Quelle quantité est la puissance, vectorielle ou scalaire ? Différence entre quantité vectorielle et quantité scalaire

 Vecteur- un concept purement mathématique qui n'est utilisé qu'en physique ou dans d'autres sciences appliquées et qui permet de simplifier la solution de certains problèmes complexes.
 Vecteur− segment droit dirigé.
  Je sais physique élémentaire nous devons opérer avec deux catégories de quantités - scalaire et vectoriel.
 Scalaire les quantités (scalaires) sont des quantités caractérisées par une valeur numérique et un signe. Les scalaires sont de longueur - je, masse − m, chemin − s, temps − t, température − T, charge électrique − q, énergie − W, coordonnées, etc.
  Toutes les opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, etc.) s'appliquent aux quantités scalaires.

 Exemple 1.
  Déterminez la charge totale du système, composée des charges qu'il contient, si q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Charge complète du système
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

 Exemple 2.
  Pour équation quadratique gentil
hache 2 + bx + c = 0 ;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 Vecteur Les grandeurs (vecteurs) sont des grandeurs, pour déterminer lesquelles il faut indiquer, en plus de la valeur numérique, la direction. Vecteurs − vitesse v, forcer F, impulsion p, intensité du champ électrique E, induction magnétique B et etc.
  La valeur numérique d'un vecteur (module) est indiquée par une lettre sans symbole vectoriel ou le vecteur est entouré de barres verticales r = |r|.
  Graphiquement, le vecteur est représenté par une flèche (Fig. 1),

Dont la longueur sur une échelle donnée est égale à sa grandeur et la direction coïncide avec la direction du vecteur.
Deux vecteurs sont égaux si leurs grandeurs et leurs directions coïncident.
  Les quantités vectorielles sont ajoutées géométriquement (selon la règle de l'algèbre vectorielle).
  La recherche d'une somme vectorielle à partir de vecteurs composants donnés est appelée addition vectorielle.
  L'addition de deux vecteurs s'effectue selon la règle du parallélogramme ou du triangle. Vecteur de somme
c = une + b
égal à la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b. Modulez-le
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Fig. 2).


À α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) est le théorème de Pythagore.

Le même vecteur c peut être obtenu en utilisant la règle du triangle si à partir de la fin du vecteur un mettre de côté le vecteur b. Vecteur de fin c (reliant le début du vecteur un et la fin du vecteur b) est somme vectorielle termes (vecteurs composants un Et b).
  Le vecteur résultant est la ligne de fuite de la ligne brisée dont les liens sont les vecteurs composants (Fig. 3).


 Exemple 3.
  Ajouter deux forces F 1 = 3 N et F 2 = 4 N, vecteurs F1 Et F2 faire respectivement des angles α 1 = 10° et α 2 = 40° avec l'horizon
 F = F 1 + F 2(Fig. 4).

  Le résultat de l’addition de ces deux forces est une force appelée résultante. Vecteur F dirigé le long de la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs F1 Et F2, des deux côtés, et son module est égal à sa longueur.
  Module vectoriel F trouver par le théorème du cosinus
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Si
(α 2 − α 1) = 90°, alors F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Angle qui est vectoriel F est égal à l'axe Ox, on le trouve à l'aide de la formule
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0,51, α ≈ 0,47 rad.

Projection du vecteur a sur l'axe Ox (Oy) - quantité scalaire, en fonction de l'angle α entre la direction du vecteur un et l'axe Ox (Oy). (Fig.5)


  Projections vectorielles un sur les axes Ox et Oy du repère rectangulaire. (Fig.6)


  Pour éviter les erreurs lors de la détermination du signe de la projection vectorielle sur l'axe, il est utile de rappeler règle suivante: si la direction de la composante coïncide avec la direction de l'axe, alors la projection du vecteur sur cet axe est positive, mais si la direction de la composante est opposée à la direction de l'axe, alors la projection du vecteur est négatif. (Fig.7)


  La soustraction de vecteurs est une addition dans laquelle un vecteur est ajouté au premier vecteur, numériquement égal au second, dans la direction opposée
une − b = une + (−b) = ré(Fig. 8).

  Qu'il soit nécessaire du vecteur un soustraire le vecteur b, leur différence − d. Pour trouver la différence de deux vecteurs, il faut aller au vecteur un ajouter un vecteur ( −b), c'est-à-dire un vecteur d = une − b sera un vecteur dirigé depuis le début du vecteur unà la fin du vecteur ( −b) (Fig. 9).

