Хоёр модультай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Арга зүйн боловсруулалт “Модультай тэгшитгэл

Энэхүү онлайн математикийн тооцоолуур танд туслах болно тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэх. зориулсан програм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэхасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг харуулна.

Энэ хөтөлбөр нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой. дүү нарэсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Модультай тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг оруулна уу

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Модультай тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Сургуулийн анхан шатны алгебрийн хичээл дээр та модулиудтай хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг олж авч болно. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд та ашиглаж болно геометрийн арга, \(|x-a| \) нь х ба а цэгүүдийн хоорондох тооны шулуун дээрх зай гэдгийг үндэслэн: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Жишээлбэл, \(|x-3|=2\) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тоон шулуун дээрх 3-р цэгээс 2-ын зайд байгаа цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Ийм хоёр цэг байдаг: \(x_1=1) \) ба \(x_2=5\) .

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх \(|2x+7|

Гэхдээ модулиар тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга нь "модулийг тодорхойлолтоор илчлэх" гэж нэрлэгддэг зүйлтэй холбоотой юм.
хэрэв \(a \geq 0 \), тэгвэл \(|a|=a \);
хэрэв \(a Дүрмээр бол модультай тэгшитгэл (тэгш бус байдал) нь модулийн тэмдэг агуулаагүй тэгшитгэлийн багц (тэгш бус байдал) болж буурдаг.

Дээрх тодорхойлолтоос гадна дараахь мэдэгдлүүдийг ашигладаг.
1) Хэрэв \(c > 0\) бол \(|f(x)|=c \) тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(массив)\баруун.
2) Хэрэв \(c > 0 \) бол тэгш бус байдал нь \(|f(x)| 3) Хэрэв \(c \geq 0 \) бол \(|f(x)| > c \) тэгш бус байдал байна. тэгш бус байдлын багцтай тэнцэх : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(массив)\баруун. \)
4) Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал нь \(f(x) ЖИШЭЭ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв \(x-1 \geq 0\) бол \(|x-1| = x-1\) ба өгөгдсөн тэгшитгэл хэлбэрийг авна.
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 +2x -8 = 0 \).
Хэрэв \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 -2x -4 = 0 \).
Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийг заасан хоёр тохиолдол бүрт тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.
1) \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) тэгшитгэлээс бид \(x_1=2, \; x_2=-4\)-ийг олно. \(x \geq 1 \) нөхцөл нь зөвхөн \(x_1=2\) утгаар хангагдана.
2) \(x-1 Хариулт: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ЖИШЭЭ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) тэгшитгэлийг шийд.

Эхний арга(тодорхойлолтын дагуу модулийг өргөтгөх).
1-р жишээн дээр үндэслэн бид \(x^2-6x+7 \geq 0 \) эсвэл \(x^2-6x+7) гэсэн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ.

1) Хэрэв \(x^2-6x+7 \geq 0 \) байвал \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) байх ба өгөгдсөн тэгшитгэл нь \(x) хэлбэртэй байна. ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Баруун сум 3х^2-23х+30=0 \). Үүнийг шийдсэн квадрат тэгшитгэл, бид дараахийг авна: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0\) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд заасан утгыг орлуул квадрат тэгш бус байдал. Бид дараахийг авна: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) нь жинхэнэ тэгш бус байдал юм. Энэ нь \(x_1=6\) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.
\(x_2=\frac(5)(3)\) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0\) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд заасан утгыг квадрат тэгш бус байдалд орлуулна. Бид дараахийг авна: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) нь буруу тэгш бус байдал юм. Энэ нь \(x_2=\frac(5)(3)\) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.

2) Хэрэв \(x^2-6x+7 Утга \(x_3=3\) нөхцөлийг хангаж байвал \(x^2-6x+7 Утга \(x_4=\frac(4)(3) \) хангагдахгүй бол нөхцөл \ (x^2-6x+7 Тэгэхээр өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: \(x=6, \; x=3 \).

