Comment résoudre une équation avec deux modules. Développement méthodologique des « Equations à module

Cette calculatrice mathématique en ligne vous aidera résoudre une équation ou une inégalité avec des modules. Programme pour résoudre des équations et des inégalités avec des modules non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec explications, c'est à dire. affiche le processus d’obtention du résultat.

Ce programme peut être utile aux élèves du secondaire en préparation à essais et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Saisir une équation ou une inégalité avec des modules

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Un peu de théorie.

Équations et inégalités avec modules

Dans un cours de base d’algèbre scolaire, vous rencontrerez peut-être les équations et inégalités les plus simples avec des modules. Pour les résoudre, vous pouvez utiliser méthode géométrique, basé sur le fait que \(|x-a| \) est la distance sur la droite numérique entre les points x et a : \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Par exemple, pour résoudre l'équation \(|x-3|=2\), vous devez trouver des points sur la droite numérique qui sont éloignés du point 3 à une distance de 2. Il existe deux de ces points : \(x_1=1 \) et \(x_2=5\) .

Résoudre l’inégalité \(|2x+7|

Mais la principale manière de résoudre des équations et des inégalités avec des modules est associée à ce que l'on appelle la « révélation du module par définition » :
si \(a \geq 0 \), alors \(|a|=a \);
if \(a En règle générale, une équation (inégalité) avec modules se réduit à un ensemble d'équations (inégalités) qui ne contiennent pas le signe du module.

En plus de la définition ci-dessus, les déclarations suivantes sont utilisées :
1) Si \(c > 0\), alors l'équation \(|f(x)|=c \) est équivalente à l'ensemble des équations : \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| > c \) est équivalent à un ensemble d'inégalités : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si les deux côtés de l'inégalité \(f(x) EXEMPLE 1. Résolvez l'équation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), alors \(|x-1| = x-1\) et l'équation donnée prend la forme
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Ainsi, l'équation donnée doit être considérée séparément dans chacun des deux cas indiqués.
1) Soit \(x-1 \geq 0 \), c'est-à-dire \(x\geq 1\). A partir de l'équation \(x^2 +2x -8 = 0\) nous trouvons \(x_1=2, \; x_2=-4\). La condition \(x \geq 1 \) n'est satisfaite que par la valeur \(x_1=2\).
2) Soit \(x-1 Réponse : \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Première façon(extension de module par définition).
En raisonnant comme dans l'exemple 1, nous arrivons à la conclusion que l'équation donnée doit être considérée séparément si deux conditions sont remplies : \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), alors \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) et l'équation donnée prend la forme \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Ayant décidé cela équation quadratique, on obtient : \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Voyons si la valeur \(x_1=6\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur spécifiée dans inégalité quadratique. On obtient : \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), c'est-à-dire \(7 \geq 0 \) est une vraie inégalité. Cela signifie que \(x_1=6\) est la racine de l'équation donnée.
Voyons si la valeur \(x_2=\frac(5)(3)\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), soit \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) est une inégalité incorrecte. Cela signifie que \(x_2=\frac(5)(3)\) n'est pas une racine de l'équation donnée.

2) Si \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) ne satisfait pas la condition \ (x^2-6x+7 Ainsi, l'équation donnée a deux racines : \(x=6, \; x=3 \).

Deuxième façon. Si l'équation \(|f(x)| = h(x) \) est donnée, alors avec \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ces deux équations ont été résolues ci-dessus (en utilisant la première méthode de résolution de l'équation donnée), leurs racines sont les suivantes : \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condition \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de ces quatre valeurs est satisfaite par seulement deux : 6 et 3. Cela signifie que l'équation donnée a deux racines : \(x=6 , \; x=3 \ ).