  Dans un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b des deux côtés, une diagonale c a le sens de la somme, et l'autre d− différences vectorielles un Et b(Fig. 9).
  Produit d'un vecteur un par scalaire k est égal au vecteur b=k un, dont le module est k fois supérieur au module du vecteur un, et la direction coïncide avec la direction un pour k positif et l’inverse pour k négatif.

 Exemple 4.
  Déterminez l'impulsion d'un corps pesant 2 kg se déplaçant à une vitesse de 5 m/s. (Fig.10)

Impulsion corporelle p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s et dirigé vers la vitesse v.

 Exemple 5.
  Charge q = −7,5 nC placée dans champ électrique avec tension E = 400 V/m. Trouvez l'ampleur et la direction de la force agissant sur la charge.

La force est F=q E. Puisque la charge est négative, le vecteur force est dirigé dans la direction opposée au vecteur E. (Fig.11)


 Division vecteur un par un scalaire k équivaut à multiplier un par 1/k.
 Produit scalaire vecteurs un Et b appelé le scalaire « c », égal au produit des modules de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Fig. 12)


 Exemple 6.
  Trouver un travail force constante F = 20 N si le déplacement est S = 7,5 m et l'angle α entre la force et le déplacement est α = 120°.

Le travail effectué par une force est égal, par définition, au produit scalaire de la force et du déplacement
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 Oeuvre vectorielle vecteurs un Et b appelé vecteur c, numériquement égal au produit des valeurs absolues des vecteurs a et b multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare :
c = une × b = ,
с = ab × sinα.
  Vecteur c perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent les vecteurs un Et b, et sa direction est liée à la direction des vecteurs un Et b règle à vis droite (Fig. 13).


 Exemple 7.
  Déterminer la force agissant sur un conducteur de 0,2 m de long, placé dans un champ magnétique dont l'induction est de 5 T, si l'intensité du courant dans le conducteur est de 10 A et qu'il forme un angle α = 30° avec la direction du champ .

Puissance en ampères
dF = I = Idl × B ou F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Envisagez la résolution de problèmes.
  1. Comment sont dirigés deux vecteurs dont les modules sont identiques et égaux à a, si le module de leur somme est égal à : a) 0 ; b) 2a ; Californie; d) une√(2); e) une√(3) ?

 Solution.
  a) Deux vecteurs sont dirigés le long d’une ligne droite dans des directions opposées. La somme de ces vecteurs est nulle.

  b) Deux vecteurs sont dirigés le long d'une ligne droite dans la même direction. La somme de ces vecteurs est 2a.

  c) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 120° l'un par rapport à l'autre. La somme des vecteurs est a. Le vecteur résultant est trouvé à l’aide du théorème du cosinus :

une 2 + une 2 + 2aacosα = une 2 ,
cosα = −1/2 et α = 120°.
  d) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 90° l'un par rapport à l'autre. Le module de la somme est égal à
une 2 + une 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 et α = 90°.

  e) Deux vecteurs sont dirigés selon un angle de 60° l'un par rapport à l'autre. Le module de la somme est égal à
une 2 + une 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 et α = 60°.
 Répondre: L'angle α entre les vecteurs est égal à : a) 180° ; b) 0 ; c) 120° ; d) 90° ; e) 60°.

2. Si une = une 1 + une 2 orientation des vecteurs, que dire de l'orientation mutuelle des vecteurs un 1 Et un 2, si : a) a = a 1 + a 2 ; b) une 2 = une 1 2 + une 2 2 ; c) un 1 + un 2 = un 1 − un 2 ?

 Solution.
  a) Si la somme des vecteurs est trouvée comme la somme des modules de ces vecteurs, alors les vecteurs sont dirigés le long d'une ligne droite, parallèles les uns aux autres une 1 ||une 2.
  b) Si les vecteurs sont dirigés selon un angle les uns par rapport aux autres, alors leur somme est trouvée en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme
une 1 2 + une 2 2 + 2a 1 une 2 cosα = une 2 ,
cosα = 0 et α = 90°.
les vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres une 1 ⊥ une 2.
  c) État une 1 + une 2 = une 1 − une 2 peut être exécuté si un 2− vecteur nul, alors a 1 + a 2 = a 1 .
 Réponses. UN) une 1 ||une 2; b) une 1 ⊥ une 2; V) un 2− vecteur nul.