Хоёрдахь арга.Хэрэв \(|f(x)| = h(x) \) тэгшитгэл өгөгдсөн бол \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \төгсгөл(массив)\баруун\)
Эдгээр тэгшитгэлийг хоёуланг нь дээр шийдсэн (өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдэх эхний аргыг ашиглан), тэдгээрийн үндэс нь дараах байдалтай байна: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Эдгээр дөрвөн утгын \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) нөхцөл нь зөвхөн хоёр нь хангагдана: 6 ба 3. Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм: \(x=6) , \; x=3 \ ).

Гурав дахь зам(график).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулъя. Эхлээд параболыг \(y = x^2-6x+7\) байгуулъя. Бидэнд \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2\) функцийн графикийг \(y = x^2\) функцийн графикаас баруун тийш 3 масштабын нэгж (хуваарийн дагуу) шилжүүлснээр олж авч болно. x тэнхлэг) болон 2 нэгжийн хуваарийн дагуу (y тэнхлэгийн дагуу). x=3 шулуун шугам нь бидний сонирхож буй параболын тэнхлэг юм. Илүү нарийвчлалтай зурахын тулд хяналтын цэгийн хувьд параболын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй (3; -2) цэг, параболын орой (0; 7) ба (6; 7) цэгийг авах нь тохиромжтой. .
Одоо \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг байгуулахын тулд та бүтээсэн параболын х тэнхлэгээс доош ороогүй хэсгүүдийг хэвээр үлдээж, тухайн хэсгийг толин тусгал болгох хэрэгтэй. х тэнхлэгтэй харьцуулахад х тэнхлэгийн доор байрлах парабол.
2) Шугаман функцийн графикийг \(y = \frac(5x-9)(3)\) байгуулъя. (0; –3) ба (3; 2) цэгүүдийг хяналтын цэг болгон авах нь тохиромжтой.

Шулуун шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох х = 1.8 цэг нь параболын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох зүүн цэгийн баруун талд байрлах нь чухал - энэ нь \(x=3-\ цэг юм. sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) Зургаас харахад графикууд A(3; 2) ба B(6; 7) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог тул эдгээрийн абсциссуудыг орлуулах x = 3 ба x = 6 оноог өгөгдсөн тэгшитгэлд оруулбал бид өөр утгын хувьд зөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан гэдэгт итгэлтэй байна - тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна гэсэн үг юм x = 6. Хариулт: 3;

Сэтгэгдэл. График арга нь бүх дэгжин байдлын хувьд тийм ч найдвартай биш юм. Үзсэн жишээн дээр тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо учраас л ажилласан.

ЖИШЭЭ 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) тэгшитгэлийг шийд.

Эхний арга
2x–4 илэрхийлэл x = 2 цэг дээр 0 болж, x + 3 илэрхийлэл x = –3 цэг дээр 0 болно. Эдгээр хоёр цэг нь тооны шулууныг гурван интервалд хуваадаг: \(x

Эхний интервалыг авч үзье: \((-\infty; \; -3) \).
Хэрэв x бол хоёр дахь интервалыг авч үзье: \([-3; \; 2) \).
Хэрэв \(-3 \leq x Гурав дахь интервалыг авч үзье: \(. Одоо бид дотоод модулийг x>2.5-аар өргөжүүлнэ. Бид нэг модультай тэгшитгэлийг олж авна.
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Модулийг өргөтгөхөд бид дараахь зүйлийг авна шугаман тэгшитгэл
-2x+6=x+3 эсвэл 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 эсвэл 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 эсвэл x=9 .
Эхний утга x=1 нь x>2.5 нөхцлийг хангахгүй. Энэ интервал дээр бид x=9 модультай тэгшитгэлийн нэг язгууртай бөгөөд нийт хоёр (x=1/3) байна
Хариулт: x=1/3; x=9.