Troisième voie(graphique).
1) Construisons un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \). Tout d’abord, construisons une parabole \(y = x^2-6x+7\). Nous avons \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Le graphique de la fonction \(y = (x-3)^2-2\) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction \(y = x^2\) en le décalant de 3 unités d'échelle vers la droite (le long de axe des x) et 2 unités d'échelle vers le bas (le long de l'axe des y). La droite x=3 est l’axe de la parabole qui nous intéresse. Comme points de contrôle pour un tracé plus précis, il est pratique de prendre le point (3 ; -2) - le sommet de la parabole, le point (0 ; 7) et le point (6 ; 7) qui lui sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole .
Pour maintenant construire un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \), vous devez laisser inchangées les parties de la parabole construite qui ne se trouvent pas en dessous de l'axe des x et refléter cette partie de la parabole située en dessous de l'axe des x par rapport à l'axe des x.
2) Construisons un graphique de la fonction linéaire \(y = \frac(5x-9)(3)\). Il est pratique de prendre les points (0 ; –3) et (3 ; 2) comme points de contrôle.

Il est important que le point x = 1,8 de l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses soit situé à droite du point gauche d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses - c'est le point \(x=3-\ sqrt(2) \) (puisque \(3-\sqrt(2 ) 3) À en juger par le dessin, les graphiques se coupent en deux points - A(3; 2) et B(6; 7). En remplaçant les abscisses de ces points x = 3 et x = 6 dans l'équation donnée, nous sommes convaincus que dans les deux cas, l'égalité numérique correcte est obtenue. Cela signifie que notre hypothèse a été confirmée - l'équation a deux racines : x = 3 et. x = 6. Réponse : 3 ;

Commentaire. La méthode graphique, malgré toute son élégance, n'est pas très fiable. Dans l’exemple considéré, cela a fonctionné uniquement parce que les racines de l’équation sont des nombres entiers.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Première façon
L'expression 2x–4 devient 0 au point x = 2, et l'expression x + 3 devient 0 au point x = –3. Ces deux points divisent la droite numérique en trois intervalles : \(x

Considérons le premier intervalle : \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considérons le deuxième intervalle : \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considérons le troisième intervalle : \(. Maintenant nous développons le module interne pour x>2,5. Nous obtenons une équation à un module
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
En développant le module, nous obtenons ce qui suit équations linéaires
-2x+6=x+3 ou 2x-6=x+3 ;
2x+x=6-3 ou 2x-x=3+6 ;
3x=3 ; x=1 ou x=9 .
La première valeur x=1 ne satisfait pas à la condition x>2,5. Donc sur cet intervalle nous avons une racine de l'équation de module x=9, et il y en a deux au total (x=1/3). Par substitution, vous pouvez vérifier l'exactitude des calculs effectués.
Réponse : x=1/3 ; x=9.

Exemple 4. Trouve des solutions module double||3x-1|-5|=2x-3.
Solution : Développons le module interne de l'équation
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Le point x=2,5 divise la droite numérique en deux intervalles et l'équation donnée en deux cas. Nous écrivons la condition de la solution en fonction de la forme de l'équation du côté droit
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Il s'ensuit que l'on s'intéresse aux valeurs >=1,5. Ainsi équation modulaire considérer à deux intervalles
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Le module résultant, une fois développé, est divisé en 2 équations
-3x-4=2x-3 ou 3x+4=2x-3 ;
2x+3x=-4+3 ou 3x-2x=-3-4 ;
5x=-1 ; x=-1/5 ou x=-7 .
Les deux valeurs ne tombent pas dans l'intervalle, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas des solutions à l'équation avec modules. Ensuite, nous développerons le module pour x>2.5. On obtient l'équation suivante
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
En développant le module, nous obtenons 2 équations linéaires
3x-6=2x-3 ou –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 ou 2x+3x=6+3 ;
x=3 ou 5x=9 ; x=9/5=1,8.
La deuxième valeur trouvée ne correspond pas à la condition x>2,5, nous la rejetons.
Enfin nous avons une racine de l'équation de modules x=3.
Effectuer un contrôle
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
La racine de l'équation avec le module a été calculée correctement.
Réponse : x=1/3 ; x=9.