3. Deux forces de 1,42 N chacune sont appliquées à un point du corps à un angle de 60° l'une par rapport à l'autre. Sous quel angle deux forces de 1,75 N chacune doivent-elles être appliquées au même point du corps pour que leur action équilibre celle des deux premières forces ?

Solution.
  Selon les conditions du problème, deux forces de 1,75 N chacune équilibrent deux forces de 1,42 N chacune. Ceci est possible si les modules des vecteurs de paires de forces résultants sont égaux. Nous déterminons le vecteur résultant en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme. Pour le premier couple de forces :
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
pour la deuxième paire de forces, respectivement
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Égaliser les côtés gauches des équations
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Trouvons l'angle β requis entre les vecteurs
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Après calculs,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Deuxième solution.
  Considérons la projection de vecteurs sur l'axe de coordonnées OX (Fig.).

  En utilisant la relation entre les côtés d’un triangle rectangle, on obtient
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
où
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) et β ≈ 90,7°.

4. Vecteur une = 3i − 4j. Quelle doit être la quantité scalaire c pour |c un| = 7,5?
 Solution.
c un=c( 3i − 4j) = 7,5
Module vectoriel un sera égal
une 2 = 3 2 + 4 2 , et une = ±5,
puis de
c.(±5) = 7,5,
trouvons ça
c = ±1,5.

5. Vecteurs un 1 Et un 2 quitter l'origine et avoir Coordonnées cartésiennes extrémités (6, 0) et (1, 4), respectivement. Trouver le vecteur un 3 tel que : a) un 1 + un 2 + un 3= 0 ; b) un 1 − un 2 + un 3 = 0.

 Solution.
  Représentons les vecteurs dans Système cartésien coordonnées (fig.)

  a) Le vecteur résultant le long de l'axe Ox est
un x = 6 + 1 = 7.
Le vecteur résultant le long de l’axe Oy est
une y = 4 + 0 = 4.
Pour que la somme des vecteurs soit égale à zéro, il faut que la condition soit satisfaite
un 1 + un 2 = −un 3.
Vecteur un 3 modulo sera égal au vecteur total un 1 + un 2, mais dirigé dans la direction opposée. Coordonnée de fin du vecteur un 3 est égal à (−7, −4), et le module
une 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.

B) Le vecteur résultant le long de l'axe Ox est égal à
une X = 6 - 1 = 5,
et le vecteur résultant le long de l'axe Oy
une y = 4 - 0 = 4.
Lorsque la condition est remplie
un 1 − un 2 = −un 3,
vecteur un 3 aura les coordonnées de la fin du vecteur a x = –5 et a y = −4, et son module est égal à
une 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Un messager marche 30 m vers le nord, 25 m vers l'est, 12 m vers le sud, puis prend un ascenseur jusqu'à une hauteur de 36 m dans un immeuble Quelle est la distance L parcourue par lui et le déplacement S. ?

 Solution.
  Représentons la situation décrite dans le problème sur un plan à une échelle arbitraire (Fig.).

Fin du vecteur O.A. a les coordonnées 25 m à l'est, 18 m au nord et 36 en haut (25 ; 18 ; 36). La distance parcourue par une personne est égale à
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
L'amplitude du vecteur déplacement peut être trouvée à l'aide de la formule
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
où x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
 Répondre: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Angle α entre deux vecteurs un Et b est égal à 60°. Déterminer la longueur du vecteur c = une + b et angle β entre les vecteurs un Et c. Les magnitudes des vecteurs sont a = 3,0 et b = 2,0.

 Solution.
  La longueur du vecteur égale à la somme des vecteurs un Et b Déterminons en utilisant le théorème du cosinus pour un parallélogramme (Fig.).

с = √(une 2 + b 2 + 2abcosα).
Après remplacement
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4,4.
Pour déterminer l'angle β, on utilise le théorème des sinus pour le triangle ABC :
b/sinβ = a/sin(α − β).
En même temps, il faut savoir que
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
  Résoudre un problème simple équation trigonométrique, on arrive à l'expression
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
ainsi,
β = arctan(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
  Vérifions en utilisant le théorème du cosinus pour un triangle :
une 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
où
cosβ = (une 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Et
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 Répondre: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Résoudre des problèmes.
  8. Pour les vecteurs un Et b défini dans l'exemple 7, trouvez la longueur du vecteur d = une − b coin γ entre un Et d.