Жишээ 4. Шийдэл олох давхар модуль||3x-1|-5|=2x-3.
Шийдэл: Тэгшитгэлийн дотоод модулийг өргөжүүлье
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
x=2.5 цэг нь тоон шулууныг хоёр интервалд, өгөгдсөн тэгшитгэлийг хоёр тохиолдолд хуваана. Баруун талд байгаа тэгшитгэлийн хэлбэрийг үндэслэн шийдлийн нөхцөлийг бичнэ
2х-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
Үүнээс үзэхэд бид >=1.5 утгыг сонирхож байна. Тиймээс модульчлагдсан тэгшитгэлхоёр интервалаар авч үзье
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Үүссэн модулийг өргөтгөхөд 2 тэгшитгэлд хуваана
-3х-4=2х-3 эсвэл 3х+4=2х-3;
2x+3x=-4+3 эсвэл 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 эсвэл x=-7 .
Хоёр утга хоёулаа интервалд ордоггүй, өөрөөр хэлбэл модультай тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Дараа нь бид x>2.5 модулийг өргөтгөх болно. Бид дараах тэгшитгэлийг авна
|3х-1-5|=2х-3;
|3х-6|=2х-3.
Модулийг өргөжүүлснээр бид 2 шугаман тэгшитгэлийг авна
3х-6=2х-3 эсвэл –(3х-6)=2х-3;
3х-2х=-3+6эсвэл 2x+3x=6+3;
x=3 эсвэл 5x=9; x=9/5=1.8.
Олдсон хоёр дахь утга нь x>2.5 нөхцөлтэй тохирохгүй байна, бид үүнийг үгүйсгэдэг.
Эцэст нь бид x=3 модультай тэгшитгэлийн нэг язгууртай болно.
Шалгалт хийж байна
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Модультай тэгшитгэлийн язгуурыг зөв тооцоолсон.
Хариулт: x=1/3; x=9.

А-г дараахь дүрмийн дагуу тооцоолно.

Товчхондоо тэмдэглэгээг ашигладаг |а|. Тэгэхээр, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1/3 |; | -100| =100 гэх мэт.

Хэмжээ бүр Xнэлээн үнэн зөв утгатай тохирч байна | X|. Энэ нь гэсэн үг таних тэмдэг цагт= |X| багц цагтзарим шиг аргумент функц X.

Хуваарьэнэ функцууддоор үзүүлэв.

Учир нь x > 0 |x| = x, болон төлөө x< 0 |x|= -x; үүнтэй холбогдуулан y = | шугам x| цагт x> 0 шулуун шугамтай хослуулсан у = x(эхний координатын өнцгийн биссектрис), хэзээ X< 0 - с прямой y = -x(хоёр дахь координатын өнцгийн биссектрис).

Тусдаа тэгшитгэлтэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйлсийг оруулна модуль.

Ийм тэгшитгэлийн дурын жишээнүүд - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 гэх мэт.

Тэгшитгэл шийдвэрлэхмодулийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэхийг агуулсан байгаа нь үнэмлэхүй утгыг үндэслэнэ тодорхойгүй огноо x нь эерэг тоо a, тэгвэл энэ x тоо нь өөрөө a эсвэл -a-тай тэнцүү.

Жишээлбэл:, хэрэв | X| = 10, дараа нь эсвэл X=10, эсвэл X = -10.

Ингээд авч үзье бие даасан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн шийдэнд дүн шинжилгээ хийцгээе | X- 1| = 2.

Модулийг өргөжүүльедараа нь ялгаа X- 1 нь + 2 эсвэл - 2-той тэнцүү байж болно. Хэрэв x - 1 = 2 бол X= 3; хэрэв X- 1 = - 2, тэгвэл X= - 1. Бид орлуулалт хийж, эдгээр хоёр утга нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг олж мэдэв.

Хариулах.Дээрх тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Ингээд дүн шинжилгээ хийцгээе тэгшитгэлийн шийдэл | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Дараа нь модулийн өргөтгөлБид авна: эсвэл 6 - 2 X= 3X+ 1 эсвэл 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Эхний тохиолдолд X= 1, хоёрдугаарт X= - 7.

Шалгалт. At X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; Энэ нь шүүхээс гарсан, X = 1 - үндэсөгсөн тэгшитгэл.