A est calculé selon les règles suivantes :

Par souci de concision, les notations sont utilisées |une|. Donc, |10| = 10 ; - 1 / 3 = | 1/3 |; | -100| =100, etc.

Toutes les tailles X correspond à une valeur assez précise | X|. Et cela veut dire identité à= |X| ensembles à comme certains fonction d'argument X.

Calendrier ce les fonctions présenté ci-dessous.

Pour X > 0 |X| = X, et pour X< 0 |X|= -X; à cet égard, la ligne y = | X| à X> 0 combiné avec une ligne droite y = x(bissectrice du premier angle de coordonnées), et quand X< 0 - с прямой y = -x(bissectrice du deuxième angle de coordonnées).

Séparé équations inclure les inconnues sous le signe module.

Exemples arbitraires de telles équations - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1, etc

Résoudre des équations contenant une inconnue sous le signe du module repose sur le fait que si la valeur absolue date inconnue x est égal à un nombre positif a, alors ce nombre x lui-même est égal à a ou -a.

Par exemple:, si | X| = 10, alors ou X=10, ou X = -10.

Considérons résoudre des équations individuelles.

Analysons la solution de l'équation | X- 1| = 2.

Développons le module alors la différence X- 1 peut être égal soit à + 2, soit à - 2. Si x - 1 = 2, alors X= 3 ; si X- 1 = - 2, alors X= - 1. Nous effectuons une substitution et constatons que ces deux valeurs satisfont l'équation.

Répondre. L'équation ci-dessus a deux racines : X 1 = 3, X 2 = - 1.

Analysons solution à l'équation | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Après extension de modules on obtient : soit 6 - 2 X= 3X+ 1, ou 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Dans le premier cas X= 1, et dans la seconde X= - 7.

Examen.À X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4 ; il découle du tribunal, X = 1 - racine donné équations.

À X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20 ; puisque 20 ≠ -20, alors X= - 7 n'est pas une racine de cette équation.

Répondre. U l'équation n'a qu'une seule racine : X = 1.

Des équations de ce type peuvent être résoudre et graphiquement.

Alors décidons Par exemple, graphiquement équation | X- 1| = 2.

Nous allons d’abord construire graphiques de fonctions à = |X-1|. Tout d'abord, dessinons un graphique de la fonction à=X- 1:

Cette partie arts graphiques, qui est situé au dessus de l'axe X Nous ne le changerons pas. Pour elle X- 1 > 0 et donc | X-1|=X-1.

La partie du graphique située sous l'axe X, décrivons symétriquement par rapport à cet axe. Parce que pour cette partie X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). La résultante doubler(ligne continue) et sera graphique de fonction y = | X—1|.

Cette ligne croisera droit à= 2 en deux points : M 1 d'abscisse -1 et M 2 d'abscisse 3. Et, par conséquent, l'équation | X- 1| =2 il y aura deux racines : X 1 = - 1, X 2 = 3.

Tochilkina Ioulia

L'ouvrage présente diverses méthodes de résolution d'équations avec un module.

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Aperçu:

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"École secondaire n°59"

Équations avec module

Travail abstrait

Effectué élève de la classe 9A

MBOU "École secondaire n°59" Barnaoul

Tochilkina Ioulia

Superviseur

Zakharova Lyudmila Vladimirovna,

professeur de mathématiques

MBOU "École secondaire n°59" Barnaoul

Barnaoul 2015

Introduction

Je suis en neuvième année. Cette année scolaire, je devrai passer le certificat final du cours de base de l'école. Pour préparer l'examen, nous avons acheté la collection de mathématiques de D. A. Maltsev. 9e année. En parcourant la collection, j'ai découvert des équations contenant non seulement un, mais aussi plusieurs modules. Le professeur m'a expliqué, ainsi qu'à mes camarades de classe, que de telles équations sont appelées équations de « modules imbriqués ». Ce nom nous a semblé inhabituel et la solution, à première vue, était assez compliquée. C'est ainsi qu'est apparu le sujet de mon travail « Equations avec module ». J'ai décidé d'étudier ce sujet plus en profondeur, d'autant plus qu'il me sera utile lors des examens de fin d'année scolaire et je pense qu'il sera nécessaire en 10e et 11e années. Tout ce qui précède détermine la pertinence du sujet que j'ai choisi.

Objectif du travail :

1. Considérer diverses méthodes résoudre des équations avec module.
2. Apprenez à résoudre des équations contenant un signe de valeur absolue en utilisant diverses méthodes

Pour travailler sur le sujet, les tâches suivantes ont été formulées :

Tâches:

1. Étudiez du matériel théorique sur le thème « Module d'un nombre réel ».
2. Considérez les méthodes de résolution d'équations et consolidez les connaissances acquises en résolvant des problèmes.
3. Appliquer les connaissances acquises lors de la résolution de diverses équations contenant le signe du module au lycée

Objet d'étude :méthodes de résolution d'équations avec module

Sujet d'étude:équations avec module

Méthodes de recherche:

Théorique : étude de la littérature sur le sujet de recherche ;

Internet - informations.

Analyse informations obtenues en étudiant la littérature; résultats obtenus lors de la résolution d'équations avec module différentes façons.

Comparaison les méthodes de résolution d'équations font l'objet de la rationalité de leur utilisation lors de la résolution de diverses équations avec un module.

"Nous commençons à réfléchir lorsque nous heurtons quelque chose." Paul Valéry.

1. Concepts et définitions.

Le concept de « module » est largement utilisé dans de nombreuses sections du cours de mathématiques scolaire, par exemple dans l'étude des erreurs absolues et relatives d'un nombre approximatif ; en géométrie et en physique, les notions de vecteur et de sa longueur (module vectoriel) sont étudiées. Les concepts du module sont utilisés dans les cours de mathématiques supérieures, de physique et de sciences techniques étudiés dans les établissements d'enseignement supérieur.

Le mot « module » vient du mot latin « module » qui signifie « mesure ». Ce mot a de nombreuses significations et est utilisé non seulement en mathématiques, en physique et en technologie, mais aussi en architecture, en programmation et dans d’autres sciences exactes.

On pense que le terme a été proposé par Cotes, un étudiant de Newton. Le signe du module a été introduit au XIXe siècle par Weierstrass.

En architecture, un module est l'unité de mesure initiale établie pour une structure architecturale donnée.

En technologie, c'est un terme utilisé dans divers domaines technologie, qui sert à désigner différents coefficients et grandeurs, par exemple module d'élasticité, module d'engagement...

En mathématiques, le module a plusieurs significations, mais je le considérerai comme la valeur absolue d'un nombre.

Définition1 : Module (valeur absolue) d'un nombre réel UN ce numéro lui-même est appelé si UN ≥0, ou le nombre opposé – et si UN le module de zéro est nul.

Lors de la résolution d'équations avec un module, il est pratique d'utiliser les propriétés du module.

Considérons la preuve des propriétés 5,6,7.

Énoncé 5. Égalité │ a+b │=│ a │+│ b │ est vrai si moyenne ≥ 0.

Preuve. En effet, après avoir mis au carré les deux côtés de cette égalité, on obtient │ a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², d'où │ ab │= ab

Et la dernière égalité sera vraie quand moyenne ≥0.

Énoncé 6. Égalité │ a-c │=│ a │+│ c │ est vrai quand moyenne ≤0.

Preuve. Pour le prouver, il suffit de l'égalité

│ а+в │=│ а │+│ в │ remplacer в par - в, puis а· (- в ) ≥0, d'où ав ≤0.

Énoncé 7. Égalité │ a │+│ b │= a+b effectué à une ≥0 et b ≥0.

Preuve . Après avoir examiné quatre cas a ≥0 et b ≥0 ; une ≥0 et c UN en ≥0 ; UN V une ≥0 et b ≥0.

(a-c) dans ≥0.

Interprétation géométrique

|une| est la distance sur la ligne de coordonnées à partir du point avec les coordonnées UN , à l'origine.

|-une| |une|

Un 0 un x

Interprétation géométrique de la signification de |a| confirme clairement que |-a|=|a|

Si un 0, alors sur la ligne de coordonnées il y a deux points a et –a, équidistants de zéro, dont les modules sont égaux.

Si a=0, alors sur la ligne de coordonnées |a| représenté par le point 0.

Définition 2 : Une équation avec un module est une équation contenant une variable sous le signe de la valeur absolue (sous le signe du module). Par exemple : |x +3|=1

Définition 3 : Résoudre une équation signifie trouver toutes ses racines, ou prouver qu’il n’y a pas de racines.

2. Méthodes de résolution

A partir de la définition et des propriétés d'un module, les principales méthodes de résolution d'équations avec un module suivent :

1. « Développer » un module (c'est-à-dire en utilisant une définition) ;
2. Utiliser la signification géométrique du module (propriété 2) ;
3. Méthode de résolution graphique ;
4. Utiliser des transformations équivalentes (propriétés 4.6) ;
5. Remplacement d'une variable (cela utilise la propriété 5).
6. Méthode d'intervalle.

J'ai assez décidé un grand nombre de exemples, mais dans l'ouvrage je ne présente à votre attention que quelques exemples typiques, à mon avis, résolus de diverses manières, car les autres se doublent et pour comprendre comment résoudre des équations avec un module, il n'est pas nécessaire de considérez tous les exemples résolus.

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS | f(x)| = un

Considérons l'équation | f(x)| = un, un R

Une équation de ce type peut être résolue par la définition du module :

Si UN alors l'équation n'a pas de racines.

Si a= 0, alors l’équation est équivalente à f(x)=0.

Si a>0, alors l'équation est équivalente à l'ensemble

Exemple. Résolvez l’équation |3x+2|=4.

Solution.

|3x+2|=4, puis 3x+2=4,

3x+2= -4 ;

X=-2,

X=2/3

RÉPONSE : -2;2/3.

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS EN UTILISANT LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DU MODULE.

Exemple 1. Résolvez l’équation /x-1/+/x-3/=6.

Solution.

Résoudre cette équation signifie trouver tous ces points sur l'axe numérique Ox, pour chacun desquels la somme des distances qui le séparent des points de coordonnées 1 et 3 est égale à 6.

Pas un seul point du segmentne satisfait pas à cette condition, car la somme des distances indiquées est 2. En dehors de ce segment il y a deux points : 5 et -1.

1 1 3 5

Réponse : -1 ;5

Exemple 2. Résoudre l'équation |x 2 +x-5|+|x2 +x-9|=10.

Solution.

Notons x 2 +x-5= a, alors / a /+/ a-4 /=10. Trouvons des points sur l'axe Ox tels que pour chacun d'eux la somme des distances aux points de coordonnées 0 et 4 soit égale à 10. Cette condition est satisfaite par -4 et 7.

3 0 4 7

Donc x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Réponse : -4;-2; 1; 3.

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS | f(x)| = | g(x)|.

1. Depuis | a |=|in |, si a= in, alors une équation de la forme | f(x)| = | g(x )| équivalent à la totalité

Exemple 1.

Résoudre l'équation | x –2| = |3 – x |.

Solution.

Cette équation est équivalente à deux équations :

x – 2 = 3 – x (1) et x – 2 = –3 + x (2)

2 fois = 5 –2 = –3 – incorrect

X = 2,5 l'équation n'a pas de solution.

RÉPONSE : 2.5.

Exemple 2.

Résoudre l'équation |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Solution.

Puisque les deux côtés de l’équation sont non négatifs, alorsla quadrature est une transformation équivalente :

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6x-22)(2x2-18)=0,

6x-22=0 ou 2x 2 -18=0 ;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Réponse : -3 ; 3 ; 11/3.

SOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA FORME | f(x)| = g(x).

La différence entre ces équations et| f(x)| =un le fait que le côté droit est aussi une variable. Et cela peut être à la fois positif et négatif. Il faut donc spécialement vérifier sa non-négativité, car le module ne peut pas être égal nombre négatif(propriété№1 )

1 façon

Solution de l'équation | f(x)| = g(x ) se réduit à un ensemble de solutions aux équationset vérifier l'équité des inégalités g(x )>0 pour les valeurs trouvées de l'inconnu.

Méthode 2 (par définition de module)

Depuis | f(x)| = g(x) si f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) si f(x)

Exemple.

Résoudre l'équation |3 x –10| = x – 2.

Solution.

Cette équation est équivalente à la combinaison de deux systèmes :

RÉPONSE : 3 ; 4.

SOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA FORME |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

La solution d'équations de ce type repose sur la définition du module. Pour chaque fonction f 1 (x), f 2 (x), …, fn (x) il faut trouver le domaine de définition, ses zéros et points de discontinuité, divisant le domaine général de définition en intervalles, dans chacun desquels les fonctions f 1 (x), f 2 (x), …, fn (x) conserver leur signe. Ensuite, en utilisant la définition du module, pour chacune des zones trouvées on obtient une équation qui doit être résolue sur cet intervalle. Cette méthode reçu le nom "méthode d'intervalle»

Exemple.

Résolvez l'équation |x-2|-3|x+4|=1.

Solution.

Trouvons les points auxquels les expressions sous-modulaires sont égales à zéro

x-2=0, x+4=0,

x=2 ; x=-4.

Divisons la droite numérique en intervalles x

Résoudre l’équation revient à résoudre trois systèmes :

RÉPONSE : -15, -1,8.

MÉTHODE GRAPHIQUE DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS CONTENANT SIGNE DE MODULE.

La méthode graphique de résolution des équations est approximative, puisque la précision dépend du segment unitaire sélectionné, de l'épaisseur du crayon, des angles d'intersection des lignes, etc. Mais cette méthode vous permet d'estimer le nombre de solutions d'une équation donnée.

Exemple. Résoudre graphiquement l'équation |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Solution. Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| et y = 9.

Pour construire un graphique, vous devez considérer cette fonction sur chaque intervalle (-∞ ; 2) ; [ 3/2 ; ∞ )

Réponse : (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Nous avons également utilisé la méthode des transformations équivalentes lors de la résolution des équations | f(x)| = | g(x)|.

ÉQUATIONS À MODULE COMPLEXE

Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues par diverses méthodes.

Exemple 1.

Résoudre l'équation ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Solution.

Par définition d'un module, on a :

Résolvons la première équation.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| X | – 2 = 5 ;

| X | = 7 ;

x = 7.

Résolvons la deuxième équation.

1. ||| X | –2| –1| = 0,

|| X | –2| = 1,

| X | –2 = 1,

| X | = 3 et | X | = 1,

x = 3 ; x = 1.

Réponse 1; 3 ; 7.

Exemple 2.

Résolvez l’équation |2 – |x + 1|| = 3.

Solution.

Résolvons l'équation en introduisant une nouvelle variable.

Laissez | x + 1| = y, alors |2 – y | = 3, à partir d'ici

Faisons la substitution inverse :

(1) | X + 1| = –1 – aucune solution.

(2) | x + 1| = 5

RÉPONSE : –6 ; 4.

Exemple3.

Combien de racines l'équation a-t-elle | 2 | X | -6 | = 5 - x ?

Solution. Résolvons l'équation en utilisant des schémas d'équivalence.

Équation | 2 | X | -6 | = 5 est équivalent au système :