9. Trouver la projection du vecteur une = 4,0i + 7,0jà une droite dont la direction fait un angle α = 30° avec l'axe Ox. Vecteur un et la droite se trouvent dans le plan xOy.

10. Vecteur un fait un angle α = 30° avec la droite AB, a = 3,0. Sous quel angle β par rapport à la ligne AB le vecteur doit-il être dirigé ? b(b = √(3)) pour que le vecteur c = une + bétait parallèle à AB ? Trouver la longueur du vecteur c.

11. Trois vecteurs sont donnés : une = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = je + 3j. Trouver un) a+b; b) a+c; V) (un B); G) (une, c)b − (une, b)c.

12. Angle entre les vecteurs un Et b est égal à α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Trouver les longueurs des vecteurs c = (une, b)une + b Et d = 2b − a/2.

13. Prouver que les vecteurs un Et b sont perpendiculaires si a = (2, 1, −5) et b = (5, −5, 1).

14. Trouvez l'angle α entre les vecteurs un Et b, si a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vecteur un fait un angle α = 30° avec l'axe Ox, la projection de ce vecteur sur l'axe Oy est égale à a y = 2,0. Vecteur b perpendiculaire au vecteur un et b = 3,0 (voir figure).

Vecteur c = une + b. Trouver : a) projections du vecteur b sur l'axe Ox et Oy ; b) la valeur de c et l'angle β entre le vecteur c et l'axe Bœuf ; taxi); d) (une, c).

 Réponses:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
  10. β = 300° ; c = 3,5.
  11. a) 5i + j; b) je + 3j − 2k ; c) 15i − 18j + 9k.
  12.c = 2,6 ; d = 1,7.
  14. α = 44,4°.
  15. a) bx = −1,5 ; par y = 2,6 ; b) c = 5 ; β ≈ 67°; c) 0 ; d) 16,0.
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Les deux mots qui effraient les écoliers – vecteur et scalaire – ne font pas vraiment peur. Si vous abordez le sujet avec intérêt, alors tout peut être compris. Dans cet article, nous examinerons quelle quantité est vectorielle et laquelle est scalaire. Plus précisément, nous donnerons des exemples. Chaque étudiant a probablement remarqué qu'en physique, certaines quantités sont indiquées non seulement par un symbole, mais également par une flèche au sommet. Que signifient-ils? Ceci sera discuté ci-dessous. Essayons de comprendre en quoi cela diffère du scalaire.

Exemples de vecteurs. Comment sont-ils désignés ?

Qu’entend-on par vecteur ? Ce qui caractérise le mouvement. Peu importe que ce soit dans l'espace ou dans un avion. Quelle quantité est une quantité vectorielle en général ? Par exemple, un avion vole à une certaine vitesse, à une certaine altitude, a une masse spécifique et commence à quitter l’aéroport avec l’accélération requise. Quel est le mouvement d'un avion ? Qu'est-ce qui l'a fait voler ? Bien sûr, l'accélération, la vitesse. Les quantités vectorielles d'un cours de physique sont des exemples clairs. Pour parler franchement, une quantité vectorielle est associée au mouvement, au déplacement.

L’eau se déplace également à une certaine vitesse depuis le haut de la montagne. Est-ce que tu vois? Le mouvement ne s'effectue pas en volume ou en masse, mais en vitesse. Un joueur de tennis permet à la balle de se déplacer à l'aide d'une raquette. Il règle l'accélération. D'ailleurs, attaché à dans ce cas la force est aussi une quantité vectorielle. Parce qu'il est obtenu grâce à des vitesses et des accélérations données. Le pouvoir peut également changer et mener des actions spécifiques. Le vent qui déplace les feuilles des arbres peut également être considéré comme un exemple. Parce qu'il y a de la vitesse.

Quantités positives et négatives

Une grandeur vectorielle est une grandeur qui a une direction dans l’espace environnant et une grandeur. Le mot effrayant réapparut, cette fois module. Imaginez que vous deviez résoudre un problème dans lequel une valeur d'accélération négative sera enregistrée. Dans la nature, il semblerait que les significations négatives n’existent pas. Comment la vitesse peut-elle être négative ?

Un vecteur a un tel concept. Cela s'applique, par exemple, aux forces appliquées au corps, mais qui ont différentes directions. Rappelez-vous le troisième où l'action est égale à la réaction. Les gars jouent à la corde. Une équipe porte des T-shirts bleus, l’autre des T-shirts jaunes. Ces derniers s'avèrent plus forts. Supposons que leur vecteur force soit dirigé positivement. En même temps, les premiers ne peuvent pas tirer sur la corde, mais ils essaient. Une force opposée surgit.