At x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; 20 ≠ -20 оноос хойш X= - 7 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

Хариулах. Утэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй: X = 1.

Энэ төрлийн тэгшитгэл байж болно шийдвэрлэх ба график.

Ингээд шийдье Жишээлбэл, график тэгшитгэл | X- 1| = 2.

Эхлээд бид барих болно функциональ график цагт = |x- 1|. Эхлээд функцийн графикийг зуръя цагт=X- 1:

Тэр хэсэг нь график урлаг, энэ нь тэнхлэгээс дээш байрладаг XБид үүнийг өөрчлөхгүй. Түүний хувьд X- 1 > 0 тул | X-1|=X-1.

Графикийн тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг X, дүрсэлцгээе тэгш хэмтэйэнэ тэнхлэгтэй харьцуулахад. Учир нь энэ хэсгийн хувьд X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Үүний үр дүнд шугам(хатуу шугам) ба хүсэл функцийн графику = | X—1|.

Энэ шугам нь огтлолцох болно Чигээрээ цагт= 2 хоёр цэг дээр: абсциссатай M 1 -1 ба M 2 абсциссатай 3. Үүний дагуу тэгшитгэл | X- 1| =2 хоёр үндэс байх болно: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Точилкина Юлия

Уг ажил нь модуль бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргыг танилцуулсан.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

"59-р дунд сургууль"

Модультай тэгшитгэл

Хийсвэр ажил

Гүйцэтгэсэн 9А ангийн сурагч

MBOU "59-р дунд сургууль" Барнаул

Точилкина Юлия

Удирдагч

Захарова Людмила Владимировна,

математикийн багш

MBOU "59-р дунд сургууль" Барнаул

Барнаул 2015 он

Оршил

Би есдүгээр ангид сурдаг. Энэ хичээлийн жилд би үндсэн сургуулийн төгсөлтийн гэрчилгээ авах ёстой. Шалгалтанд бэлтгэхийн тулд бид Д.А.Мальцевын математикийн цуглуулгыг худалдаж авсан. 9-р анги. Цуглуулгатай танилцаж байхдаа би зөвхөн нэг төдийгүй хэд хэдэн модулийг агуулсан тэгшитгэлийг олж мэдсэн. Багш надад болон манай ангийнханд ийм тэгшитгэлийг "үүрлэсэн модуль" тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг тайлбарлав. Энэ нэр нь бидэнд ер бусын санагдаж байсан бөгөөд шийдэл нь эхлээд харахад нэлээд төвөгтэй байв. "Модулиар тэгшитгэл" гэсэн миний ажлын сэдэв ингэж гарч ирэв. Би энэ сэдвийг илүү гүнзгий судлахаар шийдсэн, ялангуяа энэ нь хичээлийн жилийн төгсгөлд шалгалт өгөхөд надад хэрэг болох бөгөөд 10, 11-р ангид хэрэгтэй болно гэж бодож байна. Дээрх бүх зүйл нь миний сонгосон сэдвийн хамаарлыг тодорхойлдог.

Ажлын зорилго:

1. Санаж үз янз бүрийн аргамодультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
2. Төрөл бүрийн аргуудыг ашиглан үнэмлэхүй утгын тэмдэг агуулсан тэгшитгэлийг шийдэж сур

Сэдэв дээр ажиллахын тулд дараахь ажлуудыг боловсруулсан болно.

Даалгаварууд:

1. "Бодит тооны модуль" сэдвээр онолын материалыг судлах.
2. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх, олж авсан мэдлэгээ бодлого шийдвэрлэх замаар нэгтгэх.
3. Ахлах сургуульд модулийн тэмдгийг агуулсан янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ олж авсан мэдлэгээ ашиглах

Судалгааны объект:модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд

Судалгааны сэдэв:модультай тэгшитгэл

Судалгааны аргууд:

Онолын : судалгааны сэдвээр уран зохиол судлах;

Интернет - мэдээлэл.

