Fizikāls skalārais lielums, kas raksturo lauka līniju skaitu. Vektors un skalārais lielums - kā tie atšķiras

Fizikā ir vairākas lielumu kategorijas: vektors un skalārs.

Kas ir vektora daudzums?

Vektora daudzumam ir divas galvenās īpašības: virziens un modulis. Divi vektori būs vienādi, ja to absolūtā vērtība un virziens ir vienādi. Lai apzīmētu vektora lielumu, visbiežāk tiek izmantoti burti ar bultiņu virs tiem. Vektora daudzuma piemērs ir spēks, ātrums vai paātrinājums.

Lai saprastu vektora lieluma būtību, tas jāaplūko no ģeometriskā viedokļa. Vektors ir segments, kuram ir virziens. Šāda segmenta garums korelē ar tā moduļa vērtību. Fizikāls vektora daudzuma piemērs ir materiāla punkta nobīde, kas pārvietojas telpā. Tādi parametri kā šī punkta paātrinājums, ātrums un spēki, kas uz to iedarbojas, elektromagnētiskais lauks tiks parādīti arī kā vektoru lielumi.

Ja mēs uzskatām vektora daudzums Neatkarīgi no virziena šādu segmentu var izmērīt. Bet iegūtais rezultāts atspoguļos tikai daļējas daudzuma īpašības. Lai to pilnībā izmērītu, vērtība jāpapildina ar citiem virziena segmenta parametriem.

Vektoru algebrā ir jēdziens nulles vektors. Šis jēdziens nozīmē punktu. Kas attiecas uz nulles vektora virzienu, tas tiek uzskatīts par nenoteiktu. Lai apzīmētu nulles vektoru, tiek izmantota aritmētiskā nulle, kas rakstīta treknrakstā.

Ja analizējam visu iepriekš minēto, varam secināt, ka visi virzītie segmenti definē vektorus. Divi segmenti definēs vienu vektoru tikai tad, ja tie būs vienādi. Salīdzinot vektorus, ir spēkā tas pats noteikums, kas, salīdzinot skalāros lielumus. Vienlīdzība nozīmē pilnīgu vienošanos visos aspektos.

Kas ir skalārais lielums?

Atšķirībā no vektora, skalārajam daudzumam ir tikai viens parametrs - tas tā skaitliskā vērtība. Ir vērts atzīmēt, ka analizētajai vērtībai var būt gan pozitīva skaitliskā vērtība, gan negatīva.

Piemēri ir masa, spriegums, frekvence vai temperatūra. Ar šādiem lielumiem var veikt dažādas aritmētiskās darbības: saskaitīšanu, dalīšanu, atņemšanu, reizināšanu. Skalāram daudzumam nav tādas īpašības kā virziens.

Skalārais lielums tiek mērīts ar skaitlisku vērtību, tāpēc to var attēlot uz koordinātu ass. Piemēram, ļoti bieži tiek konstruēta nobrauktā attāluma, temperatūras vai laika ass.

Galvenās atšķirības starp skalārajiem un vektora daudzumiem

No iepriekš sniegtajiem aprakstiem ir skaidrs, ka galvenā atšķirība starp vektora daudzumiem un skalārajiem daudzumiem ir to īpašības. Vektora daudzumam ir virziens un lielums, savukārt skalāram lielumam ir tikai skaitliska vērtība. Protams, vektora lielumu, tāpat kā skalāro lielumu, var izmērīt, taču šāds raksturlielums nebūs pilnīgs, jo nav virziena.

Lai skaidrāk iedomāties atšķirību starp skalāro lielumu un vektora lielumu, jāsniedz piemērs. Lai to izdarītu, ņemsim tādu zināšanu jomu kā klimatoloģija. Ja sakām, ka vējš pūš ar ātrumu 8 metri sekundē, tad tiks ieviests skalārs lielums. Bet, ja sakām, ka ziemeļu vējš pūš ar ātrumu 8 metri sekundē, tad runa ir par vektora vērtību.

