmredzot mainīgais $x$ nevar vienlaikus būt mazāks par –2 un lielāks par 1,5. Risinājumu šajā jomā nav.
1.1. Apskatīsim atsevišķi robežgadījumu: $x=-2$. Vienkārši aizstāsim šo skaitli ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudīsim: vai tā ir taisnība?
\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\labais|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]
Ir skaidrs, ka aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie nepareizas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienādība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $x=-2$.
2. Ļaujiet tagad $-2 \lt x \lt 1 $. Kreisais modulis jau tiks atvērts ar “plus”, bet labais joprojām tiks atvērts ar “mīnusu”. Mums ir:
\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(līdzināt)\]
Atkal mēs krustojamies ar sākotnējo prasību:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Un atkal risinājumu kopa ir tukša, jo nav skaitļu, kas būtu gan mazāki par –2,5, gan lielāki par –2.
2.1. Un atkal īpašs gadījums: $x=1$. Mēs aizstājam sākotnējo nevienlīdzību:
\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\pa labi| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]
Līdzīgi kā iepriekšējā “īpašajā gadījumā”, skaitlis $x=1$ atbildē nepārprotami nav iekļauts.
3. Pēdējais rindas fragments: $x \gt 1$. Šeit visi moduļi tiek atvērti ar plus zīmi:
\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(līdzināt)\ ]
Un atkal mēs krustojam atrasto kopu ar sākotnējo ierobežojumu:
' ]
Beidzot! Mēs esam atraduši intervālu, kas būs atbilde.
Atbilde: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Visbeidzot, viena piezīme, kas var glābt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:
Nevienādību risinājumi ar moduļiem parasti attēlo nepārtrauktas kopas uz skaitļu līnijas - intervāliem un segmentiem. Izolēti punkti ir daudz retāk sastopami. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robeža (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.
Līdz ar to, ja atbildē nav iekļautas robežas (tie paši “īpašie gadījumi”), tad laukumi pa kreisi un pa labi no šīm robežām atbildē gandrīz noteikti netiks iekļauti. Un otrādi: robeža ievadīja atbildi, kas nozīmē, ka daži apgabali ap to arī būs atbildes.
Ņemiet to vērā, pārskatot savus risinājumus.
Šis tiešsaistes matemātikas kalkulators jums palīdzēs atrisināt vienādojumu vai nevienādību ar moduļiem. Programma priekš vienādojumu un nevienādību risināšana ar moduļiem ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī noved detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem, t.i. parāda rezultāta iegūšanas procesu.
Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolās, gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.
Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.
|x| vai abs(x) - modulis xIevadiet vienādojumu vai nevienādību ar moduļiem
Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...
Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.
Mūsu spēles, puzles, emulatori:
Nedaudz teorijas.
Vienādojumi un nevienādības ar moduļiem
Pamatskolas algebras kursā jūs varat saskarties ar vienkāršākajiem vienādojumiem un nevienādībām ar moduļiem. Lai tos atrisinātu, varat izmantot ģeometriskā metode, pamatojoties uz faktu, ka \(|x-a| \) ir attālums uz skaitļu līnijas starp punktiem x un a: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Piemēram, lai atrisinātu vienādojumu \(|x-3|=2\), uz skaitļa līnijas jāatrod punkti, kas atrodas tālu no punkta 3 attālumā 2. Ir divi šādi punkti: \(x_1=1 \) un \(x_2=5\) .
Nevienādības atrisināšana \(|2x+7| 
Bet galvenais veids, kā atrisināt vienādojumus un nevienādības ar moduļiem, ir saistīts ar tā saukto “moduļa atklāšanu pēc definīcijas”:
ja \(a \geq 0 \), tad \(|a|=a \);
if \(a Parasti vienādojums (nevienādība) ar moduļiem tiek reducēts uz vienādojumu (vienādību) kopu, kas nesatur moduļa zīmi.
Papildus iepriekšminētajai definīcijai tiek izmantoti šādi apgalvojumi:
1) Ja \(c > 0\), tad vienādojums \(|f(x)|=c \) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai: \(\left[\begin(masīvs)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(masīvs)\right.
2) Ja \(c > 0 \), tad nevienādība \(|f(x)| 3) Ja \(c \geq 0 \), tad nevienādība \(|f(x)| > c \) ir ekvivalents nevienādību kopai: \(\left[\begin(masīvs)(l) f(x) c \end(masīvs)\right. \)
4) Ja abas nevienādības puses \(f(x) PIEMĒRS 1. Atrisiniet vienādojumu \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Ja \(x-1 \geq 0\), tad \(|x-1| = x-1\) un dotais vienādojums iegūst šādu formu
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Labā bultiņa x^2 +2x -8 = 0 \).
Ja \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \labā bultiņa x^2 -2x -4 = 0 \).
Tādējādi dotais vienādojums ir jāaplūko atsevišķi katrā no diviem norādītajiem gadījumiem.
1) Pieņemsim \(x-1 \geq 0 \), t.i. \(x\geq 1\). No vienādojuma \(x^2 +2x -8 = 0\) atrodam \(x_1=2, \; x_2=-4\). Nosacījumu \(x \geq 1 \) apmierina tikai vērtība \(x_1=2\).
2) Ļaujiet \(x-1 Atbilde: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
PIEMĒRS 2. Atrisiniet vienādojumu \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Pirmais veids(moduļa paplašināšana pēc definīcijas).
Spriežot tāpat kā 1. piemērā, mēs nonākam pie secinājuma, ka dotais vienādojums ir jāaplūko atsevišķi, ja ir izpildīti divi nosacījumi: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) vai \(x^2-6x+7
1) Ja \(x^2-6x+7 \geq 0 \), tad \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) un dotais vienādojums iegūst formu \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9) (3) \Labā bultiņa 3x^2-23x+30=0 \). Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mēs iegūstam: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Noskaidrosim, vai vērtība \(x_1=6\) atbilst nosacījumam \(x^2-6x+7 \geq 0\). Lai to izdarītu, aizstājiet norādīto vērtību ar kvadrātiskā nevienlīdzība. Mēs iegūstam: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), t.i. \(7 \geq 0 \) ir patiesa nevienlīdzība. Tas nozīmē, ka \(x_1=6\) ir dotā vienādojuma sakne.
Noskaidrosim, vai vērtība \(x_2=\frac(5)(3)\) atbilst nosacījumam \(x^2-6x+7 \geq 0\). Lai to izdarītu, aizvietojiet norādīto vērtību ar kvadrātvienādību. Mēs iegūstam: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), t.i. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ir nepareiza nevienādība. Tas nozīmē, ka \(x_2=\frac(5)(3)\) nav dotā vienādojuma sakne.
2) Ja \(x^2-6x+7 vērtība \(x_3=3\)) atbilst nosacījumam \(x^2-6x+7 vērtība \(x_4=\frac(4)(3) \) — neatbilst. nosacījums \ (x^2-6x+7 Tātad dotajam vienādojumam ir divas saknes: \(x=6, \; x=3 \).
Otrais veids. Ja ir dots vienādojums \(|f(x)| = h(x) \), tad ar \(h(x) \(\left[\begin(masīvs)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(masīvs)\labais \)
Abi šie vienādojumi tika atrisināti iepriekš (izmantojot pirmo dotā vienādojuma risināšanas metodi), to saknes ir šādas: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Šo četru vērtību nosacījumu \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) apmierina tikai divas: 6 un 3. Tas nozīmē, ka dotajam vienādojumam ir divas saknes: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Trešais ceļš(grafisks).
1) Izveidosim funkcijas \(y = |x^2-6x+7| \) grafiku. Vispirms izveidosim parabolu \(y = x^2-6x+7\). Mums ir \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funkcijas \(y = (x-3)^2-2\) grafiku var iegūt no funkcijas \(y = x^2\) grafika, pabīdot to par 3 skalas vienībām pa labi (gar x ass) un 2 mēroga vienības uz leju (gar y asi). Taisne x=3 ir mūs interesējošās parabolas ass. Kā kontrolpunktus precīzākai zīmēšanai ir ērti ņemt punktu (3; -2) - parabolas virsotni, punktu (0; 7) un punktu (6; 7) tai simetriski attiecībā pret parabolas asi. .
Lai tagad izveidotu funkcijas \(y = |x^2-6x+7| \) grafiku, jums ir jāatstāj nemainīgas tās konstruētās parabolas daļas, kas neatrodas zem x ass, un jāatspoguļo šī funkcijas daļa. parabola, kas atrodas zem x ass attiecībā pret x asi.
2) Izveidosim lineārās funkcijas \(y = \frac(5x-9)(3)\ grafiku. Par kontrolpunktiem ir ērti ņemt punktus (0; –3) un (3; 2).
Ir svarīgi, lai taisnes krustpunkta ar abscisu asi punkts x = 1,8 atrastos pa labi no kreisā parabolas krustošanās punkta ar abscisu asi - tas ir punkts \(x=3-\ sqrt(2) \) (kopš \(3-\sqrt(2 ) 3) Spriežot pēc zīmējuma, grafiki krustojas divos punktos - A(3; 2) un B(6; 7). Aizvietojot šo abscises punktu x = 3 un x = 6, mēs esam pārliecināti, ka abos gadījumos tiek iegūta pareizā skaitliskā vienādība. Tas nozīmē, ka mūsu hipotēze ir apstiprinājusies - vienādojumam ir divas saknes: x = 3 un x = 6. Atbilde: 3;
komentēt. Grafiskā metode, neskatoties uz visu savu eleganci, nav ļoti uzticama. Aplūkotajā piemērā tas darbojās tikai tāpēc, ka vienādojuma saknes ir veseli skaitļi.
3. PIEMĒRS. Atrisiniet vienādojumu \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Pirmais veids
Izteiksme 2x–4 kļūst par 0 punktā x = 2, un izteiksme x + 3 kļūst par 0 punktā x = –3. Šie divi punkti sadala skaitļa līniju trīs intervālos: \(x
Apsveriet pirmo intervālu: \((-\infty; \; -3) \).
Ja x Apsveriet otro intervālu: \([-3; \; 2) \).
Ja \(-3 \leq x Apsveriet trešo intervālu: \()