Шинжилгээ уран зохиолын судалгаанаас олж авсан мэдээлэл; модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарсан үр дүн янз бүрийн арга замууд.

Харьцуулалт Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь модуль бүхий янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг ашиглах оновчтой байдлын сэдэв юм.

"Бид ямар нэг юм цохих үед л бодож эхэлдэг." Пол Валерий.

1. Үзэл баримтлал, тодорхойлолт.

"Модуль" гэсэн ойлголтыг сургуулийн математикийн хичээлийн олон хэсэгт, жишээлбэл, ойролцоо тооны үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг судлахад өргөн ашигладаг; геометр, физикийн хувьд вектор ба түүний урт (векторын модуль) гэсэн ойлголтуудыг судалдаг. Модулийн үзэл баримтлалыг дээд боловсролын байгууллагуудад суралцдаг дээд математик, физик, техникийн шинжлэх ухааны хичээлүүдэд ашигладаг.

"Модуль" гэдэг үг нь "хэмжих" гэсэн утгатай латин "modulus" гэсэн үгнээс гаралтай. Энэ үг нь олон утгатай бөгөөд зөвхөн математик, физик, технологид төдийгүй архитектур, програмчлал болон бусад нарийн шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг.

Энэ нэр томъёог Ньютоны шавь Котес санал болгосон гэж үздэг. Модулийн тэмдгийг 19-р зуунд Вейерштрасс нэвтрүүлсэн.

Архитектурын хувьд модуль нь тухайн архитектурын бүтцэд зориулагдсан анхны хэмжилтийн нэгж юм.

Технологийн хувьд энэ нь хэрэглэгддэг нэр томъёо юм янз бүрийн бүс нутагуян хатан байдлын модуль, оролцооны модуль гэх мэт янз бүрийн коэффициент, хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход үйлчилдэг технологи.

Математикийн хувьд модуль нь хэд хэдэн утгатай боловч би үүнийг тооны үнэмлэхүй утга гэж үзэх болно.

Тодорхойлолт 1: Бодит тооны модуль (үнэмлэхүй утга).А энэ тоог өөрөө if гэж нэрлэдэгА ≥0, эсвэл эсрэг тоо -мөн хэрэв А тэгийн модуль нь тэг байна.

Модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ модулийн шинж чанарыг ашиглах нь тохиромжтой.

5,6,7-р шинж чанаруудын нотолгоог авч үзье.

Мэдэгдэл 5. Тэгш байдал │ a+b │=│ a │+│ b │ бол үнэнав ≥ 0.

Баталгаа. Үнэн хэрэгтээ, энэ тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгосны дараа бид │-ийг олж авна a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², эндээс │ ab │= ab

Мөн сүүлчийн тэгш байдал хэзээ үнэн байх болноав ≥0.

Мэдэгдэл 6. Тэгш байдал │ a-c │=│ a │+│ c │ бол үнэнав ≤0.

Баталгаа. Үүнийг батлахын тулд тэгш байдлын хувьд хангалттай

│ а+в │=│ а │+│ в │ в-г - в, дараа нь а· (- в ) ≥0, ав ≤0 гэж солино.

Мэдэгдэл 7. Тэгш байдал │ a │+│ b │= a+b -д тоглосон a ≥0 ба b ≥0.

Баталгаа . Дөрвөн хэргийг авч үзсэн a ≥0 ба b ≥0; a ≥0 ба c А ≥0-д; А В a ≥0 ба b ≥0.

(a-c) ≥0-д.

Геометрийн тайлбар

|а| - энэ нь координаттай цэгээс координатын шугам дээрх зай юмА , гарал үүсэл рүү.

|-a| |а|

A 0 a x

|a|-ийн утгын геометрийн тайлбар |-a|=|a| гэдгийг тодорхой баталж байна

Хэрвээ 0 бол координатын шулуун дээр тэгээс тэнцүү зайд модулиуд нь тэнцүү a ба –a хоёр цэг байна.

a=0 бол координатын шулуун дээр |a| 0 цэгээр илэрхийлнэ.