Quantité vectorielle ou scalaire ?

Parlons de la différence entre une quantité vectorielle et une quantité scalaire. Quel paramètre n’a pas de direction, mais a sa propre signification ? Listons ci-dessous quelques quantités scalaires :

Ont-ils tous une direction ? Non. Quelle quantité est vectorielle et laquelle est scalaire ne peut être montrée qu'avec des exemples visuels. En physique, de tels concepts existent non seulement dans la section « Mécanique, dynamique et cinématique », mais également dans le paragraphe « Électricité et magnétisme ». La force de Lorentz est aussi une quantité vectorielle.

Vecteur et scalaire dans les formules

Les manuels de physique contiennent souvent des formules comportant une flèche en haut. Rappelez-vous la deuxième loi de Newton. La force ("F" avec une flèche en haut) est égale au produit de la masse ("m") et de l'accélération ("a" avec une flèche en haut). Comme mentionné ci-dessus, la force et l’accélération sont des quantités vectorielles, mais la masse est scalaire.

Malheureusement, toutes les publications ne portent pas la désignation de ces quantités. Cela a probablement été fait pour simplifier les choses afin que les écoliers ne soient pas induits en erreur. Il est préférable d'acheter les livres et ouvrages de référence qui indiquent les vecteurs dans les formules.

L'illustration montrera quelle quantité est une quantité vectorielle. Il est recommandé de prêter attention aux images et aux diagrammes dans les cours de physique. Les quantités vectorielles ont une direction. Où est-il dirigé ? Bien sûr, vers le bas. Cela signifie que la flèche sera affichée dans la même direction.

DANS universités techniquesétudier la physique en profondeur. Dans de nombreuses disciplines, les enseignants parlent des quantités scalaires et vectorielles. De telles connaissances sont requises dans les domaines suivants : construction, transports, sciences naturelles.

En physique, il existe plusieurs catégories de grandeurs : vectorielles et scalaires.

Qu'est-ce qu'une quantité vectorielle ?

Une grandeur vectorielle a deux caractéristiques principales : direction et module. Deux vecteurs seront identiques si leur valeur absolue et leur direction sont les mêmes. Pour désigner une quantité vectorielle, les lettres surmontées d'une flèche sont le plus souvent utilisées. Un exemple de quantité vectorielle est la force, la vitesse ou l’accélération.

Afin de comprendre l’essence d’une quantité vectorielle, il faut la considérer d’un point de vue géométrique. Un vecteur est un segment qui a une direction. La longueur d'un tel segment est en corrélation avec la valeur de son module. Un exemple physique de quantité vectorielle est le déplacement d'un point matériel se déplaçant dans l'espace. Des paramètres tels que l'accélération de ce point, la vitesse et les forces agissant sur lui, Champ électromagnétique seront également affichés sous forme de quantités vectorielles.

Si l'on considère quantité de vecteur Quelle que soit la direction, un tel segment peut être mesuré. Mais le résultat résultant ne reflétera que des caractéristiques partielles de la quantité. Pour le mesurer pleinement, la valeur doit être complétée par d'autres paramètres du segment directionnel.

En algèbre vectorielle, il existe un concept vecteur zéro. Ce concept signifie un point. Quant à la direction du vecteur zéro, elle est considérée comme incertaine. Pour désigner le vecteur zéro, le zéro arithmétique est utilisé, tapé en gras.

Si nous analysons tout ce qui précède, nous pouvons conclure que tous les segments orientés définissent des vecteurs. Deux segments définiront un vecteur seulement s'ils sont égaux. Lors de la comparaison de vecteurs, la même règle s'applique que lors de la comparaison de quantités scalaires. L’égalité signifie un accord complet à tous égards.

Qu'est-ce qu'une quantité scalaire ?

Contrairement à un vecteur, une quantité scalaire n'a qu'un seul paramètre : celui-ci sa valeur numérique. Il convient de noter que la valeur analysée peut avoir une valeur numérique positive ou négative.

Les exemples incluent la masse, la tension, la fréquence ou la température. Avec de telles quantités, vous pouvez effectuer diverses opérations arithmétiques : addition, division, soustraction, multiplication. Une quantité scalaire n'a pas de caractéristique telle que la direction.