Vektoriem ir milzīga nozīme mūsdienu matemātikā, kā arī daudzās mehānikas un fizikas jomās. Vairums fizikālie lielumi var attēlot kā vektorus. Tas ļauj vispārināt un būtiski vienkāršot izmantotās formulas un rezultātus. Bieži vien vektoru vērtības un vektori tiek identificēti viens ar otru. Piemēram, fizikā jūs varat dzirdēt, ka ātrums vai spēks ir vektors.

Divi vārdi, kas biedē skolēnus – vektors un skalārs – patiesībā nav biedējoši. Ja tēmai pieiet ar interesi, tad visu var saprast. Šajā rakstā mēs apsvērsim, kurš lielums ir vektors un kurš ir skalārs. Precīzāk, mēs sniegsim piemērus. Ikviens skolēns droši vien pamanīja, ka fizikā dažus lielumus apzīmē ne tikai ar simbolu, bet arī ar bultiņu augšpusē. Ko tie nozīmē? Tas tiks apspriests tālāk. Mēģināsim izdomāt, kā tas atšķiras no skalāra.

Vektoru piemēri. Kā tie tiek apzīmēti?

Ko nozīmē vektors? Tas, kas raksturo kustību. Nav svarīgi, vai kosmosā vai lidmašīnā. Kāds lielums vispār ir vektora lielums? Piemēram, lidmašīna lido ar noteiktu ātrumu noteiktā augstumā, tai ir noteikta masa un tā sāka kustēties no lidostas ar nepieciešamo paātrinājumu. Kāda ir lidmašīnas kustība? Kas viņam lika lidot? Protams, paātrinājums, ātrums. Vektoru daudzumi no fizikas kursa ir skaidri piemēri. Atklāti sakot, vektora lielums ir saistīts ar kustību, nobīdi.

Arī ūdens pārvietojas ar noteiktu ātrumu no kalna augstuma. Vai tu redzi? Kustība tiek veikta nevis pēc tilpuma vai masas, bet pēc ātruma. Tenisists ļauj bumbiņai kustēties ar raketes palīdzību. Tas nosaka paātrinājumu. Starp citu, pievienots šajā gadījumā spēks ir arī vektora lielums. Jo tas tiek iegūts doto ātrumu un paātrinājumu rezultātā. Vara var arī mainīties un veikt noteiktas darbības. Par piemēru var uzskatīt arī vēju, kas kustina lapas uz kokiem. Jo ir ātrums.

Pozitīvie un negatīvie daudzumi

Vektora daudzums ir lielums, kam ir virziens apkārtējā telpā un lielums. Atkal parādījās biedējošais vārds, šoreiz modulis. Iedomājieties, ka jums ir jāatrisina problēma, kurā tiks reģistrēta negatīva paātrinājuma vērtība. Šķiet, ka dabā negatīvas nozīmes nepastāv. Kā ātrums var būt negatīvs?

Vektoram ir šāds jēdziens. Tas attiecas, piemēram, uz spēkiem, kas tiek pielietoti ķermenim, bet ir dažādos virzienos. Atcerieties trešo, kur darbība ir vienāda ar reakciju. Puiši spēlē virves vilkšanu. Viena komanda valkā zilus T-kreklus, otra komanda - dzeltenos T-kreklus. Pēdējie izrādās spēcīgāki. Pieņemsim, ka to spēka vektors ir vērsts pozitīvi. Tajā pašā laikā pirmie nevar pavilkt virvi, bet viņi cenšas. Rodas pretējs spēks.

Vektors vai skalārais daudzums?