Тодорхойлолт 2: Модультай тэгшитгэл нь үнэмлэхүй утгын тэмдгийн (модуль тэмдгийн дор) хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл юм. Жишээ нь: |x +3|=1

Тодорхойлолт 3: Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь түүний бүх үндсийг олох, эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.

2. Шийдвэрлэх аргууд

Модулийн тодорхойлолт, шинж чанараас харахад модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь:

1. Модулийг "өргөжүүлэх" (өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтыг ашиглах);
2. Модулийн геометрийн утгыг ашиглах (өмч 2);
3. График шийдлийн арга;
4. Эквивалент хувиргалтыг ашиглах (шинж чанар 4.6);
5. Хувьсагчийг солих (энэ нь 5 өмчийг ашигладаг).
6. Интервалын арга.

Би хангалттай шийдсэн олон тооныжишээнүүд, гэхдээ би энэ ажилд зөвхөн цөөн хэдэн жишээг толилуулж байна, миний бодлоор, янз бүрийн аргаар шийдэгдсэн ердийн жишээнүүд, учир нь бусад нь бие биенээ давхарддаг тул модультай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгохын тулд үүнийг ойлгох шаардлагагүй болно. шийдэгдсэн бүх жишээг авч үзье.

Тэгшитгэл ШИЙДЭХ | f(x)| =а

тэгшитгэлийг авч үзье f(x)| =а, Р

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг модулийн тодорхойлолтоор шийдэж болно.

Хэрэв А тэгвэл тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Хэрэв a= 0 бол тэгшитгэл нь f(x)=0-тэй тэнцүү байна.

Хэрэв a>0 бол тэгвэл тэгшитгэл нь олонлогтой тэнцүү байна

Жишээ. |3x+2|=4 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

|3x+2|=4, дараа нь 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

ХАРИУЛТ: -2;2/3.

МОДУЛИЙН ГЕОМЕТРИЙН ШИНЖ АШИГЛАСАН ТЭГШИГТҮҮДИЙГ ШИЙДЭХ.

Жишээ 1. /x-1/+/x-3/=6 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь Ox тоон тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийг олох гэсэн үг бөгөөд тус бүрээс 1 ба 3 координаттай цэгүүд хүртэлх зайны нийлбэр нь 6-тай тэнцүү байна.

Сегментээс нэг ч цэг алгаэнэ нөхцлийг хангахгүй, учир нь заасан зайн нийлбэр нь 2. Энэ сегментийн гадна талд 5 ба -1 гэсэн хоёр цэг байна.

1 1 3 5

Хариулт: -1;5

Жишээ 2. |х тэгшитгэлийг шийд 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Шийдэл.

x 2 +x-5= a, тэгвэл / a /+/ a-4 гэж тэмдэглэе /=10. Үхрийн тэнхлэг дээрх цэгүүдийг тус бүрийн хувьд 0 ба 4 координаттай цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь 10-тай тэнцүү байхаар олъё. Энэ нөхцөл -4 ба 7-оор хангагдсан байна.

3 0 4 7

Тэгэхээр x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Хариулт: -4;-2; 1; 3.

Тэгшитгэл ШИЙДЭХ | f(x)| = | g(x)|.

1. оноос хойш | a |=|in |, хэрэв a= in, дараа нь | хэлбэрийн тэгшитгэл f(x)| = | g(x )| нийттэй тэнцүү байна

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийдээрэй | x –2| = |3 – x |.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

x – 2 = 3 – x (1) ба x – 2 = –3 + x (2)

2 х = 5 –2 = –3 – буруу

X = 2.5 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

ХАРИУЛТ: 2.5.

Жишээ 2.

|х тэгшитгэлийг шийд 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хоёр тал сөрөг биш учраасквадрат болгох нь тэнцүү хувиргалт юм:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6х-22)(2х 2 -18)=0,

6х-22=0 эсвэл 2х 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Хариулт: -3; 3; 11/3.

ҮЗЭЛТИЙН ТЭГШИГДЭХҮҮНИЙ ШИЙДЭЛ | f(x)| = g(x).