Une quantité scalaire est mesurée avec une valeur numérique, elle peut donc être affichée sur un axe de coordonnées. Par exemple, très souvent l'axe de la distance parcourue, de la température ou du temps est construit.

Principales différences entre les quantités scalaires et vectorielles

D'après les descriptions données ci-dessus, il est clair que la principale différence entre les quantités vectorielles et les quantités scalaires réside dans leur caractéristiques. Une quantité vectorielle a une direction et une grandeur, tandis qu'une quantité scalaire n'a qu'une valeur numérique. Bien entendu, une grandeur vectorielle, comme une grandeur scalaire, peut être mesurée, mais une telle caractéristique ne sera pas complète, puisqu’il n’y a pas de direction.

Afin d'imaginer plus clairement la différence entre une quantité scalaire et une quantité vectorielle, il convient de donner un exemple. Pour ce faire, prenons un domaine de connaissance tel que climatologie. Si l’on dit que le vent souffle à une vitesse de 8 mètres par seconde, alors une grandeur scalaire sera introduite. Mais si l’on dit que le vent du nord souffle à une vitesse de 8 mètres par seconde, alors on parle d’une valeur vectorielle.

Les vecteurs jouent un rôle important dans les mathématiques modernes, ainsi que dans de nombreux domaines de la mécanique et de la physique. Majorité grandeurs physiques peuvent être représentés sous forme de vecteurs. Cela nous permet de généraliser et de simplifier considérablement les formules et les résultats utilisés. Souvent, les valeurs vectorielles et les vecteurs sont identifiés les uns aux autres. Par exemple, en physique, vous entendrez peut-être que la vitesse ou la force est un vecteur.

Les grandeurs sont appelées scalaires (scalaires) si, après avoir choisi une unité de mesure, elles sont complètement caractérisées par un nombre. Des exemples de grandeurs scalaires sont l'angle, la surface, le volume, la masse, la densité, la charge électrique, la résistance et la température.

Il faut distinguer deux types de grandeurs scalaires : les scalaires purs et les pseudoscalaires.

3.1.1. Des scalaires purs.

Les scalaires purs sont entièrement définis par un seul nombre, indépendant du choix des axes de référence. Des exemples de scalaires purs sont la température et la masse.

3.1.2. Pseudoscalaires.

Comme les scalaires purs, les pseudoscalaires sont définis à l'aide d'un nombre unique dont la valeur absolue ne dépend pas du choix des axes de référence. Cependant, le signe de ce nombre dépend du choix des directions positives sur les axes de coordonnées.

Considérons, par exemple, un parallélépipède rectangle dont les projections des bords sur les axes de coordonnées rectangulaires sont respectivement égales. Le volume de ce parallélépipède est déterminé à l'aide du déterminant.

dont la valeur absolue ne dépend pas du choix des axes de coordonnées rectangulaires. Cependant, si vous changez la direction positive sur l'un des axes de coordonnées, le déterminant changera de signe. Le volume est un pseudoscalaire. L'angle, l'aire et la surface sont également des pseudoscalaires. Ci-dessous (section 5.1.8), nous verrons qu'un pseudoscalaire est en fait un tenseur d'un type particulier.

Quantités vectorielles

3.1.3. Axe.

Un axe est une droite infinie sur laquelle est choisie la direction positive. Supposons qu'une telle ligne droite et la direction de

est considéré comme positif. Considérons un segment sur cette droite et supposons que le nombre mesurant la longueur est égal à a (Fig. 3.1). Alors la longueur algébrique du segment est égale à a, la longueur algébrique du segment est égale à - a.

Si nous prenons plusieurs lignes parallèles, alors, après avoir déterminé la direction positive sur l'une d'elles, nous la déterminons ainsi sur le reste. La situation est différente si les droites ne sont pas parallèles ; il faut alors se mettre d'accord spécifiquement sur le choix de la direction positive pour chaque ligne droite.

3.1.4. Direction de rotation.

Laissez l'axe. On appellera rotation autour d'un axe positive ou directe si elle s'effectue pour un observateur se tenant dans la direction positive de l'axe, à droite et à gauche (Fig. 3.2). Sinon, on l'appelle négatif ou inverse.

3.1.5. Trièdres directs et inverses.

Que ce soit un trièdre (rectangulaire ou non rectangulaire). Les directions positives sont sélectionnées sur les axes respectivement de O à x, de O à y et de O à z.