Parunāsim par to, kā vektora lielums atšķiras no skalārā lieluma. Kuram parametram nav virziena, bet tam ir sava nozīme? Tālāk uzskaitīsim dažus skalāros daudzumus:

Vai viņiem visiem ir virziens? Nē. Kurš lielums ir vektors un kurš skalārs, var parādīt tikai ar vizuāliem piemēriem. Fizikā šādi jēdzieni ir ne tikai sadaļā “Mehānika, dinamika un kinemātika”, bet arī sadaļā “Elektrība un magnētisms”. Lorenca spēks ir arī vektora lielums.

Vektors un skalārs formulās

Fizikas mācību grāmatās bieži ir formulas, kuru augšpusē ir bultiņa. Atcerieties Ņūtona otro likumu. Spēks ("F" ar bultiņu augšpusē) ir vienāds ar masas ("m") un paātrinājuma ("a" ar bultiņu augšpusē) reizinājumu. Kā minēts iepriekš, spēks un paātrinājums ir vektora lielumi, bet masa ir skalāra.

Diemžēl ne visās publikācijās ir šo daudzumu apzīmējumi. Tas, iespējams, darīts, lai vienkāršotu lietas, lai skolēni netiktu maldināti. Vislabāk ir iegādāties tās grāmatas un uzziņu grāmatas, kas formulās norāda vektorus.

Ilustrācijā tiks parādīts, kurš lielums ir vektors. Fizikas stundās ieteicams pievērst uzmanību attēliem un diagrammām. Vektoru daudzumiem ir virziens. Kur tas ir virzīts, protams, uz leju? Tas nozīmē, ka bultiņa tiks rādīta tajā pašā virzienā.

Fiziku padziļināti apgūst tehniskajās augstskolās. Daudzās disciplīnās skolotāji runā par to, kādi lielumi ir skalārie un vektori. Šādas zināšanas ir nepieciešamas šādās jomās: celtniecība, transports, dabaszinātnes.

Vektoru parasti saprot kā lielumu, kam ir 2 galvenie raksturlielumi:

1. modulis;
2. virziens.

Tādējādi divi vektori tiek uzskatīti par vienādiem, ja moduļi, kā arī abu virzieni sakrīt. Attiecīgā vērtība visbiežāk tiek rakstīta kā burts ar bultiņu virs tā.

Starp visbiežāk sastopamajiem atbilstošā veida lielumiem ir ātrums, spēks un arī, piemēram, paātrinājums.

No ģeometriskā viedokļa vektors var būt virzīts segments, kura garums korelē ar tā moduli.

Ja mēs aplūkojam vektora lielumu atsevišķi no tā virziena, tad to principā var izmērīt. Tiesa, tas tā vai citādi būs attiecīgā daudzuma daļējs raksturlielums. Pilns - tiek sasniegts tikai tad, ja to papildina ar virziena segmenta parametriem.

Kas ir skalārais lielums?

Ar skalāru mēs parasti saprotam lielumu, kam ir tikai viena īpašība, proti, skaitliskā vērtība. Šajā gadījumā apskatāmā vērtība var būt pozitīva vai negatīva.

Parastie skalārie lielumi ietver masu, frekvenci, spriegumu un temperatūru. Ar tiem iespējams veikt dažādas matemātiskas darbības – saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu.

Virziens (kā raksturlielums) nav raksturīgs skalārajiem lielumiem.

Salīdzinājums

Galvenā atšķirība starp vektora daudzumu un skalāro lielumu ir tā, ka pirmais galvenās īpašības- modulis un virziens, otrajam ir skaitliska vērtība. Ir vērts atzīmēt, ka vektora lielumu, tāpat kā skalāro lielumu, principā var izmērīt, taču šajā gadījumā tā raksturlielumi tiks noteikti tikai daļēji, jo trūks virziena.

Noskaidrojot, kāda ir atšķirība starp vektoru un skalārais daudzums, secinājumus atspoguļosim nelielā tabulā.

 Vektors- tīri matemātisks jēdziens, ko izmanto tikai fizikā vai citās lietišķajās zinātnēs un kas ļauj vienkāršot dažu sarežģītu problēmu risinājumu.
 Vektors− virzīts taisns segments.
  Es zinu elementāra fizika mums jādarbojas ar divām daudzumu kategorijām − skalārs un vektors.
 Skalārs daudzumi (skalāri) ir lielumi, ko raksturo skaitliska vērtība un zīme. Skalāri ir garums − l, masa − m, ceļš − s, laiks − t, temperatūra − T, elektriskais lādiņš − q, enerģija − W, koordinātas utt.
  Visas algebriskās darbības (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana utt.) attiecas uz skalārajiem lielumiem.

 1. piemērs.
  Nosakiet sistēmas kopējo lādiņu, kas sastāv no tajā iekļautajiem lādiņiem, ja q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Pilna sistēmas uzlāde
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 2. piemērs.
  Priekš kvadrātvienādojums laipns
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 Vektors Daudzumi (vektori) ir lielumi, kuru noteikšanai papildus skaitliskajai vērtībai ir jānorāda arī virziens. Vektori − ātrums v, spēks F, impulss lpp, elektriskā lauka stiprums E, magnētiskā indukcija B un utt.
  Vektora skaitliskā vērtība (modulis) tiek apzīmēta ar burtu bez vektora simbola vai vektors ir ievietots starp vertikālām joslām r = |r|.
  Grafiski vektors ir attēlots ar bultiņu (1. att.),

Kuras garums noteiktā mērogā ir vienāds ar tā lielumu, un virziens sakrīt ar vektora virzienu.
Divi vektori ir vienādi, ja to lielumi un virzieni sakrīt.
  Vektoru lielumus saskaita ģeometriski (saskaņā ar vektoru algebras likumu).
  Vektoru summas atrašanu no dotajiem komponentu vektoriem sauc par vektoru saskaitīšanu.
  Divu vektoru pievienošana tiek veikta saskaņā ar paralelogramu vai trijstūra likumu. Summas vektors
c = a + b
vienāds ar uz vektoriem veidota paralelograma diagonāli a Un b. Modulējiet to
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (2. att.).


Pie α = 90° c = √(a 2 + b 2 ) ir Pitagora teorēma.

To pašu vektoru c var iegūt, izmantojot trijstūra noteikumu, ja no vektora gala a atmatā vektors b. Beigu vektors c (savieno vektora sākumu a un vektora beigas b) ir vektora summa termini (komponentu vektori a Un b).
  Iegūtais vektors tiek atrasts kā lauztās līnijas beigu līnija, kuras saites ir komponentu vektori (3. att.).


 3. piemērs.
  Saskaitiet divus spēkus F 1 = 3 N un F 2 = 4 N, vektorus F 1 Un F 2 izveido leņķus α 1 = 10° un α 2 = 40° attiecīgi ar horizontu
 F = F 1 + F 2(4. att.).

  Šo divu spēku saskaitīšanas rezultāts ir spēks, ko sauc par rezultāto. Vektors F vērsta pa uz vektoriem veidota paralelograma diagonāli F 1 Un F 2, abās pusēs, un modulis ir vienāds ar tā garumu.
  Vektoru modulis F atrast pēc kosinusa teorēmas
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Ja
(α 2 − α 1) = 90°, tad F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Leņķis, kas ir vektors F ir vienāds ar Vērša asi, mēs to atrodam, izmantojot formulu
α = arctāns ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arktāns((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arktāns 0,51, α ≈ 0,47 rad.

Vektora a projekcija uz Ox (Oy) asi ir skalārs lielums atkarībā no leņķa α starp vektora virzienu a un Vērša (Oy) ass. (5. att.)


  Vektoru projekcijas a uz taisnstūra koordinātu sistēmas Ox un Oy asīm. (6. att.)


  Lai izvairītos no kļūdām, nosakot vektora projekcijas zīmi uz asi, ir lietderīgi atcerēties nākamais noteikums: ja komponentes virziens sakrīt ar ass virzienu, tad vektora projekcija uz šo asi ir pozitīva, bet, ja komponentes virziens ir pretējs ass virzienam, tad vektora projekcija ir negatīvs. (7. att.)


  Vektoru atņemšana ir saskaitīšana, kurā pirmajam vektoram tiek pievienots vektors, kas skaitliski vienāds ar otro, pretējā virzienā
a − b = a + (−b) = d(8. att.).

  Lai tas būtu nepieciešams no vektora a atņemt vektoru b, to atšķirība − d. Lai atrastu divu vektoru atšķirību, jums jāiet uz vektoru a pievienot vektoru ( −b), tas ir, vektors d = a − b būs vektors, kas vērsts no vektora sākuma a līdz vektora beigām ( −b) (9. att.).

  Paralelogramā, kas veidots uz vektoriem a Un b abas puses, viena diagonāle c ir summas nozīme, un otrs d− vektoru atšķirības a Un b(9. att.).
  Vektora reizinājums a pēc skalāra k ir vienāds ar vektoru b= k a, kura modulis ir k reizes lielāks par vektora moduli a, un virziens sakrīt ar virzienu a pozitīvajam k un pretējs negatīvajam k.

 4. piemērs.
  Noteikt 2 kg smaga ķermeņa impulsu, kas kustas ar ātrumu 5 m/s. (10. att.)

Ķermeņa impulss lpp= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s un vērsta uz ātrumu v.

 5. piemērs.
  Ievietots lādiņš q = –7,5 nC elektriskais lauks ar spriegumu E = 400 V/m. Atrodiet spēka, kas iedarbojas uz lādiņu, lielumu un virzienu.

Spēks ir F= q E. Tā kā lādiņš ir negatīvs, spēka vektors ir vērsts virzienā, kas ir pretējs vektoram E. (11. att.)


 Divīzija vektors a ar skalāru k ir līdzvērtīgs reizināšanai a par 1/k.
 Punktu produkts vektori a Un b sauc par skalāru “c”, kas vienāds ar šo vektoru moduļu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājumu
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (12. att.)


 6. piemērs.
  Atrast darbu pastāvīgs spēks F = 20 N, ja pārvietojums ir S = 7,5 m un leņķis α starp spēku un pārvietojumu ir α = 120°.

Spēka veiktais darbs pēc definīcijas ir vienāds ar spēka un nobīdes skalāro reizinājumu
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.

 Vektoru mākslas darbs vektori a Un b sauc par vektoru c, skaitliski vienāds ar vektoru a un b absolūto vērtību reizinājumu, kas reizināts ar leņķa sinusu starp tiem:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
  Vektors c perpendikulāri plaknei, kurā atrodas vektori a Un b, un tā virziens ir saistīts ar vektoru virzienu a Un b labās puses skrūves noteikums (13. att.).


 7. piemērs.
  Noteikt spēku, kas iedarbojas uz 0,2 m garu vadītāju, kas novietots magnētiskajā laukā, kura indukcija ir 5 T, ja strāvas stiprums vadītājā ir 10 A un tas veido leņķi α = 30° ar lauka virzienu. .

Amperu jauda
dF = I = tukšgaita × B vai F = I (l) ∫ (dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Apsveriet problēmas risināšanu.
  1. Kā ir vērsti divi vektori, kuru moduļi ir identiski un vienādi ar a, ja to summas modulis ir vienāds ar: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

 Risinājums.
  a) Divi vektori ir vērsti pa vienu taisni pretējos virzienos. Šo vektoru summa ir nulle.

  b) Divi vektori ir vērsti pa vienu taisni vienā virzienā. Šo vektoru summa ir 2a.

  c) Divi vektori ir vērsti viens pret otru 120° leņķī. Vektoru summa ir a. Iegūtais vektors tiek atrasts, izmantojot kosinusa teorēmu:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 un α = 120°.
  d) Divi vektori ir vērsti viens pret otru 90° leņķī. Summas modulis ir vienāds ar
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 un α = 90°.

  e) Divi vektori ir vērsti viens pret otru 60° leņķī. Summas modulis ir vienāds ar
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 un α = 60°.
 Atbilde: Leņķis α starp vektoriem ir vienāds ar: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Ja a = a 1 + a 2 vektoru orientācija, ko var teikt par vektoru savstarpējo orientāciju a 1 Un a 2, ja: a) a = a 1 + a 2 ; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

 Risinājums.
  a) Ja vektoru summu atrod kā šo vektoru moduļu summu, tad vektori ir vērsti pa vienu taisni, paralēli viens otram a 1 ||a 2.
  b) Ja vektori ir vērsti leņķī viens pret otru, tad to summu nosaka, izmantojot kosinusa teorēmu paralelogramam
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 un α = 90°.
vektori ir perpendikulāri viens otram a 1 ⊥ a 2.
  c) Stāvoklis a 1 + a 2 = a 1 - a 2 var izpildīt, ja a 2− nulles vektors, tad a 1 + a 2 = a 1 .
 Atbildes. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− nulles vektors.

3. Vienam ķermeņa punktam 60° leņķī viens pret otru tiek pielikti divi spēki, katrs 1,42 N. Kādā leņķī divi 1,75 N lieli spēki jāpieliek vienam un tam pašam ķermeņa punktam, lai to darbība līdzsvarotu pirmo divu spēku darbību?

Risinājums.
  Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem divi spēki 1,75 N katrs līdzsvaro divus spēkus 1,42 N. Tas ir iespējams, ja iegūto spēku pāru vektoru moduļi ir vienādi. Mēs nosakām iegūto vektoru, izmantojot kosinusa teorēmu paralelogramam. Pirmajam spēku pārim:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
attiecīgi otrajam spēku pārim
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Vienādojuma kreiso malu pielīdzināšana
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Atradīsim vajadzīgo leņķi β starp vektoriem
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pēc aprēķiniem,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422.cos60° – 2,1,752)/(2,1,752) = –0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Otrais risinājums.
  Aplūkosim vektoru projekciju uz koordinātu asi OX (att.).

  Izmantojot attiecības starp malām taisnleņķa trijstūrī, mēs iegūstam
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kur
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) un β ≈ 90,7°.

4. Vektors a = 3i − 4j. Kādam jābūt skalārajam lielumam c |c a| = 7,5?
 Risinājums.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektoru modulis a būs vienādi
a 2 = 3 2 + 4 2 un a = ± 5,
tad no
c.(±5) = 7,5,
to atradīsim
c = ±1,5.

5. Vektori a 1 Un a 2 atstāj izcelsmi un ir Dekarta koordinātas beidzas attiecīgi (6, 0) un (1, 4). Atrodiet vektoru a 3 tā, ka: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Risinājums.
  Attēlosim vektorus iekšā Dekarta sistēma koordinātas (att.)

  a) Iegūtais vektors pa Ox asi ir
a x = 6 + 1 = 7.
Iegūtais vektors pa Oy asi ir
a y = 4 + 0 = 4.
Lai vektoru summa būtu vienāda ar nulli, ir jāizpilda nosacījums
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektors a 3 modulo būs vienāds ar kopējo vektoru a 1 + a 2, bet vērsta pretējā virzienā. Vektora beigu koordināte a 3 ir vienāds ar (-7, -4), un modulis
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.

B) Iegūtais vektors pa Ox asi ir vienāds ar
a x = 6 - 1 = 5,
un iegūtais vektors pa Oy asi
a y = 4 - 0 = 4.
Kad nosacījums ir izpildīts
a 1 − a 2 = −a 3,
vektors a 3 būs vektora gala koordinātas a x = –5 un a y = –4, un tā modulis ir vienāds ar
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Ziņnesis iet 30 m uz ziemeļiem, 25 m uz austrumiem, 12 m uz dienvidiem un tad ar liftu paceļas 36 m augstumā kādā ēkā. Kāds ir viņa nobrauktais attālums L un pārvietojums S ?

 Risinājums.
  Problēmā aprakstīto situāciju attēlosim plaknē patvaļīgā mērogā (att.).

Vektora beigas O.A. ir koordinātas 25 m uz austrumiem, 18 m uz ziemeļiem un 36 uz augšu (25; 18; 36). Cilvēka nobrauktais attālums ir vienāds ar
G = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Nobīdes vektora lielumu var atrast, izmantojot formulu
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
kur x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
 Atbilde: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Leņķis α starp diviem vektoriem a Un b vienāds ar 60°. Nosakiet vektora garumu c = a + b un leņķis β starp vektoriem a Un c. Vektoru lielumi ir a = 3,0 un b = 2,0.

 Risinājums.
  Vektora garums vienāds ar vektoru summu a Un b Noteiksim, izmantojot kosinusa teorēmu paralelogramam (att.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pēc aizstāšanas
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4.4.
Lai noteiktu leņķi β, mēs izmantojam sinusa teorēmu trīsstūrim ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Tajā pašā laikā jums tas būtu jāzina
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
  Vienkārša atrisināšana trigonometriskais vienādojums, mēs nonākam pie izteiksmes
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
tātad,
β = arctāns(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctāns(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
  Pārbaudīsim, izmantojot kosinusa teorēmu trīsstūrim:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2 ,
kur
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
Un
β = arkos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arkos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
 Atbilde: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Atrisināt problēmas.
  8. Vektoriem a Un b definēts 7. piemērā, atrodiet vektora garumu d = a − b stūrī γ starp a Un d.

9. Atrast vektora projekciju a = 4,0i + 7,0j līdz taisnei, kuras virziens veido leņķi α = 30° ar Ox asi. Vektors a un taisne atrodas xOy plaknē.

10. Vektors a veido leņķi α = 30° ar taisni AB, a = 3,0. Kurā leņķī β pret taisni AB jāvirza vektors? b(b = √(3)), lai vektors c = a + b bija paralēli AB? Atrodiet vektora garumu c.

11. Doti trīs vektori: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Atrodi) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Leņķis starp vektoriem a Un b ir vienāds ar α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Atrodiet vektoru garumus c = (a, b)a + b Un d = 2b − a/2.

13. Pierādīt, ka vektori a Un b ir perpendikulāri, ja a = (2, 1, -5) un b = (5, -5, 1).

14. Atrodiet leņķi α starp vektoriem a Un b, ja a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vektors a veido leņķi α = 30° ar Ox asi, šī vektora projekcija uz Oy asi ir vienāda ar a y = 2,0. Vektors b perpendikulāri vektoram a un b = 3,0 (sk. attēlu).

Vektors c = a + b. Atrodi: a) vektora projekcijas b uz Vērša un Oy ass; b) c vērtība un leņķis β starp vektoru c un Vērša ass; taksis); d) (a, c).

 Atbildes:
  9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
  10. β = 300°; c = 3,5.
  11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
  12. c = 2,6; d = 1,7.
  14. α = 44,4°.
  15. a) b x = –1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16.0.
  Studējot fiziku, jums ir lieliskas iespējas turpini izglītību tehniskā universitāte. Tam būs nepieciešama paralēla zināšanu padziļināšana matemātikā, ķīmijā, valodā un retāk citos priekšmetos. Republikāniskās olimpiādes uzvarētājs Savičs Egors absolvē kādu no MIPT fakultātēm, kur lielas prasības tiek izvirzītas zināšanām ķīmijā. Ja nepieciešama palīdzība Valsts Zinātņu akadēmijā ķīmijā, tad vērsieties pie profesionāļiem, noteikti saņemsiet kvalificētu un savlaicīgu palīdzību.