Эдгээр тэгшитгэлийн ялгаа ба| f(x)| =а баруун тал нь бас хувьсагч байгаа нь. Мөн энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Тиймээс модуль нь тэнцүү байх боломжгүй тул та түүний сөрөг бус байдлыг тусгайлан шалгах хэрэгтэй сөрөг тоо(өмч№1 )

1 арга

Тэгшитгэлийн шийдэл | f(x)| = g(x ) тэгшитгэлийн шийдлийн багц болгон бууруулнатэгш бус байдлын шударга байдлыг шалгах g(x Үл мэдэгдэх утгуудын )>0.

Арга 2 (модулийн тодорхойлолтоор)

оноос хойш | f(x)| = g(x) бол f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) бол f(x)

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх |3 x –10| = x - 2.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна:

ХАРИУЛТ: 3; 4.

ТЭГШИГЧИЛГИЙН ШИЙДЭЛ |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Энэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл нь модулийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Функц бүрийн хувьд f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) тодорхойлолтын ерөнхий мужийг интервалд хувааж, тодорхойлолтын муж, түүний тэг ба тасалдлын цэгийг олох шаардлагатай бөгөөд тус бүрд нь f функцууд орно. 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) тэмдэгээ хадгална. Дараа нь модулийн тодорхойлолтыг ашиглан олсон талбай бүрийн хувьд бид энэ интервал дээр шийдэх ёстой тэгшитгэлийг олж авна. Энэ арганэрийг авсан"интервалын арга»

Жишээ.

|x-2|-3|x+4|=1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Дэд модуль илэрхийллүүд тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг олъё

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Тооны шугамыг х интервалд хуваая

Тэгшитгэлийг шийдэх нь гурван системийг шийдэхэд хүргэдэг.

ХАРИУЛТ: -15, -1.8.

АГУУЛСАН тэгшитгэлийг ШИЙДЭХ ГРАФИК АРГАМОДУЛИЙН ТЭМДЭГ.

Нарийвчлал нь сонгосон нэгж сегмент, харандааны зузаан, шугамын огтлолцох өнцөг гэх мэт зэргээс хамаардаг тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга нь ойролцоо байна. Гэхдээ энэ арга нь өгөгдсөн тэгшитгэлд хэдэн шийдэл байгааг тооцоолох боломжийг олгодог.

Жишээ. |х - 2| тэгшитгэлийг графикаар шийд + |x - 3| + |2х - 8| = 9

Шийдэл. Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя

y=|x - 2| + |x - 3| + |2х - 8| ба y=9.

График бүтээхийн тулд та үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй энэ функцинтервал бүр дээр (-∞; 2); [3/2; ∞ )

Хариулт: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Мөн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эквивалент хувиргалтын аргыг ашигласан f(x)| = | g(x)|.

ЦОГЦОЛБОР модультай тэгшитгэлүүд

Өөр нэг төрлийн тэгшитгэл бол "цогцолбор" модультай тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлд "модуль доторх модультай" тэгшитгэлүүд орно. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болно.

Жишээ 1.

||||x| тэгшитгэлийг шийд – |–2| –1| –2| = 2.

Шийдэл.

Модулийн тодорхойлолтоор бид:

Эхний тэгшитгэлийг шийдье.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1,

| x | = 3 ба | x | = 1,

x = 3; x = 1.

Хариулт: 1; 3; 7.

Жишээ 2.

|2 – |x + 1|| тэгшитгэлийг шийд = 3.

Шийдэл.

Шинэ хувьсагч оруулж тэгшитгэлийг шийдье.

зөвшөөрөх | x + 1| = y, дараа нь |2 – y | = 3, эндээс

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе:

(1) | x + 1| = –1 – шийдэл байхгүй.

(2) | x + 1| = 5

ХАРИУЛТ: –6; 4.

Жишээ 3.

Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Шийдэл. Эквивалент схемийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдье.

Тэгшитгэл | 2 | x | -6 | = 5 нь системтэй тэнцүү байна: